Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Series of Physical-Mathematical Sciences / Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук
Not a member yet
548 research outputs found
Sort by
Решение интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами специального вида
Get PDFQuadrature linear integro-differential equations on a closed curve located in the complex plane are solved. The equations contain singular integrals which are understood in the sense of the main value and hypersingular integrals which are understood in the sense of the Hadamard finite part. The coefficients of the equations have a special structure.Приведены в явном виде решения линейных интегро-дифференциальных уравнений. Уравнения решаются на замкнутой кривой, принадлежащей комплексной плоскости. Коэффициенты уравнений имеют специальный вид. Интегралы в уравнениях понимаются в смысле главного значения и в смысле конечной части по Адамару
О разрешимости и построении решения задачи Валле – Пуссена для матричного уравнения Ляпунова второго порядка с параметром
Get PDFThe paper considers the issues of constructive analysis of the de la Vallee – Poussin boundary-value problem for the second-order linear matrix differential Lyapunov equation with a parameter and variable coefficients. The initial problem is reduced to an equivalent integral problem, and to study its solvability a modification of the generalized contraction mapping principle is used. A connection between the approach used and the Green’s function method is established. The coefficient sufficient conditions for the unique solvability of this problem are obtained. Using the Lyapunov – Poincaré small parameter method, an algorithm for constructing a solution has been developed. The convergence and the rate of convergence of this algorithm have been investigated, and a constructive estimation of the region of solution localization is given. To illustrate the application of the results obtained, the linear problem of steady heat conduction for a cylindrical wall, as well as a two-dimensional matrix model problem is considered. With the help of the developed general algorithm, analytical approximate solutions of these problems have been constructed and on the basis of their exact solutions a comparative numerical analysis has been carried out.Рассматриваются вопросы конструктивного анализа краевой задачи Валле – Пуссена для линейного матричного дифференциального уравнения Ляпунова второго порядка с параметром и переменными коэффициентами. Исходная задача сведена к эквивалентной интегральной задаче, для исследования разрешимости которой применяется модификация обобщенного принципа сжимающих отображений. Установлена связь используемого подхода с методом функций Грина. Получены коэффициентные достаточные условия однозначной разрешимости этой задачи. С помощью метода малого параметра Ляпунова – Пуанкаре разработан алгоритм построения решения. Исследованы сходимость, скорость сходимости этого алгоритма и дана конструктивная оценка области локализации решения. В качестве иллюстрации применения полученных результатов рассмотрена линейная задача стационарной теплопроводности для цилиндрической стенки, а также двумерная матричная модельная задача. С помощью разработанного общего алгоритма построены аналитические приближенные решения этих задач, и на основе их точных решений проведен сравнительный численный анализ
Приближенное вычисление функциональных интегралов, содержащих центробежный потенциал
Get PDFApproximate evaluation of functional integrals containing a centrifugal potential is considered. By a centrifugal potential is understood a potential arising from a centrifugal force. A combination of the method based on expanding into a series of the eigenfunctions of a Hamiltonian generating a functional integral and the Sturm sequence method for the eigenvalue problem is used for approximate evaluation of functional integrals. This combination allows one to significantly reduce a computation time and a used computer memory volume in comparison to other known methods.Рассматривается приближенное вычисление функциональных интегралов от функционалов специального вида, содержащих центробежный потенциал. Под центробежным потенциалом понимается потенциал, возникающий за счет центробежной силы. Сочетание метода разложения по собственным функциям гамильтониана, порождающего функциональный интеграл, и метода последовательностей Штурма для вычисления собственных значений используется для приближенного вычисления функциональных интегралов. Это сочетание позволяет значительно уменьшить счетное время и объем используемой памяти компьютера по сравнению с другими известными методами
Концентрационная зависимость полосы плазмонного поверхностного резонанса поглощения наноструктур золота в углеродсодержащих матрицах
Get PDFFor fullerene matrixes doped by gold nanoparticles we have established experimentally a miss of a red concentration-induced shift of surface plasmon resonance absorption band maximum. Theoretical modeling has been made for spectral characteristics of carbon–bearing nanostructures. Numerical calculations of extinction factors for a spherical metallic particle in an absorbing surrounding medium were based on the Mie theory. Transmission spectra coefficients of densely packed plasmonic nanoparticles monolayers were calculated with the use of the single coherent scattering approximation modified for absorbing matrices. Thin-film Au-air and Au–C60 nanostructures have been fabricated on glass and quartz substrates by thermal evaporation and condensation in vacuum at an air pressure of 2 · 10–3 Pа. The surface mass density of Au into Au–C60 nanostructures was varied in the range (3.86–7.98) · 10–6 g/cm2. The comparison of theoretical and experimental data allowed making a conclusion that the absorbency in carbon-bearing matrix leads to the attenuation of lateral electrodynamics coupling and blocks collective plasmon resonance in densely packed gold nanostructures.Экспериментально установлено, что для наноструктур Au–С60 наблюдается подавление длинноволнового концентрационного сдвига максимума полосы плазмонного поверхностного резонанса поглощения. Проведено теоретическое моделирование спектральных характеристик углеродсодержащих наноструктур. Расчеты экстинкции для одной металлической наночастицы проводились с использованием теории Ми для поглощающих матриц. Коэффициент когерентного пропускания плотноупакованного монослоя плазмонных наночастиц вычислялся с использованием модифицированного для поглощающих матриц приближения однократного когерентного рассеяния. Тонкопленочные наноструктуры Au и Au–C60 на подложках из стекла и кварца получали методом термического испарения и конденсации в вакууме при остаточном давлении воздуха 2·10–3 Па. Поверхностная плотность Au в наноструктурах Au–C60 изменялась в пределах (3,86–7,98)·10–6 г·см–2 . На основе сравнения теоретических и экспериментальных результатов сделан вывод об ослаблении коллективных латеральных электродинамических взаимодействий между наночастицами золота в фуллереновой матрице С60, характеризующейся наличием поглощения
Cамоподобные рациональные мнемофункции и их связь с аналитическим представлением распределений
Get PDFMnemofunctions of the form f(x/ε), where f is the proper rational function without singularities on the real line, are considered in this article. Such mnemofunctions are called automodeling rational mnemofunctions. They possess the following fine properties: asymptotic expansions in the space of distributions can be written in explicit form and the asymptotic expansion of the product of such mnemofunctions is uniquely determined by the expansions of multiplicands.Partial fraction decomposition of automodeling rational mnemofunctions generates the so-called sloped analytical representation of a distribution, i.e. the representation of a distribution by a jump of the boundary values of the functions analytical in upper and lower half-planes. Sloped analytical representation is similar to the classical Cauchy analytical representation, but its structure is more complicated. The multiplication rule of such representations is described in this article.Рассматриваются самоподобные рациональные мнемофункции, т. е. семейства функций вида f(x/ε), где f – правильная рациональная функция, не имеющая полюсов на вещественной оси. Для самоподобных рациональных мнемофункций асимптотическое разложение в пространстве распределений выписывается в явном виде и асимптотическое разложение произведения таких мнемофункций однозначно определяется по разложениям сомножителей.Разложение самоподобных рациональных мнемофункций на простейшие порождает представление ассоциированных распределений через граничные значения аналитических в верхней и нижней полуплоскостях функций. Оно действует наподобие классического аналитического представления Коши, однако имеет более сложную структуру, так как движение к границе осуществляется по наклонным направлениям. В данной работе описано правило умножения таких представлений, которые будем называть скошенными аналитическими представлениями
Диффузионно-дрейфовая модель миграции ионов по междоузлиям двумерной решетки
Get PDFAn analytical and numerical modeling of the process of obtaining hydroxyl radicals OH0 and atomic hydrogen H0 from water molecules on a square lattice based on electrical neutralization of ions OH− on an anode and ions H+ on a cathode is conducted. The numerical solution of a system of equations describing a stationary migration of ions H+ and OH− over the interstitial sites of a square lattice located in an external electric field is considered. The ions H+ and OH− in the interstitial sites of a square lattice are generated as a result of dissociation of a water molecule under the action of external electromagnetic radiation and external constant (stationary) electric field. It is assumed that anode and cathode are unlimited ion sinks. The problem is solved using the finite difference approximation for the initial system of differential equations with the construction of an iterative process due to the nonlinearity of the constituent equations. It is shown by using calculation that the dependence of the ion current on a difference of electric potentials between anode and cathode is sublinear.Проведено аналитическое и численное моделирование процесса получения из молекул воды гидроксильных радикалов OH0 и атомарного водорода H0 на электродах к квадратной двумерной решетке, основанного на электрической нейтрализации ионов OH− на аноде и ионов H+ – на катоде. Рассмотрено численное решение системы уравнений, описывающих стационарную миграцию ионов H+ и OH− по междоузлиям квадратной решетки, находящейся во внешнем электрическом поле. Ионы H+ и OH− в междоузлиях квадратной решетки генерируются при распаде молекулы воды под действием внешнего электромагнитного излучения и внешнего постоянного (стационарного) электрического поля. Считается, что анод и катод являются неограниченными стоками ионов. Из-за нелинейности уравнений задача решается с помощью разностной аппроксимации для исходной системы дифференциальных уравнений с построением итерационного процесса. Расчетным путем показано, что зависимость ионного тока от разности электрических потенциалов между анодом и катодом является сублинейной
Методы интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями
Get PDFIn the present, article new methods of exact integration of mixed-type stochastic differential equations with standard Brownian motion, fractional Brownian motion with the Hurst exponent H> 1/2 and the drift term have been constructed. Solutions of these equations are understood in integral sense where, in turn, the standard Brownian motion integral is the Ito integral and the fractional Brownian motion integral is the pathwise Young integral. The constucted integration methods can be attributed to two types. The first-type methods are based on reducing the equations to simpler equations, in particular – to the simplest equations and the linear inhomogeneous equations. In the article, necessary and sufficient conditions of reducing the equations applicable to one-dimensional equations have been obtained and the examples particularly covering the stochastic Bernoulli-type equations have been given. The second-type method is based on going to the Stratonovich equation and is applicable to multidimensional equations. In addition to the mentioned integration methods, the analogues of the differential Kolmogorov equation have been obtained for mathematical expectations and the solution probability density, assuming that coefficients of the mixed-type stochastic differential equation generate commuting flows.Разработаны новые методы точного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, содержащих стандартное броуновское движение, дробное броуновское движение с показателем Харста H> 1/2 и снос. Решения уравнений понимаются в интегральном смысле, где, в свою очередь, интеграл по стандартному броуновскому движению понимается как интеграл Ито, а интеграл по дробному броуновскому движению – как потраекторный интеграл Янга. Полученные в статье методы интегрирования можно отнести к двум типам. Методы первого типа основаны на приведении уравнений к уравнениям более простого вида, в частности к простейшим и линейным неоднородным уравнениям. В работе получены необходимые и достаточные условия приводимости, применимые к одномерным уравнениям, а также приведены примеры, охватывающие, в частности, стохастические уравнения Бернулли. Метод второго типа основан на переходе к уравнению Стратоновича и применим к многомерным уравнениям. В дополнение к указанным методам интегрирования получены аналоги дифференциальных уравнений Колмогорова для математических ожиданий и плотностей распределений решений в предположении, что коэффициенты стохастического дифференциального уравнения смешанного типа порождают коммутирующие дифференциальные потоки
Метод итерации решения некорректных уравнений с приближенным оператором в случае априорного выбора параметра регуляризации
Get PDFIn the introduction, the object of investigation is indicated – incorrect problems described by first-kind operator equations. The subject of the study is an explicit iterative method for solving first-kind equations. The aim of the paper is to prove the convergence of the proposed method of simple iterations with an alternating step alternately and to obtain error estimates in the original norm of a Hilbert space for the cases of self-conjugated and non self-conjugated problems. The a priori choice of the regularization parameter is studied for a source-like representable solution under the assumption that the operator and the right-hand side of the equation are given approximately. In the main part of the work, the achievement of the stated goal is expressed in four reduced and proved theorems. In Section 1, the first-kind equation is written down and a new explicit method of simple iteration with alternating steps is proposed to solve it. In Section 2, we consider the case of the selfconjugated problem and prove Theorem 1 on the convergence of the method and Theorem 2, in which an error estimate is obtained. To obtain an error estimate, an additional condition is required – the requirement of the source representability of the exact solution. In Section 3, the non-self-conjugated problem is solved, the convergence of the proposed method is proved, which in this case is written differently, and its error estimate is obtained in the case of an a priori choice of the regularization parameter. In sections 2 and 3, the error estimates obtained are optimized, that is, a value is found – the step number of the iteration, in which the error estimate is minimal. Since incorrect problems constantly arise in numerous applications of mathematics, the problem of studying them and constructing methods for their solution is topical. The obtained results can be used in theoretical studies of solution of first-kind operator equations, as well as applied ill-posed problems encountered in dynamics and kinetics, mathematical economics, geophysics, spectroscopy, systems for complete automatic processing and interpretation of experiments, plasma diagnostics, seismic and medicine.Аннотация. Указан объект исследования – некорректные задачи, описываемые операторными уравнениями I рода. Предмет исследования – явный итерационный метод решения уравнений I рода. Цель работы заключается в доказательстве сходимости предложенного метода простых итераций с попеременно чередующимся шагом и получении оценок погрешности в исходной норме гильбертова пространства для случаев самосопряженной и несамосопряженной задач. Априорный выбор параметра регуляризации изучается для истокообразно представимого решения в предположении, что оператор и правая часть уравнения заданы приближенно. Достижение поставленной цели выражено в четырех приведенных и доказанных теоремах: записано уравнение I рода и предлагается новый явный метод простой итерации с попеременно чередующимся шагом для его решения; рассматривается случай самосопряженной задачи; доказана теорема 1 о сходимости метода и теорема 2, в которой получена оценка погрешности (для получения оценки погрешности потребовалось дополнительное условие – требование истокопредставимости точного решения); решается несамосопряженная задача, доказана сходимость предложенного метода, который в этом случае запишется по-другому, и получена его оценка погрешности в случае априорного выбора параметра регуляризации. Полученные оценки погрешности оптимизированы, т. е. найдено значение nопт – номер шага итерации, при котором оценка погрешности минимальна. Поскольку некорректные задачи постоянно возникают в многочисленных приложениях математики, то проблема их изучения и построения методов их решения является актуальной. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях при решении операторных уравнений I рода, а также прикладных некорректных задач, встречающихся в динамике и кинетике, математической экономике, геофизике, спектроскопии, системах полной автоматической обработки и интерпретации экспериментов, диагностике плазмы, сейсмике и медицине
О приближениях функции |x|s средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – Маркова
Get PDFThe approximative properties of the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev – Markov rational fractions in the approximation of the function |x|s, 0 < s < 2 are investigated. The introduction presents the main results of the previously known works on the Vallee Poussin means in the polynomial and rational cases, as well as on the known literature data on the approximations of functions with power singularity. The Valle Poussin means on the interval [–1,1] as a method of summing the Fourier series by one system of the Chebyshev – Markov rational fractions are introduced. In the main section of the article, a integral representation for the error of approximations by the rational Valle Poussin means of the function |x|s, 0 < s < 2, on the segment [–1,1], an estimate of deviations of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s < 2, depending on the position of the point on the segment, a uniform estimate of deviations on the segment [–1,1] and its asymptotic expression are found. The optimal value of the parameter is obtained, at which the deviation error of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s <2, on the interval [–1,1] has the highest velocity of zero. As a consequence of the obtained results, the problem of approximation of the function |x|s, s > 0, by the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev first-kind polynomials is studied in detail. The pointwise estimation of approximation and asymptotic estimation are established.The work is both theoretical and applied. Its results can be used to read special courses at mathematical faculties and to solve specific problems of computational mathematics.Исследуются аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – Маркова в приближении функции |x|s, 0 < s < 2. Приведены основные результаты ранее известных работ о средних Валле Пуссена в полиномиальном и рациональном случаях, а также известные литературные сведения о приближениях функций со степенной особенностью. Вводятся в рассмотрение средние Валле Пуссена на отрезке [–1,1] как метод суммирования рядов Фурье по одной системе рациональных дробей Чебышева – Маркова. Найдено интегральное представление приближений рациональными средними Валле Пуссена функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1], оценка уклонений средних Валле Пуссена от функции |x|s, 0 < s < 2, в зависимости от положения точки x на отрезке, равномерная оценка уклонений на отрезке [–1,1] и асимптотическое выражение ее мажоранты. Установлено оптимальное значение параметра, при котором уклонения средних Валле Пуссена от функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1] имеют наиболее высокую скорость стремления к нулю. Как следствие полученных результатов подробно исследована задача о приближениях функции |x|s, s > 0, средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе многочленов Чебышева первого рода. Найдены поточечная оценка приближений и асимптотическая оценка.Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Возможно применение как при чтении спецкурсов на математических факультетах, так и для решения конкретных задач вычислительной математики