478 research outputs found
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 08/11/2021
Field of study No full text We obtain asymptotically exact estimates of the best approximations of classes of conjugate functions by algebraic polynomials in the spaces $C a n d and an d L 1 L_1 L 1 . Отриманіасимптотичноточніоцінкинайкращихнаближенькласівспряженихфункційалгебраїчнимимногочленамиупросторах .Отримані асимптотично точні оцінки найкращих наближень класів спряжених функцій алгебраїчними многочленами у просторах . Отриманіасимптотичноточніоцінкинайкращихнаближенькласівспряженихфункційалгебраїчнимимногочленамиупросторах C C C і і і L 1 L_1 L 1
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 22/10/2021
Field of study No full text We establish the conditions of $[\Gamma]_p − s u m m a b i l i t y o f n u m b e r s e r i e s , m o r e c o n v e n i e n t f o r a p p l i c a t i o n s . B e s i d e s , w e e s t a b l i s h t h e c o n d i t i o n s o f -summability of number series, more convenient for applications. Besides, we establish the conditions of − s u mmabi l i t yo f n u mb erser i es , m oreco n v e ni e n t f or a ppl i c a t i o n s . B es i d es , w ees t ab l i s h t h eco n d i t i o n so f [ A ] [A] [ A ] − s u m m a b i l i t y o f n u m b e r s e r i e s a n d g i v e a p p l i c a t i o n s o f p r o v e d t h e o r e m s i n c a s e o f s t r o n g s u m m a b i l i t y o f d o u b l e s e r i e s . Отриманіумови -summability of number series and give applications of proved theorems in case of strong summability of double series.Отримані умови − s u mmabi l i t yo f n u mb erser i es an d g i v e a ppl i c a t i o n so f p ro v e d t h eore m s in c a seo f s t ro n g s u mmabi l i t yo fd o u b l eser i es . Отриманіумови [ Γ ] p [\Gamma]_p [ Γ ] p − підсумовуваностічисловихрядів , більшзручнідлязастосувань . Крімтого , встановленіумови -підсумовуваності числових рядів, більш зручні для застосувань. Крім того, встановлені умови − підсумовуваностічисловихрядів , більшзручнідлязастосувань . Крімтого , встановленіумови [ A ] [A] [ A ]
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 08/11/2021
Field of study No full text We obtain upper bound for error of renewal of bilinear functionals in linear normed spaces.Отримана оцінка зверху для похибки відновлення білінійних функціоналів у лінійних нормованих просторах
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 22/10/2021
Field of study No full text We provide an elementary proof of existence of periodic function, whose $r − t h d e r i v a t i v e t a k e s o n l y t w o v a l u e s , -th derivative takes only two values, − t h d er i v a t i v e t ak eso n l y tw o v a l u es , α \alpha α a n d and an d − β -\beta − β ( ( ( α \alpha α , , , β \beta β a r e g i v e n p o s i t i v e n u m b e r s ) , a n d h a s n o m o r e t h a n are given positive numbers), and has no more than a re g i v e n p os i t i v e n u mb ers ) , an d ha s n o m ore t han 2 n 2n 2 n s i g n a l t e r n a t i o n s o n a p e r i o d , w h i c h h a s , o n a p e r i o d , e x a c t l y sign alternations on a period, which has, on a period, exactly s i g na lt er na t i o n so na p er i o d , w hi c hha s , o na p er i o d , e x a c tl y 2 n 2n 2 n z e r o s , g i v e n b e f o r e h a n d . W e n o t e t h a t t h e a n a l o g o u s s t a t e m e n t f o r m o n o s p l i n e s e a s i l y f o l l o w s f r o m t h i s . Наведеноелементарнедоведенняіснуванняперіодичноїфункції , zeros, given beforehand. We note that the analogous statement for monosplines easily follows from this.Наведено елементарне доведення існування періодичної функції, zeros , g i v e nb e f ore han d . W e n o t e t ha tt h e ana l o g o u ss t a t e m e n t f or m o n os pl in ese a s i l y f o ll o w s f ro m t hi s . Наведеноелементарнедоведенняіснуванняперіодичноїфункції , r r r − тапохіднаякоїприймаєтількидвазначення -та похідна якої приймає тільки два значення − тапохіднаякоїприймаєтількидвазначення α \alpha α та та та − β -\beta − β ( ( ( α \alpha α , , , β \beta β − заданідодатнічисла ) імаєнебільше - задані додатні числа) і має не більше − заданідодатнічисла ) імаєнебільше 2 n 2n 2 n змінзнакунаперіоді , щомаєнаперіодірівно змін знаку на періоді, що має на періоді рівно змінзнакунаперіоді , щомаєнаперіодірівно 2 n 2n 2 n
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 30/12/2021
Field of study No full text The criterion of the best non-symmetric approximant for $n − v a r i a b l e f u n c t i o n s i n t h e s p a c e -variable functions in the space − v a r iab l e f u n c t i o n s in t h es p a ce L 1 , p 2 , . . . , p n L_{1, p_2,...,p_n} L 1 , p 2 , ... , p n ( 1 < p i < + ∞ , i = 2 , 3 , . . . , n ) (1<p_i<+\infty , i=2,3,...,n) ( 1 < p i < + ∞ , i = 2 , 3 , ... , n ) w i t h with w i t h ( α , β ) (\alpha ,\beta ) ( α , β ) − n o r m -norm − n or m ∥ f ∥ 1 , p 2 , . . . , p n ; α , β = [ ∫ a n b n ⋯ [ ∫ a 2 b 2 [ ∫ a 1 b 1 ∣ f ( x ) ∣ α , β d x 1 ] p 2 d x 2 ] p 3 p 2 ⋯ d x n ] 1 p n , \|f\|_{1,p_2,...,p_n;\alpha,\beta}=\left[\int\limits_{a_n}^{b_n}\cdots\left[\int\limits_{a_2}^{b_2}\left[\int\limits_{a_1}^{b_1} |f(x)|_{\alpha,\beta} dx_1\right]^{p_2} dx_2\right]^{\frac{p_3}{p_2}}\cdots dx_n\right]^{\frac{1}{p_n}}, ∥ f ∥ 1 , p 2 , ... , p n ; α , β = a n ∫ b n ⋯ [ a 2 ∫ b 2 [ a 1 ∫ b 1 ∣ f ( x ) ∣ α , β d x 1 ] p 2 d x 2 ] p 2 p 3 ⋯ d x n p n 1 , w h e r e where w h ere 0 < α , β < ∞ 0<\alpha,\beta<\infty 0 < α , β < ∞ , , , f + ( x ) = max { f ( x ) , 0 } , f − ( x ) = max { − f ( x ) , 0 } , \ f_{+}(x)=\max\{f(x),0\},\ f_{-}(x)=\max\{-f(x),0\}, f + ( x ) = max { f ( x ) , 0 } , f − ( x ) = max { − f ( x ) , 0 } , s g n α , β f ( x ) = α ⋅ s g n f + ( x ) − β ⋅ s g n f − ( x ) , \mathrm{sgn}_{\alpha,\beta}f(x)=\alpha\cdot\mathrm{sgn}f_{+}(x)-\beta\cdot\mathrm{sgn}f_{-}(x), sgn α , β f ( x ) = α ⋅ sgn f + ( x ) − β ⋅ sgn f − ( x ) , ∣ f ∣ α , β = α ⋅ f + + β ⋅ f − = f ( x ) ⋅ s g n α , β f ( x ) |f|_{\alpha,\beta}=\alpha \cdot f_{+}+\beta \cdot f_{-} =f(x)\cdot \mathrm{sgn}_{\alpha,\beta}f(x) ∣ f ∣ α , β = α ⋅ f + + β ⋅ f − = f ( x ) ⋅ sgn α , β f ( x ) , i s o b t a i n e d i n t h e a r t i c l e . I t i s p r o v e d t h a t i f , is obtained in the article.It is proved that if , i so b t ain e d in t h e a r t i c l e . I t i s p ro v e d t ha t i f P m = ∑ k = 1 m c k φ k P_m=\sum\limits_{k=1}^{m}c_k\varphi_k P m = k = 1 ∑ m c k φ k , w h e r e , where , w h ere { φ k } k = 1 m \{\varphi_k\}_{k=1}^m { φ k } k = 1 m i s a l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s y s t e m f u n c t i o n s o f is a linearly independent system functions of i s a l in e a r l y in d e p e n d e n t sys t e m f u n c t i o n so f L 1 , p 2 , . . . , p n L_{1,p_2,...,p_n} L 1 , p 2 , ... , p n , , , c k c_k c k a r e r e a l n u m b e r s , t h e n t h e p o l y n o m i a l are real numbers, then the polynomial a rere a l n u mb ers , t h e n t h e p o l y n o mia l P m ∗ P_m^{\ast} P m ∗ i s t h e b e s t is the best i s t h e b es t ( α , β ) (\alpha ,\beta ) ( α , β ) − a p p r o x i m a n t f o r -approximant for − a pp ro x iman t f or f f f i n t h e s p a c e in the space in t h es p a ce L 1 , p 2 , . . . , p n L_{1,p_2,...,p_n} L 1 , p 2 , ... , p n ( 1 < p i < ∞ (1<p_i<\infty ( 1 < p i < ∞ , , , i = 2 , 3 , . . . , n ) i=2,3,...,n) i = 2 , 3 , ... , n ) , i f a n d o n l y i f , f o r a n y p o l y n o m i a l , if and only if, for any polynomial , i f an d o n l y i f , f or an y p o l y n o mia l P m P_m P m $\int \limits_K P_m\cdot F_0^{\ast}dx \leq \int \limits_{a_n}^{b_n}...\int \limits_{a_2}^{b_2}\int \limits_{e_{x_2,...,x_n}}|P_m|_{\beta , \alpha}dx_1 \cdot \operatorname *{ess \,sup}_ {x_1 \in [a_1,b_1]} |F_0^{\ast}|_{\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta }} dx_2...dx_n, where $K=[a_1,b_1]\times \ldots\times [a_n,b_n], e x 2 , . . . , x n = { x 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] : f − P m ∗ = 0 } , e_{x_2,...,x_n}=\{ x_1\in [a_1,b_1] : f-P_m^{\ast}=0\}, e x 2 , ... , x n = { x 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] : f − P m ∗ = 0 } , $F_0^{\ast}=\frac{|R_m^{\ast}|_{1; \alpha ,\beta }^{p_2-1}|R_m^{\ast}|_{1,p_2; \alpha ,\beta }^{p_3-p_2}\cdot ... \cdot |R_m^{\ast}|_{1,p_2,...,p_{n-1}; \alpha ,\beta }^{p_n-p_{n-1}}\mathrm{sgn}_{\alpha ,\beta} R_m^{\ast}}{||R_m^{\ast}||_{1,p_2,...,p_n; \alpha ,\beta}^{p_n-1}}, ∣ f ∣ p k , … , p i ; α , β = [ ∫ a i b i … [ ∫ a k + 1 b k + 1 [ ∫ a k b k ∣ f ∣ α , β p k d x k ] p k + 1 p k d x k + 1 ] p k + 2 p k + 1 … d x i ] 1 p i , |f|_{p_k,\ldots,p_i;\alpha,\beta}=\left[\int\limits_{a_i}^{b_i}\ldots\left[ \int\limits_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}\left[\int\limits_{a_k}^{b_k}|f|_{\alpha,\beta}^{p_k}dx_k\right]^{\frac{p_{k+1}}{p_k}}dx_{k+1} \right]^{\frac{p_{k+2}}{p_{k+1}}}\ldots dx_i \right]^{\frac{1}{p_i}}, ∣ f ∣ p k , … , p i ; α , β = a i ∫ b i … a k + 1 ∫ b k + 1 a k ∫ b k ∣ f ∣ α , β p k d x k p k p k + 1 d x k + 1 p k + 1 p k + 2 … d x i p i 1 , $1\leq k) , ), ) , R m ∗ = f − P m ∗ R_m^{\ast}=f-P_m^{\ast} R m ∗ = f − P m ∗ . T h i s c r i t e r i o n i s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e k n o w n S m i r n o v ′ s c r i t e r i o n f o r f u n c t i o n s o f t w o v a r i a b l e s , w h e n .This criterion is a generalization of the known Smirnov's criterion for functions of two variables, when . T hi scr i t er i o ni s a g e n er a l i z a t i o n o f t h e kn o w n S mi r n o v ′ scr i t er i o n f or f u n c t i o n so f tw o v a r iab l es , w h e n α = β = 1 \alpha =\beta =1 α = β = 1 . Устаттіотриманокритерійелементанайкращогонесиметричногонаближеннядляфункцій .У статті отримано критерій елемента найкращого несиметричного наближення для функцій . Устаттіотриманокритерійелементанайкращогонесиметричногонаближеннядляфункцій n n n − зміннихуметриціпростору -змінних у метриці простору − зміннихуметриціпростору L 1 , p 2 , . . . , p n L_{1, p_2,...,p_n} L 1 , p 2 , ... , p n , де , де , де 1 < p i < + ∞ , i = 2 , 3 , . . . , n 1<p_i<+\infty , i=2,3,...,n 1 < p i < + ∞ , i = 2 , 3 , ... , n , з , з , з ( α , β ) (\alpha ,\beta ) ( α , β ) − нормою -нормою − нормою ∥ f ∥ 1 , p 2 , . . . , p n ; α , β = [ ∫ a n b n ⋯ [ ∫ a 2 b 2 [ ∫ a 1 b 1 ∣ f ( x ) ∣ α , β d x 1 ] p 2 d x 2 ] p 3 p 2 ⋯ d x n ] 1 p n , \|f\|_{1,p_2,...,p_n;\alpha,\beta}=\left[\int\limits_{a_n}^{b_n}\cdots\left[\int\limits_{a_2}^{b_2}\left[\int\limits_{a_1}^{b_1} |f(x)|_{\alpha,\beta} dx_1\right]^{p_2} dx_2\right]^{\frac{p_3}{p_2}}\cdots dx_n\right]^{\frac{1}{p_n}}, ∥ f ∥ 1 , p 2 , ... , p n ; α , β = a n ∫ b n ⋯ [ a 2 ∫ b 2 [ a 1 ∫ b 1 ∣ f ( x ) ∣ α , β d x 1 ] p 2 d x 2 ] p 2 p 3 ⋯ d x n p n 1 , де де де 0 < α , β < ∞ 0<\alpha,\beta<\infty 0 < α , β < ∞ , , , f + ( x ) = max { f ( x ) , 0 } , f − ( x ) = max { − f ( x ) , 0 } , \ f_{+}(x)=\max\{f(x),0\},\ f_{-}(x)=\max\{-f(x),0\}, f + ( x ) = max { f ( x ) , 0 } , f − ( x ) = max { − f ( x ) , 0 } , s g n α , β f ( x ) = α ⋅ s g n f + ( x ) − β ⋅ s g n f − ( x ) , \mathrm{sgn}_{\alpha,\beta}f(x)=\alpha\cdot\mathrm{sgn}f_{+}(x)-\beta\cdot\mathrm{sgn}f_{-}(x), sgn α , β f ( x ) = α ⋅ sgn f + ( x ) − β ⋅ sgn f − ( x ) , ∣ f ∣ α , β = α ⋅ f + + β ⋅ f − = f ( x ) ⋅ s g n α , β f ( x ) |f|_{\alpha,\beta}=\alpha \cdot f_{+}+\beta \cdot f_{-} =f(x)\cdot \mathrm{sgn}_{\alpha,\beta}f(x) ∣ f ∣ α , β = α ⋅ f + + β ⋅ f − = f ( x ) ⋅ sgn α , β f ( x ) . Доведено , що , якщо .Доведено, що, якщо . Доведено , що , якщо P m = ∑ k = 1 m c k φ k P_m=\sum\limits_{k=1}^{m}c_k\varphi_k P m = k = 1 ∑ m c k φ k , де , де , де { φ k } k = 1 m \{\varphi_k\}_{k=1}^m { φ k } k = 1 m − лінійнонезалежнасистемафункційіз - лінійно незалежна система функцій із − лінійнонезалежнасистемафункційіз L 1 , p 2 , . . . , p n L_{1,p_2,...,p_n} L 1 , p 2 , ... , p n , , , c k c_k c k − дійснічисла , тополіном - дійсні числа, то поліном − дійснічисла , тополіном P m ∗ P_m^{\ast} P m ∗ єполіномомнайкращого є поліномом найкращого єполіномомнайкращого ( α , β ) (\alpha ,\beta ) ( α , β ) − наближеннядляфункції -наближення для функції − наближеннядляфункції f f f уметриціпростору у метриці простору уметриціпростору L 1 , p 2 , . . . , p n L_{1,p_2,...,p_n} L 1 , p 2 , ... , p n ( 1 < p i < ∞ (1<p_i<\infty ( 1 < p i < ∞ , , , i = 2 , 3 , . . . , n ) i=2,3,...,n) i = 2 , 3 , ... , n ) , тодійтількитоді , колидлябудь − якогополінома , тоді й тільки тоді, коли для будь-якого полінома , тодійтількитоді , колидлябудь − якогополінома P m P_m P m $\int \limits_K P_m\cdot F_0^{\ast}dx \leq \int \limits_{a_n}^{b_n}...\int \limits_{a_2}^{b_2}\int \limits_{e_{x_2,...,x_n}}|P_m|_{\beta , \alpha}dx_1 \cdot \operatorname *{ess \,sup}_ {x_1 \in [a_1,b_1]} |F_0^{\ast}|_{\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta }} dx_2...dx_n, де $K=[a_1,b_1]\times \ldots\times [a_n,b_n], e ( x 2 , . . . , x n ) = { x 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] : f − P m ∗ = 0 } , e(x_2,...,x_n)=\{ x_1\in [a_1,b_1] : f-P_m^{\ast}=0\}, e ( x 2 , ... , x n ) = { x 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] : f − P m ∗ = 0 } , $F_0^{\ast}=\frac{|R_m^{\ast}|_{1; \alpha ,\beta }^{p_2-1}|R_m^{\ast}|_{1,p_2; \alpha ,\beta }^{p_3-p_2}\cdot ... \cdot |R_m^{\ast}|_{1,p_2,...,p_{n-1}; \alpha ,\beta }^{p_n-p_{n-1}}\mathrm{sgn}_{\alpha ,\beta} R_m^{\ast}}{||R_m^{\ast}||_{1,p_2,...,p_n; \alpha ,\beta}^{p_n-1}}, ∣ f ∣ p k , … , p i ; α , β = [ ∫ a i b i … [ ∫ a k + 1 b k + 1 [ ∫ a k b k ∣ f ∣ α , β p k d x k ] p k + 1 p k d x k + 1 ] p k + 2 p k + 1 … d x i ] 1 p i , |f|_{p_k,\ldots,p_i;\alpha,\beta}=\left[\int\limits_{a_i}^{b_i}\ldots\left[ \int\limits_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}\left[ \int\limits_{a_k}^{b_k}|f|_{\alpha,\beta}^{p_k}dx_k\right]^{\frac{p_{k+1}}{p_k}}dx_{k+1} \right]^{\frac{p_{k+2}}{p_{k+1}}}\ldots dx_i \right]^{\frac{1}{p_i}}, ∣ f ∣ p k , … , p i ; α , β = a i ∫ b i … a k + 1 ∫ b k + 1 a k ∫ b k ∣ f ∣ α , β p k d x k p k p k + 1 d x k + 1 p k + 1 p k + 2 … d x i p i 1 , $1\leq k) , ), ) , R m ∗ = f − P m ∗ R_m^{\ast}=f-P_m^{\ast} R m ∗ = f − P m ∗ . Данийкритерійєузагальненнямвідомогокритерію , доведеногоГ . С . Смірновимдляфункційдвохзміннихувипадку , коли .Даний критерій є узагальненням відомого критерію, доведеного Г.С. Смірновим для функцій двох змінних у випадку, коли . Данийкритерійєузагальненнямвідомогокритерію , доведеногоГ . С . Смірновимдляфункційдвохзміннихувипадку , коли α = β = 1 \alpha =\beta =1 α = β = 1
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 10/07/2021
Field of study No full text Estimate of error of cubature formula for the class of differentiable $2\pi − p e r i o d i c f u n c t i o n s o f t w o v a r i a b l e s . Оцінкапохибкикубатурноїформулидлякласудиференційовних -periodic functions of two variables.Оцінка похибки кубатурної формули для класу диференційовних − p er i o d i c f u n c t i o n so f tw o v a r iab l es . Оцінкапохибкикубатурноїформулидлякласудиференційовних 2 π 2\pi 2 π
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 06/10/2021
Field of study No full text
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 10/07/2021
Field of study No full text On envelope of single-parametric family of limit surfaces in Lobachevskii space.Про обвідну однопараметричного сімейства граничних поверхонь у просторі Лобачевського
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 10/07/2021
Field of study No full text On realization of generalized separated differences in vector spaces.Про реалізацію узагальнених розділених різниць у векторних просторах
Publication venue Oles Honchar Dnipro National University
Publication date 06/10/2021
Field of study No full text In the paper, it is proved that1 − 1 2 n ⩽ sup f ∈ C f ≠ c o n s t E n ( f ) C ω 2 ( f ; π / n ) C ⩽ inf L n ∈ Z n ( C ) sup f ∈ C f ≠ c o n s t ∥ f − L n ( f ) ∥ C ω 2 ( f ; π / n ) C ⩽ 1 1 - \frac{1}{2n} \leqslant \sup\limits_{\substack{f \in C\\f \ne const}} \frac{E_n(f)_C}{\omega_2(f; \pi/n)_C} \leqslant \inf\limits_{L_n \in Z_n(C)} \sup\limits_{\substack{f \in C\\f \ne const}} \frac{\| f - L_n(f) \|_C}{\omega_2 (f; \pi/n)_C} \leqslant 1 1 − 2 n 1 ⩽ f ∈ C f = co n s t sup ω 2 ( f ; π / n ) C E n ( f ) C ⩽ L n ∈ Z n ( C ) inf f ∈ C f = co n s t sup ω 2 ( f ; π / n ) C ∥ f − L n ( f ) ∥ C ⩽ 1 $\omega_2(f; t)_C i s t h e m o d u l u s o f s m o o t h n e s s o f t h e f u n c t i o n is the modulus of smoothness of the function i s t h e m o d u l u so f s m oo t hn esso f t h e f u n c t i o n f ∈ C f \in C f ∈ C , , , E n ( f ) C E_n(f)_C E n ( f ) C i s t h e b e s t a p p r o x i m a t i o n b y t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s o f t h e d e g r e e n o t g r e a t e r t h a n is the best approximation by trigonometric polynomials of the degree not greater than i s t h e b es t a pp ro x ima t i o nb y t r i g o n o m e t r i c p o l y n o mia l so f t h e d e g ree n o t g re a t er t han n − 1 n-1 n − 1 i n u n i f o r m m e t r i c , in uniform metric, in u ni f or mm e t r i c , Z n ( C ) Z_n(C) Z n ( C ) i s t h e s e t o f l i n e a r b o u n d e d o p e r a t o r s t h a t m a p is the set of linear bounded operators that map i s t h ese t o f l in e a r b o u n d e d o p er a t ors t ha t ma p C C C t o t h e s u b s p a c e o f t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s o f d e g r e e n o t g r e a t e r t h a n to the subspace of trigonometric polynomials of degree not greater than t o t h es u b s p a ceo f t r i g o n o m e t r i c p o l y n o mia l so fd e g ree n o t g re a t er t han n − 1 n-1 n − 1 . Уроботідоведено , що .У роботі доведено, що . Уроботідоведено , що 1 − 1 2 n ⩽ sup f ∈ C f ≠ c o n s t E n ( f ) C ω 2 ( f ; π / n ) C ⩽ inf L n ∈ Z n ( C ) sup f ∈ C f ≠ c o n s t ∥ f − L n ( f ) ∥ C ω 2 ( f ; π / n ) C ⩽ 1 1 - \frac{1}{2n} \leqslant \sup\limits_{\substack{f \in C\\f \ne const}} \frac{E_n(f)_C}{\omega_2(f; \pi/n)_C} \leqslant \inf\limits_{L_n \in Z_n(C)} \sup\limits_{\substack{f \in C\\f \ne const}} \frac{\| f - L_n(f) \|_C}{\omega_2 (f; \pi/n)_C} \leqslant 1 1 − 2 n 1 ⩽ f ∈ C f = co n s t sup ω 2 ( f ; π / n ) C E n ( f ) C ⩽ L n ∈ Z n ( C ) inf f ∈ C f = co n s t sup ω 2 ( f ; π / n ) C ∥ f − L n ( f ) ∥ C ⩽ 1 де де де ω 2 ( f ; t ) C \omega_2(f; t)_C ω 2 ( f ; t ) C − модульгладкостіфункції - модуль гладкості функції − модульгладкостіфункції f ∈ C f \in C f ∈ C , , , E n ( f ) C E_n(f)_C E n ( f ) C − найкращенаближеннятригонометричнимиполіномамипорядкуневище - найкраще наближення тригонометричними поліномами порядку не вище − найкращенаближеннятригонометричнимиполіномамипорядкуневище n − 1 n-1 n − 1 урівномірнійметриці , у рівномірній метриці, урівномірнійметриці , Z n ( C ) Z_n(C) Z n ( C ) − множиналінійнихобмеженихоператорів , яківідображать - множина лінійних обмежених операторів, які відображать − множиналінійнихобмеженихоператорів , яківідображать C C C упідпростіртригонометричнихполіномівпорядкуневище у підпростір тригонометричних поліномів порядку не вище упідпростіртригонометричнихполіномівпорядкуневище n − 1 n-1 n − 1 
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text
No full text