Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Series of Physical-Mathematical Sciences / Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук
Not a member yet
548 research outputs found
Sort by
К теории интерполирования функций на множествах матриц с адамаровым умножением
Get PDFThis article is devoted to the problem of interpolation of functions defined on sets of matrices with multiplication in the sense of Hadamard and is mainly an overview. It contains some known information about the Hadamard matrix multiplication and its properties. For functions defined on sets of square and rectangular matrices, various interpolation polynomials of the Lagrange type, containing both the operation of matrix multiplication in the Hadamard sense and the usual matrix product, are given. In the case of analytic functions defined on sets of square matrices with the Hadamard multiplication, some analogues of the Lagrange type trigonometric interpolation formulas are considered. Matrix analogues of splines and the Cauchy integral are given on sets of matrices with the Hadamard multiplication. Some of its applications in the theory of interpolation are considered. Theorems on the convergence of some Lagrange interpolation processes for analytic functions defined on a set of matrices with multiplication in the Hadamard sense are proved. The results obtained are based on the application of some well-known provisions of the theory of interpolation of scalar functions. Data presentation is illustrated by a number of examples.Работа посвящена проблеме интерполяции функций, заданных на множествах матриц с умножением в смысле Адамара, и содержит некоторые известные сведения об умножении матриц по Адамару и его свойствах. Для функций, заданных на множествах квадратных и прямоугольных матриц, приведены различные интерполяционные многочлены лагранжева типа, содержащие как операцию матричного умножения в смысле Адамара, так и обычное произведение матриц. В случае аналитических функций, определенных на множествах квадратных матриц с адамаровым умножением, рассмотрены некоторые аналоги тригонометрических интерполяционных формул лагранжева типа. Приведены матричные аналоги сплайнов и интеграла Коши на множествах матриц с умножением по Адамару. Рассмотрено некоторое его применение в теории интерполирования. Доказаны теоремы о сходимости отдельных интерполяционных процессов Лагранжа для аналитических функций, заданных на множестве матриц с умножением в смысле Адамара. Полученные результаты основаны на применении некоторых известных положений теории интерполирования скалярных функций. Изложение материала иллюстрируется рядом примеров
Построение решений отдельных классов модельных задач с разрешающими уравнениями дробного порядка
Get PDFIn this paper, we represent new examples of constructing model problems of the mechanics of a deformable solid using a fractional differentiation apparatus. The solutions to boundary problems of mechanics are found, in which the defining differential equations have a fractional order. In particular, such problems as a model of a “fractal” oscillator, a model problem on the dynamic of wave propagation in rock, model problems on the deformation of wave propagation in deformable viscoelastic media (a semi-infinite viscoelastic rod) for various viscoelasticity models are considered. When building the solutions, the Mainardi algorithm and the Laplace transformation are used. Model solutions for the considered problems are built. Asymptotic solutions of wave propagation equations in viscoelastic media under different viscoelasticity models are obtained.Приведены новые примеры построения модельных задач механики деформируемого твердого тела с использованием аппарата дробного дифференцирования. Построены решения краевых задач механики, в которых определяющие дифференциальные уравнения имеют дробный порядок. Рассмотрены, в частности, такие задачи, как модель «фрактального» осциллятора, модельная задача о распространении динамических волн в массивах горных пород, модельные задачи о распространении волн деформаций в деформируемых вязкоупругих средах (полубесконечном вязкоупругом стержне) для различных моделей вязкоупругости. При построении решений использовался алгоритм Майнарди и преобразование Лапласа. Найдены модельные решения для рассмотренных классов задач. Получены асимптотические решения уравнений распространения волн в вязкоупругих средах при различных моделях вязкоупругости
Вещественная автономная квадратичная система трех дифференциальных уравнений с бесконечным числом предельных циклов
Get PDFIn this paper, we consider the problem of construction of real autonomous quadratic systems of three differential equations with the nonlocal existence of an infinite number of limit cycles. This means that an infinite number of limit cycles, emerging from the focus due to the Andronov – Hopf bifurcation, can exist in the phase space not only in the vicinity of the focus and not only for parameter values close to the bifurcation value. To solve this problem we use the method of determination of limit cycles as the curves of intersection of an invariant plane with a family of invariant elliptic paraboloids. Then the study of the limit cycles of the constructed system of the third order is reduced to the study of the corresponding system of the second order on each of the invariant elliptic paraboloids. The proof of the nonlocal existence of the limit cycle and the investigation of its stability for such a second-order system is carried out by constructing a topographic system of Poincaré functions or by transforming to polar coordinates.Рассматривается задача построения вещественных автономных квадратичных систем трех дифференциальных уравнений с нелокальным существованием бесконечного числа предельных циклов. Имеется в виду, что бесконечное число предельных циклов, появившись из фокуса за счет бифуркации Андронова – Хопфа, может существовать в фазовом пространстве не только в окрестности фокуса и не только для значений параметра, близких к бифуркационному значению. Для решения поставленной задачи применяется способ нахождения предельных циклов как линий пересечения инвариантной плоскости с семейством инвариантных эллиптических параболоидов. Затем исследование предельных циклов построенной системы третьего порядка сводится к исследованию соответствующей системы второго порядка на каждом из инвариантных эллиптических параболоидов. Доказательство нелокального существования предельного цикла и установление характера его устойчивости для такой системы второго порядка проводится с помощью построения топографической системы Пуанкаре или перехода к полярным координатам
Мера устойчивости многокритериальной задачи целочисленного линейного программирования с параметрическим принципом оптимальности
Get PDFIn this paper, we consider a multicriteria integer linear programming problem with a parametric principle of optimality. Parameterization is realized by dividing the set of criteria into several disjoint groups (subsets) of criteria ordered by importance, with Pareto dominance within each group. The introduced parametric principle of optimality made it possible to connect such classical principles of optimality as lexicographic and Pareto ones. For the stability radius, which is the limiting level of perturbations of the parameters of the problem, not causing the appearance of new optimal solutions, the upper and lower estimations are obtained in the case of arbitrary Hölder’s norms in the criterion space and solution space. Some previously known results on the stability of the Boolean linear programming problem are formulated as corollaries.Рассматривается многокритериальная задача целочисленного линейного программирования с параметрическим принципом оптимальности. Параметризация реализована путем разбиения множества критериев на несколько упорядоченных по важности непересекающихся групп (подмножеств) критериев с доминированием по Парето в пределах каждой группы. Введенный параметрический принцип оптимальности позволил связать такие классические принципы оптимальности, как лексикографический и паретовский. Для радиуса устойчивости, который является предельным уровнем возмущений параметров задачи, не приводящих к появлению новых оптимальных решений, получены верхняя и нижняя оценки в случае произвольных норм Гёльдера в критериальном пространстве и пространстве решений. Некоторые ранее известные результаты по устойчивости булевой задачи линейного программирования сформулированы в качестве следствий.
Об эквивалентности операторного и комбинаторного подходов для одношаговых случайных марковских процессов
Get PDFHerein, for one-step random Markov processes the comparison of the operator and combinatorial methods based on the use of functional integrals is performed. With the combinatorial approach, the transition from the stochastic differential equation to the functional integral is used. This allows us to obtain the expression for the mean population size in terms of the functional integral. With the operator approach, the transition to the functional integral is performed via the creation and annihilation operators. It is shown that the mean values calculated using the functional integrals arising in the combinatorial and operator approaches coincide.Для одношаговых случайных марковских процессов проводится сравнение операторного и комбинаторного методов, основанное на использовании функциональных интегралов. При комбинаторном подходе используется переход от стохастического дифференциального уравнения к функциональному интегралу, с помощью которого получено выражение для среднего размера популяции. При операторном подходе переход к функциональному интегралу осуществляется через операторы рождения и уничтожения. Показано, что средние значения, вычисленные с помощью функциональных интегралов, возникающих при комбинаторном и операторном подходах, совпадают
Моделирование накопления заряда в кремниевых фотоэлектронных умножителях под воздействием мягкого рентгеновского излучения
Get PDFA model of the cell structure of silicon photomultipliers (SiPM) is herein created in the software complex “Silvaco”. The cells are n+–p–p+-structures optically isolated from each other. The optical isolation of the cells is realized by trenches filled with metal after passivation of the walls with a SiO2 layer. Simulations are carried out for two variants of SiPM structures when the trench metal is electrically connected to the n+- (the first design) or p+ (the second design) region of the cell. The cells are irradiated by X-ray quanta with 10 keV energy up to a dose of 105 rads at the reverse bias values of Ub = –30 V (active electrical mode) and Ub = 0 V (passive electric mode). We obtain the distribution of the volume density of the accumulated charge Q in the oxide layer of the separation trench. It is established that the maximal Q value depends upon the irradiation mode. In the passive mode, the Q value is minimal and similar for both variants of the structures. In the active mode, Q increases in comparison to the passive mode by 2.5 times for SiPM with the structure of the second variant and by 5.9 times for the structure of the first variant. The obtained result can be explained by an increase of the hole charge yield under the influence of the appropriately distributed electric fields in the oxide layers of the separating trenches of the investigated SiPM’s cells.В программном комплексе Silvaco создана модель структуры ячеек кремниевых фотоэлектронных умножителей (SiФЭУ). Ячейки представляли собой оптически изолированные друг от друга n+–p–p+-структуры. Оптическая изоляция ячеек осуществлялась канавками, которые после пассивации боковых стенок слоем SiО2 заполнялись металлом. Моделирование проводилось для двух вариантов конструкции структур SiФЭУ: вывод металла канавки электрически соединялся 1) с n+-областью ячейки, 2) с p+-областью. Ячейки облучались рентгеновскими квантами с энергией 10 кэВ дозой 105 рад при значениях обратного электрического смещения Ub = –30 В (активный электрический режим) и Ub = 0 В (пассивный электрический режим). Получено распределение объемной плотности накопленного заряда Q в слое окисла разделительной канавки. Установлено, что максимальное значение Q > 0 зависит от режима облучения. В пассивном режиме величина Q минимальна и совпадает для обоих вариантов структур, в активном режиме она возрастает по сравнению с пассивным в 2,5 раза для SiФЭУ со структурой второго варианта и в 5,9 раза со структурой первого. Полученный результат объясняется усилением выхода заряда Q дырок под действием электрических полей в слоях окислов разделительных канавок ячеек SiФЭУ
Частное решение задачи для системы уравнений из механики с негладкими условиями Коши
Get PDFIn this article, we study a mixed problem in a quarter-plane for a system of differential equations, which describes vibrations in a string from viscoelastic material, which corresponds to Maxwell material. At the bottom of the boundary, the Cauchy conditions are specified, and one of them has a discontinuity of the first kind at one point. A smooth boundary condition is set at the side boundary. The Klein – Gordon – Fock equation is derived for one of the system’s functions. We find a particular solution in two ways. The first method builds it in an explicit analytical form (with a continuation of one function), and the second one constructs it as a solution of an integral equation using the method of characteristics (without continuation of one function). Conditions are established under which the solution has sufficient smoothness.Изучается смешанная задача в четверти плоскости для системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания в однородных релаксирующих стержнях постоянного поперечного сечения, которые соответствуют модели Максвелла. На нижнем основании задаются условия Коши, причем одно из них имеет разрыв первого рода в точке. На боковой границе задается гладкое граничное условие. Система порождает уравнение Клейна – Гордона – Фока. Частное решение строится двумя способами: в явном аналитическом виде, с продолжением функции, и методом характеристик как решение интегрального уравнения, без продолжения функции. Устанавливаются условия, при которых решение обладает достаточной степенью гладкости
Темная материя и движение тел в космосе
Get PDFThis paper investigates the degree of influence of the gravitational field of dark matter on the laws of motion of bodies in a medium in a restricted two-body problem, when a test body (planet, asteroid, artificial satellite of a star, in particular, the Sun, etc.) has its own rotation, i. e. own angular momentum impulse. The study was carried out within the framework of the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. In accordance with the latest experimental data, hypotheses about the average densities of dark matter ρD.M. and visible matter ρvis. in planetary systems are accepted. In particular, in the Solar system the following is accepted: ρD.M ≈ 2,8 · 10–19 g · cm–3, ρvis ≈ 3 · 10–20 g · cm–3 and ρΣ = ρvis + ρD.M ≈ 3,1 · 10–19 g · cm–3. In the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, the equation for the trajectory of a rotating test body with respect to ρΣ is derived, and working formulas are obtained that give the laws of secular changes in the direction of the vector of the proper angular momentum impulse of the test body and the modulus of this vector. It is shown that accounting ρD.M changes the magnitude of the periastron shift. For example, in the Solar System when taking into account ρvis, all the planets except Pluto have a directly shifted perihelion in the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. When taking into account ρΣ the planets from Mercury to Saturn included, they have a direct shift of perihelion, and Uranus, Neptune, Pluto have the reverse (against the planets in orbit). There is also a secular change in the eccentricity of the orbit. The formula is derived that can be used to calculate the secular deviation of the translational motion of a rotating body from motion in a plane. Accounting ρΣ enhances deviation. It is emphasized that all the noted effects for planetary systems in the vicinity of neutron stars, radio pulsars and other dense objects can be many orders of magnitude greater than in the solar system.Исследуется степень влияния гравитационного поля темной материи на законы движения тел в среде в ограниченной задаче двух тел, когда пробное тело (планета, астероид, искусственный спутник звезды, в частности, Солнца и т. д.) обладает собственным вращением, т. е. собственным угловым моментом импульса. Исследование проведено в рамках постньютоновского приближения общей теории относительности. В соответствии с новейшими экспериментальными данными приняты гипотезы об усредненных плотностях темной материи ρТ.М и видимой материи ρвид в планетарных системах. В частности, в Солнечной системе принято: ρТ.М ≈ 2,8 · 10–19 г · см–3, ρвид ≈ 3 · 10–20 г · см–3 и ρΣ = ρвид + ρТ.М ≈ 3,1 · 10–19 г · см–3. В постньютоновском приближении общей теории относительности выведено уравнение траектории вращающегося пробного тела при учете ρΣ и получены рабочие формулы, дающие законы вековых изменений направления вектора собственного углового момента импульса пробного тела и модуля этого вектора. Показано, что учет ρТ.М. изменяет величину смещения периастра. В Солнечной системе, например, при учете только ρвид все планеты, кроме Плутона, имеют в постньютоновском приближении общей теории относительности прямое смещение перигелия. При учете ρΣ планеты от Меркурия до Сатурна включительно имеют прямое смещение перигелиев, а Уран, Нептун, Плутон – обратное (против хода планет по орбите). Также происходит вековое изменение эксцентриситета орбиты. Выведена формула, с помощью которой можно вычислять вековое отклонение поступательного движения вращающегося тела от движения в плоскости. Учет ρΣ это отклонение усиливает. Подчеркивается, что все отмеченные эффекты для планетарных систем в окрестностях нейтронных звезд, радиопульсаров и прочих плотных объектов могут быть на много порядков больше, чем в Солнечной системе
Метаматериал на основе планарных спиралей как преобразователь поляризации электромагнитных волн
Get PDFThe design and modeling of a metasurface is carried out, which makes it possible to transform an incident linearly polarized electromagnetic wave into a transmitted wave with elliptical polarization close to circular. At the same time, the reflection coefficient of the wave is close to zero at the resonant frequency, since the metasurface is similar to the free space in its wave resistance. The resonant elements of the meta-surface (meta-atoms) are two-turn planar spirals with balanced dielectric and magnetic properties. Such spirals exhibit radically different properties with respect to waves with right and left circular polarization. The metasurface as a polarization converter has strong chiral properties, since it contains planar spirals of only one direction of twisting, and can be manufactured within the framework of printed circuit board technologies.Проведено проектирование и моделирование метаповерхности, позволяющей преобразовать падающую линейно поляризованную электромагнитную волну в прошедшую волну с эллиптической поляризацией, близкой к циркулярной. При этом коэффициент отражения волны близок к нулю на резонансной частоте, поскольку метаповерхность аналогична свободному пространству по своему волновому сопротивлению. Резонансными элементами метаповерхности (метаатомами) являются двухвитковые планарные спирали, обладающие сбалансированными диэлектрическими и магнитными свойствами. Такие спирали проявляют кардинально различные свойства по отношению к волнам с правой и левой циркулярной поляризацией. Метаповерхность как преобразователь поляризации обладает сильными хиральными свойствами, поскольку содержит планарные спирали только одного направления закручивания, и может быть изготовлена в рамках технологий печатных плат
Субдифференцируемость функций, выпуклых относительно множества липшицевых вогнутых функций
Get PDFA function defined on normed vector spaces X is called convex with respect to the set LĈ := LĈ (X,R ) ofLipschitz continuous classically concave functions (further, for brevity, LĈ -convex), if it is the upper envelope of some subset of functions from LĈ. A function f is LĈ -convex if and only if it is lower semicontinuous and bounded from below by a Lipschitz function. We introduce the notion of LĈ -subdifferentiability of a function at a point, i. e., subdifferentiability with respect to Lipschitz concave functions, which generalizes the notion of subdifferentiability of classically convex functions, and prove that for each LĈ -convex function the set of points at which it is LĈ -subdifferentiable is dense in its effective domain. The last result extends the well-known Brondsted – Rockafellar theorem on the existence of the subdifferential for classically convex lower semicontinuous functions to the more wide class of lower semicontinuous functions. Using elements of the subset LĈ θ ⊂ LĈ, which consists of Lipschitz continuous functions vanishing at the origin of X we introduce the notions of LĈ θ -subgradient and LĈ θ -subdifferential for a function at a point.The properties of LĈ -subdifferentials and their relations with the classical Fenchel – Rockafellar subdifferential are studied. Considering the set LČ := LČ (X,R ) of Lipschitz continuous classically convex functions as elementary ones we define the notions of LČ -concavity and LČ -superdifferentiability that are symmetric to the LĈ -convexity and LĈ -subdifferentiability of functions. We also derive criteria for global minimum and maximum points of nonsmooth functions formulated in terms of LĈ θ -subdifferentials and LČ θ -superdifferentials.Функция, определенная на нормированном пространстве X, называется выпуклой относительно множества LĈ := LĈ (X,R ) липшицевых классически вогнутых функций (далее для краткости – LĈ -выпуклой), если она является верхней огибающей некоторого подмножества функций из LĈ. Функция является LĈ –выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. В статье вводится понятие LĈ -субдифференцируемости функции в точке, т. е. субдифференцируемости относительно липшицевых вогнутых функций, обобщающее понятие субдифференцируемости классически выпуклых функций, и доказывается, что для любой LĈ -выпуклой функции множество точек, в которых она является LĈ -субдифференцируемой, является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда – Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций. Используя элементы подмножества LĈ θ ⊂ LĈ , состоящего из таких липшицевых вогнутых функций, которые принимают нулевое значение в нулевой точке пространства X, определяются понятия LĈ θ LĈ -субградиента и LĈ θ -субдифференциала функции в точке. Исследуются свойства LĈ θ -субдифференциалов и их связь с классическим субдифференциалом Фенхеля – Рокафеллара. Рассматривая в качестве элементарных функций множество LČ := LČ (X,R ) липшицевых выпуклых (в классическом смысле) функций, вводятся симметричные LĈ -выпуклости и LĈ -субдифференцируемости понятия LČ -вогнутости и LČ -супердифференцируемости функций. В терминах LĈθ –субдифференциалов и LČθ -супердифференциалов устанавливаются критерии для точек глобального минимума и максимума функций