Journal of Optimization, Differential Equations and their Applications (JODEA - Dnipro National Universuty) / Журнал з оптимізації, диференціальних рівнянь та їх застосувань
Not a member yet
196 research outputs found
Sort by
Про релаксацію задачі оптимального керування коефіцієнтами бігармонічного рівняння
No full textWe study a Dirichlet optimal control problem for biharmonic equation withcontrol and state constraints. The coecient of the biharmonic operator, the weightu, we take as a control in L1(Ω). We discuss the relaxation approach and show thatsome optimal solutions to the original problem can be attained in the limit byoptimal solutions of some extremal problem for variational inequality with a specialpenalized cost functional.Рассмотрена задача оптимального управления для бигармонического уравнения с ограничениями на фазовые переменные и управление. Коэффициент бигармонического оператора является функцией управления. Следуя подходу, основанного на принципах релаксации, доказано, что некоторые оптимальные решения исходных задач молена с достаточной степенью точности аппроксимировать оптимальными решениями специальных экстремальных задач для вариационных неравенств.Розглянуто задачу оптимального керування для бігармонічного рівняння з обмеженнями на фазові змінні та керування. Коефіцієнт бігармонічного оператора є функцією керування. Із застосуванням підхіду, який грунтується на принципах релаксації, доведено, що деякі оптимальні розв'язки вихідних задач молена з наперед заданою точністю наблизити оптимальними розв'язками спеціальних екстремальних задач для варіаційних нерівностей
Simulation of the crystallization process of the rod with regard to the mutual influence of thermal and mechanical fields
No full textРешена задача об определении закона движения фронта кристаллизации и термомеханического состояния двухфазного стержня в случае взаимного влияния температурных и механических полей. Применен приближенный аналитический метод в совокупности с методом последовательных интервалов и вариационным принципом Гиббса (который должен указать, что "выгоднее"природе при заданных внешних воздействиях — изменить температуру фиксированного элемента тела или перевести этот элемент из одного агрегатного состояния в другое). Получены соотношения для определения закона движения границы раздела фаз, температурного поля и напряженно-деформированного состояния в стержне. Результаты представлены в виде графиков зависимости температуры и напряжений от времени и координаты. Анализ полученных результатов показал, что изменение условий теплообмена с окружающей средой и геометрических размеров оказывает определяющее влияние на процесс кристаллизации, а следовательно, и на температурные и механические поля. Разработаны приближенный аналитический метод и алгоритм решения задачи термовязкоупругости для растущих тел при наличии фазового перехода с учетом теплообмена с окружающей средой; на основании данного метода, в результате решения так называемой связанной задачи термовязкоупругости, определены закон движения границы раздела фаз, температурное поле и напряженно-деформированное состояние; получены приближенные аналитические решения задач, позволяющие моделировать различные технологические процессы.Розв'язано задачу про визначення закону руху фронту кристалізації та термомеханічного стану двофазного стрижня у випадку взаемного впливу температурних і механічних полів. Застосовано наближений аналітичний метод разом із методом послідовних інтервалів і варіаційним принципом Гіббса (останній повинен указати, що «вигідніше» природі за заданих зовнішніх впливах — змінити температуру фіксованого елемента тіла або перевести цей елемент з одного агрегатного стану в інший). Одержано співвідношення для визначення закону руху межі поділу фаз, температурного поля і напружено-деформованого стану в стрижні. Результати подано у вигляді графіків залежності температури і напружень від часу і координати. Аналіз одержаних результатів засвідчив, що зміна умов теплообміну з навколишнім середовищем і геометричних розмірів суттєво впливають на процес кристалізації, а отже, і на температурні й механічні поля. Головний результат полягає в такому: розроблено наближений аналітичний метод і алгоритм розв'язання задачі термов'язкопружності для зростаючих тіл за наявності фазового переходу з урахуванням теплообміну з навколишнім середовищем; на основі розробленого методу визначено закон руху межі поділу фаз, температурив поле і напружено-деформований стан визначано в результаті розв'язання так званої зв'язаної задачі термов'язкопружності; отримані наближені аналітичні розв'язки задач, що дозволяють моделювати різноманітні технологічні процеси.The problem of defining the law of motion of crystallization front and the thermo-mechanical state of the two-phase rod in case of mutual influence of thermal and mechanical fields is solved. To meet the challenge the approximate analytical method is used, in the aggregate of the method of the sequential intervals and variational principle of Gibbs (which should indicate that it is ”profitable” for nature under specified external effects to change the temperature of a fixed element of the body or to transfer the element from one aggregate state to another). Correlations to determine the law of motion of the boundary of phases of the temperature field and stress-deformed state in the rod are gained. The results are presented in the form of charts of dependency based on temperature and stress of time and coordinates. The analysis of the gained results indicates that a change of the conditions of heat exchange with the environment and geometrical sizes have determinative influence on the solidification process and therefore on thermal and mechanical fields. The main result is the following: an approximate analytical method and algorithm to solve the problem of thermo-viscosity for growing bodies in the presence of phase transfer, taking into account the heat exchange with the environment is developed; the law of motion of the boundary of phases division, the temperature field and stress-deformed state are determined by the decisions of the so-called associated problem of thermo-viscosity on the basis of the developed method; approximate analytical solutions that allow to simulate different technological processes are obtained
Деякі узагальнення методу нелокальних перетворень
No full textSome generalizations of a method of nonlocal transformations are proposed: a connection of given equations via prolonged nonlocal transformations and finding of an adjoint solution to the solutions of initial equation are considered. A concept of nonlocal transformation with additional variables is introduced, developed and used for searching symmetries of differential equations. A problem of inversion of the nonlocal transformation with additional variables is investigated and in some cases solved. Several examples are presented. Derived technique is applied for construction of the algorithms and formulae of generation of solutions. The formulae derived are used for construction of exact solutions of some nonlinear equations.Предложены некоторые обобщения метода нелокальных преобразований. Рассмотрена связь данных уравнений посредством продолженных нелокальных преобразований, отыскание решения, примыкающего к решениям исходного уравнения. Введено понятие нелокального преобразования с дополнительными переменными, оно разработано и применено для отыскания симметрии дифференциальных уравнений. Рассмотрена и в ряде случаев решена задача обращения нелокального преобразования с дополнительными переменными. Представлены несколько примеров. Разработанный подход применен для построения алгоритмов и формул размножения решений. Полученные формулы используются для построения точных решений некоторых нелинейных уравнений.Запропоновано деякі узагальнення методу нелокальних перетворень. Розглянуто зв'язок даних рівнянь за допомогою продовжених нелокальних перетворень, знаходження розв'язку, що примикае до розв'язків вихідного рівняння. Уведено поняття нелокального перетворення з додатковими змінними, розроблене й застосоване для знаходження симетрій диференціальних рівнянь. Проаналізовано й у ряді випадків розв'язано задачу обернення нелокального перетворення з додатковими змінними. Розроблено підхід для побудови алгоритмів і формул розмноження розв'язків. Отримані формули застосовні для побудови точних розв'язків деяких нелінійних рівнянь
Boundary integral representation for Beltrami vector fields
No full textПолучено граничное интегральное представление для линейных векторных полей Бельтрами, позволяющее вичислить значение вектора в любой точке области с помощью его касательных компонент на границе. Приведены два интегральных представления, отличающихся порядком производных касательных компонент на границе. Показана связь полученного решения с решениями уравнения Гельмгольца.Отримано граничив інтегральне подання для лінійних векторних полів Бельтрамі, яке дозволяв обчислити значения вектора в будь-якій точкі області за допомогою його дотичних компонент на межі. Наведено два інтегральні подання, що відрізняються порядком похідних дотичних компонент. Показано зв'язок одержаного розв'язку із розв'язками рівняння Гельмгольця.Boundary integral representation for the linear Beltrami vector fields are obtained. It is marked that the given integral equations allow the effective numerical solving. Shown that in the case boundary value problem of the first kind solution can be obtained by quadratures
Synthesis of adequate algebraic mathematical models
No full textРассмотрены вопросы построения адекватных алгебраических математических моделей физических процессов. Установлены свойства реальных процессов, для которых молено построить алгебраические математические модели. Дано определение адекватных математических моделей в алгебраической форме и сформулированы некоторые их свойства. Далее предложен алгоритм идентификации параметров указанных моделей. Для получения устойчивых результатов идентификации использован метод регуляризации А. Н. Тихонова. Рассмотрены различные варианты постановки таких задач. В качестве примера рассмотрена задача идентификации параметров физического процесса выплавки стали. Даны методические рекомендации.Розглянуто алгоритм ідентифікації параметрів адекватної математичної моделі в алгебричній формі. Дано визначення адекватної математичної моделі в алгебричній формі. Запропоновано декілька постановок задач ідентифікації залежно від цілей дослідження. Як приклад розглянуто задачу ідентифікації параметрів алгебричної адекватної математичної моделі умовно стабільного процесу виплавки сталі. Отримані результати молена застосовувати для аналізу впливу фізичних параметрів на фізичний процес.The algorithm for parameter identification of adequate mathematical model in algebraic form is examinated. The definition of an adequate mathematical model in algebraic form is given. In article the several formulations of the problems of identification depending on the ultimate goals of the study is proposed. As an example, the problem of identifying the parameters of algebraic adequate mathematical model of conditionally stable process of steelmaking is considered. The results can be used to analyze the influence of the physical parameters to the physical process
Modelling of asteroid formation in planetary vortex and calculation its orbital parameters
No full textРозглянуто теорію планетарного вихору як початкового стану утворення зіркових систем до вивчення умов утворення астероїдів та розрахунку параметрів їх орбіт. Із застосуванням теорії до Головного астероїдного поясу Сонячної системи отримано збіг теоретич-них та експериментальних даних.Рассмотрена теория планетарного вихря как начального состояния образования звёздных планетних систем для изучения условий формирования астероидов и расчёта параметров их орбит. В применении теории к Главному астероидному поясу Солнечной системы получено совпадение теоретических и экспериментальных данных.The theory of planetary vortex as the initial state of creation of the star systems is used to the study of conditions of formation of asteroids and calculation its orbital parameters. In application to Main asteroid belt of the Solar system the kind coincidence of theoretical and experimental data is got
Про Хеніг-регуляризацію одніеї задачі оптимального керування для р-лапласіана з фазовими обмеженнями
No full textWe study a Dirichlet optimal control problem for a quasilinear monotone p-Laplace equation with control and state constraints. The coefficient of the p-Laplacian, the weight u, we take as a control in L1(Ω). We discuss a relaxation of such problem following the so-called Henig regularization scheme.Рассматрена задача оптимального управления для квазилинейного эллиптического уравнения с фазовыми ограничениями. В качестве функции управления выступает коэффициент и Є L (О) р-лапласиана. Исследованы вопросы релаксации такой задачи с использованием аппроксимации Хенига для конуса положительных элементов.Розглянуто задачу оптимального керування для квазілінійного еліптичного рівняння з фазовими обмеженнями. Функцією керування є коефіцієнт и Є L (О) р-лапласіана. До-сліджено проблему релаксації такої задачі із застосуванням апроксимації Хеніга для конуса додатних елементів
ON AN APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF THE HEAT EXCHANGE IN A MOVING LAYER
No full textПолучило развитие аналитическое решение задачи о нагреве движущегося слоя массивных тел правильной формы в потоке газа. Предложена унифицированная процедура вычисления членов ряда в решении, которая позволяет проводить расчеты с произвольным количеством членов разложения. Эффективность процедуры показана на примере решения задачи нестационарного теплообмена в движущемся слое сферических частицНабуло розвитоку аналітичне розв'язання задачі про нагрів шару масивних тіл правильної форми, що знаходиться в потоці газу. Запропоновано уніфіковану процедуру обчислення членів ряду в розв'язку, що дозволяв проводити розрахунки 3 довільною кількістю членів розвинення. Ефективність процедури показано на приладі розв'язання задачі нестаціонарного теплообміну в рухомому шарі сферичних частинок.The analytical solution for heating of the layer of massive bodies regular shape, that located in a moving gas stream, has developed. Uniform procedure for calculating the number of members in a solution is proposed, that allows calculations with an arbitrary number of terms in the expansion. Effectiveness of the procedure is shown in the example of solving the problem of unsteady heat transfer in a moving bed of spherical particles
О НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЯХ В КОЭФФИЦИЕНТАХ ДЛЯ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
No full textРозглянуто задачу оптимального керування для лінійного еліптичного рівняння з крайовими умовами Діріхле на межі області. Функцією керування виступає матриця коефіцієнтів А(х) в головній частині еліптичного оператора. Характерною особливістю таких керувань є несиметричність матриці А(х), її необмеженість та виродженість спектра її симетричної складової.We consider an optimal control problem associated to Dirichlet boundary valueproblem for linear elliptic equations on a bounded domain Ω. We take the matrixvalued coecients A(x) of such system as a control in L1(Ω;RN RN). One of the important features of the admissible controls is the fact that the coecient matrices A(x) are non-symmetric, unbounded on Ω, and eigenvalues of the symmetric part Asym = (A + At)=2 may vanish in Ω.Рассмотрена задача оптимального управления для линейного эллиптического уравнения с краевыми условиями Дирихле на границе области. В качестве функции управления выступает матрица коэффициентов А(х) в главной части эллиптического оператора. Характерной особенностью таких управлений есть несимметричность матрицы А(х), ее неограниченность и вырожденность спектра ее симметричной составляющей
AN ORDER OF WEAK CONVERGENCE OF NUMERICAL SOLUTIONS TO THE ENTROPY SOLUTION OF A SCALAR CONSERVATION LAW
No full textНа прикладі скалярного закону збереження для квазілінійного рівняння Хопфа досліджено слабку збіжність сіткових розв'язків, обчислених за методами проти потоку першого порядку та Лакса-Фрідріхса другого порядку за просторовою змінною, до точного узагальненого ентропійного розв'язку. Оцінку збіжності виконано на підставі лінійного функціонала, наявного у визначенні узагальненого ентропійного розв'язку за Кружковим, для послідовностей розв'язків на сітках, кроки яких подрібнюються дихотомічно. Показано, що порядок слабкої збіжності сіткових розв'язків не перевищує першого, незалежно від порядку обчислювального методу.На примере скалярного закона сохранения для квазилинейного уравнения Хопфа изучена слабая сходимость сеточных решений, полученных по методу против потока первого порядка и Лакса—Фридрихса второго порядка по пространственной переменной, к точному обобщённому энтропийному решению. Оценка сходимости выполнена с помощью линейного функционала, входящего в определение обобщённого энтропийного решения по Кружкову, для последовательностей решений на сетках, с уменьшающимися вдвое шагами. Показано, что порядок слабой сходимости сеточных решений не выше первого, независимо от порядка вычислительного метода.The weak convergence of numerical solutions to the exact entropy solution of a scalar conservation law for the Hopf quasilinear equation has been studied. The upwind and the Lax — Friedrichs numerical methods being respectively the first and the second order approximation on spatial variable were used for the study. The linear functional derived from the Kruzhkov entropy solution definition was computed using series of numerical solutions on dichotomic nested grids to get the estimation of the weak convergence order. It has been shown that the order of weak convergence is lower than one, being independent on the order of approximation of the metho