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The action of the Virasoro algebra in quantum spin chains. Part I. The non-rational case
No full textInternational audienceWe investigate the action of discretized Virasoro generators, built out of generators of the lattice Temperley-Lieb algebra ("Koo-Saleur generators" [1]), in the critical XXZ quantum spin chain. We explore the structure of the continuum-limit Virasoro modules at generic central charge for the XXZ vertex model, paralleling [2] for the loop model. We find again indecomposable modules, but this time not logarithmic ones. The limit of the Temperley-Lieb modules W j,1 for j = 0 contains pairs of "conjugate states" with conformal weights (h r,s , h r,−s) and (h r,−s , h r,s) that give rise to dual structures: Verma or co-Verma modules. The limit of W 0,q ±2 contains diagonal fields (h r,1 , h r,1) and gives rise to either only Verma or only co-Verma modules, depending on the sign of the exponent in q ±2. In order to obtain matrix elements of Koo-Saleur generators at large system size N we use Bethe ansatz and Quantum Inverse Scattering methods, computing the form factors for relevant combinations of three neighbouring spin operators. Relations between form factors ensure that the above duality exists already at the lattice level. We also study in which sense Koo-Saleur generators converge to Virasoro generators. We consider convergence in the weak sense, investigating whether the commutator of limits is the same as the limit of the commutator? We find that it coincides only up to the central term. As a side result we compute the ground-state expectation value of two neighbouring Temperley-Lieb generators in the XXZ spin chain
Théories conformes non unitaires et problèmes géométriques : approche par le réseau
No full textIn this thesis we study non-unitary two-dimensional bulk conformal field theories that appear in the continuum limit of certain critical lattice models, including the Potts and O(n) models. These models have applications to geometrical problems such as percolation and self-avoiding walks (polymers). To handle the technical difficulties caused by the non-unitarity we consider a lattice approach, which includes techniques such as the Bethe ansatz, representation theory of the affine Temperley-Lieb algebra and the usage of a discretization of the Virasoro algebra (the Koo-Saleur generators). We provide a graphical formulation of correlation functions in RSOS minimal models and compare to similar quantities in the Potts model. This allows us explain why an earlier conjecture for the Potts four-point functions, although incorrect, gave results in good agreement with numerical simulations. We detail the connections between RSOS models and anyonic systems, showing that the computation of correlation functions reduce to the evaluation of certain anyonic fusion diagrams. The main part of the thesis is dedicated to investigating what Virasoro modules are present in the six-vertex model, Potts and loop models at generic (irrational) central charge. This is mainly done using the Koo-Saleur generators. We find in the six-vertex model both Verma and co-Verma modules, while in the Potts and loop models the main finding is the presence of logarithmic modules corresponding to rank-two Jordan cells. These Jordan cells are not present at finite size, but appear only in the continuum limit. We also show the convergence of the Koo-Saleur generators to the Virasoro generators in a double limit procedure called the scaling limit, where the order of the two limits is crucial. Finally, knowledge of the logarithmic modules is used to bootstrap the O(n) model at generic complex values of n, using logarithmic conformal blocks in the crossing equations. We numerically compute four-point functions involving the simplest operators, and find that the number of solutions to the crossing equations is consistent with O(n) representation theory.Dans cette thèse, nous étudions les théories conformes des champs non unitaires à deux dimensions qui apparaissent dans la limite continue de certains modèles critiques sur réseau, y compris les modèles de Potts et O(n). Ces modèles ont des applications à des problèmes géométriques tels que la percolation et les marches auto-évitantes (polymères). Pour traiter les difficultés techniques causées par la non-unitarité, nous considérons une approche par le réseau, qui inclut des techniques telles que l'ansatz de Bethe, la théorie des représentations de l'algèbre affine de Temperley-Lieb et l'utilisation d'une discrétisation de l'algèbre de Virasoro (les générateurs de Koo-Saleur). Nous fournissons une formulation graphique des fonctions de corrélation dans les modèles minimaux RSOS et les comparons à des quantités similaires dans le modèle de Potts. Cela nous permet d'expliquer pourquoi une conjecture antérieure pour les fonctions à quatre points de Potts, bien qu'incorrecte, ait donné des résultats en bon accord avec les simulations numériques. Nous détaillons les connexions entre les modèles RSOS et les systèmes anyoniques, en montrant que le calcul des fonctions de corrélation se réduit à l'évaluation de certains diagrammes de fusion anyoniques. La partie principale de la thèse est consacrée à l'étude des modules de Virasoro présents dans le modèle à six vertex et dans les modèles de Potts et de boucles à charge centrale générique (irrationnelle). Ceci est fait principalement en utilisant les générateurs de Koo-Saleur. Nous trouvons dans le modèle à six vertex à la fois des modules de Verma et des modules co-Verma, tandis que dans les modèles de Potts et de boucles, la principale découverte est la présence de modules logarithmiques correspondants à des cellules de Jordan de rang deux. Ces cellules de Jordan ne sont pas présentes à taille finie, mais apparaissent seulement dans la limite continue. Nous montrons également la convergence des générateurs de Koo-Saleur vers les générateurs de Virasoro dans une procédure à double limite appelée limite d'échelle, où l'ordre des limites est crucial. Enfin, l'information sur les modules logarithmiques est utilisée dans le bootstrap du modèle O(n) pour des valeurs complexes génériques de n, en utilisant des blocs conformes logarithmiques dans les équations de croisement. Nous calculons numériquement les fonctions à quatre points impliquant les opérateurs les plus simples et constatons que le nombre de solutions aux équations de croisement est compatible avec la théorie des représentations de O(n)
Phenomenes critiques bidimensionnels
No full textSIGLECNRS T Bordereau / INIST-CNRS - Institut de l'Information Scientifique et TechniqueFRFranc
Edge states tunneling in the fractional quantum Hall effect: integrability and transport
No full text
Universal entanglement dynamics following a Local quench
No full textInternational audienceWe study the time dependence of the entanglement between two quantum wiresafter suddenly connecting them via tunneling through an impurity. The result atlarge times is given by the well known formula . We show that the intermediate time regime can be described by a universalcross-over formula , where is the crossover (Kondo)temperature: the function describes the dynamical "healing" of the systemat large times. We discuss how to obtain analytic information about in thecase of an integrable quantum impurity problem using the massless Form-Factorsformalism for twist and boundary condition changing operators. Our results areconfirmed by density matrix renormalization group calculations and exact freefermion numerics
Combinatorial aspects of boundary loop models
No full textv2: Added new figures 6, 9, 12, 13, 17. Further comparison with Ref. [7].We discuss in this paper combinatorial aspects of boundary loop models, that is models of self-avoiding loops on a strip where loops get different weights depending on whether they touch the left, the right, both or no boundary. These models are described algebraically by a generalization of the Temperley-Lieb algebra, dubbed the two-boundary TL algebra. We give results for the dimensions of TL representations and the corresponding degeneracies in the partition functions. We interpret these results in terms of fusion and in the light of the recently uncovered A_n large symmetry present in loop models, paving the way for the analysis of the conformal field theory properties. Finally, we propose conjectures for determinants of Gram matrices in all cases, including the two-boundary one, which has recently been discussed by de Gier and Nichols
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