On convergence of trigonometric polynomials of the best mean-square approximation.Про збіжність тригонометричних поліномів найкращого середньоквадратичного наближення
We prove a theorem on differential inequalities related to limit Cauchy problem for the set of ordinary differential equationsy′=f(x,y,z),z′=φ(x,y,z)with boundary conditionsx→∞limy(x)=y(∞)=y0,x→∞limz(x)=z(∞)=z0Доводиться теорема про диференціальні нерівності стосовно граничної задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівняньy′=f(x,y,z),z′=φ(x,y,z)з граничними умовами\lim\limits_{x \rightarrow \infty} y(x) = y(\infty) = y_0, \; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} z(x) = z(\infty) = z_0$
Let function $u (z, w) = f (z) h (w)bedefinedonthecompactsetK⊂C2.Westudytheproblemofrepresentationoffunctionsofthisclassbytheproductoftwocontinuedfractions,whichiscalledabicontinuedfraction.SomepropertiesofThielereciprocalderivatives,ThielecontinuedfractionsandregularC−fractionsareproved.Thepossibilityofrepresentationoffunctionsofthisclassbybicontinuedfractionsisshown.Examplesareconsidered,domainsofconvergenceanduniformconvergenceofobtainedbicontinuedfractionstothefunctionareindicated.Нехайфункціяu(z,w)=f(z)h(w)визначенанакомпактіK=Z×W⊂C2.Досліджуєтьсязадачазображенняфункційтакогокласудобуткомланцюговихдробівпокожнійзмінній,якийназиваютьбіланцюговимдробом.ВроботідоведеноновівластивостіоберненихпохіднихТілетакоефіцієнтіврозвиненняскладеноїфункціїоднієїзмінноївланцюговийдрібТілеіправильнийланцюговийС−дріб.Зокремадоведено,щоякщоD(z;g)розвиненняфункціїланцюговийдрібТіле,торозвиненняфункціхgˉ(z)=Cg(z),C=const,маєвиглядD(z;Cg)=CD(z;g).Крімтогопоказано,щооберненіпохідніТілефункціїgˇ(z)=g(Cz)визначаютьсязаформулами(2k)(g(Cz))=(2k)g(v)v=Cz,(2k−1)(g(Cz))=C−1⋅(2k−1)g(v)v=Cz,k∈N.ОтриманівластивостіоберненихпохіднихталанцюговихдробівразомізвідомимиїхвластивостямидозволяютьобґрунтуватиможливістьзображенняфункційдвохзміннихрозглянутогокласубіланцюговимидробамиТілетабіланцюговимиС−дробами,встановитиобластізбіжностітарівномірноїзбіжностіотриманихзображень.Вякостіілюстраціїрозглянутозображеннябіланцюговимидробамидвохфункційu1(z,w)=(δ+βz)αtg(ε+γw),деα∈C\{Z},β,γ,δ,ε∈C\{0}таu2(z,w)=eαzln(β+γw),деα,β,γ∈C\{0}.Доведено,щоотриманізображеннябіланцюговимидробамифункціїu1збігаютьсядофункціївобластіG1={z∈C:∣arg(δ+βz)−arg(δ+βz∗)∣<π}×C\{γw=2kπ−ε,k∈Z}інадовільномукомпактіK⊂G1біланцюговідробизбігаютьсярівномірно.Аналогічно,вобластіG2=C×{w:w∈C\{−β/γ},arg(β+γw)−arg(β+γw∗)<π}побудованібіланцюговідробизбігаютьсядофункціїu2.НадовільномукомпактіK⊂G2$ біланцюгові дроби будуть збігатися рівномірно. Запропонована в даній роботі методика природньо поширюється на випадок функцій трьох та більше змінних, які належать до аналогічних класів
The pointwise estimation of the one-sided approximation of the class $\breve{W}_\infty^r,\; 01встановилиасимптотичноточнуоцінкунайкращихнаближеньалгебраїчнимиполіномамикласівW∞rзурахуваннямположенняточкинавідрізку.Прицьому,якголовний,такізалишковийчленуцихоцінкахзалежатьвідрозташуванняточкинавідрізку.В.П.Моторнийпоширивцірезультатинавипадокнецілогоr,встановившиасимптотичноточнуоцінкунайкращихнаближеньалгебраїчнимиполіномамикласівW∞rпринеціломуr>0зурахуваннямположенняточкинавідрізку.Вінжеу2001р.знайшовоцінкинайкращихнаближенькласівсингулярнихінтегралівW^∞r,W˘∞r,r>0,алгебраїчнимиполіномамизурахуваннямположенняточкинавідрізку,знепокращуваноюконстантоювголовномучленіувипадкуцілогоr,атакож−асимптотичноточніоцінкинайкращихнаближенькласівсингулярнихінтегралівWˉ∞r,r∈N,алгебраїчнимиполіномамизурахуваннямположенняточкинавідрізку.А.М.Паськом,О.О.Колесником2013р.одержанооцінкунайкращихпоточково−односторонніхнаближеньнавідрізкуалгебраїчнимимногочленамифункційкласуW˘∞r,r≥1.Однак,випадок,коли0<r<1,залишавсянедослідженим.Результатиданоїстаттізаповнюютьцюпрогалину−встановленооцінкунайкращихпоточково−односторонніхнаближеньнавідрізкуалгебраїчнимимногочленамикласівW˘∞rпри0<r<1$
The exact value of error of interval quadrature formulas∫02πf(t)dt−nhπk=0∑n−1∫−hhf(t+n2kπ)dt=Rn(f;c0;x0;h)obtained for the classes $W^rH^{\omega} (r=1,2,...)ofdifferentiableperiodicfunctionsforwhichthemodulusofcontinuityofther−thderivativeismajorizedbythegivenmodulusofcontinuityω(t).ThisintervalquadratureformulacoincideswiththerectanglesformulafortheSteklovfunctionsfh(t)andisoptimalforsomeimportantclassesoffunctions.НасиметричномукласіH−2π−періодичнихнеперервнихфункційрозглядаєтьсяінтервальнаквадратурнаформула\int_0^{2\pi}f(t)dt - \sum_{k=1}^{n}c_k\frac{1}{2h}\int_{x_k-h}^{x_k+h}f(t)dt =R_n(f;\vec{c_n};\vec{x_n};h),\tag{0.1}деcn={ck}k=1n,ck∈Rєкоефіцієнтиквадратурноїформули(0.1),xn={xk}k=1n,xk∈[0,2π)−вузли,h∈(0,π/n,)іRn(f;cn;xn;h)єпохибкоюквадратурноїформули(0.1)дляфункціїf.РівністьRn(H;cn;xn;h):=supf∈HRn(f;cn;xn;h)визначаєпохибкуінтервальноїквадратурноїформулинакласіфункційH.Інтервальніквадратурніформулирозглядались,наприклад,вроботахКузьміноїА.Л.,ШаріповаР.Н.,БабенкоВ.Ф.,МоторногоВ.П.,БородачеваС.В.таіншихматематиків.Якщоперейтив(0.1)дограниці,колиh→0,тоодержимозвичайнуквадратурнуформулу.Задачапрооптимізаціюінтервальнихквадратурнихформул(0.1)складаєтьсяузнаходженнівеличиниE_n(H;\vec{c_0};\vec{x_0};h)=\inf_{;\vec{c_n};\vec{x_n}} R_n(H;\vec{c_n};\vec{x_n};h),\tag{0.2} яканазиваєтьсяпохибкоюоптимальноїінтервальноїквадратурноїформулинакласіH,наборівкоефіцієнтівc0={ck0}k=1nівузлівx0={xk0}k=1n,дляякихдосягаєтьсяточнанижнямежа(0.2).Цязадачарозглядалась,наприклад,вроботах[3−8].Виявилося,щоубагатьохвипадкахдлякласів2π−періодичнихнеперервнихфункційоптимальноюінтервальноюквадратурноюформулоюєформула\int_0^{2\pi}f(t)dt -\frac{\pi}{nh}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{-h}^hf(t+\frac {2k\pi}{n})dt = R_n(f;\vec{c_0};\vec{x_0};h),\tag{0.3}тобтоінтервальнаквадратурнаформула(0.1),уякійc0={ck0}k=1n,ck0=2π/nєкоефіцієнтамиквадратурноїформули(0.1),іx0={xk0}k=1n,xk0=n2πk−євузлами,h∈(0,π/n).Очевидно,щоінтервальнаквадратурнаформула(0.3)дляфункціїfзбігаєтьсязформулоюпрямокутниківдляфункціїСтекловаfh(t).Уданійроботіодержанаточнаоцінкапохибкиінтервальноїквадратурноїформули(0.3)накласіWrHω$
We introduce a family of Balakrishnan-Rubin type hypersingular integrals depending on a parameter $\varepsilon andgeneratedbytheGeneralizedPoissonsemigroup.Thentherateofconvergenceofthesefamiliesoftruncatedhypersingularintegrals,whichconvergetoLp,ν−−functionφasεtendsto0,isobtained.Добревідомо,щооператоридробовогоінтегрування,зокремапотенціалиРіссатаБесселя,відіграютьфундаментальнурольваналізітайогозастосуваннях.Ціпотенціалиінтерпретуютьяк>дробовістепені(−Δ)та(E−Δ),деΔ=k=1∑n∂xk2∂2−−−лапласіан,аE−−−тотожнійоператор.УтойчасяклокальнаповедінкаядерпотенціалівРіссайБесселяоднакова,поведінкаядрапотенціалаРіссавнескінченностінетакагарна,якупотенціалаБесселя.Існують,однак,іншіоператоридробовогоінтегрування,поведінкикотрих,грубокажучи,знаходятьсяпосерединіміжпотенціаламиРіссайБесселя.Ціпотенціали,якіминазиваємопотенціаламиФлетта,буливведеніТ.М.Флеттомуйогофундаментальнійроботі(1971).ПотенціалиФлеттаFαfтаузагальненіпотенціалиФлеттаFναfфункціїfвизначаютьсявтермінахперетвореньФур′єтаФур′є−Бесселя.УзагальненіпотенціалиФлеттадопускаютьпевнеінтегральнепредставлення.ВикористовуючиузагальненийінтегралПуассона(напівгруповий),породженийузагальненимоператоромзсувуVtf,миможемовизначитивидозміненийузагальненийінтегралПуассонаVtMf.Уційроботі,по−перше,застосовуючитехнікизробітРубіна(1986,1987),мивводимо"новіузагальненізрізанігіперсингулярніінтегральніоператориDεαf,(ε>0)",породженіузагальненоюпуассонівськоюнапівгрупою;увизначенніцихоператоріввживаноскінченнірізниціпорядкуl∈Nізкрокомτ∈Rфункціїg(t),(t∈R1).Відтак,використовуючиціузагальненізрізанігіперсингулярніінтегральніоператори,миотримуємотеорему,якадаєнамдеякіспіввідношенняміж"порядкомLp,ν−гладкості"функціїφта"швидкістюLp,ν−збіжності"сімействDεαFναφдоφприε→0+$
In the paper, an exact estimate of the best nonsymmetric approximation in the integral metric by the constants of continuous functions that belong to the classes $H^\omega[a,b]isproved.TakingintoaccountBabenko′stheoremontheconnectionofnonsymmetricapproximationwiththeusualbestapproximationintheintegralmetricandthebestone−sidedapproximations,fromtheprovedresultweobtaintheexactestimatefortheusualbestapproximationobtainedbyN.P.Korneichuk,andtheexactestimateforthebestone−sidedapproximationobtainedbyV.G.DoroninandA.A.Ligun.ВстаттірозглядаютьсяфункціональніпросториC[a;b]−простірнеперервнихнавідрізку[a;b]функційf(x),Lp[a;b](1≤p≤∞)−простірсумовнихвp−йстепенінавідрізку[a;b]функційf(x)звідповідниминормами∥f∥Cі∥f∥p,тадобревідомівтеоріїапроксимаціїфункціональнікласиHω[a,b]−класинеперервнихфункційfтаких,щоω(f,t)≤ω(t),t≥0,деω(f,t)−модульнеперервностіфункціїf,ω(t)−заданиймодульнеперервності.Вроботідоведенаточнаоцінканайкращогонесиметричногонаближеннявінтегральнійметриціконстантаминеперервнихфункцій,якіналежатьфункціональнимкласамHω[a,b].Асаме,доведенанаступнатеорема.Длявсіхα,β>0икожноїf∈Hω[a;b]маємісценаступнанерівність:η∈Rinf∥f−η∥p;α,βp≤(α+βαβ)p∫0b−aωp(t)dt.Якщоω(t)−опуклийвгорумодульнеперервностііp=1,абоω(t)=tіp>1,тодіотримананерівністьперетворюєтьсяурівність.ВраховуючивідомутеоремуВ.Ф.Бабенкапрозв′язокнесиметричнихнаближеньззвичайниминайкращиминаближеннямивінтегральнійметрицітаодносторонніминайкращиминаближеннями,здоведенногорезультатамиотримаемоточнуоцінкудлязвичайногонайкращогонаближення,отримануН.П.Корнійчуком,таточнуоцінкудлянайкращогоодносторонньогонаближення,отримануВ.Г.ДоронінимтаО.А.Лігуном.Отриманунерівністьможназастосовувативрізноманітнихзадачахтеоріїапроксимації,асаме,впитанняхнаближенняфункційкласуHω[a,b]сплайнаминульовогопорядку,наближенняфункційкласуHω[a,b]поліномамизасистемоюХаара,оцінкиінтегральнихнормфункційзнульовимсереднімзначеннямнавідрізку[a;b]$, тощо
Researches in Mathematics (E-Journal, Dnipro University)
Access Repository Dashboard
Do you manage Open Research Online? Become a CORE Member to access insider analytics, issue reports and manage access to outputs from your repository in the CORE Repository Dashboard! 👇
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text