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Proposizione 3 della κύκλου μέτρησις: la più emblematica delle opere di Archimede (Proposition 3 of the κύκλου μέτρησις: the most emblematic of Archimedes' works)
Full text linkSuntoNella proposizione 3 della κύκλου μέτρησις Archimede costruisce due numeri razionali che approssimano la misura del rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, oggi noto come π.In questo lavoro vogliamo porre l’accento su due aspetti del trattato di Archimede: il primo riguarda le scelte dei valori razionali approssimati per eccesso e per difetto di √3 utilizzati all’inizio della procedura di calcolo, che risultano essere i migliori approssimanti in base alla moderna teoria delle frazioni continue, i cui termini si possono ricavare dall’antico ανθυφαίρεσις euclideo; il secondo riguarda alcune stime utilizzate da Archimede, apparentemente non giustificate e sub-ottime, che invece sono frutto di un preciso procedimento logico da noi ricostruito in termini di un algoritmo.Di tale studio è stata proposta una trasposizione didattica che parte dal testo antico e giunge alla produzione di una traduzione commentata in cui lo studente è protagonista del processo di scoperta. AbstractIn proposition 3 of the κύκλου μέτρησις Archimedes constructs two rational numbers that approximate the measure of the ratio between the circumference and its diameter, today known as π.In this work we emphasize two aspects of Archimedes' proof. The first one concerns the choices of the rational values approximated by excess and defect of √3 used at the beginning of the calculation procedure. These values turn out to be the best approximants based on the modern theory of continued fractions, whose terms can be obtained from the ancient Euclidean ανθυφαίρεσις. The second one concerns some estimates used by Archimedes, apparently unjustified and sub-optimal, which instead are the result of a precise logical procedure that we recontruct in terms of an algorithm.We also propose an educational transposition of this study that starts from the ancient text and leads to the production of a commented translation in which the student is the protagonist of the discovery process
La tassellazione dello spazio con poliedri regolari: storia di un problema da Aristotele a Maurolico
No full textNel Libellus de impletione loci (1529) il matematico messinese Francesco Maurolico (1494-1575) riuscì a risolvere l’antico problema della tassellazione dello spazio mediante poliedri regolari. Infatti, fin dai tempi di Aristotele (IV sec a.C.), era opinione comune che lo spazio tridimensionale si potesse tassellare con soli cubi o con soli tetraedri regolari.
Maurolico dimostrò definitivamente l’impossibilità di tassellare lo spazio con soli tetraedri e propose una tassellazione con una combinazione di tetraedri ed ottaedri.
In questo lavoro viene proposta una trasposizione didattica di questo percorso storico-epistemologico realizzata con artefatti sia concreti che tecnologici (GeoGebra).In the Libellus de impletione loci (1529) Francesco Maurolico (1494-1575), mathematician from Messina, managed to solve the ancient problem of the tessellation of space using regular polyhedra. In fact, since the time of Aristotle (4th century BC), it was a common opinion that three-dimensional space could be tessellated with only cubes or with only regular tetrahedra.
Maurolico definitively demonstrated the impossibility of tessellation of space with only tetrahedra and proposed a tessellation with a combination of tetrahedra and octahedra.
This work proposes a teaching transposition of this historical-epistemological path created with both concrete and technological artefacts (GeoGebra)
La proposizione3 della κύκλου μέτρησις di Archimede: una traduzione (alla maniera di Campano da Novara) che va al di là della sola comprensione linguistica del testo.
No full textLa proposizione3 della κύκλου μέτρησις di Archimede: una traduzione (alla maniera di Campano da Novara) che va al di là della sola comprensione linguistica del testo.
La proposizione3 della Misura del Cerchio, come conservata nel palinsesto, si presenta sintetica e vengono esibiti valori numerici sequenziali ma talvolta apparentemente sconnessi. Dopo una lettura di brevi parti selezionate dal testo greco del palinsesto (o dal testo tradotto in latino da Moerbeke) con traduzione a fianco di Attilio Frajese si procede ad una ricostruzione del calcolo proposto dal Siracusano usando gli strumenti matematici propri dell’epoca; vieppiù si commentano criticamente le scelte numeriche di approssimazione presenti nel trattato.
Questo percorso proposto a studenti del secondo-terzo anno del liceo classico (o di qualunque liceo in cui si studi il latino), vuole promuovere una visione interdisciplinare del sapere, investendo l’alunno non solo della responsabilità di una traduzione letterale (guidata) del testo, ma anche della sua interpretazione matematica (alla maniera di Campano da Novara) dove la ricostruzione delle rigorose dimostrazioni geometriche, non esplicite nel testo, vorrebbero avere la pretesa di indicare un modello di ricerca a studenti solitamente non abituati a percorrere i passi intermedi della fatica di una scoperta. Inoltre la presenza di scelte di approssimazioni numeriche forza gli studenti a confrontarsi con una matematica non univoca e, sebbene sarebbe azzardato proporre loro l’autonomia di preferenza, l’essere esposti a dover giustificare le scelte compiute da Archimede può rivelarsi un esercizio critico formativo.
Il percorso didattico è organizzato tramite attività laboratoriali: partendo dall’analisi del testo si giungerà alla trascrizione commentata di alcuni passi della proposizione attraverso strategie, diagrammi, ricorrenze prima con strumenti propri del contesto storico e poi con gli strumenti moderni di calcolo quali l’uso del software di geometria dinamica GeoGebra e del foglio di calcolo Excel
Le argomentazioni incredibilmente semplici di Archimede sulla legge di galleggiabilità
No full textLo studio del galleggiamento rimanda immediatamente al Principio di Archimede, solitamente proposto agli studenti come assunto da accettare in quanto evidenza sperimentale. Riteniamo che nella didattica sia formativo recuperare la proposizione che invece è costruttiva, seguendo la delicata e rigorosa dimostrazione di Archimede nel Libro I Sui Galleggianti. La geometria e la fisica si intrecciano in un pacato equilibrio, così che il rigore logico e l’applicabilità ritornano ad essere caratteristiche essenziali e complementari della scienza. La lettura dei testi originali e l’interpretazione dei diagrammi consente un approccio diretto alla storia della matematica. La proposta didattica laboratoriale si realizza attraverso un Libro GeoGebra che privilegia un apprendimento per scoperta.The study of buoyancy is immediately linked to Archimedes' Principle, usually proposed to students as an assumption to be accepted as experimental evidence. We believe that in teaching it is educational to focus on the proposition, which is instead constructive, following Archimedes' delicate and rigorous proof in Book I On Floating Bodies. Geometry and physics intertwine in a calm balance, so that logical rigor and applicability return to being essential and complementary characteristics of science. Reading the original texts and interpreting the diagrams allows a direct approach to the history of mathematics. The laboratory teaching proposal is carried out through a GeoGebra Book which favors learning by discovery
La proposta didattica dell’approccio geometrico alla fisica dei galleggianti secondo Archimede (parte seconda)
No full textNello studio dei problemi fisici vengono spesso trascurati gli aspetti squisitamente geometrici che si celano nella natura dei fenomeni. L'obiettivo del nostro intervento formativo è il recupero di questi aspetti legati alla sensibilità
geometrica tanto cara ai matematici della Grecia ellenistica. Si considera il problema del galleggiamento presente nel Libro II Sui Galleggianti di Archimede. Dalla modellizzazione di uno scafo come paraboloide di rotazione, in base alla
densità relativa del materiale di cui è costituito lo scafo, all'altezza e al parametro caratteristico del paraboloide, si ottengono le condizioni di stabilità e si giunge ad un risultato notevole di biforcazione. La sperimentazione si realizza in forma laboratoriale attraverso l'uso delle Classi GeoGebra.In the study of physical problems the purely geometrical aspects that are hidden in the nature of the phenomena are often neglected. The aim of our training intervention is the recovery of these aspects linked to the geometric
sensibility so dear to the mathematicians of Hellenistic Greece. We consider the problem of buoyancy present in Book II of Archimedes'on Floating Bodies. Starting from the modeling of a hull as a paraboloid of rotation, on the basis of the relative
density of the material of which the hull is made, the height and the characteristic parameter of the paraboloid, we obtain the conditions of stability and reach a remarkable result of bifurcation. The experimentation takes place in laboratory form through the use of GeoGebra Classe
La proposta didattica dell’approccio geometrico alla fisica dei galleggianti secondo Archimede (parte prima)
No full textIn the study of physical problems the purely geometrical aspects that are hidden in the nature of the phenomena are often neglected. The aim of our training intervention is the recovery of these aspects linked to the geometric sensibility so dear to the mathematicians of Hellenistic Greece. We consider the problem of buoyancy present in Book II of Archimedes'on Floating Bodies. Starting from the modeling of a hull as a paraboloid of rotation, on the basis of the relative density of the material of which the hull is made, the height and the characteristic parameter of the paraboloid, we obtain the conditions of stability and reach a remarkable result of bifurcation. The experimentation takes place in laboratory form through the use of GeoGebra Classes
Archimede e l'incredibile efficacia della matematica ellenistica per lo sviluppo dell'ingegneria navale
No full textIl nostro lavoro considera i risultati ottenuti da Archimede nell’opera Αρχιμήδους Οχουμένων sullo studio del galleggiamento, prendendo spunto dalla traccia proposta da Lucio Russo, elaborata e resa interattiva attraverso il software GeoGebra 2D e 3D. Il trattato Sui Galleggianti è un felice connubio tra Matematica, Fisica e Tecnologia ed è un’opera matura di Archimede; sono consolidati gli studi sull’Equilibrio dei piani, Sferoidi e Conoidi e Quadratura della parabola. Senza questi lavori il saggio Sui Galleggianti è incomprensibile, motivo che potrebbe scoraggiare l’accostarsi a quest’opera straordinaria che contiene un’idea geniale di modellizzazione e un fenomeno notevole di biforcazione. Per superare questo ostacolo proponiamo di mantenere un quadro d’insieme che colga la complessità dell’argomento senza la necessità di perdersi nei tecnicismi propri delle discipline coinvolte.
Nel Libro II Sui Galleggianti Archimede propone la modellizzazione di uno scafo come segmento di paraboloide di rotazione, e trova la condizione di stabilità del modello immerso in un liquido attraverso una relazione che lega il materiale di costruzione ai due parametri di forma: l’altezza e la sottonormale.
La valenza di questo risultato non è solo teorica ma anche pratica, tanto che Ateneo di Naucrati narra che Archimede costruì la più grande imbarcazione del mondo antico, la Συρακoσια . Si potrebbe azzardare a definire Αρχιμήδους Οχουμένων il primo trattato di ingegneria navale. I risultati in esso contenuti sono incredibilmente attuali e innovativi, ma sembrano essersi persi nei secoli, come il palinsesto che ne conservava i segreti, e dobbiamo aspettare l’epoca moderna e la matematica computazionale per poter parlare nuovamente di progettazione, simulazione e modello.
Il nostro intento è quello di ricostruire il metodo caratteristico di Archimede, ossia illustrare, spiegare e dimostrare i principi fisici utilizzando la geometria in forma diagrammatica eppure assolutamente rigorosa . Si supera la questione logica e filosofica della particolarità del diagramma rispetto alla generalità del linguaggio grazie alla potenza di Geogebra, che ci ha permesso di ricostruire il modello pensato da Archimede, col valore aggiunto di poter modificare i parametri in modo continuo e indipendente. Utilizzando libere esplorazioni, si sono fatte congetture relative ad alcune proprietà, e dopo aver osservato la veridicità di un numero molto grande di casi specifici, si sono affrontate le dimostrazioni rigorose .
Il nostro modo di procedere ha voluto essere fedele a quello di Archimede nell’uso della matematica, senza lasciarci tentare dalla strada, che oggi forse ci sembra più naturale, di algebrizzare i risultati utilizzando la trigonometria.
Il fascino di studiare i principi fisici attraverso la geometria e saggiarne la potenza non è ancora tramontato
La terza proposizione della misura del cerchio di Archimede: una nuova lettura
No full textNella proposizione 3 della Misura del cerchio, Archimede mostra che: La circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro e lo supera
ancora di meno di un settimo del diametro, e di più di dieci settantunesimi.
In questo lavoro vogliamo porre l’accento su due aspetti della prova di Archimede, che a nostra conoscenza sono commentati in letteratura solo parzialmente. Il primo aspetto riguarda le approssimazioni razionali utilizzate all’inizio della procedura di calcolo. Per giungere alle sue approssimazioni sulla misura del cerchio Archimede utilizza infatti poligoni regolari, circoscritti ed inscritti alla circonferenza, di 96 lati, partendo da un esagono e raddoppiando di volta in volta il numero dei lati . All’inizio di questa procedura è necessario fornire delle approssimazioni per eccesso e per difetto di √3, ossia del rapporto tra l’altezza del triangolo equilatero e la metà del lato, rapporto (λoγoς) che ovviamente era ben noto essere irrazionale (αλoγoς) e quindi scrivibile solo in modo approssimato attraverso una frazione. I valori utilizzati da Archimede per √3 in termini moderni vengono chiamati migliori approssimanti , possono essere ottenuti dalla teoria delle frazioni continue, che è equivalente al noto algoritmo euclideo.
Ipotizziamo dunque in questo lavoro che, in un linguaggio diverso dal nostro, la teoria delle frazioni continue fosse nota ai greci, che la
utilizzavano come strumento di calcolo, controllando anche il segno dell’errore di approssimazione. Il secondo aspetto riguarda le stime successive utilizzate da Archimede che, nella sezione dedicata al poligono inscritto, sembrano non giustificate e soprattutto non ottimali. Knorr in nota che le scelte di Archimede sono “lungimiranti” ma non fornisce una spiegazione esauriente in proposito. Nel processo iterativo utilizzato dal Siracusano, ogni scelta dei valori frazionari utilizzati per le approssimazioni delle radici quadrate rende il passo successivo tale da fornire frazioni con numeratori e denominatori molto piccoli rispetto a quelli che si otterrebbero con le stime ottimali. Termini più piccoli nella frazione corrispondono a procedure di calcolo con riga e compasso molto più semplici. Secondo la nostra ipotesi, dunque, questa scelta di approssimazioni sub-ottime non è casuale, ma è il frutto di un preciso procedimento logico che abbiamo cercato di ricostruire in linguaggio moderno in termini di un algoritmo
Going Beyond Counting First Authors in Author Co-citation Analysis
Full text linkThe present study examines one of the fundamental aspects of author co-citation analysis (ACA) - the way co-citation
counts are defined. Co-citation counting provides the data on which all subsequent statistical analyses and mappings
are based, and we compare ACA results based on two different types of co-citation counting - the traditional type that
only counts the first one among a cited work's authors on the one hand and a non-traditional type that takes into
account the first 5 authors of a cited work on the other hand. Results indicate that the picture produced through this non-traditional author co-citation counting contains more coherent author groups and is therefore considerably clearer. However, this picture represents fewer specialties in the research field being studied than that produced through the traditional first-author co-citation counting when the same number of top-ranked authors is selected and analyzed. Reasons for these effects are discussed
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