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Sharp ill-posedness result for the periodic Benjamin–Ono equation
No full textAbstractWe prove the discontinuity for the weak L2(T)-topology of the flow-map associated with the periodic Benjamin–Ono equation. This ensures that this equation is ill-posed in Hs(T) as soon as s<0 and thus completes exactly the well-posedness result obtained in Molinet (2008) [12]
Long time behaviour of some dispersive partial differential equations (PDEs)
No full textDans cette thèse on étudie la stabilité orbitale des ondes solitaires de deux types d’équations d’évolution non linéaires: l’équation de Degasperis-Procesi (DP), qui est une équation du type Camassa-Holm, et l’équation de Kawahara généralisée (gKW), qui correspond à une équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) supplémentée d’un terme d’ordre 5. Sur le modèle DP on apporte une amélioration significative de la preuve de la stabilité d’un peakon donnée par Lin et Liu. Puis, en utilisant la méthode de Martel-Merle-Tsai adaptée par El Dika-Molinet dans le cas de l’équation de Camassa-Holm, on montre que la somme de N peakons, de vitesses croissantes et suffisamment distants les uns des autres à l’instant initial, est orbitalement stable. Sur le modèle de Kawahara généralisé, on prouve l’existence de deux branches d’ondes solitaires : l’une construite en appliquant le théorème des fonctions implicites au voisinage d’une onde solitaire explicite de gKW découverte par Dey. al., l’autre construite en résolvant un problème de minimisation sur R, avec une contrainte qui force la famille à converger vers le soliton explicite de l’équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) lorsque le coefficient devant l’opérateur d’ordre 5 tend vers 0. Par remise à l’échelle, on obtient ainsi une branche constituée d’ondes solitaires voyageant à faibles vitesses. On prouve ensuite que les ondes solitaires constituant ces deux branches sont orbitalement stables en appliquant la méthode spectrale introduite par Benjamin et des arguments de continuité.No summary availabl
Local and asymptotic analysis for some longwave approximations of fluid dynamics equations
No full textCette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous étudions la stabilité orbitale et asymptotique de certaines ondes solitaires pointues (appelées peakons) de l'équation de Novikov. Dans la seconde partie, nous étudions le caractère bien posé local et global pour certaines équations de type Korteweg-de Vries en dimension un et deux, lorsqu'on pose le problème autour d'une fonction bornée sans décroissance spatiale particulière.L'équation de Novikov est une généralisation d'ordre supérieur de l'équation de Camassa-Holm. Elle possède une non-linéarité cubique, est complètement intégrable et conserve toutes les propriétés intéressantes (physiquement pertinentes) de l'équation de Camassa-Holm. Pour cette équation nous commençons par revisiter les résultats déjà connus de stabilité orbitale des peakons et nous établissons celle des multi-peakons. Puis, motivé par l'approche développée pour l'équation de Camassa-Holm, nous montrons la stabilité asymptotique des peakons et des multi-peakons de l'équation de Novikov. Pour cela nous introduisons en particulier une nouvelle fonctionnelle de Lyapunov qui peut être adaptée à un grand nombre de généralisations de Camassa-Holm d'ordre supérieur.Les équations Korteweg-de Vries généralisées et l'équation de Zakharov-Kuznetsov sont des modèles asymptotiques classiques respectivement uni et bi-dimensionels pour la propagation d'ondes longues dans un milieu dispersif ayant une réponse non linéaire.Nous étudions le caractère bien posé local et global dans ''l'espace d'énergie" de ces équations dans un contexte assez général, où nous permettons à la solution d'évoluer autour d'une fonction bornée ��. Cela nous permet de fournir un cadre afin étudier l'évolution temporelle des perturbations localisées de kinks, ainsi que des perturbations localisées des solutions périodiques de chacune de ces équations. Les approches classiques basées sur une utilisation du théorème du point fixe de Banach ne peuvent pas aboutir dans cette configuration du fait de la perte d'une dérivée due à l'introduction de la fonction ��. Nous sommes donc amenés à nous tourner vers des raffinements de la méthode d'énergie. Nous utilisons deux approches différentes selon la dimension. La première approche repose sur une méthode introduite par Molinet-Vento qui utilise le caractàre fortement non résonant de l'équation de Korteweg-de Vries classique. Elle est de ce fait moins bien adaptée aux dimensions supérieures mais à l'avantage de donner en plus l'unicité inconditionnelle (unicité des solutions faibles). La deuxième approche repose sur l'utilisation des espaces Bourgain en temps courts, développée en particulier par Ionescu, Kenig et Tataru. Ici un choix approprié du rapport entre la longueur des petits intervalles de temps et l'inverse de la fréquence spatiale permet entre autre de rattraper la perte de dérivée.This thesis is composed of two independent parts. In the first part, we study the orbital and asymptotic stability of certain peaked solitary waves (peakons) of the Novikov equation. In the second part, we study the local and global well-posedness for certain Korteweg-de Vries type equations in dimensions one and two, when the problem is posed in the background of a bounded function without any particular spatial decay.The Novikov equation is a higher-order generalization of the Camassa-Holm equation. It has a cubic nonlinearity, is completely integrable, and keeps all the interesting (physically relevant) properties of the Camassa-Holm equation. For this equation, we start by revisiting the already known orbital stability results for peakons, and we establish the corresponding result for multi-peakons. Then, motivated by the approach developed for the Camassa-Holm equation, we show the asymptotic stability of peakons and multi-peakons of the Novikov equation. With this aim, we introduce in particular a new Lyapunov functional, which can be adapted to a large number of higher-order generalizations of the Camassa-Holm equation.The generalized Korteweg-de Vries equations and the Zakharov-Kuznetsov equation are classical asymptotic models, in dimensions one and two respectively, for the propagation of long waves in a dispersive medium with a nonlinear response. We study the local and global well-posedness of these equations in the "energy space", in a rather general context, where we allow the solution to evolve in the background of a bounded function ��. These results provide a framework for studying the time evolution of localized perturbations of Kinks, as well as localized non-periodic perturbations of periodic solutions for each of these equations. Classical approaches based on the use of Banach's fixed point theorem cannot succeed in the present configuration due to the loss of a derivative due to the introduction of the non-integrable background function ��. Thus, we are led to turn to refinements of the energy method. We use two different approaches depending on whether we are on the one- or two-dimensional case. The first approach is based on a method introduced by Molinet-Vento which uses the strongly non-resonant character of the classical Korteweg-de Vries equation. This method is not well suited to higher dimensional problems but has the advantage of providing, in addition, the unconditional uniqueness of solutions (uniqueness of weak solutions). The second approach is based on the use of short-time Bourgain spaces, introduced for the first time by Ionescu, Kenig, and Tataru. Here, an appropriate choice of the relationship between the length of the time intervals and the inverse of the spatial frequency allows us, among other things, to recover the derivative loss
Global solutions for the one-dimensional Boussinesq-Peregrine system under small bottom variation
No full textThe Boussinesq-Peregrine system is derived from the water waves system in
presence of topographic variation under the hypothesis of shallowness and small
amplitude regime. The system becomes significantly simpler (at least in the
mathematical sens) under the hypothesis of small topographic variation. In this
work we study the long time and global well-posedness of the
Boussinesq-Peregrine system. We start by showing the intermediate time
well-posedness in the case of general topography (i.e. the amplitude of the
bottom graph ). The novelty resides in the functional setting,
. Then we show our main result
establishing that the global existence result obtained in
Molinet-Talhouk-Zaiter in the flat bottom case is still valid for the
Boussinesq-Peregrine system under the hypothesis of small amplitude bottom
variation (i.e. ). More precisely we prove that this system is
unconditionally globally well-posed in the Sobolev spaces of type . Finally, we show the existence of a weak
global solution in the Schonbek sense, i.e. existence of low regularity
entropic solutions of the small bottom amplitude Boussinesq-Pelegrine equations
emanating from and in an Orlicz class as weak
limits of regular solutions
Improved bilinear Strichartz estimates with application to the well-posedness of periodic generalized KdV type equations
No full textWe improve our previous result [L. Molinet and T. Tanaka, Unconditional
well-posedness for some nonlinear periodic one-dimensional dispersive
equations, J. Funct. Anal. 283 (2022), 109490] on the Cauchy problem for one
dimensional dispersive equations with a quite general nonlinearity in the
periodic setting. Under the same hypotheses that the dispersive operator
behaves for high frequencies as a Fourier multiplier by ,
with , and that the nonlinear term is of the form where is a real analytic function whose Taylor series
around the origin has an infinite radius of convergence, we prove the
unconditional LWP of the Cauchy problem in for with . It is worth noticing that this result is
optimal in the case (generalized KdV equation) in view of the
restriction for the continuous injection of into
. Our main new ingredient is the remplacement of
improved Strichartz estimates by improved bilinear estimates in the treatment
of the worst resonant interactions. Such improved bilinear estimates already
appeared in the work of Hani in the context of Schr\"odinger equations on a
compact manifold. Finally note that this enables us to derive global existence
results for .Comment: 38 pages. Fixed typos. Updated reference
Sharp ill-posedness result for the periodic Benjamin-Ono equation (ERRATUM : PAPER WITHDRAWN)
No full textERRATUM : This paper has been withdrawn by the author since there were errors in the calculus of the defect coefficient in Page 11. The corrected calculus gives actually zero which do not lead to a contradiction on the continuity of the flow-map of the Benjamin-Ono equation. The author warmly thank Professor Patrick Gérard for having pointing out this error to him.ERRATUM : This paper has been withdrawn by the author since there were errors in the calculus of the defect coefficient in Page 11. The corrected calculus gives actually zero which do not lead to a contradiction on the continuity of the flow-map of the Benjamin-Ono equation. The author warmly thank Professor Patrick Gérard for having pointing out this error to him. (We prove the discontinuity for the weak L^2(\T) -topology of the flow-map associated with the periodic Benjamin-Ono equation. This ensures that this equation is ill-posed in H^s(\T) as soon as and thus completes exactly the well-posedness result obtained by the author.
Analyse locale et asymptotique de quelques approximations ondes longues d'équations de la dynamique des fluides
No full textThis thesis is composed of two independent parts. In the first part, we study the orbital and asymptotic stability of certain peaked solitary waves (peakons) of the Novikov equation. In the second part, we study the local and global well-posedness for certain Korteweg-de Vries type equations in dimensions one and two, when the problem is posed in the background of a bounded function without any particular spatial decay.The Novikov equation is a higher-order generalization of the Camassa-Holm equation. It has cubic nonlinearity, is completely integrable, and keeps all the interesting (physically relevant) properties of the Camassa-Holm equation. For this equation, we start by revisiting the already known results of orbital stability of peakons and we establish that of multi-peakons. Then, motivated by the approach developed for the Camassa-Holm equation, we show the asymptotic stability of peakons and multi-peakons of the Novikov equation. For this, we introduce in particular a new Lyapunov functional which can be adapted to a wide variety of generalizations of the Camassa-Holm equation.The generalized Korteweg-de Vries equations and the Zakharov-Kuznetsov equation are classical asymptotic one- and two-dimensional models respectively for the propagation of long waves in a dispersive medium with a nonlinear response. We study the local and global well-posedness in the "energy space" of these equations in a rather general context, where we allow the solution to evolve on the background of a bounded function . This allows us to provide a framework to study the time evolution of localized perturbations of kinks, as well as localized perturbations of periodic solutions of each of these equations. Classical approaches based on the use of Banach's fixed point theorem cannot succeed in this configuration due to the loss of a derivative due to the introduction of the background function . We are therefore led to turn to refinements of the energy method. We use two different approaches depending on the one-dimensional or two-dimensional case. The first approach is based on a method introduced by Molinet-Vento which uses the strongly non-resonant character of the classical Korteweg-de Vries equation. It is therefore less well adapted to higher dimensions but it has the advantage of additionally providing the unconditional uniqueness of solutions (uniqueness of weak solutions). The second approach is based on the use of the so-called short-time Bourgain spaces, developed in particular by Ionescu, Kenig and Tataru. Here, a suitable choice of the relationship between the length of the small time intervals and the inverse of the spatial frequency allows, among other things, to recover the derivative loss.Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous étudions la stabilité orbitale et asymptotique de certaines ondes solitaires pointues (peakons) de l'équation de Novikov. Dans la seconde partie, nous étudions le caractère bien posé local et global pour certaines équations de type Korteweg-de Vries en dimension un et deux, lorsqu'on pose le problème autour d'une fonction bornée sans décroissance spatiale particulière.L'équation de Novikov est une généralisation d'ordre supérieur de l'équation de Camassa-Holm. Elle posséde une non-linéarité cubique, est complètement intégrable et conserve toutes les propriétés intéressantes (physiquement pertinentes) de l'équation de Camassa-Holm. Pour cette équation nous commençons par revisiter les résultats déjà connus de stabilité orbitale des peakons et nous établissons celle des multi-peakons. Puis, motivé par l'approche développée pour l'équation de Camassa-Holm, nous montrons la stabilité asymptotique des peakons et des multi-peakons de l'équation de Novikov. Pour cela nous introduisons en particulier une nouvelle fonctionnelle de Lyapunov qui peut être adaptée à une large variété de généralisations de l'équation de Camassa-Holm.Les équations Korteweg-de Vries généralisées et l'équation de Zakharov-Kuznetsov sont des modèles asymptotiques classiques respectivement uni et bi-dimensionels pour la propagation d'ondes longues dans un milieu dispersif ayant une réponse non linéaire.Nous étudions le caractère bien posé local et global dans ''l'espace d'énergie" de ces équations dans un contexte assez général, où nous permettons à la solution d'évoluer autour d'une fonction bornée . Cela nous permet de fournir un cadre pour étudier l'évolution temporelle des perturbations localisées de kinks, ainsi que des perturbations localisées des solutions périodiques de chacune de ces équations. Les approches classiques basées sur une utilisation du théorème du point fixe de Banach ne peuvent pas aboutir dans cette configuration du fait de la perte d'une dérivée due à l'introduction de la fonction .Nous sommes donc amenés à nous tourner vers des raffinements de la méthode d'énergie.Nous utilisons deux approches différentes selon le cas unidimensionnel ou bidimensionnel. La première approche repose sur une méthode introduite par Molinet-Vento qui utilise le caractère fortement non résonant de l'équation de Korteweg-de Vries classique. Elle est de ce fait moins bien adaptée aux dimensions supérieures mais à l'avantage de donner en plus l'unicité inconditionnelle (unicité des solutions faibles). La deuxième approche repose sur l'utilisation des espaces Bourgain en temps courts, développée en particulier par Ionescu, Kenig et Tataru. Ici un choix approprié du rapport entre la longueur des petits intervalles de temps et l'inverse de la fréquence spatiale permet entre autre de rattraper la perte de dérivée
Global attractor and asymptotic smoothing effects for the weakly damped cubic Schrödinger equation in L^2(\T)
No full textCorrected version. To appear in Dynamics of Partial Differential EquationsInternational audienceWe prove that the weakly damped cubic Schrödinger flow in L^2(\T) provides a dynamical system that possesses a global attractor. The proof relies on a sharp study of the behavior of the associated flow-map with respect to the weak L^2(\T) -convergence inspired by a previous work of the author. Combining the compactness in L^2(\T) of the attractor with the approach developed by Goubet, we show that the attractor is actually a compact set of H^2(\T) . This asymptotic smoothing effect is optimal in view of the regularity of the steady states
Global attractor and asymptotic smoothing effects for the weakly damped cubic Schrödinger equation in L^2(\T)
No full textCorrected version. To appear in Dynamics of Partial Differential EquationsInternational audienceWe prove that the weakly damped cubic Schrödinger flow in L^2(\T) provides a dynamical system that possesses a global attractor. The proof relies on a sharp study of the behavior of the associated flow-map with respect to the weak L^2(\T) -convergence inspired by a previous work of the author. Combining the compactness in L^2(\T) of the attractor with the approach developed by Goubet, we show that the attractor is actually a compact set of H^2(\T) . This asymptotic smoothing effect is optimal in view of the regularity of the steady states
A LIOUVILLE PROPERTY WITH APPLICATION TO ASYMPTOTIC STABILITY FOR THE CAMASSA-HOLM EQUATION
No full textTo appear in ARMAInternational audienceWe prove a Liouville property for uniformly almost localized (up to translations) H 1-global solutions of the Camassa-Holm equation with a momentum density that is a non negative finite measure. More precisely, we show that such solution has to be a peakon. As a consequence, we prove that peakons are asymptotically stable in the class of H 1-functions with a momentum density that belongs to M + (R). Finally, we also get an asymptotic stability result for train of peakons
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