Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Antonio Lei

Meng Fai Lim

Akashi series and Euler characteristics of signed Selmer groups of elliptic curves with semistable reduction at primes above $p$

Alina Carmen Cojocaru

Nathan Jones

Degree bounds for projective division fields associated to elliptic modules with a trivial endomorphism ring

Hanneke Wiersema

Serre weights and the Breuil–Mézard conjecture for modular forms

Wojciech Wawrów

On torsion of superelliptic Jacobians

Joe Kramer-Miller

Some unlikely intersections between the Torelli locus and Newton strata in $\protect \mathcal{A}_g$

Florian Ito Sprung

Chromatic Selmer groups and arithmetic invariants of elliptic curves

Cody Gunton

Semistable abelian varieties and maximal torsion 1-crystalline submodules

Adel Betina

Mladen Dimitrov

A geometric view on Iwasawa theory

Ellen Eischen

An introduction to Eisenstein measures

Bernadette Perrin-Riou

Bernadette PERRIN-RIOU
Note sur les diviseurs élémentaires du régulateur d’Iwasawa
Tome 33, no 3.2 (2021), p. 1069-1075.
<http://jtnb.centre-mersenne.org/item?id=JTNB_2021__33_3.2_1069_0>
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Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 33 (2021), 1069–1075
Note sur les diviseurs élémentaires du régulateur
d’Iwasawa
par Bernadette PERRIN-RIOU
Résumé. On reprend un résultat de [4, Thm. D] concernant la structure de
l’image par l’application régulateur d’Iwasawa du module d’Iwasawa associée
à une représentation p-adique semi-stable d’une extension finie non ramifiée
de Qp et on en donne une démonstration directe s’appuyant sur les résultats
de [7] dans le cas cristallin et de [8] dans le cas semi-stable.
Abstract. The article revisits a result in [4, Thm. D] concerning the struc-
ture of the image by the Iwasawa regulator map of the Iwasawa module associ-
ated with a semi-stable p-adic representation on an unramified finite extension
of Qp and gives a direct proof based on the results of [7] in the crystalline
case and [8] in the semi-stable case.
Soit p un nombre premier impair, Qp,n = Qp(µpn) le corps de définition
sur Qp des racines pn-ièmes de l’unité pour n ≥ 0, Qp,∞ = Qp(µp∞) la
réunion des Qp,n et G∞ le groupe de Galois de Qp,∞/Qp. Rappelons que
G∞ = Γ ×∆ avec Γ isomorphe à Zp et ∆ d’ordre p − 1 premier à p. Soit
χ le caractère cyclotomique : G∞ → Z×p et ω la projection sur ∆. On fixe
un générateur topologique γ de G∞. En particulier, γ̃ = ω(γ)−1γ est un
générateur topologique de Γ.
Notons H l’anneau des séries convergentes sur toute boule B(ρ) = {x ∈
Cp tel que |x|p ≤ ρ} pour ρ < 1. Ici, | · |p est la valeur absolue sur Cp
normalisée par |p|p = p−1. Si I est un intervalle de R+, on définit les
espaces de fonctions analytiques :
HI =
∑
n∈Z
anx
n t.q. an ∈ Qp et lim
n→±∞
|an|rn = 0 pour tout r ∈ I
.
Pour f ∈ HI et ρ ∈ I, on pose ‖f‖ρ = sup|x|=ρ|f(x)| = supn|an|ρn. On
munit HI de la topologie de convergence uniforme sur l’ensemble des x
tels que |x|p ∈ J pour J sous-ensemble fermé de I. Les espaces HI sont
complets. La réunion des H[ρ,1[ pour ρ ∈ [0, 1[ munie de la topologie de la
Manuscrit reçu le 6 février 2020, révisé le 13 mars 2020, accepté le 25 avril 2020.
Classification Mathématique (2010). 11R23, 11F80.
Mots-clefs. Iwasawa, regulator, cristallin.
1070 Bernadette Perrin-Riou
limite inductive est l’anneau R de Robba. L’anneau B introduit dans [8] est
le sous-espace de R formé des éléments f d’ordre fini, c’est-à-dire tels qu’il
existe un entier r tel que ‖prnf‖ρ1/pn tend vers 0 pour ρ entre 0 et 1 dans le
domaine de convergence. On note o(f) (resp. O(f)) la borne inférieure des
réels r tels que la suite ‖prnf‖ρ1/pn tend vers 0 (resp. est bornée) lorsque n
tend vers l’infini.
Introduisons comme dans [8] les anneaux des polynômes en log x à co-
efficients dans R ou B. Ici, log x est une branche du logarithme, c’est-à-
dire n’importe quelle fonction localement analytique sur Cp −{0} vérifiant
log xy = log x + log y et dont la dérivée en 1 est 1. On munit ces espaces
de la topologie induite par la convergence coefficient par coefficient. Ces
espaces sont munis d’un opérateur ϕ induit par x→ (1 + x)p− 1. Soit ψ le
pseudo-inverse de ϕ caractérisé par
ϕ ◦ ψ(f) = p−1
∑
ζ∈µp
f(ζ(1 + x)− 1) .
L’anneauH est à diviseurs élémentaires, ce qui signifie que toute matrice ad-
met une réduction diagonale : pour toute matrice A à coefficients dans H, il
existe des matrices unimodulaires P et Q telles que PAQ = diag(d1, d2, . . . )
avec (di) ⊂ (di+1) ([2, 3]). Ainsi, si M est un H-module de type fini et N
un sous-H-module de M de type fini, il existe une base E1, . . . , Ed de M
et des éléments f1, . . . , fd de H vérifiant fd | · · · | fi | · · · | f1 et tels
que f1E1, . . . , fdEd soit un système générateur de N . On note [M : N ] =
[f1; . . . ; fd], suite des diviseurs élémentaires définis à une unité près.
On note Zp[[Γ]] (resp. H(Γ), B(Γ)) l’image de Zp[[x]] (resp. H, B) par
l’application x 7→ γ̃−1 et Zp[[G∞]] = Zp[∆]⊗Zp[[Γ]],H(G∞) = Zp[∆]⊗H(Γ),
B(G∞) = Zp[∆]⊗ B(Γ). La transformée de Mellin–Amice induite par γ 7→
(1 + x)χ(γ) définit une application Zp[[G∞]] → Zp[[x]] : f 7→ f · (1 + x)
qui se prolonge en un homomorphisme de H(G∞) dans H dont l’image est
Hψ=0. L’image de H(Γ) est égale à ϕ(H)(1 + x). Le groupe ∆ permute les
ϕ(H)(1+x)i. SiM est un Zp[[G∞]]-module et δ un caractère de ∆ dans Z×p ,
M δ désigne la composante isotypique de M relatif à δ et eδ le projecteur
associé de M dans M δ.
On pose ωn = (1+x)p
n−1 pour n ≥ 0, ξn = ωn/ωn−1 =
∑p−1
i=0 (1+x)ip
n−1
pour n ≥ 1. On fixe une unité p-adique u = χ(γ̃) générateur de 1 + pZp.
Cela induit un unique homomorphisme d’anneaux χu : Zp[[x]] → Zp tel
que u = χu(1 + x). Si j est un entier et si f ∈ H, on note Tw−ju (f) =
f(u−j(1 + x)− 1) Ainsi, Tw−ju (ωn) = u−jp
n(1 + x)pn − 1. On pose
`j =
log u−jγ
log u =
log γ
log u − j ∈ H(G∞) .
Régulateur d’Iwasawa 1071
On a donc χk(`j) = k − j, χj(`j) = 0. Vu comme élément de H, on a
`j =
log u−j(1 + x)
log u =
log(1 + x)
log u − j = Tw
−j
u (log(1 + x)) ∈ H .
La restriction `j,ρ de `j à la couronne Cρ = {x ∈ Cp tel que |x|p = ρ} est
une unité dans H[ρ,ρ] sauf si ρ est de la forme p−
1
pn−1(p−1) avec n ≥ 1. Dans
ce cas, `j,ρ est irréductible et égal à une unité près à Tw−ju (ξn)/p.
Soit K une extension finie non ramifiée de Qp et σ l’homomorphisme
de Frobenius associé agissant sur K. Si D est un ϕ-module de dimension
finie sur K (c’est-à-dire un espace vectoriel sur K muni d’un opérateur
ϕ σ-linéaire), on choisit une norme sur D ; si g ∈ H ⊗Qp D, on définit
oϕ(g) (resp. Oϕ(g)) comme la borne inférieure des réels r tels que la suite
‖prn(1 ⊗ ϕ)−ng‖ρ1/pn tend vers 0 (resp. est bornée) lorsque n tend vers
l’infini. Cette définition ne dépend pas de la norme choisie et s’étend à
B[log(x)]⊗D en considérant que ‖(1⊗ ϕ)−n log(x)‖ρ1/pn n→∞ p−n.
Soit V une représentation p-adique semi-stable du groupe de Galois ab-
solu de GK , de dimension finie d et soit D le (ϕ,N)-module filtré associé
par la théorie de Fontaine : c’est donc un K-espace vectoriel de dimension
d muni d’un opérateur ϕ, d’un opérateur N nilpotent tel que Nϕ = pϕN et
d’une filtration décroissante exhaustive et séparée Fil•. Notons r un entier
≥ 1 tel que D = Fil−r D et r∗ un entier ≥ 0 tel que Filr∗+1D = 0 (si r∗ = 0,
les sauts de la filtration sont donc négatifs ou nuls). Il est naturel de prendre
si possible pour r (resp. r∗) le plus petit entier vérifiant D = Fil−r D (resp.
Filr∗ D 6= 0). Notons −rd ≤ · · · ≤ −ri ≤ · · · ≤ −r1 les poids de la filtration
D comptés avec multiplicité : on a −r ≤ −rd et −r1 ≤ r∗. Si k est un poids
de la filtration (Filk D 6= Filk+1D), la dimension de Filk D sur K est égale
au nombre d’entiers i tels que k ≤ −ri et la dimension de Filk D/Filk+1D
est égale au nombre d’entiers i tels que k = −ri.
Dans [8, §2], sont associés à D des H(G∞)-modules
D∞,e(D) ⊂ D∞,f (D) ⊂ D∞,g(D)
contenus dans (B[log x]ψ=0 ⊗ D)N=0, de rang d (∆-composante par ∆-
composante) et munis d’une action de ϕ induite par 1 ⊗ ϕ (le fait que
D est relié à une représentation p-adique ne sert pas dans ces définitions).
Lorsque l’opérateur N est nul sur D, D∞,f (D) peut simplement être défini
comme Hψ=0⊗D et est donc isomorphe à H(G∞)⊗D par la transformée de
Mellin–Amice. Dans le cas oùN est non nul,D∞,g(D) est le sous-module des
éléments g de (B[log x]ψ=0⊗D)N=0 tels qu’il existe r ∈ Z pour lequel l’équa-
tion (1−prϕ⊗ϕ)G = Dr(g) a une solution dans (B[log x]⊗D)N=0,ψ=pr(1⊗ϕ)
(avec D la dérivation (1 +x) ddx). Sous l’hypothèse qu’aucune valeur propre
de ϕ n’est une puissance de p (voir [8, §2.3.1] pour la définition technique
1072 Bernadette Perrin-Riou
de D∞,f (D) en général), D∞,f (D) = D∞,g(D) et est encore isomorphe à
Hψ=0 ⊗D.1
Soit H1Iw(K,V ) le module d’Iwasawa associé à V : si T est un réseau
de V stable par GK , H1Iw(K,V ) est la limite projective des groupes de
cohomologie H1(K(µpn), T ) tensorisée par Qp. Le module de torsion de
H1Iw(K,V ) est isomorphe à V GK∞ et H2Iw(K,V ) est isomorphe à V ∗(1)GK∞
par la dualité de Tate. Soit ΩV,r l’homomorphisme de H(G∞)-modules
ΩV,r : D∞,f (D)→ H(G∞)⊗H1Iw(K,V )/V GQ∞
défini dans [5] dans le cas cristallin et dans [8] dans le cas semi-stable.
Les deux théorèmes suivants sont une conséquence de la loi de réciprocité
démontrée par Colmez ([1], voir aussi [6, §5] dans le cas cristallin et [8,
5.3.6] dans le cas semi-stable) et sont démontrés dans [7, Thm. 2.5.2]) (cas
cristallin) et dans [8, Thm. B2 et Prop. 5.4.5]) :
Théorème 1. Notons δr(ΩV ) le déterminant de ΩV,r calculé dans une base
du H(G∞)-module
detH(G∞)D∞,f (D)⊗
(
detQp⊗ΛH1Iw(K,V )
)−1
⊗ detQp⊗ΛH2Iw(K,V ) .
Alors ∏
−r∗≤j<r
`
dimQp Fil−j D
j δr(ΩV ) = H(G∞) .
Théorème 2. Soit x ∈ H(G∞)⊗H1Iw(K,V ). Il existe un unique élément
LV,r∗(x) de D∞,f (D) tel que
(0.1) ΩV,r (LV,r∗(x)) =
∏
−r∗≤j<r
`j .x mod torsion
et on a oϕ (LV,r∗(x)) = o(x) + r∗ et Oϕ (LV,r∗(x)) = O(x) + r∗.
Il est facile de vérifier que LV,r∗(x) ne dépend pas de r vérifiant Fil−r D =
D et que
LV,r∗+s(x) =
∏
−r∗−s≤j<−r∗
`jLV,r∗(x) .
On a ainsi défini un H(G∞)-morphisme
LV,r∗ : H(G∞)⊗H1Iw(K,V )→ D∞,f (D) .
Lorsque V GK∞ = 0, H2Iw(K,V ) est nul car isomorphe à V ∗(1)GK∞ = 0 et
H1Iw(K,V ) n’a pas de Qp ⊗ Λ-torsion.
1Il est démontré dans [8] le résultat suivant que nous énonçons pour simplifier dans le cas
où aucune valeur propre de ϕ n’est une puissance de p. Soit Θk = limn→∞ pknψn(logk x) ∈
B[log x] et soit Θ l’opérateur de B[log x] ⊗ D défini par Θ =
∑∞
k=0
(−1)k
k! Θk · (1 ⊗ N)
k =
limn→∞ ψn exp (−pn log(x) · (1⊗N)). Modulo les identifications du type transformée de Mellin–
Amice, (1− ϕ⊗ ϕ) ◦Θ ◦ (1− ϕ⊗ ϕ)−1. définit un isomorphisme H(G∞)⊗D → D∞,f (D).
Régulateur d’Iwasawa 1073
Proposition 3. Si V GK∞ = 0, l’annulateur du H(G∞)-module
D∞,f (D)/LV,r∗
(
H(G∞)⊗H1Iw(K,V )
)
est l’idéal engendré par
∏
−r∗≤j<rd `j.
On peut voir cette proposition comme une propriété de « semi-simplicité »
de LV,r∗ : l’annulateur n’a que des facteurs simples.
Démonstration. On déduit des théorèmes 1 et 2 que si g ∈ D∞,f (D),(∏
−r∗≤j<rd `j
)
g appartient à l’image de H(G∞) ⊗ H1Iw(K,V ) par LV,r∗ .
En effet, en appliquant ΩV,rd à l’équation (0.1), on a
ΩV,rd (LV,r∗(ΩV,rd(g))) =
 ∏
−r∗≤j<rd
`j
ΩV,rd(g) .
L’injectivité de ΩV,rd qui se déduit du théorème 1 (voir aussi [5, théorème
du paragraphe 3.2]), implique que ∏
−r∗≤j<rd
`j
 g = LV,r∗ (ΩV,rd(g))) ∈ LV,r∗(H(G∞)⊗H1Iw(K,V )).
Ainsi,
∏
−r∗≤j<rd `j annule D∞,f (D)/LV,r∗
(
H(G∞)⊗H1Iw(K,V )
)
.
Montrons maintenant que
∏
−r∗≤j<rd `j est l’exposant de
D∞,f (D)/LV,r∗
(
H(G∞)⊗H1Iw(K,V )
)
.
Pour cela, on travaille composante par composante de H(G∞) =⊕
δ∈∆̂ eδH(Γ). Soit δ un caractère de ∆ et soit F un élément de H(Γ)
annulant
eδ
(
D∞,f (D)/LV,r∗
(
H(G∞)⊗H1Iw(K,V )
))
.
En prenant le pgcd de F et de
∏
−r∗≤j<rd `j (on utilise une identité de
Bezout), on peut supposer que F est un diviseur de
∏
−r∗≤j<rd `j . Notons
Q le quotient de
∏
−r∗≤j<rd `j par F . Soit y un élément de eδD∞,f (D). Il
existe x ∈ eδH(G∞) ⊗ H1Iw(K,V ) tel que Fy = LV,r∗(x). Par définition
de LV,r∗ , FΩV,rd(y) =
(∏
−r∗≤j<rd `j
)
x et ΩV,rd(y) = Qx. Donc, l’image de
eδΩV,rd est contenue dans QH(Γ)⊗ eδH1Iw(K,V ). On a
eδH(G∞) =
∏
−r∗≤j<rd
`
− dimQp Fil−j D
j eδ det ΩV,r
⊂
∏
−r∗≤j<rd
`
− dimQp Fil−j D
j Q
dimQp DeδH(G∞) ,
1074 Bernadette Perrin-Riou
d’où l’inclusion ∏
−r∗≤j<rd
`
dimQp Fil−j D
j
 eδH(G∞) ⊂ QdimQp DeδH(G∞) .
On en déduit que si R est un diviseur irréductible de Q, donc divisant
un des `j pour un entier j tel que −r∗ ≤ j < rd, on a nécessairement
dim Fil−j D ≥ dimD, ce qui est impossible puisque Fil−j D 6= D pour un
tel j. Donc Q est une unité dans eδH(G∞). 
Proposition 4. Supposons V GK∞ = 0. Le déterminant de LV,r∗ calculé
dans des bases de D∞,f (D) et de H(G∞)⊗H1Iw(K,V ) est le H(G∞)-idéal
engendré par∏
−r∗≤j<r
`
[K:Qp](dimD−dim Fil−j D)
j =
∏
−r∗≤j<r
`
[K:Qp]#{i|j<ri}
j .
Démonstration. Le déterminant de LV,r∗ est égal à
∏
−r∗≤j<r `
dimQpD
j δr(ΩV )
et donc par le théorème 1 à∏
−r∗≤j<r
`
dimQp D
j
∏
−r∗≤j<r
`
− dimQp Fil−j D
j =
∏
−r∗≤j<r
`
[K:Qp] dimD/Fil−j D
j
=
∏
−r∗≤j<r
`
[K:Qp]#{i|j<ri}
j . 
Théorème 5. On suppose que Dϕ=pj = 0 pour tout entier j ∈ Z. La suite
des diviseurs élémentaires des eδH(G∞)-modules
eδLV,r∗
(
H(G∞)⊗H1Iw(K,V )
)
⊂ eδD∞,f (D)
est  ∏
−r∗≤j<rd
`j ; . . . ;
∏
−r∗≤j<ri
`j ; . . . ;
∏
−r∗≤j<r1
`j
,
chaque terme étant répété [K : Qp] fois.
Démonstration. Vérifions que le résultat est compatible avec la valeur du
déterminant. Le produit des
∏
−r∗≤j<ri `j est égal à
d∏
i=1
∏
−r∗≤j<ri
`j =
∏
−r∗≤j<rd
`
#{i|j<ri}
j =
∏
−r∗≤j<rd
`
dimD/Fil−j D
j
=
∏
−r∗≤j
`
dimD/Fil−j D
j ,
et
∏d
i=1
(∏
−r∗≤j<ri `j
)[K:Qp] est bien égal au déterminant de LV,r∗ . Posons
d̃ = [K : Qp]d. Notons [f1; . . . ; fd̃] la suite des diviseurs élémentaires de
Régulateur d’Iwasawa 1075
eδLV,r∗ (H(G∞) ⊗ H1Iw(K,V )) ⊂ eδD∞,f (D). Le générateur
∏
−r∗≤j<rd `j
de son exposant est égal à f1. Soit 0 ≤ ρ < 1. Comme les fi divisent f1, on
peut écrire dans la couronne Cρ
f1,ρ = u1
∏
−r∗≤j<rd
`
αj,1,ρ
j,ρ , . . . , fd̃,ρ = ud̃
∏
−r∗≤j<rd
`
αj,r,ρ
j,ρ
avec (αj,s,ρ)s des suites décroissantes d’entiers égaux à 0 ou 1 et us des
unités dans Cρ. Les `j,ρ sont des unités sur Cρ sauf si ρ = p
− 1
(p−1)pn−1 pour
un entier n ≥ 1 ; dans ce cas, `j,ρ est égal à une unité près à ξn(u−j(1+x)−1)
qui est ρ-dominant (les zéros sont les ujζ−1 pour ζ racine de l’unité d’ordre
pn). Le nombre nj,ρ d’entiers s tels que αj,s,ρ = 1 suffit à déterminer les
αj,1,ρ, . . . , αj,r,ρ. En comparant à la valeur du déterminant, on a (à une
unité près)
d̃∏
s=1
fs,ρ ∼
∏
−r∗≤j<rd
`
nj,ρ
j,ρ ∼
∏
−r∗≤j<rd
`
dimQp D/Fil−j D
j,ρ .
Les nj,ρ sont donc bien déterminés : nj,ρ = dimQp D/Fil−j D, ainsi que les
αj,s,ρ (en particulier, ils ne dépendent pas de ρ). On en déduit le théorème.

Bibliographie
[1] P. Colmez, « Théorie d’Iwasawa des représentations de de Rham », Ann. Math. 148 (1998),
no 2, p. 485-571.
[2] I. Kaplansky, « Elementary divisors and modules », Trans. Am. Math. Soc. 66 (1949),
p. 464-491.
[3] M. Larsen, W. Lewis & T. Shores, « Elementary divisor rings and finitely presented mo-
dules », Trans. Am. Math. Soc. 187 (1974), p. 231-248.
[4] A. Lei, D. Loeffler & S. L. Zerbes, « Coleman maps and the p-adic regulator », Algebra
Number Theory 5 (2011), no 8, p. 1095-1131.
[5] B. Perrin-Riou, « Théorie d’Iwasawa des représentations p-adiques sur un corps local »,
Invent. Math. 115 (1994), no 1, p. 81-150, avec un appendice de J.-M. Fontaine.
[6] ———, « Théorie d’Iwasawa et loi explicite de réciprocité : un remake d’un article de P.
Colmez », Doc. Math. 4 (1999), p. 215-269.
[7] ———, « Représentations p-adiques et normes universelles : I. le cas cristallin », J. Am.
Math. Soc. 13 (2000), no 3, p. 533-551.
[8] ———, Théorie d’Iwasawa des représentations p-adiques semi-stables, Mémoires de la So-
ciété Mathématique de France, vol. 84, Société Mathématique de France, 2001, vi+111 pages.
Bernadette Perrin-Riou
Université Paris-Saclay, CNRS
Laboratoire de mathématiques d’Orsay
91405, Orsay, France
E-mail: bernadette.perrin-riou@universite-paris-saclay.fr


Note sur les diviseurs élémentaires du régulateur d’Iwasawa

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