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Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets
Get PDFNeste trabalho, estudamos uma versão do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets para
difeomorfismos de classe C1 sobre uma variedade Riemanniana compacta de dimensãofinita que
garante a existência dos expoentes de Lyapunov em quase todo ponto com relação a uma medida
de probabilidade boreliana invariante pelo difeomorfismo. Na verdade, demonstraremos o teorema
em uma versão mais geral, a saber, no contexto de cociclos lineares. O teorema de Oseledets para
difeomorfismos será estabelecido como um caso particular desta versão.In this paper, we study a version of the Multiplicative Ergodic Theorem of Oseledets for
diffeomorphisms of class C1 on a compact Riemannian manifold of finite dimension which ensures
the existence of Lyapunov exponents at almost every point with respect to a Borel probability
measure invariant by diffeomorphism. In fact, we demonstrate the theorem in a more general
version, namely in the context of linear cocycles. The theorem of Oseledets for diffeomorphisms
will be established as a special case of this version
Algumas aplicações de física do ensino médio a partir do cálculo diferencial e integral
Get PDFThis paper deals with the teaching of topics in Di erential and Integral Calculus
in high school. A brief historical analysis of its development, showing some ideas
that served for its currently formalization. Some calculus' elements are also de ned
to compare them with some intuitive notions or geometric ideas. To nalize it will
discuss the importance and usefulness of these issues to other disciplines, particularly
physics and how, from some applications, students could understand various
concepts in a more simple way and does not require to memorize a huge amount of
formulas.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESEste trabalho trata do ensino de tópicos de Cálculo Diferencial e Integral no Ensino
Médio. É feita uma breve análise histórica do seu desenvolvimento, mostrando
algumas ideias que serviram para sua formalização conforme temos atualmente. São
de nidos alguns elementos do cálculo para compará-los com algumas noções intuitivas
ou ideias geométricas. Para nalizar, será discutida a importância e a utilidade
desses assuntos para outras disciplinas, em particular a Física e como, a partir de algumas
aplicações, os estudantes poderiam compreender vários conceitos de maneira
mais simples e não necessitariam memorizar uma quantidade enorme de fórmulas
Frações contínuas - um estudo sobre "boas" aproximações
Get PDFThe study of
ontinued fra
tions will start with some histori
al fa
ts, aiming at
a better understanding of the subje
t. We will bring the de nition of
ontinued
fra
tions for a number α real, with the de nition for α rational and α irrational.
The dis
ussion will fo
us on meaning results for the
al
ulation of redu
ed and
good approximations of irrational numbers, also aimed at determining the error
between the redu
ed and the irrational number. We will bring a study of the periodi
ontinued fra
tions, with emphasis on Lagrange theorem, whi
h relates a periodi
ontinued fra
tion and a quadrati
equation. Finishing with a fo
us on problem
solving, as the
al
ulation of
ontinued fra
tions of irrational numbers of the form
√a2 + b, as well as proof of the irrationality of e by
al
ulating its
ontinued.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESO estudo das frações
ontínuas terá ini
io
om alguns fatos históri
os, visando
uma melhor
ompreensão do tema. Traremos a de nição de frações
ontínuas para
um
erto número α real, apresentando a de nição para α ra
ional e para α irra
ional.
A dis
ussão será
entrada em resultados importantes para o
ál
ulo de reduzidas
e boas aproximações de números irra
ionais, visando também a determinação do
erro entre a reduzida e o número irra
ional. Traremos um estudo sobre as frações
ontínuas periódi
as,
om enfase ao teorema de Langrange, que rela
iona uma fração
ontínua periódi
a e uma equação do segundo grau. Finalizando
om enfoque na
resolução de problemas,
omo o
ál
ulo de frações
ontínuas de números irra
ionais
da forma √a2 + b, assim
omo a prova da irra
ionalidade de e através do
ál
ulo de
sua fração
ontínua
Grafos na educação básica: do formal ao lúdico
Get PDFThis work has the proposal to introduce graph theory in basic education, a subject
of higher education mathematics that we can apply in elementary education in a
playful way and, thus, take a contribution to the challenge teachers' diary, which
is to motivate students to learn. We take a walk historical in the region where the
beginning of graph theory studies is considered, as well as its advances and contributions
of scholars over the years. We present the de nition and basic elements
necessary for the understanding of the theory of graphs. We show Euler's solution
to the most famous problem in the history of graph theory, the problem of the Seven
Bridges of Königsberg. We solve others equally interesting problems. And nally,
we propose activities that can be applied in basic education.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESEste trabalho tem a proposta de introduzir a teoria dos grafos na educação básica,
um assunto da matemática do ensino superior que podemos aplicar no ensino fundamental
de uma forma lúdica e, desta forma, levar uma contribuição para o desafio
diário dos professores, que é motivar os alunos ao aprendizado. Fazemos um passeio
histórico na região onde se considera o início dos estudos da teoria dos grafos, bem
como seus avanços e contribuições de estudiosos ao longo dos anos. Apresentamos
a definição e os elementos básicos necessários para o entendimento da teoria dos
grafos. Mostramos a solução de Euler para o problema mais famosos da história da
teoria dos grafos, o problema das Sete Pontes de Königsberg. Resolvemos outros
problemas igualmente interessantes. E finalmente propomos atividades que possam
ser aplicadas na educação básica
Congruência e aplicações
No full textIn this paper we make a brief study about arithmeti
number theory, in parti
ular, modular
ongruen
e and whole primality tests. O des
ribe
arefully the
iphering and de
iphering method of RSA en
ryption and dis
uss some nuan
es of
RSA. Therefore, this study a little about Gauss, the prin
e of mathemati
ians, in
whi
h many of his ideas are very important and the basis for the development of
number theory, to the present day.Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPqCoordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESNeste trabalho faremos um breve estudo a respeito de teoria aritmética dos números, em particular, congruências modulares e testes de primalidade de inteiros.
Descreveremos cuidadosamente o método de cifragem e decifragem da
criptogra a
RSA e discutiremos algumas nuan
es da RSA. Para isso, apresentamos alguns resultados
devido a Gauss, o príncipe dos matemáticos, no qual várias de suas ideias
são de grande importância e serviram de base para o desenvolvimento da teoria dos
números, até os dias atuais
Matemática discreta: médias e princípio das gavetas
Get PDFWe present the main concepts of averages: Arithmetic, Geométrica, Harmonica and
Quadratic and also the Dirichlet's Drawer Principle. We highlight as the main directions
of this work, the application of these in various areas of mathematics and
the ability to work with such content in high school. We also emphasize the main
theorems approached, which are the Inequality of Medium and theorems Ramsey
and Dirichlet that are nontrivial applications of the Drawer Principle.Neste trabalho apresentamos os principais conceitos de médias: Aritmética, Geom
étrica, Harmônica e Quadrática e também o Princípio das Gavetas de Dirichlet.
Destacamos como principais direções deste trabalho, as aplicações destes conceitos
nas diversas áreas da matemática e a possibilidade de se trabalhar tais conteúdos
no Ensino Médio. Ressaltamos também os principais teoremas abordados, os quais
são, a Desigualdade das Médias e os Teoremas de Ramsey e de Dirichlet que são
aplicações não triviais do Princípio das Gavetas
Métodos para Encontrar Raízes Exatas e Aproximadas de Funções Polinomiais até o 4º Grau
Get PDFIn several scienti c character problems, it is common to come across us with the
need to obtain an approximate solution to nd roots of functions. At this point,
this paper aims to conduct a study about some methods used to obtain an approximate
solution of the functions of roots. The survey was made by means of a
literature review, focusing on Numerical Methods Bisection, False Position, Fixed
Point, Newton-Raphson and Secant. In order to illustrate the operation and application
of these methods, numerical test problems taken from the literature were
performed by implementing these. For each test performed were analyzed parameters
that in uence each method and the convergence situation for the approximate
solution of the analyzed problems. Although these methods do not always make
available exact roots, they can be calculated with the precision that the problem
needs. At this point, it is evident the importance of studying methods for nding
such equations roots. Thus, the work is justi ed on the need to discuss the problems
facing the nding roots of polynomial functions in the literature. In addition, this
paper describes a comparison between the methods studied by applying mathematical
problems. All this research material becomes adept and e ective for students
and professionals from all areas that make use of them, or perhaps wish to extract
it for enrichment of several sources of study.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESEm diversos problemas de caráter cientí co, é comum depararmo-nos com a necessidade
de obter uma solução aproximada para encontrar raízes de funções. Nesse
ponto, este trabalho objetiva realizar um estudo acerca de alguns métodos utilizados
para a obtenção de uma solução aproximada das raízes de funções. A pesquisa realizada
deu-se por meio de uma revisão bibliográ ca, enfocando os Métodos Numéricos
da Bisseção, Falsa Posição, Ponto Fixo, Newton-Raphson, Secante e Muller. Com
o intuito de ilustrar o funcionamento e aplicação desses métodos, foram realizados
testes numéricos de problemas extraídos da literatura por meio da implementação
destes. Para cada teste realizado foram analisados os parâmetros que in uenciam
cada método e a situação de convergência para a solução aproximada dos problemas
analisados. Embora esses métodos, nem sempre, disponibilizem raízes exatas, estas
poderão ser calculadas com a precisão que o problema necessite. Nesse ponto, ca
evidente a importância de estudar métodos para encontrar tais raízes de equações.
Diante disso, o trabalho se justi ca na necessidade de se discutir os problemas voltados
a encontrar raízes de funções polinomiais, existentes na literatura. Além disso,
o presente trabalho descreve um comparativo entre os métodos estudados mediante
aplicação de problemas matemáticos. Todo esse material de pesquisa torna-se hábil
e e caz para os estudantes e pro ssionais de todas as áreas que dele faça uso, ou,
porventura, pretendam extraí-lo para enriquecimento de fontes diversas de estudo
Poliedros de Platão e de Arquimedes : um estudo sobre poliedros clássicos e uma proposta de ensino desses objetos
Get PDFThis work aims to study polyhedra, with emphasis on the polyhedra of Plato and
Archimedes, dealing with metric relationships and relationships between their elements.
Initially, we precisely define what a polyhedron is, the area and volume of a polyhedron
and present prisms and pyramids as the main examples of these objects seen in basic
education. Furthermore, we deal with the Euler characteristic of a polyhedron and present
the proof that V − A + F = 2 for convex polyhedra. Next, we present Plato’s polyhedra
(or regular polyhedra), proving that there are only five Plato’s polyhedra and, in addition,
we discuss the elements and metric relationships of these polyhedra: number of vertices,
edges and faces; the total area and volume of each of the polyhedra with respect to the
radii of the circumscribed spheres. We then describe Archimedes’ polyhedra and provide
proof of the existence of thirteen, and only thirteen, polyhedra of this class. We also
carry out a study of its elements, areas and volumes. Finally, aiming to highlight the
contribution of this work to basic education, we report what the BNCC and the PCNs
bring regarding the topic and we bring some entrance exam questions involving the topics
covered in this dissertation, we present a way of creating tools in GEOGEBRA to do
the truncation type 1 and type 2 and we present an educational resource, where we use
games, puzzles and concrete material to study the polyhedra of Plato and Archimedes.Pró-Reitoria de Pós-graduação da UFPB (PRPG/UFPB)Este trabalho tem por objetivo fazer um estudo dos poliedros, com ênfase nos poliedros
de Platão e Arquimedes, tratando das relações métricas e relações entre seus elementos.
Inicialmente definimos de maneira precisa o que é um poliedro, a área e o volume de
um poliedro e apresentamos os prismas e as pirâmides como principais exemplos desses
objetos vistos no ensino básico. Além disso, tratamos sobre a característica de Euler de
um poliedro e apresentamos a prova de que V − A + F = 2 para poliedros convexos.
Em seguida, apresentamos os poliedros de Platão (ou poliedros regulares), provando que
existem apenas cinco poliedros de Platão e, complementarmente, discorremos acerca dos
elementos e das relações métricas desses poliedros: número de vértices, arestas e faces;
a área total e o volume de cada um dos poliedros com relação aos raios das esferas
circunscritas. Descrevemos, na sequência, os poliedros de Arquimedes e damos uma prova
da existência de treze e, somente treze, poliedros dessa classe. Também fazemos um estudo
sobre seus elementos, suas áreas e seus volumes. Por fim, visando destacar a contribuição
deste trabalho ao ensino básico, relatamos o que a BNCC e os PCNs trazem a respeito do
tema e abordamos algumas questões de vestibulares envolvendo os temas presentes nessa
dissertação, apresentamos uma forma de criar ferramentas no GEOGEBRA para fazer
o truncamento tipo 1 e tipo 2 e apresentamos um recurso educacional, onde utilizamos
jogos, puzzle e material concreto para os estudos dos poliedros de Platão e Arquimedes
Um estudo sobre poliedros com alguma regularidade
Get PDFIn this work we study several classes of convex polyhedra that present some regularity. However, before dealing with these polyhedra, we start with the definition of convex polyhedron, we present prisms, pyramids and antiprisms as examples of polyhedra and prove the important Euler theorem that brings a relationship between the numbers of vertices, edges and faces of a polyhedron. Finally we prove that there are only five Plato polyhedra (regular) and only thirteen Archimedean polyhedra (semiregular). In addition, we also present two other classes of polyhedra with some regularity, which are Catalan's and Johnson's.NenhumaNeste trabalho estudamos diversas classes de poliedros convexos que apresentam alguma regularidade. Contudo, antes de tratarmos desses poliedros, iniciamos com a defnição de poliedro convexo, apresentamos prismas, pirâmides e antiprismas como exemplos de poliedros e provamos o importante teorema de Euler que traz uma relação entre os números de vértices, arestas e faces de um poliedro. Finalmente provamos que existem apenas cinco poliedros de Platão (regulares) e apenas treze poliedros de Arquimedes (semirregulares). Além disso, apresentamos também outras duas classes de poliedros com alguma regularidade, que são os de Catalan e os de Johnson
Reflexões sobre o princípio fundamental da contagem e suas consequências
Get PDFCombinatorial Analysis is a Mathematics topic that is still considered difficult by
most teachers and students. This makes this area of Mathematics feared and, sometimes,
avoided by educators themselves. Because usually there is no adequate understanding of
this subject, we even find books and websites presenting concepts with inconsistencies or
limitations, which further deepens the difficulties in understanding the topic. Therefore,
this work aims to contribute to improving the understanding of Combinatorics Analysis
through a study focused on the Fundamental Counting Principle, a part considered
essential for a good understanding of this area. We seek to explain this principle in
detail, aiming to make clear what it produces and in which situations it can be used.
In addition to its version regarding the making of two decisions, we present its iterated
version and formalizations for each of them using set language. We analyze the statements
of this principle in books and websites, in order to verify whether its presentation is being
done correctly or adequately. Futhermore, using it, we developed the counting techniques
covered in Basic Education and explained the importance of adequate modeling for solving
problems and creating other techniques apart those previously discussed. After that, we
address some ways of facing Combinatorial Analysis problems in order to contribute to a
good application of known methods, as well as presenting a script that can help in facing
these problems with greater security. Finally, we propose activities that can be applied and
worked on in the classroom to promote the correct and most complete learning possible
of the Fundamental Principle of Counting in Basic Education.NenhumaA Análise Combinatória é um assunto da Matemática ainda considerado difícil
por grande parte dos professores e alunos. Isso torna essa área da Matemática
temida e, às vezes, evitada pelos próprios educadores. Por, geralmente, não haver
uma compreensão adequada desse assunto, encontramos, até mesmo, livros e sites
apresentando conceitos com inconsistências ou limitações, o que aprofunda ainda mais
as dificuldades de entendimento do tema. Diante disso, este trabalho tem como objetivo
contribuir para a melhoria da compreensão da Análise Combinatória através de um
estudo focado no Princípio Fundamental da Contagem, parte considerada essencial para
o bom entendimento dessa área. Buscamos explicar esse princípio detalhadamente, com a
finalidade de tornar claro o que ele produz e em quais situações pode ser utilizado. Além
da sua versão referente `a tomada de duas decisões, apresentamos a sua versão iterada e
formalizações para cada uma delas utilizando a linguagem de conjuntos. Analisamos os
enunciados desse princípio em livros e sites, com o intuito de verificar se a sua apresentação
está sendo feita de modo correto ou adequado. Em seguida, utilizando-o, desenvolvemos
as t´técnicas de contagem abordadas no Ensino Básico e falamos sobre a importância de
uma modelagem adequada para a resolução de problemas e para a criação de outras
t´técnicas além das tratadas anteriormente. Depois disso, abordamos algumas formas
de enfrentar problemas de Análise Combinatória de modo a contribuir para uma boa
aplicação dos métodos conhecidos, bem como apresentamos um roteiro que possa auxiliar
no enfrentamento desses problemas com maior segurança. Por fim, propomos algumas
atividades que podem ser aplicadas e trabalhadas em sala de aula com o objetivo de
promover o aprendizado correto e o mais completo possível do Princípio Fundamental da
Contagem no Ensino Básico
- …
