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Equations de Maxwell en présence de méta-matériaux
No full textThe main subject of this thesis is the study of time-harmonic electromagnetic waves in a heterogeneous medium composed of a dielectric and a negative material (i.e. with a negative dielectric permittivity ε and/or a negative magnetic permeability μ) which are separated by an interface with a conical tip. Because of the sign-change in ε and/or μ, the Maxwell’s equations can be ill-posed in the classical L2 −frameworks. On the other hand, we know that when the two associated scalar problems, involving respectively ε and μ, are well-posed in H1, the Maxwell’s equations are well-posed. By combining the T-coercivity approach with the Mellin analysis in weighted Sobolev spaces, we present, in the first part of this work, a detailed study of these scalar problems. We prove that for each of them, the well-posedeness in H1 is lost iff the associated contrast belong to some critical set called the critical interval. These intervals correspond to the sets of negative contrasts for which propagating singularities, also known as black hole waves, appear at the tip. Contrary to the case of a 2D corner, for a 3D tip, several black hole waves can exist. Explicit expressions of these critical intervals are obtained for the particular case of circular conical tips. For critical contrasts, using the Mandelstam radiation principle, we construct functional frameworks in which well-posedness of the scalar problems is restored. The physically relevant framework is selected by a limiting absorption principle. In the process, we present a new numerical strategy for 2D/3D scalar problems in the non-critical case. This approach, presented in the second part of this work, contrary to existing ones, does not require additional assumptions on the mesh near the interface. The third part of the thesis concerns Maxwell’s equations with one or two critical coefficients. By using new results of vector potentials in weighted Sobolev spaces, we explain how to construct new functional frameworks for the electric and magnetic problems, directly related to the ones obtained for the two associated scalar problems. If one uses the setting that respects the limiting absorption principle for the scalar problems, then the settings provided for the electric and magnetic problems are also coherent with the limiting absorption principle. Finally, the last part is devoted to the homogenization process for time-harmonic Maxwell’s equations and associated scalar problems in a 3D domain that contains a periodic distribution of inclusions made of negative material. Using the T-coercivity approach, we obtain conditions on the contrasts such that the homogenization results is possible for both the scalar and the vector problems. Interestingly, we show that the homogenized matrices associated with the limit problems are either positive definite or negative definite.Le sujet principal de cette thèse est l’étude de la propagation des ondes électromagnétiques, en régime harmonique, dans un milieu hétérogène composé d’un diélectrique et d’un matériau négatif (c’est-à-dire avec une permittivité diélectrique négative ε et/ou une perméabilité magnétique négative μ) qui sont séparés par une interface avec une pointe conique. En raison du changement de signe de ε et/ou μ, les équations de Maxwell peuvent être mal posées dans les cadres classiques (basés sur l’espace L2). D’autre part, nous savons que lorsque les deux problèmes scalaires associés, impliquant respectivement ε et μ, sont bien posés dans H1, les équations de Maxwell sont bien posées. En combinant la méthode de la T-coercivité avec l’analyse de Mellin dans les espaces de Sobolev à poids, nous présentons, dans la première partie de ce travail, une étude détaillée de ces problèmes scalaires. Nous prouvons que pour chacun d’entre eux, le caractère bien posé dans H1 est perdu si et seulement si le contraste associé appartient à un ensemble critique appelé intervalle critique. Ces intervalles correspondent aux ensembles de contrastes négatifs pour lesquels des singularités propagatives, aussi appelées ondes de trou noir, apparaissent à l’extrémité de la pointe. Contrairement au cas d’un coin 2D, pour une pointe 3D, plusieurs ondes de trou noir peuvent exister. Des expressions explicites de ces intervalles critiques sont obtenues pour le cas particulier des pointes coniques circulaires. Pour les contrastes critiques, en utilisant le principe de radiation de Mandelstam, nous construisons des cadres fonctionnels dans lesquels le caractère bien posé des problèmes scalaires est restauré. Le cadre physiquement pertinent est sélectionné par un principe d’absorption limite. En outre, nous présentons, dans la deuxième partie de ce travail, une nouvelle méthode numérique pour les problèmes scalaires dans le cas des contrastes non-critiques. Cette approche, contrairement aux techniques existantes, ne nécessite pas d’hypothèses supplémentaires sur le maillage au voisinage de l’interface. La troisième partie de la thèse concerne l’étude des équations de Maxwell avec un ou deux coefficients critiques. En utilisant de nouveaux résultats de potentiels vecteurs dans des espaces de Sobolev à poids, nous expliquons comment construire de nouveaux cadres fonctionnels pour les problèmes électrique et magnétique, qui sont directement liés à ceux obtenus pour les deux problèmes scalaires associés. Si l’on utilise le cadre qui respecte le principe d’absorption limite pour les problèmes scalaires, alors les cadres fournis pour les problèmes électrique et magnétique sont également cohérents avec le principe d’absorption limite. Enfin, la dernière partie porte sur des résultats d’homogénéisation des équations de Maxwell harmoniques et des problèmes scalaires associés dans un domaine 3D qui contient une distribution périodique d’inclusions faites de matériau négatif. En utilisant l’approche de la T-coercivité, nous obtenons des conditions sur les contrastes telles que le processus d’homogénéisation est possible pour les problèmes scalaires et vectoriels. De façon peu intuitive, nous montrons que les matrices homogénéisées associées auxproblèmes limites sont soit définies positives, soit définies négatives
Equations de Maxwell en présence de méta-matériaux
No full textThe main subject of this thesis is the study of time-harmonic electromagnetic waves in a heterogeneous medium composed of a dielectric and a negative material (i.e. with a negative dielectric permittivity ε and/or a negative magnetic permeability μ) which are separated by an interface with a conical tip. Because of the sign-change in ε and/or μ, the Maxwell’s equations can be ill-posed in the classical L2 −frameworks. On the other hand, we know that when the two associated scalar problems, involving respectively ε and μ, are well-posed in H1, the Maxwell’s equations are well-posed. By combining the T-coercivity approach with the Mellin analysis in weighted Sobolev spaces, we present, in the first part of this work, a detailed study of these scalar problems. We prove that for each of them, the well-posedeness in H1 is lost iff the associated contrast belong to some critical set called the critical interval. These intervals correspond to the sets of negative contrasts for which propagating singularities, also known as black hole waves, appear at the tip. Contrary to the case of a 2D corner, for a 3D tip, several black hole waves can exist. Explicit expressions of these critical intervals are obtained for the particular case of circular conical tips. For critical contrasts, using the Mandelstam radiation principle, we construct functional frameworks in which well-posedness of the scalar problems is restored. The physically relevant framework is selected by a limiting absorption principle. In the process, we present a new numerical strategy for 2D/3D scalar problems in the non-critical case. This approach, presented in the second part of this work, contrary to existing ones, does not require additional assumptions on the mesh near the interface. The third part of the thesis concerns Maxwell’s equations with one or two critical coefficients. By using new results of vector potentials in weighted Sobolev spaces, we explain how to construct new functional frameworks for the electric and magnetic problems, directly related to the ones obtained for the two associated scalar problems. If one uses the setting that respects the limiting absorption principle for the scalar problems, then the settings provided for the electric and magnetic problems are also coherent with the limiting absorption principle. Finally, the last part is devoted to the homogenization process for time-harmonic Maxwell’s equations and associated scalar problems in a 3D domain that contains a periodic distribution of inclusions made of negative material. Using the T-coercivity approach, we obtain conditions on the contrasts such that the homogenization results is possible for both the scalar and the vector problems. Interestingly, we show that the homogenized matrices associated with the limit problems are either positive definite or negative definite.Le sujet principal de cette thèse est l’étude de la propagation des ondes électromagnétiques, en régime harmonique, dans un milieu hétérogène composé d’un diélectrique et d’un matériau négatif (c’est-à-dire avec une permittivité diélectrique négative ε et/ou une perméabilité magnétique négative μ) qui sont séparés par une interface avec une pointe conique. En raison du changement de signe de ε et/ou μ, les équations de Maxwell peuvent être mal posées dans les cadres classiques (basés sur l’espace L2). D’autre part, nous savons que lorsque les deux problèmes scalaires associés, impliquant respectivement ε et μ, sont bien posés dans H1, les équations de Maxwell sont bien posées. En combinant la méthode de la T-coercivité avec l’analyse de Mellin dans les espaces de Sobolev à poids, nous présentons, dans la première partie de ce travail, une étude détaillée de ces problèmes scalaires. Nous prouvons que pour chacun d’entre eux, le caractère bien posé dans H1 est perdu si et seulement si le contraste associé appartient à un ensemble critique appelé intervalle critique. Ces intervalles correspondent aux ensembles de contrastes négatifs pour lesquels des singularités propagatives, aussi appelées ondes de trou noir, apparaissent à l’extrémité de la pointe. Contrairement au cas d’un coin 2D, pour une pointe 3D, plusieurs ondes de trou noir peuvent exister. Des expressions explicites de ces intervalles critiques sont obtenues pour le cas particulier des pointes coniques circulaires. Pour les contrastes critiques, en utilisant le principe de radiation de Mandelstam, nous construisons des cadres fonctionnels dans lesquels le caractère bien posé des problèmes scalaires est restauré. Le cadre physiquement pertinent est sélectionné par un principe d’absorption limite. En outre, nous présentons, dans la deuxième partie de ce travail, une nouvelle méthode numérique pour les problèmes scalaires dans le cas des contrastes non-critiques. Cette approche, contrairement aux techniques existantes, ne nécessite pas d’hypothèses supplémentaires sur le maillage au voisinage de l’interface. La troisième partie de la thèse concerne l’étude des équations de Maxwell avec un ou deux coefficients critiques. En utilisant de nouveaux résultats de potentiels vecteurs dans des espaces de Sobolev à poids, nous expliquons comment construire de nouveaux cadres fonctionnels pour les problèmes électrique et magnétique, qui sont directement liés à ceux obtenus pour les deux problèmes scalaires associés. Si l’on utilise le cadre qui respecte le principe d’absorption limite pour les problèmes scalaires, alors les cadres fournis pour les problèmes électrique et magnétique sont également cohérents avec le principe d’absorption limite. Enfin, la dernière partie porte sur des résultats d’homogénéisation des équations de Maxwell harmoniques et des problèmes scalaires associés dans un domaine 3D qui contient une distribution périodique d’inclusions faites de matériau négatif. En utilisant l’approche de la T-coercivité, nous obtenons des conditions sur les contrastes telles que le processus d’homogénéisation est possible pour les problèmes scalaires et vectoriels. De façon peu intuitive, nous montrons que les matrices homogénéisées associées auxproblèmes limites sont soit définies positives, soit définies négatives
Invisible floating objects
No full textInternational audienceWe consider a time-harmonic water waves problem in a 2D waveguide. The geometry is symmetric with respect to an axis orthogonal to the direction of propagation of waves. Moreover, the waveguide contains two floating obstacles separated by a distance L. We study the behaviours of R (the reflection coefficient) and T (the transmission coefficient) as L tends to +∞. From this analysis, we exhibit situations of non reflectivity (R = 0, |T | = 1) or perfect invisibility (R = 0, T = 1)
An optimal control-based numerical method for scalar transmission problems with sign-changing coefficients
No full textInternational audienceIn this work, we present a new numerical method for solving the scalar transmission problem with sign-changing coefficients. In electromagnetism, such a transmission problem can occur if the domain of interest is made of a classical dielectric material and a metal or a metamaterial, with for instance an electric permittivity that is strictly negative in the metal or metamaterial. The method is based on an optimal control reformulation of the problem. Contrary to other existing approaches, the convergence of this method is proved without any restrictive condition. In particular, no condition is imposed on the a priori regularity of the solution to the problem, and no condition is imposed on the meshes, other than that they fit with the interface between the two media. Our results are illustrated by some (2D) numerical experiments
Homogenization of Maxwell's equations and related scalar problems with sign-changing coefficients
No full textInternational audienceIn this work, we are interested in the homogenization of time-harmonic Maxwell's equations in a composite medium with periodically distributed small inclusions of a negative material. Here a negative material is a material modelled by negative permittivity and permeability. Due to the sign-changing coefficients in the equations, it is not straightforward to obtain uniform energy estimates to apply the usual homogenization techniques. The goal of this article is to explain how to proceed in this context. The analysis of Maxwell's equations is based on a precise study of two associated scalar problems: one involving the sign-changing permittivity with Dirichlet boundary conditions, another involving the sign-changing permeability with Neumann boundary conditions. For both problems, we obtain a criterion on the physical parameters ensuring uniform invertibility of the corresponding operators as the size of the inclusions tends to zero. In the process, we explain the link existing with the so-called Neumann-Poincaré operator, complementing the existing literature on this topic. Then we use the results obtained for the scalar problems to derive uniform energy estimates for Maxwell's system. At this stage, an additional difficulty comes from the fact that Maxwell's equations are also sign-indefinite due to the term involving the frequency. To cope with it, we establish some sort of uniform compactness result.Dans ce travail, nous nous intéressons à l’homogénéisation des équations de Maxwell harmoniques dans un milieu composite contenant une distribution périodique de petites inclusions de matériau négatif. On désigne ici par matériau négatif un matériau décrit par une permittivité et une perméabilité négatives. En raison du changement de signe des coefficients intervenant dans les équations, il n’est pas évident d’obtenir des estimations d’énergie uniformes et d’appliquer les techniques d’homogénéisation classiques. Le but de cet article est d’indiquer comment on peut néanmoins procéder dans ce contexte. L’analyse des équations de Maxwell est basée sur une étude précise de deux problèmes scalaires : l’un faisant intervenir la permittivité changeant de signe avec des conditions aux limites de Dirichlet, et l’autre la perméabilité changeant de signe avec des conditions aux limites de Neumann. Pour chacun de ces deux problèmes, on obtient un critère portant sur les paramètres physiques garantissant l’inversibilité uniforme des opérateurs associés lorsque la taille des inclusions tend vers zéro. Incidemment, nous expliquons le lien existant avec l’opérateur de Neumann–Poincaré, complétant la littérature existant sur le sujet. Les résultats obtenus pour les problèmes scalaires sont ensuite utilisés pour obtenir des estimations d’énergie uniforme pour le système de Maxwell. A ce stade, il faut contourner une difficulté supplémentaire liée au caractère indéfini induit par le terme fréquentiel. Ceci est réalisé en établissant un résultat de type compacité uniforme
Solving numerically the two-dimensional time harmonic Maxwell problem with sign-changing coefficients
No full textWe are investigating the numerical solution to the 2D time-harmonic Maxwell equations in the presence of a classical medium and a metamaterial, that is with sign-changing coefficients. As soon as the problem has a unique solution, we are able to build a converging numerical approximation based on the finite element method, for which there is no constraint on the meshes related to the sign-changing behavior. Numerical examples illustrate the theory
Maxwell's equations with hypersingularities at a negative index material conical tip
No full textInternational audienceWe study a transmission problem for the time harmonic Maxwell's equations between a classical positive material and a so-called negative index material in which both the permittivity ε and the permeability µ take negative values. Additionally, we assume that the interface between the two domains is smooth everywhere except at a point where it coincides locally with a conical tip. In this context, it is known that for certain critical values of the contrasts in ε and in µ, the corresponding scalar operators are not of Fredholm type in the usual H^1 spaces. In this work, we show that in these situations, the Maxwell's equations are not well-posed in the classical L^2 framework due to existence of hypersingular fields which are of infinite energy at the tip. By combining the T-coercivity approach and the Kondratiev theory, we explain how to construct new functional frameworks to recover well-posedness of the Maxwell's problem. We also explain how to select the setting which is consistent with the limiting absorption principle. From a technical point of view, the fields as well as their curls decompose as the sum of an explicit singular part, related to the black hole singularities of the scalar operators, and a smooth part belonging to some weighted spaces. The analysis we propose rely in particular on the proof of new key results of scalar and vector potential representations of singular fields
Homogenization of Maxwell's equations and related scalar problems with sign-changing coefficients
No full textIn this work, we are interested in the homogenization of time-harmonic Maxwell's equations in a composite medium with periodically distributed small inclusions of a negative material. Here a negative material is a material modelled by negative permittivity and permeability. Due to the sign-changing coefficients in the equations, it is not straightforward to obtain uniform energy estimates to apply the usual homogenization techniques. The goal of this article is to explain how to proceed in this context. The analysis of Maxwell's equations is based on a precise study of two associated scalar problems: one involving the sign-changing permittivity with Dirichlet boundary conditions, another involving the sign-changing permeability with Neumann boundary conditions. For both problems, we obtain a criterion on the physical parameters ensuring uniform invertibility of the corresponding operators as the size of the inclusions tends to zero. In the process, we explain the link existing with the so-called Neumann-Poincaré operator, complementing the existing literature on this topic. Then we use the results obtained for the scalar problems to derive uniform energy estimates for Maxwell's system. At this stage, an additional difficulty comes from the fact that Maxwell's equations are also sign-indefinite due to the term involving the frequency. To cope with it, we establish some sort of uniform compactness result
Maxwell's equations with hypersingularities at a negative index material conical tip
No full textInternational audienceWe study a transmission problem for the time harmonic Maxwell's equations between a classical positive material and a so-called negative index material in which both the permittivity ε and the permeability µ take negative values. Additionally, we assume that the interface between the two domains is smooth everywhere except at a point where it coincides locally with a conical tip. In this context, it is known that for certain critical values of the contrasts in ε and in µ, the corresponding scalar operators are not of Fredholm type in the usual H^1 spaces. In this work, we show that in these situations, the Maxwell's equations are not well-posed in the classical L^2 framework due to existence of hypersingular fields which are of infinite energy at the tip. By combining the T-coercivity approach and the Kondratiev theory, we explain how to construct new functional frameworks to recover well-posedness of the Maxwell's problem. We also explain how to select the setting which is consistent with the limiting absorption principle. From a technical point of view, the fields as well as their curls decompose as the sum of an explicit singular part, related to the black hole singularities of the scalar operators, and a smooth part belonging to some weighted spaces. The analysis we propose rely in particular on the proof of new key results of scalar and vector potential representations of singular fields
Maxwell's equations with hypersingularities at a conical plasmonic tip
No full textInternational audienceIn this work, we are interested in the analysis of time-harmonic Maxwell's equations in presence of a conical tip of a material with negative dielectric constants. When these constants belong to some critical range, the electromagnetic field exhibits strongly oscillating singularities at the tip which have infinite energy. Consequently Maxwell's equations are not well-posed in the classical framework. The goal of the present work is to provide an appropriate functional setting for 3D Maxwell's equations when the dielectric permittivity (but not the magnetic permeability) takes critical values. Following what has been done for the 2D scalar case, the idea is to work in weighted Sobolev spaces, adding to the space the so-called outgoing propagating singularities. The analysis requires new results of scalar and vector potential representations of singular fields. The outgoing behaviour is selected via the limiting absorption principle
