Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

J.-P. Borel

JOURNAL DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUX
J.-P. BOREL
Sur certains ensembles normaux
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 1, no 1 (1989),
p. 67-79
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Sur certains ensembles normaux
par J-P. BOREL
Résumé 2014 A étant une suite de nombres réels, soit B(A) l’ensemble normal
associé. Pour A C R, nous étudions la question : existe-t-il une suite A à
valeurs dans un intervalle borné I telle que A = B(A)? Dans l’affirmative,
nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle I. Dans les cas
les plus simples, où A C Z, ce problème se ramène à minimiser le degré de
Q ~ R[X], avec la contrainte "PQ a tous ses coefficients positifs", pour des
polynômes P de type très particulier associés aux ensembles A.
Abstract - Let A be a sequence of real numbers and B(A) the associated
normal set, i.e. the set of all real numbers x such that x039B is uniformely
distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given
A C R, does there exist a bounded sequence A such that A = B(039B) ? In
some particular cases, when A C Z, we give an estimate of the minimal
length of a bounded subinterva,l I of R in which A can be taken. We prove
that to obtain such an estimate, we have to study the following problem
on polynomials : for a given polynomial P with no positive root, find the
minimal degree 03B4Q of those polynomials Q such that the product P.Q has
only positive coefficients.
1. Le problème considéré
1.1. Une suite A est équirépartie modulo 1 lorsque les propriétés si
vantes équivalentes sont satisfaites (Àl désigne la probabilité uniforme s
l’intervalle ~0,1~) :
où
68
qui sont trois façons de traduire la convergence étroite vers Il de la suite
de mesures
1.2. Mendès France a introduit en 1968 la notion d’ensemble normal
associé à la suite A, donné par :
B(A) := lx E R / xA équirépartie modulo 1}
Exemples
1.3. A C R est appelé ensemble normal s’il existe une suite A telle que
A = B(A). Ces ensembles ont été caractérisés par Rauzy (1970, [12]) :
THÉORÈME (RAUZY). A C R est ensemble normal si et seulement si :
(iii) A est élémentaire.
1.4. De façon similaire, A C R est appelé ensemble b-normal s’il existe
une suite A bornée telle que A = B(A). On pose alors :
M(A) := inf{M &#x3E; 0 / 3A, A = B(A) et A à valeurs dans [0,M]}
Deux problèmes :
qualitatif A b-normal ??
quantitatif évaluer (encadrer ?) M(A)
que l’on peut aflîner :
est-ce que M(A) est atteinte ?
est-ce que toute suite A à valeurs dans [0, M(A)], telle que A = B(A), a
une mesure de répartition (qui est alors déterminée par A...) ?
2. Les résultats obtenus
2.1. Quelques résultats sont déjà connus :
69
Dress, Mendès France (1970, [8])
Liardet, Rauzy (non publié, 19??)
où l’on note :
qui conduit à la conjecture :
(version faible) A b-normal A vérifie (i) et (ii) et d(A)  o0
(version forte) A vérifie (i) et (ii) ~ M(A)  Cd(A) avec une
constante absolue C.
2.2. Il ressort des travaux effectués sur les ensembles normaux que l’on
a :
c’est le principe du "mixage de Dress", qui conduit à :
Mendès France (1970, [10]) A1,A2 b-normaux ~ Al U A2 b-normal ; il
montre que si la série des inverses converge :
est b-normal
2.3. Parmi la famille des parties de R satisfaisant (i) et (ii), la sous-famille
des ensembles b-normaux est aussi stable par inclusion. Le théorème et ses
corollaires sont montrés dans [3] :
70
THÉORÈME 1. Si A’ C A vérifient (i) et (ii), on a : M(A~)  2M(A).
La constante 2 peut être enlevée dans certains "bons" cas, que l’on
précisera. Question ouverte : M est-elle une fonction croissante ?
COROLLAIRE 1.
COROLLAIRE 2.
(1) tous les An sont b-normaux ;
(2) A est b-normal si et seulement si M(An) est borné ;
(3) alors :
M(A)  2 lim inf M(An).n n--oo
Résoudre le problème qualitatif pour A revient à résoudre le problème
quantitatif pour les An.
COROLLAIRE 3. A vérifiant (i) et (ii) est b-normal si et seulement si il
existe une probabilité y à support borné telle s’annule en tout point
de A.
2.4. Le second type de résultats concerne la comparaison de M(A) avec
les quantités d, d, d, s (respectivement lim sup, lim inf, lim, sup de 4(x»
associées à A. D est à noter que d(A) existe dès que la série des inverses yt 1
converge, mais que ce n’est pas le cas en général, même lorsque A C Z*
(Besicovitch, 1935, [1]). Il existe donc des ensembles b-normaux n’ayant
pas de densité asymptotique d(A).
THÉORÈME 2. Soit A vérifiant (i) et (ii). Alors :
et la constante dans (v) ne peut être inférieure à 1,1594...=80/69.
COROLLAIRE. La conjecture forte est fausse.
Cela provient de ce que l’on sait construire des ensembles de multiples
2T
tels que l’on ait à la fois :
1
71
(en fait, d(AT) = (log T)-c5+o(l) avec b = 0, 0860 ... , Tenenbaum, 1987,
[13]).
2.5. L’hypothèse M(Al U A2) = M(Al) + M(A2) lorsque Ai et A2 sont
disjoints et vérifient (i) et (ii) permettrait alors de construire un contre
exemple à la conjecture faible. Cependant, cette hypothèse est fausse.
2.6. Soient yl  12 ...  7x des entiers, et posons :
P est donc un polynôme de degré d ° P = md(A) - 1.
On notera :
P &#x3E; 0 lorsque tous les coefficients de P sont positifs ou nuls ;
P &#x3E; 0 lorsque tous les coefficients de X d dans P, 0  d  d’P,
sont strictement positifs ;
et on pose :
THÉORÈME. (Meissner, 1911,  si et seulement si P
n’a pas de racine réelle positive ou nulle, et le polynôme Q peut être choisi
à coefficients positifs ou nuls.
THÉORÈME 3. (voir [2J) Soit P associé à l’ensemble A (notations précéden-
tes). On a alors :
(1) si P &#x3E; 0, M(A) = d(A)
(2) dans le cas général,
(b+P peut être en fait remplacé par une quantité inférieure b*P, plus dif-
ficile à évaluer d’un point de vue numérique).
Cela donne le bon ordre de grandeur de M(A), puisque l’on a toujours :
La constante 2 qui apparaît ici est de même nature que celle du théorème 1.
72
COROLLAIRE. (voir (4~). Si les yt sont deux à deux premiers entre eux, on
a :
B 2.7. D’un point de vue numérique, si les yi sont supposés premiers entre
eux dans leur ensemble, on a :
si k = 1 ou 2, P &#x3E; 0 ;
si k = 3, P &#x3E; 0 et des coefficients nuls apparaissent ;
pour k &#x3E; 4, des coefficients négatifs apparaissent (suivant les -yi).
Par exemple, pour = 4, 2, y2 - 3, y3 - 5, y4 - 7, le calcul montre
que l’on a :
2.8. Il est possible de donner des estimations quantitatives de bP et b+P,
générales ou spécifiques aux polynômes de la forme (vi) qui interviennent
au théorème 3.
THÉORÈME 4. (voir (4~~. Soit P E R[X], et 61 e]0,7r] l’argument positif
minimal des racines de P. On a alors :
Pour les polynômes (vi), il ya plusieurs façons d’estimer ôP et 6+P. Je ne
donnerai ici que des estimations ne faisant intervenir que le degré d°P.
THÉORÈME 5. (voir ~4J). Pour des polynômes P de la forme (vi) :
et il existe des polynômes de degré aussi grand que I’on veut, tels que :
3. Le lien avec les mesures
73
3.1. On notera II(A) l’ensemble (non vide car A est bornée) des proba-
bilités adhérentes au sens de la convergence étroite à la suite des mesures :
Si H(A) = on dit que A est ti-répartie.
3.2. Toutes ces probabilités sont à support borné. Leur transformée de
Fourier ji est donc une fonction entière. On notera :
3.3. A l’aide du théorème de Paul Lévy, il est facile de montrer que :
LEMME 1. Soit A une suite bornée. Alors B(A)
Application 1. Soit A un ensemble b-normal. A C 0[p] avec p, entière,
donc A est discret dans R. D’où son écriture
Application 2. y E II(A) est à support dans [0, M], ce qui entraîne :
En, utilisant le lemme de Jensen, on obtient alors :
d’où s(A)  2eM(A). En centrant le support de y en 0, on peut supprimer
le facteur 2. Pour remplacer e par 1, 8, il reste à tenir compte du fait que A
vérifie la propriété (ii). La majoration annoncée de d(A) s’obtient à partir
du lemme de Jensen, par une sommation à la Abel.
Application 3. Pour M probabilité donnée, à support borné, il existe une
suite A bornée et y-répartie : prendre par exemple ~n := F-1({n f ~), où
Alors B(A) = B[p]. Le lemme 1 permet d’obtenir le corollaire 3 du
théorème 1.
3.4.
74
LEMME 2. Soit y uneprobabilité telle que a E Alors M est absolument
continue, et sa densité f vérifie 0  f  a Lebesgue-presque sûrement.
Si B(A) est non vide, les probabilités adhérentes à A sont donc absolu-
ment continues, de densités majorées par a = fl R+)
4. Stabilité par inclusion
4.1. L’ensemble b-normal A est donc dénombrable (si A ~ ~ô ... ), donc
il en est de même pour A - A’. L’idée générale de la démonstration du
théorème 2 est donc de montrer que l’on peut légèrement perturber une
mesure y adhérente à A, de façon que le nouveau B[p] soit égal à l’ancien,
privé de ~~t~. On recolle les B[pt] par un mixage de Dress, t décrivant
l’ensemble B~~~ - A’ qui est fini ou dénombrable.
4.2. Soit v une probabilité à support borné, et ti :=,Xi * v (a~ désignant la
probabilité uniforme sur l’intervalle ~0, x~). Alors 1 E La réciproque
de ce résultat est "presque vraie", dans le sens suivant.
Posons, pour N E N* :
PROPOSITION 1. Soit y une probabilité à support borné, telle que 1 E 
Alors, pour tout N &#x3E; 1, wN est facteur de convolution de y.
Si y est à support dans l’intervalle [0, M~, on peut donc écrirey = wN*vN,
où vN est absolument continue, de densité bornée presque sûrement, con-
centrée dans l’intervalle 0 M - 1 1 . Deux remarques importantes :
~ vN n’a pas de raison d’être positive : cela interdit donc un passage à
la limite sur N ;
. la densité de vN est positive sur les intervalles
4.3. Lorsque y = Ai et t = 1, la perturbation de ~ indiquée au 4.1 est
facile à réaliser.
PROPOSITION 2. Soit C une partie discrète de R - Z, A := Z* - {:f:1}, et
75
E &#x3E; 0. Il existe une probabilité M = g continue sur [0,1], telle que :
Il suffit de.prendre g(x) = 1 + 2a avec :
4.4. Une probabilité y absolument continue sera dite vraiment positive
s’il existe Ml  M2 tels que la densité f de ~ vérifie (Lebesgue-presque
sûrement) :
PROPOSITION 3. Soit y une probabilité vraiment positive, concentrée sur
telle que 1 E B[p]. Soit q &#x3E; 0 quelconque. Alors il existe une
probabilité v vraiment positive telle que :
(1/Z* désigne l’ensemble des inverses des entiers non nuls). La technique
de construction de v est la suivante :
· · · 
- * 
· 
x 
·
d apres la proposition 1, IL wN *Pl (N fixé, N &#x3E; où K est l’ordre
77
du zéro 1 de la fonction entière ji) .;
· M2 :=,Xl * ~1 * ~ est vraiment positive ;
. M3 := ~1 où g est définie dans la Proposition 2, associée au c
associé à N 1 dans la définition de y vraiment positive.
La proposition provient de l’étude des zéros de ~3. Le principal problème
est de montrer que ~3 est vraiment positive. Si K = 1, on peut prendre
v = M3 ; sinon, on itère h’ fois ce mécanisme.
4.5. Soit A un ensemble b-normal, E &#x3E; 0 quelconque. Il existe alors
vraiment positive, à support dans ~0, 2M(A) + c], telle que A c B[p]. Si
76
t E A’, il existe (proposition 3) Mt vraiment positive, concentrée
dans [0, 2M(A) + 2c], telle que :
Le principe du mixage de Dress, appliqué aux suites A’ (t décrivant l’ensem-
ble fini ou dénombrable étant une suite arbitraire lit-répartie),
donne une suite A à valeurs dans [0, 2M(A) + 2e], telle que
Cela montre le théorème 1.
Les résultats annoncés dans ce paragraphe sont établis dans [3].
5. LecasACa
5.1. En reprenant les notations introduites en 2.6, soit y la probabilité :
Alors 0[p] = A, et y est concentrée sur l’intervalle [0,d(A)]. Si y est po-
sitive (i.e.P &#x3E; 0), on en déduit que M(A)  d(A). Sinon, il suffit de
convoler /~ avec une autre probabilité, pourvu qu’il n’apparaisse pas de
zéro supplémentaire "mal placé". Cela est possible dès que PQ &#x3E; 0, car
alors on peut placer les zéros de Q en dehors du cercle unité. D’où la
majoration du théorème 3.
5.2. La minoration provient du résultat suivant. Soit y une probabilité
concentrée sur l’intervalle [0,M]. On considère alors les probabilités :
et le polynôme :
THÉORÈME 6. (voir [2]) Soit deux entiers, A une suite à valeurs dans
(0,MJ et y E II(A). On a alors :
77
Ce résultat provient essentiellement du fait que si X est une variable
aléatoire réelle de loi J-L, est la loi de la variable Y := 1 rraX. m Tn
En apppliquant ce théorème avec b = yt(1  i  k) et m = on
obtient donc :
Cela donne (presque) la minoration du théorème 3.
6. Evaluations des quantités b et 6+
6.1. Il est clair que si P a une racine dans R+ (resp R+), alors 6P = +oo
(resp. b+P = +oo). Les réciproques de ces résultats sont vraies. La
démonstration, ainsi que les majorations de 6P et 6+ P connues, reposent
sur la factorisation :
où tous les coefficients sont positifs, et avec 4bz &#x3E; ai . On a alors :
Il est alors possible de préciser exactement la plus petite valeur de n telle
que (1 + X)"(XZ - aX + b) &#x3E; 0 ; la meilleure majoration de 6+ que je
connaisse provient d’une autre méthode :
LEM M E 3. et si on pose :
alors Pn &#x3E; 0, et Pn est multiple de X2 - 2p cos (JX -f- p2.
On en déduit que si 0  81  92  ~ ~ ~  9,.  ~ est la suite des arguments
des racines de P dans le demi-plan R(z) &#x3E; 0, on a :
78
6.2. Dans le cas étudié en 2.6, si on note Pk := P et le polynôme
associé à y1, y2 , ... , on a une relation (cf. [2]) :
où 0. (X) : := (xn - 1) / (X - 1), P’ est analogue au polynôme P, et a
et q sont définis par :
C’est cette relation qui est à la base du corollaire du théorème 3, des esti-
mations numériques citées en 2.7, et du théorème 5.
Additif (décembre 88)
Le théorème de Meissner cité en 2.6 permet de donner une forme plus
générale au corollaire 3 du théorème 1. Une mesure IL finie à support borné
sera dite "positive aux bords" s’il existe des réels M, M’ et rl &#x3E; 0 tels que :
y est concentrée sur l’intervalle [M, M’] ;
y est positive, non nulle, sur chacun des intervalles [M, M + q] et
[M’ - 9, Mi].
COROLLAIRE 3’. A vérifiant (i) et (ii) est b-normal si et seulement si il
existe une mesure y finie, à support borné, positive aux bords, telle que :
ji s ’annule en tout point de A
ji n ’a pas de zéro imaginaire pur.
Il suffit en effet de trouver une mesure finie à support borné v telle que
J.L * v soit positive. On peut donc se ramener au cas où y est absolument
continue, de densité f continue. Dans ce cas, la positivité aux bords est
alors équivalente (cf. [5]) à l’existence d’un polynôme P et de
T &#x3E; 0 tels que :
Il existe donc un polynôme à coefficients positifs Q = E tels que
PQ &#x3E; 0, et donc la mesure suivante est positive :
(l’existence de v peut aussi s’obtenir à partir d’un résultat de Diamond et
Essen, (6~).
79
RÉFÉRENCES
[1] A.S. Besicovitch, On the density of certain sequences of integers, Math. Annalen
110 (1934), 336-341.
[2] J.-P. Borel, Suites de longueur minimale associées à un ensemble normal donné,
Israel J. of Math. 64 (1988), 229-250.
[3] J.-P. Borel, Parties d’ensembles b-normaux, Manuscripta Math. 62 (1988), 317-335.
[4] J.-P. Borel, Polynômes à coefficients positifs multiples d’un polynôme donné, ex-
posé au colloque 50 ans sur les polynômes, (mai 1988, I.H.P.). à paraître.
[5] J.-P. Borel, Produits de convolution positifs, Publ. du dép. de Math. Université de
Limoges 11 (1989). à paraître
[6] H.G. Diamond et M. Essen, Functions with non-négative convolutions, J. of Math.
Analysis and Applications 63 (1978), 463-489.
[7] F. Dress, Intersection d’ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970),
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[8] F. Dress et M. Mendès France, Caractérisation des ensembles normaux dans Z,
Acta Arith. 17 (1970), 115-120.
[9] P. Erdôs, Note on a sequence of integers none of which is divisible by anyother,
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[10] M. Mendès France, La réunion des ensembles normaux, J. of Number Theory 2
(1970), 345-351.
[11] E. Meissner, Über positive Darstellung von Polynomen, Math. Annalen 70 (1911),
223-235.
[12] G. Rauzy, Caractérisation des ensembles normaux, Bull. Soc. Math. France 98
(1970), 401-414.
[13] G. Tenenbaum, Un problème de probabilité conditionnnelle en arithmétique, Acta
Arith. 49 (1987), 165-187.
Mo ts clefs : Ensembles normaux, Répartition modulo 1
1980 Mathematics subject classifications: 11K06.
Université de Limoges
123, avenue Albert Thomas
87060 Limoges cedex, France.


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