Ehime University Institutional Repository

寺内, 浩

Japanese

愛媛県久万高原町岩屋寺こけら経・笹塔婆について

松本, 長彦

カント「美的判断力の批判」の一考察(一)

平成28年4月6日(水)-8月1日(月)に愛媛大学ミュージアムにて開催された貴重書公開展の記録(パンフレット)。othe

愛媛大学図書館

愛媛大学ミュージアム第２常設展示
「いろは歌」浅海蘇山（『書に生きる：浅海蘇山』愛媛新聞社 , 1991 年 7 月発行より転載）
「幽」浅海蘇山
平成 28年４月６日（水）～８月１日（月）
米山と蘇山 II
http://www.museum.ehime-u.ac.jp/http://www.ehime-u.ac.jp/ http://www.lib.ehime-u.ac.jp/
2016年4月発行 発行者：愛媛大学　〒790-8577松山市文京町3番
愛媛大学ミュージアム（会場）のご案内
アクセス
● 伊予鉄道市内電車をご利用の場合
　環状線「赤十字病院前」下車
　北へ徒歩約２分→正門→徒歩約３分
● 伊予鉄バスをご利用の場合
　東西線「愛媛大学前」下車
　北へ徒歩約１分→正門→徒歩約３分
● 駐車場 
 ミュージアムの専用駐車場はありません。
 公共交通機関を利用してご来館ください。
 なお、キャンパス内の来客用駐車場を利用する場合は、
 大学正門警備員室で手続きが必要です。満車の場合はご利用になれません。
 ※帰りは駐車場出口→大学西門から出てください。
入館料 無料 
開館時間 午前10時～午後４時30分（入館は午後４時まで）
休館日 (1)火曜日
 (2)その他 
（089）927-8293
平日 9：00 ～ 22：00 （夏季/冬季休業中は17：00まで）
土・日・祝 9：30 ～ 17：00 （夏季/冬季休業中は休館）（089）927-8845
米山日記のレプリカ
マスコットキャラクター
　アイダさん
愛媛大学図書館  2 階 米山コーナー（常設）
米山　人と書
浅海蘇山/著（墨美社）
米山の魅惑
米山顕彰会/監修（清流出版）
三輪田米山游遊 ～いしぶみガイド～
横田無縫 ほか/著（木耳社）
三輪田米山の書 : 近代という憂いのかたち
成田山書道美術館/監修（里文出版）　など
赤
い
の
ぼ
り
が
目
印
で
す
ぞ
年末年始（12月28日～１月４日）
大学入試センター試験日／前期・後期日程試験日
メンテナンス休館（２月１日～ 15日）
臨時休館
三輪田米山
(1821－1908)
1821（文政 4）年、伊予松山（愛媛県松山市）の日尾八幡神社
神官三輪田清敏の長男として生まれた伊予の神主。明治維
新をはさんだ激動の時代に生きながら、王羲之をはじめと
する書の古典に深く学び、独自の書風を形成した。その書
は優れた造形性を持ち、爆発的なエネルギーにみちており、
近代詩文書のさきがけとさえいわれる。書家としての名声
は存命中から伊予一円に高く、神社の注連石等の揮毫を数
多く残した。また、1848（弘化 5/ 嘉永 1）年に家督を継いで
から 1908（明治 41）年 88 歳に至るまで詳細に綴られた日
記は彼の人となりを示すだけでなく、当時の日本、伊予の歴
史や生活を具体的に記した貴重な歴史史料となっている。
浅海蘇山
(1911－1992)
本名　浅海忠は、1911（明治 44）年、愛媛県越智郡伯方町で
生まれ、愛媛師範学校、愛媛大学教育学部に勤務した。現在
も米山研究の基本書となっている『米山　人と書』を 1969
（昭和 44）年に出版している。氏が最初に米山の書を目にし
たのは、1939～40（昭和 14～15）年頃に書の師、三宅武夫の
書斎で扁額を見たことに始まるという。戦後、米山研究を
ひたすらに進め、300 冊と言われる『米山日記』のうち所在
不明のものを除く 250 冊の翻刻を行うなど、氏の貢献なし
に現在の米山研究はないと言っても過言ではない。現在、
愛媛大学図書館には浅海氏が仲介して大学が購入した『米
山日記』 202 冊が収蔵されている。
米山日記［レプリカ］・米山関連図書
愛大図書館にて閲覧できます
松山赤十字病院
東雲小学校
東中学校
護国神社
松
山
大
学
P
P
ミュージアム
図書館
（２F～４F)
大学正門
N
乗用車
徒歩
会期中に作品の入れ替えを行う予定です。
　愛媛大学では、平成 22 年度から米山展を企画してきた。平成 27
年度から2年間の予定で、愛媛大学教育学部に勤務していた菊川
國夫元教授および浅海蘇山元教授のご家族の浅海万記子氏の献
身的なご協力により、米山作品に加え、浅海蘇山氏の代表的な作品
を加え展覧会を開催している。
　米山の研究者として著名な故浅海蘇山氏は、愛媛大学在職中に
『米山　人と書』を出版し、愛媛大学図書館収蔵の『米山日記』の購
入にも尽力した。今回の展示には、氏が残した米山日記の翻刻を全
て展示している。また、菊川國夫氏は愛媛大学在籍時に浅海氏に影
響を受け、以後一貫して米山研究を継続している。
　菊川氏の収蔵品は、通常の漢字作品、仮名作品は言うまでもな
く、神名号や扇面、日記などの作品に及び 50 点にもなる。
　また、菊川氏の尽力と収蔵者の方のご厚意により、名作｢日輪｣を
展示することができた。
　会場には、昨年に引き続き、米山に関連する「蘇山語録」も展示
する。今日の米山研究の基礎を築いた浅海蘇山氏の作品と、米山
作品の調和をお楽しみいただきたい。
初心不可忘
出典：世阿弥『花鏡』
酒のみはさけ飲めよ
出典：種田山頭火『行乞記』
月到天心処
源濁者流不清
出典：『墨子』脩身篇
皇天久不雨
出典：杜甫「喜晴」
くしろつく
出典：柿本人麻呂『万葉集』巻一
正誼不謀其利
出典：『漢書』董仲舒伝
青麻三光宮
壺中別有日月天
出典：李白「下途帰石門旧居」
日輪（『書に生きる：浅海蘇山』愛媛新聞社 ,1991 年 7 月発行より転載）
穆如灑清風
出典：張華「答何劭詩三首」
白雲悠々
出典：李白「黄鶴楼送孟浩然之広陵」
米山と蘇山 II　　
蘇 山 作 品
A S A M I  S O Z A N M I W A D A  B E I Z A N
米 山 作 品


愛媛大学ミュージアム 第2常設展示 米山と蘇山 II

Ehime University (愛媛大学)博士(医学)thesi

平岡, 千寛

HIRAOKA, Chihiro

（第３号様式）     
 
 
学 位 論 文 要 旨 
 
 
 
            氏   名          平岡 千寛 
 
 
 
            論 文 名  ヒト皮膚線維芽細胞は、増殖型とリモデリング型の２つの 
クローン・タイプに分類できる 
  
 
 
学位論文要旨     
                              
各臓器は実質組織と間質組織で構成される。組織幹細胞や多能性幹細胞の研究により、実質組
織の再生が実現可能になりつつある一方で、間質組織の再生は大きく遅れている。間質組織は、
組織に構造的な強度を与えるだけでなく、実質細胞の増殖や分化も制御していることが明らかと
なっている。したがって、今後の臓器再生医療の完成には、線維化の制御を含めて、間質組織の
再生が必須である。 
間質において、コラーゲンなどの細胞外マトリクスを主に産生しているのは線維芽細胞である
といわれている。また線維芽細胞の機能はそれだけではなく、多分化能を報告する論文もみられ
る。しかし、線維芽細胞は heterogeneousな細胞集団であり、単一のクローンレベルにおいて、
線維芽細胞の特性は解析されておらず、十分には理解されていない機能もあると考えられる。そ
の原因に、通常の培養条件下では線維芽細胞のクローニング効率が低い点が挙げられる。今回
我々は、線維芽細胞を顕微鏡下にマイクロピペットを用いて、ひとつひとつ異なるウェルに移し
て、12 日間培養した。その結果、通常酸素培養に比べて、2%酸素培養（以下、低酸素培養）に
より、ヒト真皮線維芽細胞のクローニング効率が飛躍的に向上することがわかった。また、クロ
ーニング後の細胞に、染色体異常が生じていないかを検討するために、通常酸素下、低酸素下で
それぞれ得られたクローンの染色体検査を行ったが、通常酸素培養では染色体異常が多く見られ
たが、低酸素培養ではそのような異常は見られなかった。本研究では、この手法を用いて線維芽
細胞をクローン化し、各クローンにおける増殖能、コロニー形成能、分化能、細胞外マトリック
ス制御関連遺伝子の発現量、コラーゲン分解活性、コラーゲンゲルの収縮力について、多角的な
特性解析を行った。コロニー形成能は、10cm dish に 100細胞を播種し、12日間培養し、形成さ
れたコロニー数を数えた。また、形成されたコロニーを細胞密度に応じて、高密度(Type A)、中
密度(Type B)、低密度(Type C)と分類し、それぞれのタイプの 
氏名  平岡 千寛      
 
 
コロニー数を数えた。分化能については、骨、脂肪、軟骨分化について、それぞれ分化誘導培地
で 2週間培養し、それぞれの分化マーカーの発現量を定量 PCR で評価した。コラーゲン分解活性
は、Gelatin Zymography assay を行った。コラーゲンゲル収縮力は、低吸着プレート上で、コ
ラーゲンタイプⅠを含むゲルに線維芽細胞クローンを投与し、2日後のゲルの面積を計測し、収
縮力を評価した。 
まず、クローンにおける特性解析では、各クローンが異なる特性を有しており、ヒト真皮線維
芽細胞が heterogeneousな細胞集団であるということが示せた。さらに、それぞれの特性の相関
関係を検討するために、スペアマンの順位相関解析を行った。形成されるコロニーを細胞密度に
応じて分類したが、Type A colonyを多く形成するするクローンは、増殖能に優れており、コラ
ーゲンの収縮力が高いことが分かった。一方で、Type C colonyを多く形成するクローンは、抗
線維化作用を有する MMP2や Decorinとの相関関係が示されており、特徴としては、増殖能は低
いが、組織をリモデリングする能力が高いということが示された。つまり、線維芽細胞クローン
ごとの特性解析の結果、形成されるコロニーのタイプによって、機能的に 2つのクローンに大別
できることを見出した。また、加齢による変化を検討するために、小児株と高齢者株で、形成さ
れるコロニータイプを比較検討してみると、小児株では Type A colonyを多く産生するため、増
殖能が高いことが示唆され、加齢に伴い増殖能に優れたクローンが減少していることがわかった。
この実験結果は、加齢に伴う創傷治癒の遅延など、組織の臨床的な特性と関連しているものと考
えられる。 
線維芽細胞クローンの特性を解析することで、異なる 2つのタイプのクローンに大別した。実
際にヒトの体内では、線維芽細胞は、増殖したり、細胞外マトリクスを産生しリモデリングを促
進したり、周囲環境からの刺激に応じて、様々な効果を発揮していると考えられる。今後の研究
課題としては、それらがどのような刺激によって制御されているのか。今回大別された、2種類
のクローンを詳細に解析することで、線維化の制御につながる研究に発展すると考えられる。 
 
 
 
 
 
 
 
キーワード（３～５） 
 
 
 
皮膚線維芽細胞 
低酸素培養 
クローニング 
Heterogeneity 
線維化 


English

Two clonal types of human skin fibroblasts with different potentials for proliferation and tissue remodeling ability

富田, 英司

佐藤, 栄作

観音, 幸雄

熊谷, 隆至

藤原, 誠

鴛原, 進

田邉, 隆

オープンソース統計解析システムを用いたアンケートの自動化

淡野, 寧彦

大学初年次生に対する入門的フィールドワーク実践の成果と課題

NAGASAKI, Mutsuko

Promoting L2 Learning through Spoken Rehearsal and Speech in University English Classrooms

杉田, 浩崇

R.ブランダムの明示化プロジェクトとその教育学的意義 : 条件文を用いた行為理由の明示化と人間形成

神森, 貴文

愛媛県高等学校における化学実験と教科書実験の比較

藤本, 義明

 
 
『数学作りの授業』のための題材例（その３） 
－包装の数理－ 
 
（数学科教育研究室）藤 本 義 明 
 
Materials for 'Class through Making Mathematics' ( 3 ) 
－Mathematical Meaning of 'Covering Goods'－ 
 
Yoshiaki FUJIMOTO 
 
（平成 28 年 ７月 28 日受理） 
 
キーワード：数学作り、包装、数理  
 
Ⅰ はじめに
「数学作りの授業」を行うための教材として、これま
での２報において、さまざまな例を紹介してきた。本稿
はその第３報として、物を包装する手段に着目して、「袋
に入れる」、「ひもをかける」、「紙で包む」過程に存在す
る数理を明らかにして、教材化の一助としたい。対象の
学年は、すべてを完璧に指導する際は高校２年生くらい
が想定されるが、「ひもをかける」と「紙で包む」は中学
校３年生に指導できる内容である。 
 
Ⅱ 袋に入れる
マチがない袋に直方体（立方体） 
の形の荷物を、荷物が外から見えな 
くなるまで完全に入れる。このとき、 
袋の縦、横の長さをできるだけ小さ 
くしたい。ただし、荷物について、 
辺の長さを右図のように定める。 
（縦）＝ａ、（横）＝ｂ、 
（高さ）＝ｃ 
 
１．１辺がａの立方体の荷物を袋に入れる 
(1)箱の袋への納まり方を予想する 
①袋への納まり方 
横はぴったり袋に入ったとき、袋の縦の長さを最小に
すると、底はどこまで入るのだろうか。 
（予想１）底がぴったり付かないのではないか。 
 
 
 
 
 
 
（予想２）底にぴったり付くのではないか。 
 
 
 
 
 
 
 
ａ 
ｃ 
ｂ 
『数学作りの授業』のための題材例 (３) 
189
愛媛大学教育学部紀要　第63巻　189〜198　2016
＊実際にやってみると、予想２の状況は可能であり、袋
の縦の長さを最小にできる。 
上側も底と同じ形状になる。 
 
 
 
 
 
（袋の横）＝ (ａ×４)÷２＝２ａ 
（袋の縦）＝ 
２
ａ
＋ａ＋
２
ａ
＝２ａ 
よって、最小の袋は、縦、横ともに ２ａ である。 
②耳の形 
余りの三角（耳）の形は直角二等辺三角形のようであ
る。このことを証明する。 
（証明） 
側面がぴったり袋におさまるので 
袋の底辺ＡＣは２ａ 
ＢＣ＝(２ａ－ａ)÷２＝
２
ａ  
ＢＤ＝ａ÷２＝
２
ａ  
よって、ＢＣ＝ＢＤ 
また、角度は袋の前後２枚で袋のカドの角度 
９０°×２に等しいので、９０°である。  
したがって、耳の形は、直角二等辺三角形である。 
 
２．直方体を袋に入れる 
(1) 袋の縦、横の長さが最小 
一般に、直方体を袋に入れるとき、最小の袋は次のよ
うになる。 
（袋の横の最小値） 
（ａ＋ｂ）×２÷２＝ａ＋ｂ 
（袋の縦の最小値） 
ア：ｂが袋の入口と平行なとき 
２
ａ
＋ｃ＋
２
ａ
＝ａ＋ｃ 
イ：ａが袋の入口と平行なとき 
２
ｂ
＋ｃ＋
２
ｂ
＝ｂ＋ｃ 
(2) 袋の周囲の長さが最小のとき 
袋を最小にするとき、袋の周囲の長さが最小になるの
は次のときである。 
ア：ｂが袋の入口と平行なとき 
（(ａ＋ｂ)＋(ａ＋ｃ)）×２＝４ａ＋２ｂ＋２ｃ 
イ：ａが袋の入口と平行なとき 
（(ａ＋ｂ)＋(ｂ＋ｃ)）×２＝２ａ＋４ｂ＋２ｃ 
つまり、４倍となる辺をなるべく小さくする必要があ
る。 
（手順） 
ⅰ)最短の辺を見つける（ａとおく） 
ⅱ)最短の辺袋の縦と垂直に保ちながら、袋に入れる 
このとき、袋の周囲は、４ａ＋２ｂ＋２ｃであり、 
これが最小である。 
(3) 袋の表の面積が最小 
袋を最小にするとき、袋の表の面積が最小になるのは
次のときである。 
ア：ｂが袋の入口と平行なとき 
(ａ＋ｂ)×(ａ＋ｃ) ＝ａ２＋ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ 
イ：ａが袋の入口と平行なとき 
(ａ＋ｂ)×(ｂ＋ｃ)＝ｂ２＋ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ 
よって、(2)と手順は同じでよい。 
（手順） 
ⅰ)最短の辺を見つける（ａとおく） 
ⅱ)最短の辺袋の縦と垂直に保ちながら、袋に入れる 
＜疑問＞立方体のカドを、袋のカドに押し入れることが
できない理由は何か。 
（解答）袋のカドが作る角度は ９０°×２ である。  
一方、立方体のカドは、全部で ９０°×３ の角度で 
あるから、立方体のカドは袋のカドとぴったりはまる 
ことはない。 
＊ｎ面がつくるカドが袋のカドにぴったりはまるのは、  
面の１つの角度が
ｎ
180
のときである。 
＊とくに、３面がつくるカドでは、６０°の角をもつ面
がぴったりはまるので、正四面体のカドは袋のカドにぴ
ったりはまる。 
 
 
 
袋の横の長さと一致 
袋のカドにぴっ
たりはまる 
 
藤本 義明 
190
＜さらなる疑問＞ 
正四面体では、ひとつのカドが袋のカドにぴったりは
まるのだから、もう一方のカドも袋のカドにぴったりは
まり、正四面体の１辺の長さは袋の横の長さと同じにな
るだろう。 
 
３．正四面体を袋に入れる 
正四面体を袋に入れると、カドが袋にぴったりはまる
ことがわかった。では、正四面体を入れることができる
最小の袋はどうなるのかを考える。 
辺の長さが a である正四面体を、１辺が袋の横と平行
で、立面図が二等辺三角形になる状態から、袋に入れる。 
（立面図） 
 
 
 
 
袋 
 
(1) 口をしぼる考え 
（考えられる予想） 
＊袋の横の長さが a とき、巾が a の紙切れなら入れられ
るが、四面体のように厚みがあると入らないのではない
か。 
＊立方体のときよりも、もっと複雑な耳ができるのでは
ないか。 
（考え方） 
＊袋に少し入れた後、袋をしぼって、袋の口の最小の大
きさを考える。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
＜実験＞袋の横の長さが a より数ミリ長ければ、入りそ
うだ。 
＊袋の中にｔだけ入れたとき、切断面の周囲（袋をすぼ
める最小値）はいくらか？ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
（立面図） 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
２
ａ２
：
２
ａ２
－ｔ＝ａ：ｘ より、 ｘ＝ａ－ ２ｔ 
(面 ABD) 
 
 
 
 
 
 
 
 
ａ：ｙ＝
２
ａ３
：ｓ よって ｙ＝
３
２
ｓ 
Ｍ 
ｔ 
 ａ 
ｓ 
ｙ 
ＤＡ 
Ｂ 
２
ａ２
Ｃ 
ｔ 
 ａ 
Ａ 
Ｂ 
Ｄ
ｔ 
ｘ 
 
 
Ｍ 
Ｂ Ｃ 
２
ａ２
２
ａ３
２
ａ２
見取り図 
『数学作りの授業』のための題材例(３) 
191
ｓ：
２
ａ３
＝ｔ：
２
ａ２
より ｓ＝
２
３
ｔ 
ｙ＝
３
２
×
２
３
ｔ＝ ２ｔ 
したがって、切断面の周囲は 
２×(ｘ＋ｙ)＝２×(ａ－ ２ｔ＋ ２ｔ）  
 ＝２ａ （一定） 
＊入り口が入ると、切断面の周囲は一定なので、そのま
ま入っていく。 
 
(2) 展開図による考え 
袋の入り口を、四面体の切り口と考える。 
①②③の線分は平行である 
A ①  D 
 
 
 
 
 
B 
 
 C 
よって展開図でみると 
 
 
 
 
 
 
 
 
したがって、切り口の周囲の長さは、２ａである。 
 
４．他の立体 
展開図で、切り口が一直線になることは、他の立体で
も考えられるので、他の立体の場合を考えてみる 
(1) 立方体の場合 
辺に対し、４５°の角度の切り口を考えると、切り口
の周囲は、正方形の対角線の、常に３倍である。 
 
（展開図） 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
このような状況が起こるのは、立方体を４５°傾けて袋
に入れる場合である。 
 
（見取り図） 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) 正八面体の場合 
下図のような切り口にすると、切り口の周囲は、辺の
長さの３倍である。 
（展開図） 上面として配置 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
下面として配置 
 
このような状況が起こるのは、正八面体の向かい合う２
面を水平に保ちながら、袋に入れる場合である。 
 
Ａ 
Ｂ 
① 
② 
D 
C 
③ 
② 
③ 
藤本 義明 
192
見取り図 立面図
 
 
 
 
 
 
 
 
Ⅲ ひもをかける 
１ 垂直にひもをかける  
直方体の箱に、ひもをかける。ひもの長さはどれだけ
必要だろうか。 
 
 
 
 
 
 
(1) 立方体の箱 
１辺がａの立方体の箱に対して、ひもを十字に垂直に
交わるようにかける。 
 
 
 
 
 
このとき、必要なひもの長さは、箱の高さの４本分はい
つも同じであり、また、上面と下面も同じだから、上面
のひもの長さだけを考えることにする。 
ⅰ) ひもの交点が中心Ｏにあるとき 
 
 
 
 
 
 
 
 
ひもの端Ｐが辺の中点Ｈとｘだけ離れると、 
(ひもの長さ)＝４×ＰＯ 
＝４×
２
２
２
ａ
＋ｘ 




  
＝２ ２２＋ａ４ｘ 





２
ａ
≦ｘ≦０  
さらに、交点Ｋが横にｙほど動いたとき、つまり、Ｋ
がＥＧ上で、ＫＯ＝ｙであるときを考えてみる。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ｋと交わる鉛直線をＨ’Ｆ’とする。 
 
 
 
 
 
 
 
 
ＰＨ’＝ｘ＋ｙより 
ＰＱ＝２×ＰＫ＝２
２
２
２
ａ
＋ｘ＋ｙ 




)(  
＝ ２２＋ａｘ＋ｙ４ )(  
ＥＫ＝
２
ａ
＋ｙ、ＧＫ＝
２
ａ
－ｙより 
ＲＫ＝ＰＫ×
２
ａ
＋ｙ
２
ａ
＝ＰＫ×
ａ
ａ＋２ｙ 
ＳＫ＝ＰＫ×
２
ａ
－ｙ
２
ａ
＝ＰＫ×
ａ
ａ－２ｙ 
よって、ＲＳ＝ＲＫ＋ＳＫ 
Ｐ 
Ｑ 
Ｒ 
Ｓ 
Ａ
］［ 
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
］［ 
ｘ 
Ｏ 
ａ 
Ｐ 
Ｑ 
Ｒ 
Ｓ 
Ａ
］［ 
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
］［ 
ｘ 
Ｏ  
ｙ Ｋ
Ｐ 
Ｑ 
Ｒ 
Ｓ 
Ａ
］［ 
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ’ 
Ｇ
Ｈ’ 
ｘ＋ｙ 
 
Ｋ
『数学作りの授業』のための題材例(３) 
193
＝ＰＫ×
ａ
ａ＋２ｙ
＋ＰＫ×
ａ
ａ－２ｙ 
＝２ＰＫ＝ＰＱ 
つまり、交点を横に移動させても、常に 
ＰＱ＝ＲＳ（＝ ２２＋ａｘ＋ｙ４ )( ) である。 
このことの別証明を考えてみる。 
（別証明１） 
辺と平行に ＱＹ、ＲＸを引く。 
 
 
 
 
 
 
 
△ＰＱＹと△ＲＳＸにおいて 
∠ＰＱＹ＝∠Ｒ－∠ＸＺＱ 
＝∠Ｒ－∠ＰＺＲ＝∠ＳＲＸ 
ＱＹ＝ＲＸ 
２角と間の辺が等しいので 
△ＰＱＹ≡△ＲＳＸ 
よって ＰＯ＝ＲＳ 
 
（別証明２） 
下図のように ｘ軸、ｙ軸を設定する。 
 
 
 
 
 
 
 
 
ｘ＋ｙ＝
２
ＰＹ
より ＰＹ＝２(ｘ＋ｙ) 
(ＰＱの傾き)×(ＲＳの傾き)＝－１ より 
ｘ＋ｙ
２
ａ
－
×
ａ
ＳＸ
＝－１ 
ＳＸ＝２(ｘ＋ｙ) 
よって、ＰＹ＝ＳＸ  
したがって、２辺と間の角が等しいので 
△ＰＱＹ≡△ＲＳＸ 
よって、ＰＱ＝ＲＳ 
今、交点Ｋを横に移動させたら、ＰＱ＝ＲＳであるこ
とがわかった。それでは、交点Ｋをどのように移動させ
ても、ＰＱ＝ＲＳが成り立つのではないか、ということ
が予想できる。このことを証明する。 
 
（定理）正方形において、対辺を結ぶ２本の線分が直行
するとき、２線分の長さは等しい。。 
（証明）ＲＳと平行で、ＥＧと交わる線分Ｒ’Ｓ’を引
き、ＥＧとの交点をＫとする。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
今、四角形ＲＳＳ’Ｒ’は平行四辺形だから
ＲＳ＝Ｒ’Ｓ’
Ｒ’Ｓ’は直前に証明した性質を満たしているので
Ｒ’Ｓ’＝ＰＱ
したがって、ＰＱ＝ＲＳ である。
（別証明）ＰＱの平行線ＡＱ’と
ＲＳの平行線ＢＳ’を引く。
 
 
 
 
 
 
 
 
Ｐ 
Ｑ 
Ｒ’ 
Ｓ’ 
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
Ｋ 
Ｒ 
Ｓ 
Ｐ 
Ｑ 
Ｓ’ 
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｑ’ 
Ｒ 
Ｓ 
Ｐ 
Ｑ 
Ｒ 
Ｓ 
Ａ
 
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｘ
Ｙ 
Ｚ 
Ｐ 
Ｑ 
Ｒ 
Ｓ 
Ａ
］［ 
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ’ 
Ｇ
Ｈ’ 
ｘ＋ｙ 
 
Ｋ
ｙ
Ｙ 
Ｘ ｘ 
藤本 義明 
194
∠ＢＡＱ’＝∠Ｒ－∠ＡＱ’Ｂ 
＝∠ＣＢＳ’ 
よって、２角と間の辺の長さが等しいので 
△ＢＡＣ’≡△ＣＢＳ’ 
したがって、ＡＱ’＝ＢＳ’ 
よって、ＰＱ＝ＲＳ  
 
(2) 直方体の箱 
一般に、直方体の箱でひもを十字に直交してかける場
合は、どのような性質があるか考える。 
直前の証明方法を参考にすると、直方体の場合は、相
似な直角三角形が考えられので、辺の長さの比としてと
らえることができる。 
 
（定理）縦：横＝ａ：ｂである長方形において、対辺を
結ぶ２本の線分が直行するとき、２線分の長さの比は
ａ：ｂである。 
（証明）ＰＱの平行線ＡＱ’と
ＲＳの平行線ＢＳ’を引く。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∠ＢＡＱ’＝∠Ｒ－∠ＡＱ’Ｂ 
＝∠ＣＢＳ’ 
よって、２角が等しいので 
△ＢＡＣ’∽△ＣＢＳ’ 
したがって、ＡＱ’：ＢＳ’＝ＡＢ：ＢＣ 
よって、ＰＱ：ＲＳ＝ａ：ｂ 
 
２ 一周してひもをかける 
(1) 立方体の箱 
１辺がａの立方体の箱を一周するように（下面と上面
だけ２回ひもがかかる）ひもをかける。 
図のように、ひもは上面の正方形の各辺の中点を通
り、」側面では上面に対して垂直にかかるとする。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
このとき、ひもの長さは 
２
ａ２
×４＋ａ×４＝４ａ＋２ ２ａ 
である。 
では、この状態から、ひもの全体の長さは変えないで、
上面のひもを平行に移動させることはできるだろうか。
側面の４本のひもの長さは変わらないので、辺上で、ひ
ものかかる位置を図のように、ｘ、ｙとすると
ｘ ２＋ｙ ２＋ ２２ ａ－ｙ＋ａ－ｘ )()( ×２
＝２ ２ａ 
２ ２２ ａ－ｙ＋ａ－ｘ )()(
＝２ ２ａ－ｘ ２－ｙ ２  
８ａ２－８ａｘ－８ａｙ＋４ｘ２＋４ｙ２
＝８ａ２＋２ｘ２＋２ｙ２－８ａｘ＋４ｘｙ－８ａｙ
２ｘ２－４ｘｙ＋２ｙ２＝０ ２ ｘ－ｙ ２＝０
よって、ｘ＝ｙ
したがって、ひもの全体の長さを変えないで、ひもの
位置をずらすことはできない
Ａ’
Ｐ 
Ｑ 
Ｓ’ 
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ｑ’ 
Ｒ 
Ｓ 
ｂ 
ａ
ｘ 
ｙ 
『数学作りの授業』のための題材例(３) 
195
(2) 直方体の箱 
側面のひもを底面に対して垂直にした状態では、上面
と下面のひもを平行にずらすことはできなかった。 
では、側面のひもが垂直でないときには、ひもの全体
の長さは変えないで、上面と下面にかかっているひもを
平行にずらすことはできないのであろうか。また、ひも
を一周してかけるとき、ひもの長さを最小にするにはど
うしたらよいのだろうか。一般に、直方体の箱で考えて
みる。 
 
 
 
 
 
 
ひもがかかっているようすを展開図で表すとつぎのよ
うになる。 
ひもを１本につなげるために、①、②、④、⑤の面の 
位置を動かして表現する。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
この表現を使うと、直方体の上面でのひもをかける位
置が与えられたとき、全体のひもの長さを最小にするひ
もののかけ方を見つけることができる。 
 
 
 
 
 
与えられたひもの位置を延長して直線をひくことがで
きれば、それが最短のかけ方を示す。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
また、直線で表されるかけ方に対しては、直線を平行移
動することにより、全体の長さは変えずに、ひもを平行
にずらすことができる。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ⅳ 紙で包む 
１．平行に包む 
たて a、横ｂ、高さｃの直方体の箱を、箱と包装紙の
辺が平行になるように置いて包む。箱の表面をすべて包
装紙で覆い、なるべく包装紙のたて、横をを小さくした
い。 
 
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
Ａ
Ｇ
Ｈ
①
②
③
④
⑤
⑥
②の半回転
⑤の半回転
④
の
半
回
転
①の半回転
Ａ
Ｈ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｇ
Ｆ
Ｅ
Ｄ’
Ｂ’
Ｅ’
Ｄ
Ｃ’
Ｂ
藤本 義明 
196
 
 
 
 
 
 
最初に包装紙で巻くと筒状になる。 
 
 
 
 
 
次に、空いた部分を閉じると、Ⅱの箱をマチの無い袋に
入れたのと同じ状態になり、直角二等辺三角形の耳がで
きる。 
 
 
 
 
結局、Ⅱのマチの無い袋に入れる場合と同じ結果にな
る。ただし、包装紙の縦、横はそれぞれ袋の横、縦に相
当し、包装紙は袋の表裏を合わせた大きさである。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
（縦）＝(ａ＋ｃ)×２＝２ａ＋２ｃ 
（横）＝ｂ＋ｃまたは ｂ＋ａ 
 
２．斜めに包む 
たて a、横ｂ、高さｃの直方体を、包装紙の横に対し
て３０°斜めに置いて包む。 
 
 
 
 
 
 
＜折り目＞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
包んだときの折り目は同じ位置で何重にも重なり合
う。つまり。包装紙の縦を小さくするように切断したと
き、外側の紙が欠けても内側の紙が補うことができる。
切断線を下げても、内側の紙が補う。しがたって、内側
の紙が補うことのできる切断線の最も低い所が、包装紙
の縦の最短である。 
 
(1) 縦の最小値 
[問] たて方向へ包むとき、包装紙のたての長さの最小
値はいくらになるか。 
 
 
 
 
 
箱を１周ぐるりと巻いたときが、縦の最小である 
例えば、端の周囲①が１周巻かれるのは、下の図のとき
である 
  
① 
切
断
線 
  
ｂ 
 
 ｃ 
a 
箱 
30° 
 
 
a 
ｃ 
 
ｂ 
ｃ 
合
わ
せ
て
ａ 
  
『数学作りの授業』のための題材例(３) 
197
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
（縦の最小値）＝(２ｂ＋２ｃ)×
２
３
＝ ３ (ｂ＋ｃ) 
(2) 横の最小値 
包装紙は箱を１重に巻いた筒状になり、箱は筒の中を
自由に動く。次に、右端を処理するには、箱をなるべく
右に移動させる方が、余分が少なくて済む。そこで、箱
の右端が一周されるもっとも右の位置まで、箱を移動さ
せる。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
同様に、左端も箱の左端が一周される状態で、包装紙 
 
 
 
 
 
 
 
 
の左を切り詰める。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
したがって、包装紙の横の最小値は 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
（横の最小値）＝
３
ａ３
＋ｂ＋ｃ 
 
＜注意＞ ここでは、包装紙の横の長さを決めるのに、
箱の左右の端が包装紙に巻かれる位置を設定した。しか
し、箱を紙が覆うという条件においては、さらに包装紙
の横を短くすることは可能である。その場合、折り方が
複雑になり、通常の包装紙の折り方とはかけ離れたもの
になるので、本稿では割愛した。 
 
 
 
 
箱 
切
断
線 
箱 
箱 
 
ｂ＋ｃ 
３
ａ３
① 切
断
線 箱 
２ｂ＋２ｃ 
藤本 義明 
198


『数学作りの授業』のための題材例(その3) : 包装の数理

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