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Adaptive finite elements for the time-dependent wave equation
No full textLa thèse porte sur l’analyse d’erreur a posteriori pour la résolution numérique de l’équation linéaire des ondes , discrétisée en temps par le schéma de Newmark et en espace par la méthode des éléments finis. Nous adoptons un choix particulier de paramètres pour le schéma de Newmark, notamment β = 1/4, γ = 1/2, qui assure que la méthode est conservative en énergie et d’ordre deux en temps. L’estimation d’erreur a posteriori, d’un ordre optimal en temps et en espace, est élaborée à partir de la discrétisation complète. L’erreur est mesurée dans une norme qui découle naturellement de la physique: H1 en espace et Linf en temps. Nous proposons d’abord un estimateur dit «à 3 points» qui fait intervenir la solution discrète en 3 points successifs du temps à chaque pas de temps. Cet estimateur fait appel à une approximation du Laplacien de la solution discrète qui doit être calculée à chaque pas de temps, en résolvant un problème auxiliaire d'éléments finis. Nous proposons ensuite un estimateur d’erreur alternatif qui permet d’éviter ces calculs supplémentaires: l’estimateur dit «à 5 points» puisqu’il met en jeu le schéma des différences finies d’ordre 4, qui fait intervenir la solution discrète en 5 points successifs du temps à chaque pas de temps. Nous démontrons que nos estimateurs en temps sont d’ordre optimal pour des solutions suffisamment lisses, sur des maillages quasi-uniformes en espace et uniformes en temps, en supposant que les conditions initiales soient discrétisées à l’aide de la projection elliptique. La trouvaille la plus intéressante de cette analyse est le rôle capitale de cette discrétisation : des discrétisations standards pour les conditions initiales, telles que l’interpolation nodale, peuvent être néfastes pour les estimateurs d’erreur en détruisant leur ordre de convergence, bien qu’elles fournissent des solutions numériques tout à fait acceptables. Des expériences numériques prouvent que nos estimateurs d’erreur sont d’ordre optimal en temps comme en espace, même dans les situations non couvertes par la théorie. En outre, notre analyse a posteriori s’étend au schéma de Newmark d’ordre deux plus général (γ = 1/2). Nous présentons des comparaisons numériques entre notre estimateur à 3 points généralisé et l’estimateur sur des grilles décalées, proposé par Georgoulis et al. Finalement, nous implémentons un algorithme adaptatif en temps et en espace basé sur notre estimateur d’erreur a posteriori à 3 points. Nous concluons par des expériences numériques qui montrent l’efficacité de l’algorithme adaptatif et révèlent l’importance de l’interpolation appropriée de la solution numérique d’un maillage à un autre, surtout vis à vis de l’optimalité de l’estimation d’erreur en temps.This thesis focuses on the a posteriori error analysis for the linear second-order wave equation discretized by the second order Newmark scheme in time and the finite element method in space. We adopt the particular choice for the parameters in the Newmark scheme, namely β = 1/4, γ = 1/2, since it provides a conservative method with respect to the energy norm. We derive a posteriori error estimates of optimal order in time and space for the fully discrete wave equation. The error is measured in a physically natural norm: H1 in space, Linf in time. Numerical experiments demonstrate that our error estimators are of optimal order in space and time. The resulting estimator in time is referred to as the 3-point estimator since it contains the discrete solution at 3 points in time. The 3-point time error estimator contains the Laplacian of the discrete solution which should be computed via auxiliary finite element problems at each time step. We propose an alternative time error estimator that avoids these additional computations. The resulting estimator is referred to as the 5-point estimator since it contains the fourth order finite differences in time and thus involves the discrete solution at 5 points in time at each time step. We prove that our time estimators are of optimal order at least on sufficiently smooth solutions, quasi-uniform meshes in space and uniform meshes in time. The most interesting finding of this analysis is the crucial importance of the way in which the initial conditions are discretized: a straightforward discretization, such as the nodal interpolation, may ruin the error estimators while providing quite acceptable numerical solution. We also extend the a posteriori error analysis to the general second order Newmark scheme (γ = 1/2) and present numerical comparasion between the general 3-point time error estimator and the staggered grid error estimator proposed by Georgoulis et al. In addition, using obtained a posteriori error bounds, we implement an efficient adaptive algorithm in space and time. We conclude with numerical experiments that show that the manner of interpolation of the numerical solution from one mesh to another plays an important role for optimal behavior of the time error estimator and thus of the whole adaptive algorithm
The Numerical Zoom method for the elliptic perturbed problems and non-linear problems
No full textNous proposons plusieurs nouvelles variantes de la méthode du Zoom Numérique et les étudions mathématiquement. Nous considérons principalement la situation suivante simple, mais pertinente aux applications pratiques : l'équation de Poisson dans un domaine contenant un petit trou. Nous utilisons un maillage global grossier qui ne voit pas le trou et corrigeons ce défaut grâce à un maillage fin placé autour du trou et conforme à celui-ci. Un algorithme itératif (zoom numérique multi-modèles ou couplage des modèles non intrusif) est alors proposé, résolvant alternativement les problèmes sur les maillages global et local. Nous introduisons un cadre mathématique pour ces méthodes sous des hypothèses très générales sur les maillages: le maillage fin peut être placé sur le maillage grossier de manière arbitraire. Nous analysons ensuite théoriquement à la fois la précision de la méthode par rapport aux raffinements du maillage et le taux de convergence des itérations. Nous comparons également cette approche avec la méthode des développements asymptotiques. Enfin, nous adaptons notre méthode aux problèmes monotones avec des non-linéarités localisées, en modifiant la preuve de convergence et en donnant une estimation d'erreur a priori.We propose several new variants of the method of Numerical Zoom and study them mathematically on several model problems. We consider mostly the following simple situation (yet pertinent to some practical application): the Poisson equation in a domain containing a small hole. We employ a coarse global mesh that does not see the hole and correct this defect thanks to an additional fine mesh placed around the hole and conforming with it. An iterative algorithm (multi-model numerical zoom or non intrusive model coupling) is then proposed, solving alternatively the problems on global and local meshes. We introduce a mathematical framework for these methods under very general assumptions on the meshes: the fine mesh may be placed over the coarse one in an arbitrary manner. We perform then a complete theoretical analysis both of the accuracy with respect to a mesh refinement and of the convergence rate of iterations. We also compare this approach with the method of matched asymptotic expansions. Finally, we adapt our method to monotone problems with localized non-linearities, adapting the convergence proof and giving an a priori error estimate
Spectral methods for kinetic theory models of viscoelastic fluids
No full textThis work is dedicated to the construction of numerical techniques for the models of viscoelastic fluids that result from polymer kinetic theory. Our main contributions are as follows: Inspired by the interpretation of the Oldroyd B model of dilute polymer solutions as a suspension of Hookean dumbbells in a Newtonian solvent, we have constructed new numerical methods for this model that respect some important properties of the underlying differential equations, namely the positive definiteness of the conformation tensor and an energy estimate. These methods have been implemented on the basis of a spectral discretization for simple Couette and Poiseuille planar flows as well as flow past a cylinder in a channel. Numerical experiments confirm the enhanced stability of our approach. Spectral methods have been designed and implemented for the simulation of mesoscopic models of polymeric liquids that do not possess closed-form constitutive equations. The methods are based on the Fokker-Planck equations rather than on the equivalent stochastic differential equations. We have considered the FENE dumbbell model of dilute polymer solutions and the Öttinger reptation model of concentrated polymer solutions. The comparison with stochastic simulation techniques has been performed in the cases of both homogeneous flows and the flow past a cylinder in a channel. Our method turned out to be more efficient in most cases
Going Beyond Counting First Authors in Author Co-citation Analysis
Full text linkThe present study examines one of the fundamental aspects of author co-citation analysis (ACA) - the way co-citation
counts are defined. Co-citation counting provides the data on which all subsequent statistical analyses and mappings
are based, and we compare ACA results based on two different types of co-citation counting - the traditional type that
only counts the first one among a cited work's authors on the one hand and a non-traditional type that takes into
account the first 5 authors of a cited work on the other hand. Results indicate that the picture produced through this non-traditional author co-citation counting contains more coherent author groups and is therefore considerably clearer. However, this picture represents fewer specialties in the research field being studied than that produced through the traditional first-author co-citation counting when the same number of top-ranked authors is selected and analyzed. Reasons for these effects are discussed
A primal discontinuous Galerkin method with static condensation on very general meshes
No full textInternational audienceWe propose an efficient variant of a primal Discontinuous Galerkin method with interior penalty for the second order elliptic equations on very general meshes (polytopes with eventually curved boundaries). Efficiency, especially when higher order polynomials are used, is achieved by static condensation, i.e. a local elimination of certain degrees of freedom cell by cell. This alters the original method in a way that preserves the optimal error estimates. Numerical experiments confirm that the solutions produced by the new method are indeed very close to that produced by the classical one
CutFEM without cutting the mesh cells: A new way to impose Dirichlet and Neumann boundary conditions on unfitted meshes
No full textInternational audienc
Analyse d’erreur a posteriori pour certains problèmes liés aux simulations de piles à combustible
No full textLa principale motivation de cette thèse est le besoin de simulations numériques efficaces des écoulements de gaz dans les canaux serpentins des piles à combustible à membrane échangeuse de protons. Nous considérons les modèles de Poisson et de Stokes dans un domaine 2D composé de plusieurs longues sections rectangulaires droites et de plusieurs coudes. Afin d'accélérer la résolution et de réduire les coûts de calcul, nous proposons des modèles 0D (un profil parabolique fixe pour l'équation de Poisson et l'écoulement de Poiseuille pour les équations de Stokes), et nous résolvons par éléments finis le modèle 2D dans les coudes. Afin d'atteindre la tolérance souhaitée de l'erreur entre la solution exacte et la solution approchée provenant du modèle couplé 0D/2D, nous devons surmonter un double défi : comment détecter la position appropriée de l'interface entre les modèles 0D et 2D et comment contrôler l'erreur de discrétisation dans les coudes. Pour cela, nous avons développé des estimateurs d'erreur a posteriori basés sur la reconstruction de flux équilibré dans les sous-domaines où la méthode des éléments finis est appliquée. Dans le modèle couplé 0D/2D pour Poisson, les estimations donnent une borne supérieure calculable garantie globale de la norme d'énergie de la solution. Dans le modèle couplé 0D/2D pour Stokes, les estimations donnent une borne supérieure garantie globale pour l'erreur H1 en vitesse et l'erreur L2 en pression sur le domaine entier. Dans ce dernier cas, l'estimateur fait intervenir la constante inf-sup qui est en général inconnue (dans nos cas de test, elle est cependant connue qu'elle est très petite), ce qui rend l'estimateur pas complètement calculable en pratique. Nous avons également étudié l'influence de la constante inf-sup sur l'efficacité des estimations d'erreur a posteriori et nous avons poursuivi quelques idées pour construire de nouveaux estimateurs garantis indépendants de la constante inf-sup. Des bornes inférieures globales pour l'erreur sont également dérivées pour les modèles de Poisson et de Stokes. Les estimateurs proposés peuvent être scindés en deux parties : une première indiquant l'erreur due à la position de l'interface et une seconde indiquant l'erreur due à la discrétisation. A l'aide de ces estimateurs, un algorithme est proposé pour choisir la position de l'interface et effectuer un raffinement adaptatif du maillage afin d'équilibrer les deux sources d'erreur et d'atteindre la précision souhaitée. Les estimateurs et l'algorithme adaptatif sont validés numériquement.The main motivation of this thesis is the need for efficient numerical simulations of the gas flows in the serpentine channels of the proton-exchange membrane fuel cells. We consider Poisson and Stokes models in a 2D domain which is composed of several long straight rectangular sections and several bends. In order to speed up the resolution and to reduce the computational costs, we propose 0D models (a fixed parabolic profile for Poisson equation and Poiseuille flow for Stokes equations), and we apply a finite element resolution for the 2D model in the bends. In order to achieve the desired tolerance of the error between the exact solution and the approximated solution coming from the 0D/2D coupled model, we have to overcome a double challenge: how to detect the suitable position of the interface between the 0D and 2D models and how to control the discretization error in the bends. For this purpose, we have developed a posteriori error estimators based on equilibrated flux reconstruction in the subdomains where the finite element method is applied. In the coupled 0D/2D model for Poisson, the estimates give a global guaranteed computable upper bound of the energy norm of the solution. In the coupled 0D/2D model for Stokes, the estimates give a global guaranteed upper bound for the H1-error in velocity and the L2-error in pressure on the whole domain. In the latter case, the estimator involves the inf-sup constant which is in general unknown (in our test cases, it is known to be very small though), thus making the estimator not completely computable in practice. We have also studied the influence of the inf-sup constant on the efficiency of a posteriori error estimates and we have pursued some ideas to construct new guaranteed estimators which are independent of the inf-sup constant. Global lower bounds for the error are also derived for Poisson and Stokes model. The proposed estimators can be split into two parts: a first one indicating the error due to the position of the interface and a second one indicating the error due to the discretization. Using these estimators, an algorithm is proposed to choose the interface position and to make adaptive mesh refinement in order to balance the two sources of the error and to achieve the desired accuracy. The estimators and the adaptive algorithm are validated numerically
Variations on the Author
Full text link“Variations on the Author” discusses two of Eduardo Coutinho’s recent films (Um Dia na Vida, from 2010, and Últimas Conversas, posthumously released in 2015) and their contribution to the general question of documentary authorship. The director’s filmography is characterized by a consistent yet self-effacing form of authorial self-inscription: Coutinho often features as an interviewer that rather than express opinions propels discourses; an interviewer that is good at listening. This mode of self-inscription characterizes him as an author who is not expressive but who is nonetheless markedly present on the screen. In Um Dia na Vida, however, Coutinho is completely absent form the image, while Últimas Conversas, on the contrary, includes a confessional prologue that moves the director from the margins to the center of his films. This article examines the ways in which these works stand out in the filmography of a director who offers new insights into the notion of cinematic authorship
Appropriate Similarity Measures for Author Cocitation Analysis
Full text linkWe provide a number of new insights into the methodological discussion about author cocitation analysis. We first argue that the use of the Pearson correlation for measuring the similarity between authors’ cocitation profiles is not very satisfactory. We then discuss what kind of similarity measures may be used as an alternative to the Pearson correlation. We consider three similarity measures in particular. One is the well-known cosine. The other two similarity measures have not been used before in the bibliometric literature. Finally, we show by means of an example that our findings have a high practical relevance.information science;Pearson correlation;cosine;similarity measure;author cocitation analysis
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