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(Z_2)^n-Superalgebra and (Z_2)^n-Supergeometry
No full textThe present thesis deals with a development of linear algebra, geometry and analysis based on (Z_2)^n-superalgebras: associative unital algebras which are (Z_2)^n-graded (for some natural number n) and graded-commutative, i.e., satisfying ab = (-1)^ ba, for all homogeneous elements a, b of respective degrees deg(a), deg(b) in (Z_2)^n, and denoting the usual scalar product. This generalization widens the range of applications of supergeometry to many mathematical structures -- the algebra of quaternions H and more generally Clifford algebras, Deligne algebra of superdifferential forms, higher vector bundles ... -- and appears also in physics -- for describing anyons, paraparticles -- proving its worth and relevance. In this dissertation, we first focus on (Z_2)^n-superalgebra theory: we define and characterize the notions of trace, determinant and Berezinian of matrices over graded-commutative algebras. Special attention is given to the case of Clifford algebras, where our study gives a new approach to treat the classical problem of finding a “good” determinant for matrices with non-commuting (quaternionic) entries. Further, we undertake the study of (Z_2)^n-graded differenital geometry. Privileging the ringed space approach, we define (smooth) (Z_2)^n-supermanifolds modeling their algebras of functions on the (Z_2)^n-commutative algebra of formal power series in graded variables, and develop the theory along the lines of supergeometry. Notable results are: the graded Berezinian and its cohomological interpretation (essential to establish integration theory); the theorem of morphism, which states that a morphism of (Z_2)^n-supermanifolds can be recovered from its coordinate expression; an analogous of Batchelor-Gawedzki theorem for (Z_2)^n-supermanifolds.La présente thèse porte sur le développement d’une théorie d’algèbre linéaire, de géométrie
et d’analyse basée sur les algèbres (Z_2)^n-graduées-commutatives, c.-à-d. des algèbres graduées associatives unitaires satisfaisant ab = (-1)^ ba, pour tout couple d’éléments homogènes a, b de degrés deg(a), deg(b) dans (Z_2)^n (où est le produit scalaire usuel). La valeur et pertinence de cette généralisation de la supergéométrie résulte de ses nombreuses applications: en mathématiques -- l’algèbre de Deligne des superformes différentielles, l’algèbre des quaternions H et les algèbres de Clifford en sont des exemples -- et même en physique -- paraparticules, anyons. Dans ce travail, nous traitons tout d’abord l’aspect algébrique: les notions de trace et de (super)déterminant pour des matrices à coefficients dans une algèbre graduée-commutative sont définies et étudiées (en particulier leurs charactérisations axiomatiques sont prouvées). Une attention particulière est porté au cas des algèbres de Clifford: ce point de vue ‘gradué’ fournit une nouvelle approche au problème classique de trouver un “bon” déterminant pour des matrices à coefficients non-commutatifs (quaternioniques). En outre, nous entreprenons l’étude de la géométrie différentielle (Z_2)^n-graduée. Privilégiant l’approche par les espaces annelés, les (Z_2)^n-supervariétés (lisses) sont définies en choisissant l’algèbre (Z_2)^n-commutative des séries formelles en variables graduées comme modèle pour leur faisceau de fonctions. La théorie est par la suite développée dans le sens de la supergéométrie. Les résultats les plus marquants ainsi obtenus sont: le Berezinien gradué et son interprétation cohomologique (essentielle pour établir une théorie de l’intégration); le théorème des morphismes, attestant qu’on peut rétablir un morphisme entre (Z_2)^n-supervariétés à partir de sa seule expression sur les coordonnées; l’analogue du théorème de Batchelor-Gawedzki pour les (Z_2)^n-supervariétés lisses
Combinatorics of the modular group : from continued fractions to the description of congruence subgroups.
No full textCe travail est consacré à l'étude de la combinatoire du groupe modulaire. Plus précisément, on considère une écriture des éléments de ce groupe découlant du choix des générateurs et utilisant uniquement des entiers strictement positifs. Notre objectif principal est de trouver toutes les écritures possibles de cette forme d'une matrice, ou d'un ensemble de matrices, du groupe modulaire et de trouver, si possible, des descriptions combinatoires simples de celles-ci. On commencera par étudier les différentes écritures possibles des générateurs classiques S et T et on donnera pour celles-ci une description combinatoire basée sur des découpages de polygones. Ensuite, en lien avec un problème posé par M. Cuntz, on s'intéressera aux écritures de Id ou -Id lorsque l'on considère des éléments de certains sous-ensembles de C à la place d'entiers strictement positifs, notamment des éléments de Z[alpha] avec alpha un nombre complexe transcendant. Pour finir, on étudiera les différentes écritures des éléments de certains sous-groupes de congruence. En particulier, on s'intéressera aux écritures dont toutes les composantes sont identiques. Pour effectuer tout cela, on utilisera une notion d'irréductibilité déjà introduite dans l'étude des frises de Coxeter et on essayera d'obtenir des informations sur l'ensemble des éléments irréductibles.This work is devoted to the study of the combinatorics of the modular group. More precisely, we consider an expression of the elements of this group arising from the choice of generators and using only positive integers. Our main objective is to find all possible expressions of this form of a matrix, or of a set of matrices, of the modular group and to find, if possible, simple combinatorial descriptions of them. We will start by studying the different possible expressions of the classical generators S and T and we will give for them a combinatorial description based on polygonal dissections. Then, in connection with a problem raised by M. Cuntz, we will be interested in the different expressions of Id or -Id when we consider elements of some subsets of C instead of positive integers, such that Z[alpha] with alpha a transcendental complex number. Finally, we will study the different expressions of the elements of some congruence subgroups. In particular, we will be interested in the expressions for which all the components are identical. To do this, we will use a notion of irreducibility already introduced in the study of Coxeter friezes and we will try to obtain informations about the set of irreducible elements
Non-Abelian Painlevé equations
No full textDes extensions non abéliennes de divers systèmes intégrables constituent l'un des centres d'intérêt de la physique mathématique moderne. En raison du lien étroit entre les modèles intégrables et les équations de Painlevé, ces dernières constituent un bon exemple de ce phénomène.Cette thèse est consacrée aux problèmes de classification liés aux généralisations non abéliennes pour les célèbres équations différentielles de Painlevé et à l'étude des analogues non abéliens des surfaces de monodromie pour la deuxiéme équation de Painlevé.Afin de classifier les analogues non abéliens avec des paramètres abéliens pour l'équation de Painlevé, nous considérons des systèmes autonomes auxiliaires obtenus en fixant la variable "indépendante".Nous supposons que ces systèmes sont intégrables au sens classique, c'est-à-dire qu'ils doivent avoir soit un hamiltonien, soit des intégrales premières, soit des symétries commutatives.En ce qui concerne ces critères, nous avons trouvé une classe d'équations de Painlevé non abéliennes qui admet une représentation à courbure nulle et qui est fermée par dégénérescence.Des exemples de nouveaux systèmes avec un paramètre non abélien sont également discutés.Des surfaces de monodromie non commutatives peuvent être obtenues en considérant les données de monodromie du système linéaire équivalent à la deuxiéme équation de Painlevé.Des analogues non abéliens pour les surfaces de monodromie de type FN et de type JM sont présentés.Non-abelian extensions of various integrable systems are one of the interests of modern mathematical physics. Due to the close connection between integrable models and the Painlevé equations, the latter provide a good example of this phenomena. The thesis is devoted to classification problems related to non-abelian generalisations for the famous differential Painlevé equations and to the study of non-abelian analogs of the monodromy surfaces for the second Painlevé equation. In order to classify non-abelian analogs with abelian parameters for the Painlevé equation, we consider auxiliary autonomous systems obtained by freezing the “independent” variable. We assume that these systems are integrable in classical sense, namely, they must have either a Hamiltonian, or first integrals, or commuting symmetries. Regarding such criteria, we have found a class of non-abelian Painlevé equations that admits a zero-curvature representation and is close under the degeneracy procedure. Examples of new systems with a non-abelian parameter are also discussed. Non-commutative monodromy surfaces can be obtained by considering the monodromy data of the linear system equivalent to the second Painlevé equation. As a result, non-abelian analogs for monodromy surfaces of the FN-type and JM-type are presented in the thesis
Going Beyond Counting First Authors in Author Co-citation Analysis
Full text linkThe present study examines one of the fundamental aspects of author co-citation analysis (ACA) - the way co-citation
counts are defined. Co-citation counting provides the data on which all subsequent statistical analyses and mappings
are based, and we compare ACA results based on two different types of co-citation counting - the traditional type that
only counts the first one among a cited work's authors on the one hand and a non-traditional type that takes into
account the first 5 authors of a cited work on the other hand. Results indicate that the picture produced through this non-traditional author co-citation counting contains more coherent author groups and is therefore considerably clearer. However, this picture represents fewer specialties in the research field being studied than that produced through the traditional first-author co-citation counting when the same number of top-ranked authors is selected and analyzed. Reasons for these effects are discussed
Schur-Weyl Duality and Representations of Permutation Groups
No full textThe Schur-Weyl duality provides a systematic approach to the study of representations of the classical groups. In this contribution we use the Schur-Weyl duality to analyze the natural representations of the symmetric group S_n arising from the irreducible GL(n, C) and SL(n, C)-modules. This paper is dedicated to A. A. Kirillov on the occasion of his 2^6-th birthday
Variations on the Author
Full text link“Variations on the Author” discusses two of Eduardo Coutinho’s recent films (Um Dia na Vida, from 2010, and Últimas Conversas, posthumously released in 2015) and their contribution to the general question of documentary authorship. The director’s filmography is characterized by a consistent yet self-effacing form of authorial self-inscription: Coutinho often features as an interviewer that rather than express opinions propels discourses; an interviewer that is good at listening. This mode of self-inscription characterizes him as an author who is not expressive but who is nonetheless markedly present on the screen. In Um Dia na Vida, however, Coutinho is completely absent form the image, while Últimas Conversas, on the contrary, includes a confessional prologue that moves the director from the margins to the center of his films. This article examines the ways in which these works stand out in the filmography of a director who offers new insights into the notion of cinematic authorship
Appropriate Similarity Measures for Author Cocitation Analysis
Full text linkWe provide a number of new insights into the methodological discussion about author cocitation analysis. We first argue that the use of the Pearson correlation for measuring the similarity between authors’ cocitation profiles is not very satisfactory. We then discuss what kind of similarity measures may be used as an alternative to the Pearson correlation. We consider three similarity measures in particular. One is the well-known cosine. The other two similarity measures have not been used before in the bibliometric literature. Finally, we show by means of an example that our findings have a high practical relevance.information science;Pearson correlation;cosine;similarity measure;author cocitation analysis
Bi-Hamiltonian nature of the equation
No full textWe study non-linear integrable partial differential equations naturally arising as bi-Hamiltonian Euler equations related to the looped cotangent Virasoro algebra. This infinite-dimensional Lie algebra (constructed in \cite{OR}) is a generalization of the classical Virasoro algebra to the case of two space variables. Two main examples of integrable equations we obtain are quite well known. We show that the relation between these two equations is similar to that between the Korteweg-de Vries and Camassa-Holm equations
Vector fields in the presence of a contact structure
No full text10 pagesWe consider the Lie algebra of all vector fields on a contact manifold as a module over the Lie subalgebra of contact vector fields. This module is split into a direct sum of two submodules: the contact algebra itself and the space of tangent vector fields. We study the geometric nature of these two modules
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