73 research outputs found
Homotopy of operads and Grothendieck–Teichmüller groups
No full textThe Grothendieck-Teichmüller group was defined by Drinfeld in quantum group theory with insights coming from the Grothendieck program in Galois theory. The ultimate goal of this book is to explain that this group has a topological interpretation as a group of homotopy automorphisms associated to the operad of little 2-discs, which is an object used to model commutative homotopy structures in topology. This volume gives a comprehensive survey on the algebraic aspects of this subject. The book explains the definition of an operad in a general context, reviews the definition of the little discs operads, and explains the definition of the Grothendieck-Teichmüller group from the viewpoint of the theory of operads. In the course of this study, the relationship between the little discs operads and the definition of universal operations associated to braided monoidal category structures is explained. Also provided is a comprehensive and self-contained survey of the applications of Hopf algebras to the definition of a rationalization process, the Malcev completion, for groups and groupoids. Most definitions are carefully reviewed in the book; it requires minimal prerequisites to be accessible to a broad readership of graduate students and researchers interested in the applications of operads
Little discs operads, graph complexes and Grothendieck-Teichmüller groups
No full textInternational audienceThis paper is a survey on the homotopy theory of -operads written for the handbook of homotopy theory
Homotopy theory of algebras over a PROP
No full textLe but de cette thèse est de mettre en place une théorie d’homotopie générale pour les catégories de bigèbres différentielles graduées. Une première partie est consacrée au cas des catégories de bigèbres définies par un couple d’opérades en distribution. Les bigèbres classiques, les bigèbres de Lie, les bigèbres de Poisson fournissent des exemples de telles structures de bigèbres. Le résultat principal de cette partie montre que la catégorie des bigèbres associée a un couple d’opérades en distribution hérite d’une structure de catégorie de modèles. La notion de PROP donne un cadre pour étudier des structures de bigèbres générales, impliquant des opérations à plusieurs entrées et plusieurs sorties comme générateurs de la structure, par opposition aux opérades en distribution qui ne permettent de coder que des opérations à une seule entrée ou à une seule sortie seulement. Les PROPs forment une catégorie, dans laquelle on peut définir une notion d’objet cofibrant avec de bonnes propriétés homotopiques.La seconde partie de la thèse est consacrée à la théorie homotopique des bigèbres sur un PROP. Le résultat principal de la thèse est que les catégories de bigèbres associées à des PROPs cofibrants faiblement équivalents ont des catégories homotopiques équivalentes. En fait, on prouve un théorème plus précis qui donne une équivalence au niveau des localisations simpliciales des catégories. Notre théorème entraine que la catégorie des bigèbres associée à une résolution cofibrante d’un PROP donné P définit une notion de bigèbre à homotopie près sur P indépendante du choix de la résolution, et permet de donner un sens à des problèmes de réalisation homotopiques dans ce cadre.The purpose of this thesis is to set up a general homotopy theory for categories of differential graded bialgebras. A first part is devoted to the case of bialgebras defined by a pair of operads in distribution. Classical bialgebras, Lie bialgebras and Poisson bialgebras provide examples of such bialgebra structures. The main result of this part asserts that the category of bialgebras associated to a pair of operads in distribution inherits a model category structure. The notion of a PROP provides a setting for the study of general bialgebras structures, involving operations with multiple inputs and multiple outputs as generators of the structure, in contrast to operads in distribution which only encode operations with either one single input or one single output. PROPs form a category, in which one can define a notion of cofibrant object with good homotopical properties. The second part of the thesis is devoted to the homotopy theory of bialgebras over a PROP. The main result of the thesis asserts that the categories of bialgebras associated to weakly equivalent cofibrant props have equivalent homotopy categories. We actually prove a more precise theorem asserting that this equivalence holds at the level of a simplicial localization of the categories. Our theorem implies that the category of bialgebras associated to a cofibrant resolution of a given PROP P defines a notion of bialgebra up to homotopy over P independent of the choice of the resolution, and enables us to give a sense to homotopical realization problems in this setting
Operadic formality and homotopy of configuration spaces
No full textDans une première partie, nous étudions l’opérade SC2 "Swiss-Cheese" de Voronov, qui gouverne l’action d’une algèbre D2 sur une algèbre D1. Nous construisons un modèle en groupoïdes de cette opérade et nous décrivons les algèbres sur ce modèle de manière similaire à la description classique des algèbres sur H*(SC). Nous étendons notre modèle en un modèle rationnel dépendant d’un associateur de Drinfeld, et nous le comparons au modèle qui existerait si l’opérade SC était formelle. Dans une seconde partie, nous étudions les espaces de configurations des variétés compactes, lisses, sans bord et simplement connexes. Nous démontrons sur R une conjecture de Lambrechts–Stanley qui décrit un modèle de tels espaces de configurations, avec comme corollaire leur invariance homotopique réelle. En nous fondant sur la preuve par Kontsevich de la formalité des opérades Dn, nous obtenons en outre que ce modèle est compatible avec l’action de l’opérade de Fulton–MacPherson quand la variété est parallélisée. Cela nous permet de calculer explicitement l’homologie de factorisation d’une telle variété. Enfin, dans une troisième partie, nous élargissons ce résultat à une large classe de variétés à bord. Nous utilisons d’abord une dualité de Poincaré–Lefschetz au niveau des chaînes pour calculer l’homologie des espaces de configurations de ces variétés, puis nous reprenons les méthodes du second chapitre pour obtenir le modèle, qui est compatible avec l’action de l’opérade Swiss-Cheese SCn.In a first part, we study Voronov’s "Swiss-Cheese" operad SC2, which governs the action of a D2-algebra on a D1-algebra. We build a model in groupoids of this operad and we describe algebras over this model in a manner similar to the classical description of algebras over H*(SC). We extend our model into a rational model which depends on a Drinfeld associator, and we compare this new model to the one that we would get if the operad SC were formal. In a second part, we study configuration spaces of closed smooth simply connected manifolds. We prove over R a conjecture of Lambrechts–Stanley which describes a mode of such configuration spaces, and we obtain as corollary their real homotopy invariance. Moreover, using Kontsevich’s proof of the formality of the operads Dn, we obtain that this model is compatible with the action of the Fulton–MacPherson operad when the manifold is framed. This allows us to explicitly compute the factorization homology of such a manifold. Finally, in a third part, we expand this result to a large class of manifolds with boundary. We first use a chain-level Poincaré–Lefschetz duality result to compute the homology of the configuration spaces of these manifolds, then we reuse the methods of the second chapter to obtain our model, which is compatible with the action of the Swiss-Cheese operad SCn
Koszul operads and homology of algebras in positive characteristic
No full textCette thèse s’inscrit dans l’étude des catégories d’algèbres associées aux opérades. On développe des outils d’algèbre homologique et une méthode générale de classification (à homotopie près) des morphismes entre algèbres sur une opérade.La dualité de Koszul des opérades, introduite par V. Ginzburg et M. Kapranov, permet de construire des théories homologiques appropriées pour des catégories d’algèbres associées à certaines bonnes opérades – les opérades de Koszul. On donne dans la première partie de cette thèse un critère effectif pour qu’une opérade soit de Koszul : on montre qu’une opérade, linéairement engendrée par une base, est de Koszul dès lors que l’on peut ordonner sa base de façon compatible avec la structure de composition opéradique – on parle alors d’opérade de Poincaré-Birkhoff-Witt.La théorie originale de Ginzburg-Kapranov s’applique en caractéristique nulle seulement. On construit une théorie homologique adaptée - la Gamma-homologie - pour l’étude des catégories d’algèbres différentielles graduées associées à une opérade de Koszul en toute caractéristique. Cette théorie généralise la Gamma-homologie définie par A. Robinson et S. Whitehouse pour la catégorie des algèbres commutatives.On montre que la Gamma-homologie opéradique contient l’obstruction à la réalisation de morphismes entre algèbres sur une opérade, ainsi que l’obstruction à la réalisation d’homotopies entre morphismes, et donne de la sorte un outil général pour classifier les morphismes entre algèbres sur une opérade.This thesis is concerned with the study of categories of algebras associated to operads. We develop tools of homological algebra and a general method to classify morphisms in the homotopy category of algebras over an operad.The Koszul duality of operads, introduced by V. Ginzburg and M. Kapranov, allows us to construct suitable homology theories for categories of algebras associated to some good operads – the Koszul operads. We give in the first part of this thesis an effective criterion to prove that an operad is Kozul : we show that an operad, linearly generated by a basis, is Koszul as soon as we can order its basis compatibly with the operadic composition structure – we call such operads Poincaré-Birkhoff-Witt operads.The original theory of Ginzburg and Kapranov works in characteristic zero only. We construct a homology theory - the Gamma-homology - for the study of the categories of the differential graded algebras associated to a Koszul operad in any characteristic. This theory generalizes the Gamma-homology introduced by A. Robinson and S. Whitehouse for the category of commutative algebras.We show that our Gamma-homology contains the obstruction to the realization of morphisms between algebras over an operad, and also the obstruction to the realization of homotopies between morphisms. We obtain in this way a general tool to classify morphisms between algebras over an operad
Postnikov towers and Postnikov invariants for simplicial operads
No full textNous adaptons la définition des sections de Postnikov et des tours de Postnikov des ensembles simpliciaux aux opérades simpliciales. Nous définissons ensuite des foncteurs de cotroncation afin de filtrer la tour de Postnikov d’une opérade simpliciale par les arités et former ainsi la double tour de Postnikov de cette opérade. Nous introduisons un nouveau type d’opérade, les gamma-opérades, où gamma désigne une opérade dans les groupoïdes. Nous les utilisons pour modéliser l’action de l’opérade groupoïde fondamental d’une opérade simpliciale sur ses groupes d’homotopies et son revêtement universel. Nous munissons la catégorie des gamma-opérades d’ensembles simpliciaux d’une structure de catégorie modèle. D’autre part, nous montrons que les gamma-opérades dans la catégorie des groupes abéliens munie de la structure monoïdale induite par la somme directe forment une catégorie abélienne. Cette catégorie abélienne fournit les coefficients pour la cohomologie équivariante opéradique que nous étudions ensuite. Une version relative de cette cohomologie est également étudiée. Nous définissons alors les invariants de Postnikov d’une opérade simpliciale. Ce sont des classes de cohomologie équivariante opéradique qui permettent de reconstruire inductivement et à homotopie près une opérade simpliciale à l’aide de sa double tour. Ce processus de reconstruction est utilisé afin de développer une théorie de l’obstruction pour les opérades simpliciales : on peut étendre un morphisme d’opérades simpliciales le long d’une cofibration si et seulement une suite de classes de cohomologie équivariante opéradique relative définie inductivement est nulle.We adapt the definition of Postnikov sections and Postnikov towers of simplicial sets to simplicial operads. We then define cotruncation functors in order to filter the Postnikov tower of a simplicial operad by arity and form the Postnikov double tower of this operad. We introduce a new kind of operad, the gamma-operads with gamma a groupoid operad. We use them to model the action of the fundamental groupoid operad of a simplicial operad on its homotopy groups and its universal covering. We equip the category of gamma-operad in simplicial sets with a model structure. We also prove that the gamma-operads in the category of abelian group equipped with the monoidal structure induced by the direct sum form an abelian category. This abelian category provides the coefficients for the operadic equivariant cohomology we study afterward. Furthermore, we study a relative version of this cohomology. We thereafter define the Postnikov invariants of a simplicial operad. These are operadic equivariant cohomology classes which permit to reconstruct inductively and up to homotopy a simplicial operad by the mean of its double tower. This reconstruction process is used to develop an obstruction theory for simplicial operads : a simplicial operad morphism can be extended along a cofibration if an only if a sequence of relative operadic equivariant cohomology classes defined inductively vanishes
Algèbres pré-Lie et opérades en caractéristique positive
No full textLe sujet de cette thèse est la théorie des opérades. Une opérande est utilisée pour encoder des collections d’opérations. Une opérade P est associée à une catégorie d’algèbres, qui est gouvernée par une monade, dénotée par S(P,-). Nous avons des variantes de cette monade, dénotées par Λ(P,-) et Γ(P,-), ce qui nous donne de nouvelles catégories d’algèbres associée à P. Nous étudions les monades Λ(PreLie,-) et Γ(P,-), associées à une opérande particulière PreLie, dont la structure reflets la définition classique des crochets de Lie par la symétrisation des opérations. Nous montrons que la catégorie des algèbres Λ(PreLie,-) est isomorphe à la catégorie des algèbres pré-Lie p-restreintes. Nous donnons ensuite une présentation de la structure d’une algèbre sur la monade Γ(PreLie,-). Nous expliquons comment définir une généralisation appropriée de la notion d’une opérade dans la seconde partie de la thèse. Premièrement, nous expliquons la définition d’une catégorie de foncteurs cohomologiques de Mackey sur une catégorie des partitions HParn. Nous prouvons que cette catégorie de foncteurs de HParn-Mackey cohomologiques est équivalent à la catégorie de Suslin-Friedlander des foncteurs polynomiaux strictes de degré n. Nous comptons sur ce résultat pour définir une catégorie de M-modules correspondant aux foncteurs analytiques. Nous prouvons que la catégorie des M-modules forme une catégorie monoïdale équivalente à celle des foncteurs analytiques avec la composition des foncteurs comme structure monoïdale. Nous utilisons ce résultat pour prouver que la catégorie des monades analytiques est équivalente à une catégorie d’opérades généralisées dans les M-modules.The subject of this thesis is the theory of operads. An operad is used to encode collections of operations. An operad P is associated to a category of algebras, which is governed by a monad, denoted by S(P,-). We have variants of this monad, denoted by Λ(P,-) and Γ(P,-), which give new categories of algebras associated to P. We study the monads Λ(PreLie,-) and Γ(PreLie,-) associated to a particular operad PreLie, whose structure reflects the classical definition of Lie brackets by the symmetrization of operations in the field of differential geometry. We show that the category of Λ(PreLie,-) algebras is isomorphic to the category of p-restricted pre-Lie algebras. Then we give a presentation of the structure of an algebra over the monad Γ(PreLie,-). We explain how to define a suitable generalisation of the notion of an operad in the second part of the thesis. In a first step we explain the definition of a category of cohomological Mackey functors on a category of partitions HParn. We prove that this category of cohomological HParn-Mackey functors is equivalent to the Suslin-Friedlander category of strict polynomial functors of degree n. We rely on this result to define a category of M-modules corresponding to analytic functors. We prove that the category of M-modules forms a monoidal category equivalent to the category of analytic functors with the composition of functors as monoidal structure. We use this result to prove that the category of analytic monads is equivalent to a category of generalized operads in M-modules
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