Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática
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Regras companheiras de Simpson-Milne
Full text linkIntroduzimos a no¸c˜ao de sinal de uma regra de quadratura e observamos que as regras de Newton-Cotes, respectivamente fechadas e abertas e do mesmo grau de precis˜ao, s˜ao de sinais contr´arios. Regras nessas condi¸c˜oes dir-se-˜ao companheiras. A partir de um par de duas regras companheiras (Q(f),C(f)) constru´ımos uma terceira regra M(f), a que chamamos regra associada. Este procedimento habilita-nos n˜ao s´o a estimar facilmente o erro de M(f), como a obter um encaixe de intervalos contendo o valor exacto de I(f) = \int_a^b f(x) dx. Como modelo usamos o par de regras companheiras (Simpson, Milne) e constru´ımos a sua regra associada. Mostramos ainda que a regra de Simpson ´e a regra associada ao primeiro par de regras de Newton-Cotes companheiras, as bem conhecidas regras dos trap´ezios e do ponto m´edio. Damos alguns exemplos num´ericos e fornecemos c´odigo Mathematica tendo em vista a constru¸c˜ao de novas regras e exemplos de aplica¸c˜ao
O corretor de rumos de Gago Coutinho e Sacadura Cabral
Full text linkNa travessia aérea do Atlântico Sul, em 1922, foram usados métodos astronómicos de navegação, adaptados da navegação marítima. Para a sua aplicação era importante conhecer a posição estimada da aeronave com algum rigor. Na maior parte dos casos, o conhecimento da direção seguida pela aeronave e da sua velocidade, em relação ao ar, não são suficientes para determinar essa posição com rigor, pois o vento pode provocar desvios significativos no movimento da aeronave. A determinação do efeito do vento, conhecido como deriva, era fundamental para melhorar o rigor da posição estimada. Gago Coutinho e Sacadura Cabral conceberam um instrumento, o corretor de rumos, que permitia calcular, de uma forma expedita a deriva provocada pelo vento. Além disso, o corretor de rumos servia igualmente para determinar qual a direção para a qual deveria apontar a aeronave, de modo a seguir na direção desejada. Neste artigo será explicado em que consiste o problema da deriva assim como o processo de cálculo da mesma, usando o corretor de rumos. Serão apresentadas inúmeras ilustrações, para uma melhor compreensão dos procedimentos de cálculo, sendo igualmente apresentadas as principais fórmulas de cálculo que serviram de suporte teórico à construção do instrumento
Acerca do Último Problema de Takens
Full text linkNo contexto de equações diferenciais autónomas, uma solução limitada com comportamento histórico é aquela para a qual as médias de Birkhoff não convergem. O Último Problema de Takens descrito em (F. Takens (2008), Nonlinearity 21(3), T33–T36) questiona a existência de sistemas dinâmicos suaves onde o comportamento histórico ocorre persistentemente num conjunto de condições iniciais com medida de Lebesgue positiva. Tendo este desafio como mote, nesta nota pretende-se fazer uma pequena digressão sobre o problema, assim como referir alguns dos desenvolvimentos recentes do tema em fluxos com ciclos heteroclínicos associados a soluções periódicas com multiplicadores de Floquet reais
A note on the factorisation of non-singular matrices
Full text linkMostra-se que toda a matriz invertível é um produto de matrizes elementares de apenas dois tipos, sendo que nenhuma delas é a matriz de permutação
Sobre a navegação portuguesa do século XVI à luz do instrumento jacente no plano
Full text linkO presente trabalho se dedica a apontar elementos sobre a navegação portuguesa do século XVI, tomando como base o uso do instrumento jacente no plano. Esse aparato é uma das inovações de Pedro Nunes (1502-1578) proposta enquanto cosmógrafo-mor do reino de Portugal, ele está exposto no sexto capítulo do segundo livro de navegação, o qual pode ser consultado em De arte atque ratione navigandi (2008), publicação moderna. Como forma de tecer a malha histórica, parte-se da descrição do instrumento jacente no plano presente no referido tratado
Notas sobre o Problema anterior e Plano psicadélico
Full text linkImaginemos que cada ponto do plano é pintado vermelho ou azul. Será que há dois pontos da mesma cor exactamente a um metro de distância um do outro? Esta é uma questão fácil: considere-se um triângulo equilátero de lado um. Que cores podem ter os seus vértices?. . . Propomos uma questão mais interessante: Provar que há um rectângulo cujos vértices têm todos a mesma cor. No mesmo contexto, será que pelo menos uma das cores (azul ou vermelho) realiza todas as distâncias possíveis? Usemos agora três cores. Admitamos então que os pontos do plano são pintados de azul, vermelho ou verde. Prove que há dois pontos da mesma cor exactamente a um metro de distância um do outro. Deixemos as cores de parte. Peço agora que o leitor me dê um exemplo de um conjunto de pontos no plano, S, de cardinalidade mínima, com a propriedade de não existir nenhum ponto do plano cuja distância a cada elemento de S ser racional
Fermat’s Last Theorem over Number Fields
Full text linkDiscutimos a célebre demonstração do Último Teorema de Fermat e as dificuldades que surgem ao tentar aplicar a mesma estratégia de prova sobre corpos de números. Terminamos com uma amostra dos resultados conhecidos no caso de corpos quadráticos
A sharp inequality in Fourier restriction theory
Full text linkRecentemente, os autores provaram em [15, 16] que as funções constantes são os únicos maximizantes reais da desigualdade L2 -> L6 de extensão de Fourier na 2-esfera. Isto é um caso particular de [16, Teorema 1.1], cuja prova contém vários dos métodos e ideias-chave. Neste artigo, descrevemos a prova deste caso particular, e apresentamos algumas generalizações e problemas em aberto
An Invitation to Symplectic Toric Manifolds
Full text linkEste artigo é uma introdução a variedades simplécticas tóricas para não especialistas, começando com uma breve síntese de variedades simplécticas e acções hamiltonianas. As variedades simplécticas tóricas formam já um tema extenso, ao qual a modesta lista de referências abaixo não faz justiça – o objectivo deste texto não é ser exaustivo ou justo, mas simplesmente deixar entrever o que são estes espaços e a razão pela qual o leitor poderá querer adicioná-los ao seu repertório de objectos geométricos