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Troisi\`eme groupe de cohomologie non ramifi\'ee d'un solide cubique sur un corps de fonctions d'une variable
No full textEn combinant une m\'ethode de C. Voisin avec la descente galoisienne sur legroupe de Chow en codimension , nous montrons que le troisi\`eme groupe decohomologie non ramifi\'ee d'un solide cubique lisse d\'efini sur le corps desfonctions d'une courbe complexe est nul. Ceci implique que la conjecture deHodge enti\`ere pour les classes de degr\'e 4 vaut pour les vari\'et\'esprojectives et lisses de dimension 4 fibr\'ees en solides cubiques au-dessusd'une courbe, sans restriction sur les fibres singuli\`eres. --------------- We prove that the third unramified cohomology group of a smooth cubicthreefold over the function field of a complex curve vanishes. For this, wecombine a method of C. Voisin with Galois descent on the codimension Chowgroup. As a corollary, we show that the integral Hodge conjecture holds fordegree classes on smooth projective fourfolds equipped with a fibrationover a curve, the generic fibre of which is a smooth cubic threefold, witharbitrary singularities on the special fibres.Comment: in Frenc
A bound to kill the ramification over function fields
No full textInternational audienceWe prove the integral Tate conjecture for cycles of codimension 2 on smooth cubic fourfolds over an algebraic closure of a field finitely generated over its prime subfield and of characteristic different from 2 or 3. The proof relies on the Tate conjecture with rational coefficients, proved in that setting by the first author, and on an argument of Voisin coming from complex geometry. Résumé Dans ce texte, on etablit une versionentì ere de la conjecture de Tate pour les cycles de codimension 2 sur une hypersurface cubique lisse X de P 5 sur une clôture algébrique d'un corps de type fini sur son sous-corps premier et de caractéristique différente de 2 et 3. La preuve s'appuie sur la conjecture de Tatè a coefficients rationnels prouvée dans ce cas par le premier auteur et sur un argument de géométrie complexe dû a Voisin
Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée
No full textIn this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts, divided into eight chapters. The first part is devoted to the study of R-equivalence on rational points of algebraic varieties. In chapter I.1, we prove that for some families X→Y of smooth projective geometrically rational varieties defined over a finite extension of Qp, the number of R-equivalence classes on Xy(k) is a locally constant function on Y(k). In chapter I.2, we establish the triviality of R-equivalence for rationally simply connected varieties defined over C(t). In chapter I.3, we introduce and analyze a different equivalence relation on rational points of varieties defined over a field equipped with a discrete valuation, and then compare it with R-equivalence. In chapter I.4, we study R-equivalence for varieties over real closed and p-adically closed fields. The second part of the thesis deals with some questions involving unramified cohomology. In chapter II.1, we use the third unramified cohomology group to give an example of a smooth, projective, geometrically rational variety X defined over a finite field Fp, such that the map from the Chow group of codimension two cycles on X to the Chow group of codimension two cycles over an algebraic closure, fixed by the Galois action, is not surjective. In chapter II.2, we prove the vanishing of the third unramified cohomology group for certain fibrations over a surface defined over a finite field whose generic fibre is a Severi-Brauer variety. In chapter II.3, we show that certain terms of the Bloch-Ogus spectral sequence are birational invariants for varieties over fields of bounded cohomological dimension. Then in the case of a finite field, we relate one of these invariants to the cokernel of the l-adic cycle class map for 1-cycles. Finally, in chapter II.4, we establish a “bound” for ramification of elements of the group Hr(K, Z/n), r>0, where K is the function field of an integral variety defined over a field of characteristic zero.Dans cette thèse, on s'intéresse à des propriétés arithmétiques de variétés algébriques. Elle contient deux parties et huit chapitres que l'on peut lire indépendamment. Dans la première partie on étudie la R-équivalence sur les points rationnels des variétés algébriques. Dans le chapitre I.1 on établit que pour certaines familles projectives et lisses X→Y de variétés géométriquement rationnelles sur un corps local k de caractéristique nulle le nombre des classes de R-équivalence de la fibre Xy(k) est localement constant quand y varie dans Y(k). Dans le chapitre I.2 on s'intéresse à des variétés rationnellement simplement connexes. On établit que la R-équivalence est triviale sur de telles variétés définies sur C(t). Dans le chapitre I.3 on introduit une autre relation d'équivalence sur les points rationnels des variétés définies sur un corps muni d'une valuation discrète et on étudie quelques propriétés de cette relation d'équivalence. Dans le chapitre I.4 on étudie la R-équivalence sur les variétés rationnellement connexes définies sur les corps réels clos ou p-adiqument clos. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions liées à la cohomologie non ramifiée. Dans le chapitre II.1 on utilise le troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour donner un exemple d'une variété projective et lisse géométriquement rationnelle X, définie sur un corps fini Fp, telle que l'application de groupes de Chow de codimension deux de la variété X dans le groupe de Chow de cycles de codimension deux sur la clôture algébrique, fixés par l’action de Galois, n'est pas surjective. Dans le chapitre II.2 on s'intéresse aux fibrations au-dessus d'une surface sur un corps fini dont la fibre générique est une variété de Severi-Brauer et on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée s'annule pour de telles variétés. Dans le chapitre II.3, on établit l'invariance birationnelle de certains termes de la suite spectrale de Bloch et Ogus pour des variétés sur un corps de dimension cohomologique bornée. Sur un corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application classe de cycle l-adique pour les 1-cycles. Dans le chapitre II.4, on s'intéresse à “borner” la ramification des éléments des groupes de cohomologie Hr(K, Z/n), r>0, si K est le corps des fonctions d'une variété intègre définie sur un corps de caractéristique nulle k
Two contributions to the arithmetic of varieties : R-equivalence and unramified cohomology
No full textDans cette thèse, on s'intéresse à des propriétés arithmétiques de variétés algébriques. Elle contient deux parties et huit chapitres que l'on peut lire indépendamment. Dans la première partie on étudie la R-équivalence sur les points rationnels des variétés algébriques. Dans le chapitre I.1 on établit que pour certaines familles projectives et lisses X→Y de variétés géométriquement rationnelles sur un corps local k de caractéristique nulle le nombre des classes de R-équivalence de la fibre Xy(k) est localement constant quand y varie dans Y(k). Dans le chapitre I.2 on s'intéresse à des variétés rationnellement simplement connexes. On établit que la R-équivalence est triviale sur de telles variétés définies sur C(t). Dans le chapitre I.3 on introduit une autre relation d'équivalence sur les points rationnels des variétés définies sur un corps muni d'une valuation discrète et on étudie quelques propriétés de cette relation d'équivalence. Dans le chapitre I.4 on étudie la R-équivalence sur les variétés rationnellement connexes définies sur les corps réels clos ou p-adiqument clos. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions liées à la cohomologie non ramifiée. Dans le chapitre II.1 on utilise le troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour donner un exemple d'une variété projective et lisse géométriquement rationnelle X, définie sur un corps fini Fp, telle que l'application de groupes de Chow de codimension deux de la variété X dans le groupe de Chow de cycles de codimension deux sur la clôture algébrique, fixés par l’action de Galois, n'est pas surjective. Dans le chapitre II.2 on s'intéresse aux fibrations au-dessus d'une surface sur un corps fini dont la fibre générique est une variété de Severi-Brauer et on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée s'annule pour de telles variétés. Dans le chapitre II.3, on établit l'invariance birationnelle de certains termes de la suite spectrale de Bloch et Ogus pour des variétés sur un corps de dimension cohomologique bornée. Sur un corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application classe de cycle l-adique pour les 1-cycles. Dans le chapitre II.4, on s'intéresse à “borner” la ramification des éléments des groupes de cohomologie Hr(K, Z/n), r>0, si K est le corps des fonctions d'une variété intègre définie sur un corps de caractéristique nulle k.In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts, divided into eight chapters. The first part is devoted to the study of R-equivalence on rational points of algebraic varieties. In chapter I.1, we prove that for some families X→Y of smooth projective geometrically rational varieties defined over a finite extension of Qp, the number of R-equivalence classes on Xy(k) is a locally constant function on Y(k). In chapter I.2, we establish the triviality of R-equivalence for rationally simply connected varieties defined over C(t). In chapter I.3, we introduce and analyze a different equivalence relation on rational points of varieties defined over a field equipped with a discrete valuation, and then compare it with R-equivalence. In chapter I.4, we study R-equivalence for varieties over real closed and p-adically closed fields. The second part of the thesis deals with some questions involving unramified cohomology. In chapter II.1, we use the third unramified cohomology group to give an example of a smooth, projective, geometrically rational variety X defined over a finite field Fp, such that the map from the Chow group of codimension two cycles on X to the Chow group of codimension two cycles over an algebraic closure, fixed by the Galois action, is not surjective. In chapter II.2, we prove the vanishing of the third unramified cohomology group for certain fibrations over a surface defined over a finite field whose generic fibre is a Severi-Brauer variety. In chapter II.3, we show that certain terms of the Bloch-Ogus spectral sequence are birational invariants for varieties over fields of bounded cohomological dimension. Then in the case of a finite field, we relate one of these invariants to the cokernel of the l-adic cycle class map for 1-cycles. Finally, in chapter II.4, we establish a “bound” for ramification of elements of the group Hr(K, Z/n), r>0, where K is the function field of an integral variety defined over a field of characteristic zero
Cubic surface bundles and the Brauer group
Get PDFIn this note we define a subgroup of unramified cohomology
group of a fibration . This subgroup can be used
efficiently in refined specialization arguments and allows to detect the
failure of stable rationality of a variety specializing to . We compute
systematically for many cubic surface bundles over
a smooth projective rational surface over an algebraically closed field: we
give a combinatorial formula in terms of components of the discriminant divisor
of .Comment: 16 page
La conjecture de Tate entiére pour les cubiques de dimension quatre
No full textthe main result is now stated over an algebraically closed fieldInternational audienceWe prove the Tate conjecture for integral degree 4 classes on a smooth cubic hypersurface X of dimension 4 over an algebraic closure of a field finitely generated over its prime subfield
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