We consider the problem of finding sharp inequalities for the norms of derivatives of the functions. This classical problem arises in Approximation Theory in the beginning of XX century in works of E. Landau, J. Hadamard, G.H. Hardy and J.E. Littlewood. A thorough overview of many known results and related problems can be found in surveys [1, 2] and the book [3].Recall that $L_{2,r;\alpha,\beta}((-1,1)),r∈Nandα,β>−1,isthespaceofmeasurablefunctionsx:(−1,1)→Rsuchthat∥x∥2,r;α,β:=∫−11∣x(t)∣2(1−t)α+r(1+t)β+rdt−1таr∈N,вточціt0∈(−1,1)порядкуk∈Z+черезL2,0;α,β((−1,1))−нормуфункціїxіL2,r;α,β((−1,1))−нормуїїпохідноїпорядкуr.АналогічніточнінерівностіотриманотакождляпросторуL2,e−t2(R)$
The space $\mathbb{C}\Omega_3isconsidered.TheBettinumbersofthespaceCΩ3arecalculated.ЗапропонованупрацюприсвяченовивченнютопологічногопросторуCΩ3.ПросториCΩnєаналогомпросторівузагальненихдосконалихсплайнівΩnдлявипадкукомплекснозначнихфункцій.КоженсплайнпросторуCΩnзадаєтьсясистемоювузліввідрізка[0,1]тасистемоючиселодиничногоколакомплексноїплощини,яківизначаютьзначеннясплайнанапроміжкахміжвузлами.ЦимкомплекснозначнісплайнипросторуCΩnвідрізняютьсявідузагальненихдосконалихсплайнівпросторуΩn,значеннякотрихнапроміжкахміжвузламизадаютьсядійснимичисламимножини{±1}.ЯкідляпросторуΩn,топологіяпросторуCΩnнаслідуваназпросторусумовнихфункційL1,вцьомувипадкукомплекснозначних.СистематичнедослідженнягомотопічнихінваріантівпросторуΩnбулозапочаткованеВ.І.Рубаном,якийпобудувавклітиннуструктуруцьогопростору,ізїїдопомогою1985рокузнайшовгрупиn−вимірнихгомологійпросторуΩn,а1999рокуповністюрозв′язавзадачувідшуканнягрупйогокогомологій.ВподальшомугомотопічніінваріантипросторуΩnвивчалисяВ.А.Кощеевим,якийвстановиводнозв′язністьΩn,таА.М.Паськом,якийзнайшовгомотопічнігрупицихпросторівувимірностяхвід2доn.ТопологічніпросториCΩnбуловведеновроботі2015рокуА.М.Паськом,вякійавторпобудувавнаCΩnструктуруклітинногопростору,аналогічнувведенійВ.І.РубаномклітиннійструктуріпроторуΩn,ізїїдопомогоюдовіводнозв′язністьпросторівCΩnдлявсіхn≥2.Уроботі2016рокуА.М.ПаськознайшовгомологіїпросторуCΩnувимірностях0,1,2,2n−1,2n,2n+1(клітиннийпростірCΩnмаєвимірність2n+1),тавстановиврівністьнулюейлеровоїхарактеристикипросторуCΩnдлявсіхn≥1.УзапропонованійстаттідосліджуютьсячислаБетті(рангигомологічнихгруп)просторуCΩ3.Використовуючиобчисленийупраці[3]явнийвиглядоператорамежі,вроботізнайденобезпосередньогрупи3−вимірнихциклівтагрупи3−вимірнихмежпросторуCΩ3,щодозволилознайти3−вимірнугрупугомологійцьогопростору.Враховучивідоміз[4]групигомологійпросторуCΩ3увимірностях0,1,2,5,6,7,знайдоночислаБеттіпросторуCΩ3увсіхвимірностях,крімвимірності4.ЧислоБеттіувимірності4знаходимошляхомпідрахункуейлеровоїхарактеристики.Такимчином,устаттізнайденовсічислаБеттіпросторуCΩ3$
In 2019 the Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions celebrates its 100th anniversary. The history of its creation and development is given in the article in terms of the anniversary. Great attention is given to the famous mathematicians who have made a considerable contribution to the direction of the department’s scientific school, A.M. Kolmogorov, S.M. Nikolskyi, M.P. Korneichuk, O.P. Timan, V.P. Motornyi, V.F. Babenko are among them. The contemporary stage of the department is highlighted in the article as well.У 2019 році кафедра математичного аналізу і теорії функцій Дніпровського національного університету імені Олеся Гончара святкує своє 100-річчя. У статті з нагоди ювілею кафедри зроблено історичний екскурс у минулі роки щодо її діяльності. Охарактеризовано основні напрями наукових досліджень, якими займалися співробітники кафедри математичного аналізу і теорії функцій із моменту її створення. Велику увагу приділено значному внеску в розвиток кафедральної наукової школи таких відомих математиків, як А.М. Колмогоров, С.М. Нікольський, М.П. Корнейчук, О.П. Тіман, В.П. Моторний і В.Ф. Бабенко.Крім того, у статті висвітлене сьогодення кафедри. Свого часу саме від кафедри математичного аналізу була відокремлена кафедра теорії функцій, а в порівняно недавні роки вони знову об’єдналися. Науковий напрямок цих двох кафедр завжди був спільним. Сьогодні кафедра математичного аналізу і теорії функцій плідно працює в науковому, методичному й організаційному полі діяльності. Науковці кафедри продовжують дослідження в напрямку відомої школи з теорії наближень. На кафедрі працює науковий семінар під керівництвом члена-кореспондента Національної академії наук України професора В.П. Моторного. Кафедра має тісні зв’язки з різними науковими установами й закладами вищої освіти України та інших країн.Кафедра є випускаючою зі спеціальностей „Математика” і „Середня освіта (математика)” й готує фахівців за освітніми рівнями бакалавра, магістра, а також спеціалістів вищої кваліфікації. Указано факультети, на яких викладають співробітники кафедри, та наведено основні дисципліни, що читаються студентам різних факультетів Дніпровського національного університету імені Олеся Гончара. Кафедра математичного аналізу і теорії функцій сприяє тому, щоб студенти механіко-математичного факультету мали всі можливості проявити себе в науковій сфері. Результатом наукової співпраці студентів і викладачів є опубліковані спільні статті, доповіді студентів на наукових конференціях, роботи студентів, які надсилаються на конкурси наукових студентських робіт з математики, а також призові місця на всеукраїнських та міжнародних студентських олімпіадах з математики
The questions of the uniqueness of the best non-symmetric $L_1−approximantwithweightinthefinitedimensionalsubspaceandtheconnectionofsuchtaskswithAα,β−subspaceswereconsideredinthisarticle.ThisresultgeneralizestheknownresultofKrooonthecaseofnon−symmetricapproximation.ПитанняєдиностіелементанайкращогоL1−наближеннятаодносторонньогонаближеннядостатньоширокодосліджене.Протезадачінесиметричногонаближеннярозглядалисянетакінтенсивно.В.Ф.Бабенкомбуловстановленозв′язокміжнесиметричнимитаодносторонніминаближеннями.УстаттівивчаютьсяпитанняєдиностіелементанайкращогонесиметричногоL1−наближеннязвагоюдлянеперервнихнакомпактіKфункційзізначеннямиуКВ−просторіXскінченновимірнимпідпросторомпросторуC(K,X)неперервнихнаKфункційзізначеннямивКВ−просторіXзнормою∣∣⋅∣∣X.УпросторіC(K,X)введенанесиметричнаL1−нормазвагоювиду∣∣f∣∣1;θ;α,β=Q∫θ(x)∣∣α⋅f+(x)+β⋅f−(x)∣∣Xdμ(x),девагаθєμ−вимірноюдійсноюфункцією,заданоюнаK,яказадовольняєумову0<inf{θ(x):x∈K}≤sup{θ(x):x∈K}<∞.УведенопоняттяAα,β−підпросторутапоказано,щоякщоXє(α,β)−гладкимКВ−просторомікожнанеперервнанакомпактіKфункціязізначеннямиуКВ−просторіXмаєєдинийелементнайкращого(α,β)−наближеннязвагоюθелементамискінченновимірногопідпросторуHдлябудь−якоївагиθ,щозадовольняєумову0<inf{θ(x):x∈K}≤sup{θ(x):x∈K}<∞,топідпростірHєAα,β−підпросторомпросторунеперервнихнаKфункційзізначеннямиуX.Оберненетвердженнямаємісцезаумов,щоКВ−простірXєстрогонормованимзістрогомонотонноюнормою.Об′єднуючиобидватвердження,якнаслідокотримано,що,якщоКВ−простірXєстрогонормованимзістрогомонотонноюнормоюта(α,β)−гладким,токожнанеперервнанаKфункціязізначеннямиуXбудематиєдинийелементнайкращого(α,β)−наближеннязвагоюскінченновимірнимпідпросторомHнезалежновідвагиθтодіітількитоді,колиHєAα,β−підпросторомпросторуC(K,X).Увипадкузвичайногонаближення,тобтоколиα=β=1,такзваніА−підпросторививчалисябагатьмаавторами.УвівцепоняттяГансШтрауспридослідженнієдиностіелементанайкращогоL1$-наближення для дійснозначних функцій, неперервних на відрізку. Результати даної статті узагальнюють результати А. Кроо на випадок несиметричного наближення
For any $p\in (0, \infty],ω>0,d≥2ω,weobtainthesharpinequalityofNagytype∥x±∥∞≤∥φ+c∥Lp(I2ω)∥(φ+c)±∥∞∥x∥Lp(Id)onthesetSφ(ω)ofd−periodicfunctionsxhavingzeroswithgiventhesine−shaped2ω−periodiccomparisonfunctionφ,wherec∈[−∥φ∥∞,∥φ∥∞]issuchthat ∥x+∥∞⋅∥x−∥∞−1=∥(φ+c)+∥∞⋅∥(φ+c)−∥∞−1.Inparticular,weobtainsuchtypeinequalitiesontheSobolevsetsofperiodicfunctionsandonthespacesoftrigonometricpolynomialsandpolynomialsplineswithgivenquotientofthenorms∥x+∥∞/∥x−∥∞.Длядовiльнихp∈(0,∞],ω>0,d≥2ω,отриманаточнанерівністьтипуНадя\|x_{\pm}\|_\infty \le\frac{\|(\varphi+c)_{\pm}\|_\infty}{\|\varphi+c\|_{L_p(I_{2\omega})}} \left\|x \right\|_{L_{p} \left(I_d \right)} \tag{1}накласахSφ(ω)d−періодичнихфункційx,щомаютьнулі,іззаданоюсинусоподібною2ω−періодичноюфункцієюпорівнянняφ,деc∈[−∥φ∥∞,∥φ∥∞]задовольняєумову∥x+∥∞⋅∥x−∥∞−1=∥(φ+c)+∥∞⋅∥(φ+c)−∥∞−1.Якнаслідокдоведенаточнанерівнсть∥x±∥∞≤∥φr+c∥Lp(I2π)α∥(φr+c)±∥∞∥x∥Lp(I2π)αx(r)∞1−α,α=r(r+1/p)−1,насоболєвськихкласахдиференційовнихперіодичнихфункційіззаданимвідношеннямрівномірнихнормдодатноїівід′ємноїчастинфункції,деφr−ідеальнийсплайнЕйлерапорядкуr.Крімтого,знерівності(1)виведенанерівністьтипуНікольського∥T±∥∞≤(mn)1/p∥sin(⋅)+c∥Lp(I2π)∥(sin(⋅)+c)±∥∞∥T∥Lp(I2π)напросторахтригонометричнихполіномівTпорядку≤nзперіодом2π/m,m≤n,ізаданимвідношеннямрівномірнихнормдодатноїівід′ємноїчастин,іаналогічнанерівністьтипуНікольського∥s±∥∞≤(mn)1/p∥φr+c∥Lp(I2π)∥(φr+c)±∥∞∥s∥Lp(I2π)напросторахполіноміальнихсплайнівsпорядкуrмінімальногодефектузвузламивточкахkπ/n,k∈Z,таперіодом2π/m,m≤n$, і заданим відношенням рівномірних норм додатної і від'ємної частин
Some exact inequalities of the Turan type are obtained in the paper for trigonometric polynomials $h(x)ofhalf−intergerordern+21,n=1,2,...,suchthatall2n+1theirzerosarerealandlocatedonasegment[0;2π).Namely,theinequalitythatrelatesthenormsinthespaceCofthetrigonometricpolynomialsh(x)ofhalf−integerordern+21,n=1,2,...,anditssecondderivativeh′′(x),∥h′′∥c≥42n+1∥h∥c,thatistheinequalitiesthatconnectthenormsinthespaceL2ofthetrigonometricpolynomialsh(x)ofhalf−intergerordern+21,n=1,2,...,anditsfirstderivativeh′(x),thatis∥h′∥L2≥82n+1∥h∥L2.Theresultinginequalitiescannotbeimproved.Inprovingthetheorems,weusethemethodthatwasdevelopedbyV.F.BabenkoandS.A.Pichugovfortrigonometricpolynomials,allofwhoserootsarereal.НерівностямитипуТурананазиваютьсянерівностівиду∥f(k)∥X=Cn∥f∥X,деf−алгебраїчний,аботригонометричнийполіномстепеніn,X−деякийнормованийпростір,Cn−деякаконстанта,щозалежитьвідn.ІснуютьрізноманітніточнінерівностітипуТуранадляалгебраїчнихтатригонометричнихполіномівприпевнихумовах,щонакладаютьсянанулівідповіднихполіномів.Зокрема,длятригонометричнихполіномівτ(x),степеніn,всі2nкоренівякогоєдійснимитавсікоренірозташованінапроміжку[0;2π),виконуютьсянерівності∥τ′′∥C≥2n∥τ∥C,та∥τ′∥L2≥2n∥τ∥L2,деC−простірнеперервних2π−періодичнихфункцій,L2−простірсумовнихвквадраті2π−періодичнихфункційзвідповідниминормами∥⋅∥Cі∥⋅∥L2.Причомуцінерівностінеможливопокращити.Придоведенніцихнерівностейвикористовувалосьпредставленнятригонометричнихполіномівстепеняn,всікореніякогодійснітарозташованінаперіоді.Тригонометричнимполіномомнапівцілогопорядкуn+21,n=1,2,...називаєтьсяфункціявидуh(x)=hn+21(x)=k=0∑n(ckcos(k+21)x+dksin(k+21)x). ВстаттіотриманідеякіточнінерівностітипуТуранадлятригонометричнихполіномівh(x)напівцілогопорядкуn+21,n=1,2,...,всі2n+1кореніякогоєдійснимитарозташованінапроміжку[0;2π).Асаме,нерівність,щопов′язуєнормивпросторіCтригонометричногополіномаh(x)напівцілогопорядкуn+21,n=1,2,...тайогодругоїпохідноїh′′(x),тобто∥h′′∥c≥42n+1∥h∥c,атакожнерівність,щопов′язуєнормивпросторіL2тригонометричногополіномаh(x)напівцілогопорядкуn+21,n=1,2,...тайогопершоїпохідноїh′(x),тобто∥h′∥L2≥82n+1∥h∥L2$. Отримані нерівності покращити неможливо. При доведенні теорем використовується метод, що було розроблено В.Ф. Бабенком та С.О. Пічуговим для тригонометричних поліномів, всі корені яких дійсні
The questions of the characterization of the best approximant in spaces of multivariable functions with mixed integral metric with weight were considered in this article. The general form of a bounded linear functional and the criterion of the best approximant in these spaces are obtained.Досліджуються питання характеризації елемента найкращого наближення у просторах зі змішаною інтегральною метрикою з вагою для функцій багатьох змінних. Питання найкращого наближення функцій двох змінних у просторах $L_{p;q}зізмішаноюінтегральноюметрикоювивчалисьГ.С.Смірновим.ПотімйогорезультатибулирозповсюдженіТрактинськоюВ.М.іТкаченкоМ.Є.спочаткунапросториLp1,p2,...,pn,апотімнапросториLp,q;Ωзвагою.ВстаттірозглядаютьсяпросториLp1,p2,...,pn;Ωфункційбагатьохзміннихзвагою,вякихнормазадаєтьсятакимчином:∥f∥p;Ω=∥f∥p1,...,pn;Ω=In∫...I2∫I1∫Ω(x)∣f(x)∣p1dx1p1p2dx2p2p3...dxnpn1,девагаΩ(x)=Ω(x1,x2,...,xn)−невід’ємна,сумовнанаn–вимірномупаралелепіпедіK=I1×I2×...×In(деIi=[ai,bi],1≤i≤n)функція,якамайжевсюдинедорівнюєнулю.ЯкщоΩ(x)=1,∀x∈K,тоотримуємопросториLp1,p2,...,pn,якірозглядалисяраніше.Встановлено,щобудь−якийлінійнийнеперервнийфункціонал,заданийвпросторіLp1,p2,...,pn;Ωмаєвигляд:F(f)=K∫Ω(x)f(x)α(x)dx1dx2...dxn,деf(x)−довільнафункціязпросторуLp1,p2,...,pn;Ω,аα(x)−деякафункціязіспряженогопросторуLq1,q2,...,qn;Ω,якийвизначаєтьсязафункціоналомF,іприцьомуйогонормазадовольняєумову∥F∥=∥α∥q1,q2,...,qn;Ω.ОтриманийкритерійелементанайкращогонаближенняізскінченновимірногопідпросторуHm.Асаме,длятого,щобелементPm∗(x)∈Hmбувполіномомнайкращогонаближеннядляфункціїf(x)вметриціпросторуLp1,p2,...,pn;Ω,достатньоі(колихочабоднезpi=1,увипадку,колирізницяf(x)−Pm∗(x)=0майжескрізьнапаралелепіпедіK)необхідно,щобдлякожногоелементаPm∈Hmвиконувалосьспіввідношення:K∫Ω(x)Pm(x)g(x)dx1dx2...dxn=0.ЯкщопокластиΩ(x)=1,∀x∈K,тоотримаємозагальнийвидлінійногонеперевногофункціоналутакритерійелементанайкращогонаближення,якібулиранішевстановленідляпросторівLp1,p2,...,pn$
Estimates above and estimates below have been obtained for Kolmogorov, linear and Bernshtein average $\nu−widthsontheclassesoffunctionsWr(ωw,Ψ),wherer∈N,ωw(f)isthegeneralizedcharacteristicofsmoothnessofafunctionf∈L2(R),Ψisamajorant.Exactvaluesoftheenumeratedextremalcharacteristicsofapproximation,followingfromtheoneconditiononthemajorantwereobtainedtoo.НехайM−класкомплекснозначнихфункційw:R→C,дляякихw(0)=0й∣w∣2єнеперервною,обмеженоюнаRфункцією,якавідміннавіднулямайжевсюди;∣w(t∗)∣2=sup{∣w(x)∣2:00.СимволомWr(ωw,Ψ),r∈N,позначаєтьсякласфункційf∈L2r(R),длякожноїзякихмаємісценерівністьωw(f(r),t)⩽Ψ(t),0<t<∞.ТутΨ(t),0 \lesq t < \infty,−−−неперервна,зростаючафункція,така,щоΨ(0)=0(мажоранта).Доведено,щоколикомплекснозначнафункціяw:R→CналежитькласуMіквадратїїмодулязадовольняєвластивостіA,Ψєдовільноюмажорантою,ν∈(0,∞),r∈N,аΠν(⋅)єбудь−якимзсередніхν−поперечників:колмогорівським,лінійним,бернштейновським,томаютьмісценерівності:(\nu \pi)^{-r} \inf \left\{ \Psi(t) / | w (t \nu \pi) | \colon 0 < t \leqslant t_* / (\nu \pi) \right\} \leqslant \overline{\Pi}_{\nu} (W^r (\omega^w, \Psi); L_2(\mathbb{R})) \leqslant \mathcal{A}_{\nu \pi} (W^r(\omega^w, \Psi)) \leqslant (\nu \pi)^{-r} \suplim \left\{ \Psi(t) / |w (t \nu \pi)| \colon t \rightarrow 0+ \right\}.ВказаноумовудлямажорантиΨ,коливдаєтьсяобчислититочнiзначеннясереднiхν−поперечникiвкласуWr(ωw,Ψ)$ та наведено низку прикладiв мажорант, для яких зазначена умова виконується
We investigate the problem of uniqueness of the best non-symmetrical $L_1−approximantwithaweightforcontinuousfunctionsonmetriccompactsetQwithvaluesinstrictlyconvexpartiallyorderedKB−spaceXbysubspacesofspaceC(Q,X)ofcontinuousfunctionsonQwithvaluesinX.Weobtainthecharacterizationofsubspacesofuniquenessofthebest(α,β)−approximantinintegralmetricwithaweightforfunctionsofspaceC(Q,X)intermsofclassesof"test"functions.ДослiдженазадачаєдиностiелементанайкращогонесиметричногонаближенняуметрицiпросторуL1звагоюдлянеперервнихнаметричномукомпактiQфункцiйзiзначеннямивстрогонормованомунапiввпорядкованомуКВ−просторiXдовiльнимипiдпросторамиHпросторуC(Q,X)неперервнихнаQфункцiйзiзначеннямивКВ−просторiXзнормою∥⋅∥X.Утермiнахкласiвтакзваних"тестових"функцiйH′={h∈C(Q,X):∃gh∈H∀x∈Qh(x)=±gh(x)}отриманахарактеризацiяпiдпросторiвєдиностiелементанайкращого(α,β)−наближеннявiнтегральнiйметрицi∥f∥1;θ;α;β=Q∫θ(x)∥α⋅f+(x)+β⋅f−(x)∥Xdμ(x)звагоюθдляфункцiй,неперервнихнаметричномукомпактiQзiзначеннямивКВ−просторiX.Такийклас"тестових"функцiйH′,щохарактеризуєскiнченномiрнiпiдпросториєдиностiелементанайкращогоL1−наближеннядлянеперервнихнавiдрiзку[a,b]дiйснихфункцiйувипадкуα=β=1ввiвурозглядГансШтраус.ЗадопомогоювказаногокласуфункцiйпiдпросторипросторунеперервнихнаметричномукомпактiфункцiйзiзначеннямивКВ−просторiлегкодослiджуватинаєдинiстьелементанайкращогонаближеннявiнтегральнiйметрицi,оскiлькизапропонованийкласєнабагатовужчим,нiжувесьпростiрC(Q,X).Устаттiподанодекiльканеобхiднихiдостатнiхумов,якiзводятьзадачудослiдженняєдиностiелементанайкращогонесиметричногоL1−наближеннязвагоюдляфункцiйпросторуC(Q,X)довiльнимпiдпросторомцьогопросторудоаналогiчноїзадачiдля"тестових"функцiй.Крiмтого,доведено,щоякщопiдпростiрпросторуC(Q,X)задовольняєА−властивостi,якатакожбулавведенадорозглядуГансомШтраусом,товказанийпiдпростiрєпросторомєдиностiелементанайкращого(α,β)−наближеннявiнтегральнiйметрицiзвагоюдлянеперервнихнаметричномукомпактiфункцiйзiзначеннямиустрогонормованомуКВ−просторiдлядовiльнихвимiрнихваговихфункцiйθтаких,що0<inf{θ(x):x∈Q}⩽sup{θ(x):x∈Q}<∞$
We consider the Bojanov-Naidenov problem over the set $\sigma_{h,r}ofallnon−periodicsplinessoforderrandminimaldefectwithknotsatthepointskh,k∈Z.Moreexactly,forgivenn,r∈N;p,A>0andanyfixedinterval[a,b]⊂Rwesolvethefollowingextremalproblema∫b∣x(t)∣qdt→sup,q⩾p,overtheclassesσh,rp(A):={s(⋅+τ):s∈σh,r,∥s∥p,δ⩽A∥φλ,r∥p,δ,δ∈(0,h],τ∈R},where∥x∥p,δ:=sup{∥x∥Lp[a,b]:a,b∈R,00,t∈(a,b)}.Weprovethattheclassesσh,rp(A)arewiderthantheclassesσh,r(A,p).SimilarlywesolvetheanalogofErdo¨sproblemaboutthecharacterisationofthesplines∈σh,rp(A)thathasmaximalarclengthoverfixedinterval[a,b]⊂R.Длязаданихr∈N;h,p,A>0ідовільногофіксованоговідрізка[a,b]⊂Rрозв′язанаекстремальназадачаa∫b∣s(t)∣qdt→sup,q⩾pнамножинівсіхнеперіодичнихсплайнівsпорядкуrмінімальногодефектузвузламиуточкахkh,k∈Z,щозадовольняютьумову∥s∥p,δ⩽A∥φλ,r∥p,δ,λ=π/h,δ∈(0,π/λ],де∥s∥p,δ:=sup{∥s∥Lp[a,b]:a,b∈R,0<b−a⩽δ},аφn,r−−−(2π/λ)−періодичнийсплайнЕйлерапорядкуr.Якнаслідок,розв′язанатажсамаекстремальназадачадляпроміжнихпохіднихs(k),k=1,...,r−1,приq⩾1$
62
full texts
478
metadata records
Updated in last 30 days.
Researches in Mathematics (E-Journal, Dnipro University)
Access Repository Dashboard
Do you manage Open Research Online? Become a CORE Member to access insider analytics, issue reports and manage access to outputs from your repository in the CORE Repository Dashboard! 👇
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text