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Metodi numerici non lineari di ordine alto per sistemi di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine di tipo speciale
No full textL'attività di ricerca si colloca nell'ambito dell'Analisi Numerica e, in particolare, riguarda lo studio dei metodi non lineari per la risoluzione numerica delle equazioni differenziali ordinarie. E’ stata affrontata la costruzione di una nuova classe di metodi numerici non lineari a due passi per l'integrazione di sistemi di Equazioni Differenziali Ordinarie (ODEs) del secondo ordine di tipo speciale. In particolare sono stati considerati sistemi del tipo y’’=f(x,y), in cui la funzione f non dipende esplicitamente dalla derivata prima della soluzione. Questi sistemi di ODEs costituiscono un importante e diffuso modello matematico, che nasce spesso nelle applicazioni da problemi di meccanica celeste, sismologia, dinamica molecolare o nella semidiscretizzazione di equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico, che hanno quindi grandi dimensioni e stiffness elevata. L'integrazione numerica di tali sistemi è considerato un problema non banale, a causa della grande varietà di situazioni che possono verificarsi (problemi la cui soluzione presenta uno o più frequenze elevate, problemi periodici o quasi periodici, sistemi stiff, etc.), così che la scelta del metodo più efficiente è strettamente dipendente dal problema. Sebbene tali sistemi possano essere ridotti a sistemi del I ordine, è più naturale ed efficiente sviluppare metodi per la loro integrazione diretta. Infatti il sistema trasformato del I ordine ha una dimensione doppia rispetto alla dimensione del sistema originario; inoltre la trasformazione in sistema del I ordine fa comparire esplicitamente la derivata prima della soluzione tra le componenti del vettore delle incognite. C'è da aggiungere che problemi a grandi dimensioni, eventualmente con soluzioni oscillanti o con alte frequenze, per seguire le oscillazioni ed essere accurati, richiedono un piccolo passo di integrazione, con notevole perdita di efficienza. E’ stata introdotta una nuova classe di metodi numerici non lineari a due passi, ovvero i metodi Runge—Kutta—Nyström a due passi, al fine di unire le proprietà dei metodi lineari a più passi con quelle dei metodi Runge—Kutta e ottenere metodi di ordine elevato, senza un eccessivo aggravio della complessità computazionale del metodo. In un primo momento, i coefficienti del metodo sono stati determinati applicando la tecnica della collocazione. Sono stati scelti inizialmente i metodi di collocazione perché per la loro implicitezza e le proprietà di stabilità sono idonei a integrare sistemi stiff, perché per essi è poco costoso l'eventuale cambiamento del passo di integrazione, perché una futura estensione del lavoro di ricerca prevede la possibilità di costruire metodi di collocazione utilizzando basi di funzioni diverse da quella polinomiale, ad esempio esponenziale, trigonometrica o mista, scelte in funzione delle caratteristiche del problema in esame. La collocazione a più passi per le equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine può essere definita in due modi: imponendo le condizioni di interpolazione anche sulla derivata prima, e quindi determinando un'approssimazione della derivata prima, oppure trascurando la derivata prima e interpolando solo sulla soluzione esatta. E’ stato mostrato come sia possibile costruire una nuova classe di metodi generali di collocazione a due passi, che forniscano valori numerici per la soluzione e la sua derivata prima nel punto di rete, e facciano uso anche di valori degli stadi già precedentemente calcolati. Nei metodi Runge--Kutta già compaiono gli stadi numerici, che rappresentano un'approssimazione della soluzione y(xn +cjh). Seguendo un suggerimento fornito in letteratura, opportunamente modificato per il problema in esame e nell'ambito della collocazione, nel calcolare la soluzione numerica yn il metodo numerico introdotto fa uso anche dello stadio Yjn-1, già calcolato nel precedente passo d'integrazione. E’ proprio l'introduzione di questo secondo stadio numerico (da cui la parola generale) che, nell'aumentare il numero dei parametri del metodo, rende possibile anche ottenere ordini alti, senza appesantire eccessivamente la complessità di calcolo. E’ altresì immediatamente evidente, però, che la presenza degli stadi numerici associati al passo precedente introduce un nuovo problema per quanto riguarda i valori di starting del metodo numerico, che riguarderanno adesso non soltanto le approssimazioni dei passi precedenti, come già avveniva per i metodi lineari a due passi, ma anche il calcolo di un buon valore approssimato per Yjn-1 per n=1. La trattazione di questo problema, ancora ad uno stadio iniziale in letteratura, è al momento al di fuori degli scopi della presente attività di ricerca, riguardando la costruzione di opportuni metodi di starting per i metodi generali lineari, che per loro natura sono a più passi e a più stadi. E’ stata invece considerata la sua ricaduta sulla definizione di ordine per il metodo in esame. In questa prima fase dell’attività di ricerca, le condizioni d'ordine della nuova classe di metodi generali di collocazione a due passi sono state studiate mediante il formalismo di Albrecht. Successivamente, la classe dei metodi di collocazione è stata inquadrata nella più generale classe dei metodi Runge—Kutta—Nyström a due passi. In particolare, per determinare le condizioni d'ordine, sono stati utilizzati i potenti strumenti della teoria dei B-Trees, già sviluppata da Butcher per ODE del I ordine. Le condizioni d'ordine di un metodo numerico sono equazioni non lineari aventi come incognite i coefficienti del metodo, definite confrontando lo sviluppo in serie di Taylor della soluzione esatta e della soluzione numerica dell'equazione differenziale; questa procedura coinvolge espressioni strettamente correlate con gli alberi di Butcher. Per le equazioni del II ordine è stato necessario considerare la teoria degli alberi e delle serie di Nyström. E’ stata applicata al nuovo metodo generale lineare a due passi la teoria degli alberi e delle serie di Nyström, opportunamente adattata riguardando il nuovo metodo numerico a due passi come composizione di due metodi RKN ad un passo, ed è stata trovata una condizione sufficiente affinché il metodo abbia ordine p
Spline collocation methods for fractional differential equations: theoretical and computational aspects
No full textSpline collocation methods are a powerful tool to discretize fractional differential equations, since they have a high order of convergence and strong stability properties. In this talk, we illustrate the convergence and stability analysis of one and two step spline collocation methods. We pay attention also to the efficient implementation of these methods, which requires the evaluation of fractional integrals. Some numerical experiments are provided to confirm theoretical results and to compare one and two step collocation methods. This is a joint work with B. Paternoster and D. Conte
Efficient methods for special second order ODEs
No full textOur purpose is the design of efficient methods for solving stiff and nonstiff initial value problems for second-order ordinary differential
equations of the special form y''=f(y).
We analyse approximate factorization methods for second-order stiff differential equations, we construct general linear methods with parallel stages for nonstiff equations with peridic solution, we propose both parallel and sequential methods tuned to the special form of the solution.
A number of convergence and stability results are derived and the performances of the methods are illustrated by means of a few examples from the literature
Computation of the interval of stability of Runge--Kutta--Nystrom methods
No full textWe present a Mathematica package to compute the interval of stability of Runge-Kutta-Nystrom methods for y " = f(t,y)
Going Beyond Counting First Authors in Author Co-citation Analysis
Full text linkThe present study examines one of the fundamental aspects of author co-citation analysis (ACA) - the way co-citation
counts are defined. Co-citation counting provides the data on which all subsequent statistical analyses and mappings
are based, and we compare ACA results based on two different types of co-citation counting - the traditional type that
only counts the first one among a cited work's authors on the one hand and a non-traditional type that takes into
account the first 5 authors of a cited work on the other hand. Results indicate that the picture produced through this non-traditional author co-citation counting contains more coherent author groups and is therefore considerably clearer. However, this picture represents fewer specialties in the research field being studied than that produced through the traditional first-author co-citation counting when the same number of top-ranked authors is selected and analyzed. Reasons for these effects are discussed
Variations on the Author
Full text link“Variations on the Author” discusses two of Eduardo Coutinho’s recent films (Um Dia na Vida, from 2010, and Últimas Conversas, posthumously released in 2015) and their contribution to the general question of documentary authorship. The director’s filmography is characterized by a consistent yet self-effacing form of authorial self-inscription: Coutinho often features as an interviewer that rather than express opinions propels discourses; an interviewer that is good at listening. This mode of self-inscription characterizes him as an author who is not expressive but who is nonetheless markedly present on the screen. In Um Dia na Vida, however, Coutinho is completely absent form the image, while Últimas Conversas, on the contrary, includes a confessional prologue that moves the director from the margins to the center of his films. This article examines the ways in which these works stand out in the filmography of a director who offers new insights into the notion of cinematic authorship
Appropriate Similarity Measures for Author Cocitation Analysis
Full text linkWe provide a number of new insights into the methodological discussion about author cocitation analysis. We first argue that the use of the Pearson correlation for measuring the similarity between authors’ cocitation profiles is not very satisfactory. We then discuss what kind of similarity measures may be used as an alternative to the Pearson correlation. We consider three similarity measures in particular. One is the well-known cosine. The other two similarity measures have not been used before in the bibliometric literature. Finally, we show by means of an example that our findings have a high practical relevance.information science;Pearson correlation;cosine;similarity measure;author cocitation analysis
Dispelling the Myths Behind First-author Citation Counts
Full text linkWe conducted a full-scale evaluative citation analysis study of scholars in the XML research field to explore just how different from each other author rankings resulting from different citation counting methods actually are, and to demonstrate the capability of emerging data and tools on the Web in supporting more realistic citation counting methods. Our results contest some common arguments for the continued
use of first-author citation counts in the evaluation of scholars, such as high correlations between author rankings by first-author citation counts and other citation
counting methods, and high costs of using more realistic citation counting methods that are not well-supported by the ISI databases. It is argued that increasingly available digital full text research papers make it possible for citation analysis studies to go beyond what the ISI databases have directly supported and to employ more
sophisticated methods
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