1,721,022 research outputs found
On KP Multi–Soliton Solutions Associated To Rational Degenerations Of Real Hyperelliptic Curves
Full text linkUsing the technique introduced in [1], we explain the relations between the description of KP–multisolitons in the Sato Grassmannian and in finite–gap theory in the special cases GrTP(1, M) and GrTP(M − 1, M) where the multisolitons may be associated to Krichever data on rational degenerations of regular hyperelliptic M–curves of genus M − 1
On a family of KP multi–line solitons associated to rational degenerations of real hyperelliptic curves and to the finite non–periodic Toda hierarchy
Full text linkWe continue the program started in S. Abenda and P.G. Grinevich (2015) of associating rational degenerations of MM–curves to points in GrTNN(k,n) using KP theory for real finite gap solutions. More precisely, we focus on the inverse problem of characterizing the soliton data which produce Krichever divisors compatible with the KP reality condition when Γ is a certain rational degeneration of a hyperelliptic M–curve. Such choice is motivated by the fact that Γ is related to the curves associated to points in GrTP(1,n) and in GrTP(n−1,n) in S. Abenda and P.G. Grinevich (2015). We prove that the reality condition on the Krichever divisor on Γ singles out a special family of KP multi–line solitons (T–hyperelliptic solitons) in GrTP(k,n), k∈[n-1], naturally connected to the finite non-periodic Toda hierarchy. We discuss the relations between the algebraic-geometric description of KP T–hyperelliptic solitons and of the open Toda system. Finally, we also explain the effect of the space–time transformation which conjugates soliton data in GrTP(k,n) to soliton data in GrTP(n−k,n) on the Krichever divisor for such KP solitons
On some properties of KP-II soliton divisors in GrTP(2,4)
No full textWe construct the pole divisor of the wavefunction for real regular bounded multi-soliton KP-II solutions represented by points in (Formula presented.) on the reducible rational (Formula presented.)-curve (Formula presented.) recently introduced in Abenda and Grinevich (KP theory, plane-bipartite networks in the disk and rational degenerations of (Formula presented.)-curves, 2018. arXiv:1801.00208) and we give evidence that the asymptotic behavior of its zero divisor in the real (x, y)-plane at fixed time t is compatible with the behavior of the soliton solution classified in Chakravarty and Kodama (Stud Appl Math 123:83–151, 2009)
Reducible M-curves for Le-networks in the totally-nonnegative Grassmannian and KP-II multiline solitons
Full text linkWe associate real and regular algebraic–geometric data to each multi-line soliton
solution of Kadomtsev–Petviashvili II (KP) equation. These solutions are known to
be parametrized by points of the totally non-negative part of real Grassmannians
GrTNN(k, n). In ref. 3 (Abenda, Grinevich, CMP 2018) we were able to construct real algebraic–geometric data for soliton
data in the main cell GrTP(k, n) only. Here we do not just extend that construction to all
points in GrTNN(k, n), but we also considerably simplify it, since both the reducible
rational M-curve and the real regular KP divisor on are directly related to the
parametrization of positroid cells in GrTNN(k, n) via the Le-networks introduced in
ref. 63 (A. Postnikov). In particular, the direct relation of our construction to the Le-networks guarantees
that the genus of the underlying smooth M-curve is minimal and it coincides with the
dimension of the positroid cell in GrTNN(k, n) to which the soliton data belong to.
Finally, we apply our construction to soliton data in GrTP(2, 4) and we compare it
with that in Ref. 3
Real regular KP divisors on M-curves and totally non-negative Grassmannians
Full text linkIn this paper, we construct an explicit map from planar bicolored (plabic) trivalent
graphs representing a given irreducible positroid cell STNN
M in the totally non-negative
Grassmannian GrTNN(k, n) to the spectral data for the relevant class of real regu lar Kadomtsev–Petviashvili II (KP-II) solutions, thus completing the search of real
algebraic-geometric data for the KP-II equation started in Abenda and Grinevich
(Commun Math Phys 361(3):1029–1081, 2018; Sel Math New Ser 25(3):43, 2019).
The spectral curve is modeled on the Krichever construction for degenerate finite-gap
solutions and is a rationally degenerate M-curve, , dual to the graph. The divisors are
real regular KP-II divisors in the ovals of , i.e. they fulfill the conditions for selecting
real regular finite-gap KP-II solutions in Dubrovin and Natanzon (Izv Akad Nauk
SSSR Ser Mat 52:267–286, 1988). Since the soliton data are described by points in
STNN
M , we establish a bridge between real regular finite-gap KP-II solutions (Dubrovin
and Natanzon, 1988) and real regular multi-line KP-II solitons which are known to
be parameterized by points in GrTNN(k, n) (Chakravarty and Kodama in Stud Appl
Math 123:83–151, 2009; Kodama and Williams in Invent Math 198:637–699, 2014).
We use the geometric characterization of spaces of relations on plabic networks intro duced in Abenda and Grinevich (Adv Math 406:108523, 2022; Int Math Res Not
2022:rnac162, 2022. https://doi.org/10.1093/imrn/rnac162) to prove the invariance of this construction with respect to the many gauge freedoms on the network. Such
systems of relations were proposed in Lam (in: Current developments in mathematics,
International Press, Somerville, 2014) for the computation of scattering amplitudes for
on-shell diagrams N = 4 SYM (Arkani-Hamed et al. in Grassmannian geometry of
scattering amplitudes, Cambridge University Press, Cambridge, 2016) and govern the
totally non-negative amalgamation of the little positive Grassmannians, GrTP(1, 3)
and GrTP(2, 3), into any given positroid cell STNN
M ⊂ GrTNN(k, n). In our set ting they control the reality and regularity properties of the KP-II divisor. Finally, we
explain the transformation of both the curve and the divisor both under Postnikov’s
moves and reductions and under amalgamation of positroid cells, and apply our con struction to some examples
Geometric Nature of Relations on Plabic Graphs and Totally Non-negative Grassmannians
Full text linkThe standard parametrization of totally non-negative Grassmannians was obtained by A. Postnikov \cite{Pos} introducing the boundary measurement map in terms of discrete path integration on planar bicoloured (plabic) graphs in the disc. An alternative parametrization was proposed by T. Lam \cite{Lam2} introducing systems of relations at the vertices of such graphs, depending on some signatures defined on their edges. The problem of characterizing the signatures corresponding to the totally non-negative cells, was left open in \cite{Lam2}. In our paper we provide an explicit construction of such signatures, satisfying both the full rank condition and the total non--negativity property on the full positroid cell. If each edge in a graph belongs to some oriented path from the boundary to the boundary, then such signature is unique up to a vertex gauge transformation.
Such signature is uniquely identified by geometric indices (local winding and intersection number) ruled by the orientation and the gauge ray direction on . Moreover, we provide a combinatorial representation of the geometric signatures by showing that the total signature of every finite face just depends on the number of white vertices on it. The latter characterization is a Kasteleyn-type property \cite{AGPR,A3}, and we conjecture a mechanical-statistical interpretation of such relations. An explicit connection between the solution of Lam's system of relations and the value of Postnikov's boundary measurement map is established using the generalization of Talaska's formula \cite{Tal2} obtained in \cite{AG6}. In particular, the components of the edge vectors are rational in the edge weights with subtraction-free denominators.
Finally, we provide explicit formulas for the transformations of the signatures under Postnikov's moves and reductions, and amalgamations of networks
Onde nonlineari, struttura tau e geometria delle varietà invarianti: il caso della gerarchia di Camassa-Holm
No full textResponsabile del progetto: ABENDA Simonetta
Collaboratori: DUBROVIN Boris (SISSA), RAGNISCO Orlando (Roma III), PEDRONI Marco (Genova), FALQUI Gregorio (SISSA), GRAVA Tamara (SISSA), LORENZONI Paolo (Milano Bicocca), MUSSO Fabio (Roma III)
Descrizione:
Una motivazione di base per la ricerca di modelli alternativi di onde nonlineari dispersive è dovuta al fatto che i modelli matematici tradizionali, quali l'equazione di Korteweg-de Vries (KdV) per la descrizione di onde gravitazionali nell'acqua, falliscono nel rappresentare fenomeni fisici fondamentali quali l'onda estrema di Stokes. Con tale intento R. Camassa e D. Holm (1993) hanno proposto una nuova hamiltoniana, formalmente integrabile attraverso il metodo dello scattering inverso. L'equazione di Camassa-Holm si ottiene come equazione delle onde in acqua bassa con tensione superficiale in un'espansione asintotica di un'ordine superiore all'approssimazione Korteweg-de Vries. L'equazione fortemente nonlineare così ottenuta ammette anche soluzioni continue, analitiche a tratti (peakons). A partire dal 1993, si è sviluppata una cospicua letteratura sulla gerarchia integrabile bi-hamiltoniana di Camassa-Holm (CH), ma molti quesiti fondamentali sono tuttora irrisolti. La difficoltà principale nello studio diretto della gerarchia è dovuto al fatto che le leggi di conservazione e le simmetrie sono non-locali mentre le equazioni associate alla gerarchia sono integro-differenziali. Inoltre, la gerarchia di CH non rientra nella classificazione assiomatica di Dubrovin-Zhang dei sistemi integrabili basata sulle varieta` di Frobenius. Uno dei principali problemi aperti è, infatti, se sia possibile trovare un modo di modificare uno degli assiomi di base della classificazione di Dubrovin e Zhang, per potervi includere la gerarchia CH. Tale assioma, cui qui ci riferiremo come "assioma tau", richiede l'esistenza di una funzione speciale (la funzione tau), che genera le densita` conservate del sistema, e che tale funzione soddisfi un opportuno sistema di vincoli, detti vincoli di Virasoro. La ragione della non esistenza di una struttura di tipo funzione tau per la gerarchia CH, dimostrata da Dubrovin e Zhang, puo' essere facilmente motivata studiando le proprietà analitiche delle soluzioni quasi-periodiche (algebro-geometriche). Tali soluzioni sono state classificate in una serie di lavori (ad esempio A. Constantin e H.P.McKean (1999) e M.S. Alber, R. Camassa, Yu.N. Fedorov, D. Holm e J.E. Marsden (2001)). Come nel caso KdV, le soluzioni quasiperiodiche sono esprimibili usando le funzioni theta iperellittiche. Tuttavia, a differenza del caso KdV, la dipendenza dalla variabile x nell'argomento è non lineare. Un fenomeno simile si riscontra nei sistemi finito dimensionali algebricamente integrabili con deficienza studiati per la prima volta da S. Abenda e Yu. N. Fedorov (2000). Piu' specificamente, si intende investigare i seguenti problemi:
1) Nel quadro del problema dell'assioma tau, si intende studiare la
modulazione di soluzioni periodiche dell'equazione di Camassa-Holm e classificare le corrispondenti equazioni Whitham. In particolare, si intendono costruire gli invarianti di Riemann con il metodo WKB nonlineare e verificare l'esistenza o meno di un fascio di metriche piatte sulla varieta` R di tali invarianti di Riemann che, tramite un risultato ben noto di Dubrovin e Novikov, fornirebbero un fascio di strutture di Poisson locali sullo spazio del lacci a valori in R. Tale ricerca è strettamente legata alla verifica che le varietà invarianti associate a tale sistema integrabile siano di Frobenius. Ci si aspetta che questa verifica fornisca importanti indicazioni sulla conseguente modifica dell'assioma tau.
2) Studiare le proprietà dei flussi negativi associati alla gerarchia di Camassa-Holm. Nel lavoro originale di Camassa-Holm sono state determinate un numero bi-infinito di leggi di conservazione, ma solo quelle legate ai cosiddetti flussi positivi sono state studiate in l..
Numerical solution of the small dispersion limit of the Camassa-Holm equation and Whitham equations and Multiscale expansion
No full textThe small dispersion limit of solutions to the Camassa-Holm (CH) equation is characterized by the appearance of a zone of rapid modulated oscillations. An asymptotic description of these oscillations is given, for short times, by the one-phase solution to the CH equation, where the branch points of the corresponding elliptic curve depend on the physical coordinates via the Whitham equations. We present a conjecture for the phase of the asymptotic solution. A numerical study of this limit for smooth hump-like initial data provides strong evidence for the validity of this conjecture. We present a quantitative numerical comparison between the CH and the asymptotic solution. The dependence on the small dispersion parameter ϵ is studied in the interior and at the boundaries of the Whitham zone. In the interior of the zone, the difference between CH and asymptotic solution is of the order ϵ, at the trailing edge of the order ϵ√ and at the leading edge of the order ϵ1/3. For the latter we present a multiscale expansion which describes the amplitude of the oscillations in terms of the Hastings-McLeod solution of the Painlev\'e II equation. We show numerically that this multiscale solution provides an enhanced asymptotic description near the leading edge
L'equazione di Van der Pol: un modello matematico per fenomeni con oscillazioni di rilassamento
No full textL'obiettivo di questa tesi è presentare una descrizione rigorosa delle soluzioni dell'equazione di Van der Pol. Partirò con un'introduzione storica relativa alle ricerche di Van der Pol con conseguente scoperta e sviluppo dell'omonima equazione. Tale equazione è nata nell'ambito della radiotecnica e, successivamente, fu proposta da Van der Pol come modello matematico in ambiti alquanto complessi.
In seguito, introdurrò gli strumenti necessari per l'analisi qualitativa delle soluzioni dell'equazione di Van der Pol. Si fa utilizzo di risultati classici riguardanti lo studio delle soluzioni di equazioni differenziali autonome per orbite periodiche e punti d'equilibrio, il concetto di stabilità alla Lyapunov e la mappa di Poincaré. In particolare, definirò il fenomeno del ciclo limite introducendo gli insiemi limite e il teorema di Poincaré-Bendixon, ed in seguito, analizzerò il fenomeno del ciclo limite per l'equazione di Van der Pol.
Il fulcro del lavoro riguarda lo studio dell'equazione in funzione dei diversi valori di un parametro da cui dipende l'equazione con particolare riguardo al ciclo limite. Discuterò tre regioni; il caso dell'oscillatore armonico di pulsazione uno, il caso di smorzamento debole fino al caso delle oscillazioni con rilassamento, chiave di studi successivi. Dopo, accenerò al caso di perturbazioni non autonome.
In conclusione, descriverò, in maniera semplificata, una delle applicazioni più significative dell'equazione: l'oscillatore di Van der Pol come modello del pacemaker circadiaco umano. Tale applicazione trova sviluppo a seguito delle oscillazioni con rilassamento definite da Van der Pol stesso, che insieme a Van der Mark, presentò un articolo sui fenomeni che presentavano delle oscillazioni con rilassamento. Tra i fenomeni proposti solo quello del battito cardiaco ha trovato successo negli anni successivi. In questo lavoro riporterò una visione semplificata, ma comunque accurata, di tale applicazione
- …
