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The Aluffi algebra of an ideal
No full textNasrollah Nejad, Abbas; Simis, Aron. The Aluffi algebra of an ideal. 2010. Tese (Doutorado). Programa de Pós-Graduação em Matemática, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2010.Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológic
Commutative Algebra/ Aron Simis.
No full textIn English.This unique book on commutative algebra is divided into two parts in order to facilitate its use in several types of courses. The first introductory part covers the basic theory, connections with algebraic geometry, computational aspects, and extensions to module theory. The more advanced second part covers material such as associated primes and primary decomposition, local rings, M-sequences and Cohen-Macaulay modules, and homological methods.Frontmatter -- Thanks -- Foreword -- Contents -- 1. Basic introductory theory -- 2. Main tools -- 3. Overview of module theory -- 4. Derivations, differentials and Jacobian ideals -- 5. Basic advanced theory -- 6. Homological methods -- 7. Graded structures -- Bibliography -- Index1 online resource (XVI, 340 p.)
Sylvester forms and Rees algebras
No full textThis work is about the Rees algebra of a nite colength almost complete intersection ideal
generated by forms of the same degree in a polynomial ring over a eld. We deal with two
situations which are quite apart from each other: in the rst the forms are monomials in an
unrestricted number of variables, while the second is for general binary forms. The essential
goal in both cases is to obtain the depth of the Rees algebra. It is known that for such ideals the
latter is rarely Cohen{Macaulay (i.e., of maximal depth). Thus, the question remains as to how
far one is from the Cohen{Macaulay case. In the case of monomials one proves under certain
restriction a conjecture of Vasconcelos to the e ect that the Rees algebra is almost Cohen{
Macaulay. At the other end of the spectrum, one proposes a proof of a conjecture of Simis
on general binary forms, based on work of Huckaba{Marley and on a theorem concerning the
Ratli {Rush ltration. Still within this frame, one states a couple of stronger conjectures that
imply Simis conjecture, along with some solid evidence.Este trabalho versa sobre a algebra de Rees de um ideal quase intersec cão completa, de cocomprimento
nito, gerado por formas de mesmo grau em um anel de polinômios sobre um
corpo. Considera-se duas situa c~oes inteiramente diversas: na primeira, as formas s~ao mon^omios
em um n umero qualquer de vari aveis, enquanto na segunda, s~ao formas bin arias gerais. O
objetivo essencial em ambos os casos e obter a profundidade da algebra de Rees. E conhecido
que tal algebra e raramente Cohen{Macaulay (isto e, de profundidade m axima). Assim, a quest~ao
que permanece e qua o distante são do caso Cohen{Macaulay. No caso de monômios prova-se,
mediante certa restri cão, uma conjectura de Vasconcelos no sentido de que a algébra de Rees e
quase Cohen {Macaulay. No outro caso extremo, estabelece-se uma prova de uma conjectura de
Simis sobre formas bin arias gerais, baseada no trabalho de Huckaba{Marley e em um teorema
sobre a ltera cão de Ratli {Rush. Al em disso, apresenta-se um par de conjecturas mais fortes
que implicam a conjectura de Simis, juntamente com uma evidência s olida
Transformações de Cremona definidas por monômios
No full textNesta tese abordamos as seguintes quest~oes: (a) Classificac~ao das aplicac~oes de Cremona
monomial de grau 2 em qualquer numero de variaveis; (b) A estrutura da aplicac~ao
inversa de uma aplicac~ao de Cremona monomial de grau 2; e (c) O papel das bases de Hilbert
em aplicac~oes de Cremona monomial de grau arbitrario. Introduzimos uma forma normal
de uma aplicac~ao de Cremona monomial de grau 2 calcada na estrutura de um grafo cujas
arestas correspondem aos mon^omios que definem a aplicac~ao. Obtemos o formato explicito
da aplicac~ao inversa, bem como os invariantes numericos associados, em termos da natureza
do grafo correspondente. Os resultados s~ao fortemente calcados na vers~ao combinatoria de
birracionalidade para aplicac~oes racionais definidas por mon^omios introduzida por A. Simis
e R. Villarreal. Como aplicac~ao, respondemos afirmativamente a quest~oes propostas por F.
Russo e R. VillarrealUniversidade Federal Rural de Pernambuc
Cremona transformations and some related algebras
No full textAbstractOne proves a general characteristic-free criterion for a rational map between projective varieties to be birational in terms of ideal-theoretic and modulo-theoretic conditions. This criterion is more inclusive than that of [F. Russo, A. Simis, Compositio Math. 126 (2001) 335–358] and, moreover, differs from previous criteria in its nature in that the syzygies of the base ideal of the map are not directly involved in its formulation. However, a great deal of the consequences are phrased by means of those very syzygies avoided in the formulation of the criterion! In any case, the criterion is stated in effective terms so it yields an efficient computable test of birationality. One also introduces a so-called linear obstruction principle for base ideals of linear type, thus raising a basic question concerning the structure of a certain related “bilinear” algebra
Symmetric algebras of modules arising from a fixed submatrix of a generic matrix
No full textAbstractWe analyze symmetric algebras which arise from rather ‘bad’ ideals and modules. For example, the ideals are mixed, and every value ≠ 0 occurs as the projective dimension of one of the modules. We are interested in the Cohen-Macaulay property, the canonical module, normality, and the divisor class group. The symmetric algebras under consideration can be defined as residue class rings modulo determinantal ideals covered by the theory of Hochster-Eagon. Part of the results can be regarded as an extension of work of Andrade and Simis
Hipersuperfícies cúbicas de hessiano nulo e cúbicas desenvolvíveis
No full textO tema central da presente tese é a descrição algebro-geométrica de hipersuperfícies cúbicas,
que não são cones e cujo hessiano é identicamente nulo. Hesse (1851) acreditava ter
caracterizado os cones por intermédio do anulamento do determinante hessiano, entretanto
Gordan e Noether (1876) construíram classes de exemplos de hipersuperfícies que
não são cones e cujo hessiano é identicamente nulo. Baseado no posterior trabalho de Perazzo
(1902), para as cúbicas, demos formas canônicas e teoremas de estrutura geométricos
para tais hipersuperfícies, completando a classificação das mesmas em um espaço
projetivo de dimensão menor ou igual a sete. Sob uma ótica mais moderna enfatizamos
a conexão entre tais hipersuperfícies e as hipersuperfícies desenvolvíveis, cujo mapa de
Gauss é degenerado, via o hessiano que é um importante invariante nesse contexto. Além
de produzirmos novos exemplos de hipersuperfícies desenvolvíveis demos uma classificação
das mesmas em um espaço de dimensão menor que 6. As hipersuperfícies desenvolvíveis
são um moderno e importante tema de pesquisa em várias áreas da matemática
tendo ainda aplicações em computação gráfica, desenho industrial e física. Exemplos em
dimensão maior que 4 são raros e o entendimento de sua estrutura geométrica é de grande
interesseUniversidade Federal Rural de Pernambuc
Aplicações birracionais em característica arbitrária
No full textEsta tese representa uma sequência natural a trabalhos de vários autores, em
que se busca obter resultados novos sobre aplicações birracionais usando técnicas de álgebra comutativa. Uma das lacunas conhecidas é o problema da característica do corpo de base. Habitualmente tratados separadamente, o caso de característica zero e de característica prima, deixam a desejar do ponto de vista da unificação dos resultados gerais. Outro aspecto relevado é o do enunciado de critérios de birracionalidade alternativos ao tradicional cálculo do grau de uma aplicação racional. O principal objetivo deste trabalho é discutir um invariante numérico de birracionalidade válido em característica arbitrária, denominado posto Jacobiano dual. Este invariante depende fortemente da estrutura graduada da álgebra de Rees do ideal de base da aplicação racional, a qual permite uma análise mais precisa do que o tratamento geométrico habitual do gráfico como variedade \blowupCoordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superio
Dualidade local
No full textEsta dissertação tem como objetivos um estudo detalhado do módulo canônico e do funtor dualizante para anéis de Cohen-Macaulay locais e as demonstrações dos teoremas de dualidade de Grothendieck. Iniciamos com o caso Artiniano e depois estendemos ao caso geral. Analisamos a unicidade do funtor dualizante através da interveniência do módulo canônico, uma peça chave da álgebra comutativa moderna. Focamos, em especial, nos chamados anéis de Gorenstein, caracterizados, entre os anéis de Cohen-Macaulay, como aqueles que são seu próprio módulo canônico. Explicitamos o funtor dualizante. Analisamos o comportamento do módulo canônico sob o processo de localização e completamento. Por fim, trabalhamos nas demonstrações dos teoremas de dualidade de GrothendieckCoordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superio
Equigenerated Gorenstein ideals of codimension 3: with a chapter on general forms
No full textThis thesis deals with equigenerated Gorenstein ideals of nite colength in a standard
graded ring R = k[x1; : : : ; xn] over an in nite eld k. We focus especially on such ideals
of codimension 3, by looking at properties involving the Macaulay inverse system, the
degree of socle, the reduction number, and the Cohen-Macaulayness of the associated
Rees algebra. A special attention is devoted to the classical problem of general forms,
as in the well-known conjecture of Fröberg. Our interest is to understand the sparsity
of Gorenstein ideals generated by general forms. We conjecture that if I R is an
ideal generated by a general set of r n+2 forms of degree d 2, then I is Gorenstein
if and only if d = 2 and r =
n+1
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1. We prove this conjecture for n = 3 and one of its
implications for arbitrary n. Another theme considered in this thesis is what we called
the colon problem, a subject related to the presentation of a Gorenstein ideal as a link
I = (xm1
; : : : ; xmn
) : f, for a form f 2 R. If I has nite colength and linear resolution,
we establish under what conditions the form f is uniquely determined, in addition to
determining its degree. As we show, this problem is related to the so-called Newton
dual introduced by Costa Simis and further studied by various recent authors.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESEsta tese versa sobre ideais de Gorenstein equigerados de co-comprimento nito em
um anel de polinômios graduado standard R = k[x1; : : : ; xn] sobre um corpo in nito
k. Focalizamos especialmente o caso de codimensão 3, estudando propriedades envolvendo
o sistema inverso de Macaulay, o grau do socle, o número de redução, e a
Cohen-Macaulicidade da álgebra de Rees associada. Uma atenção especial é dedicada
ao problema clássico de formas gerais, no espírito da conjectura de Fröberg. Nosso
interesse é entender a rarefação de ideais de Gorenstein gerados por formas gerais.
Nessa direção conjecturamos que se I R é um ideal gerado por r n + 2 formas
de grau d 2, então I é Gorenstein se, e somente se, d = 2 e r =
n+1
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1. Provamos
esta conjectura para n = 3 e uma das implicações para n arbitrário. Outro tema
abordado é o aqui denominado problema do quociente, relacionado à apresentação de
um ideal Gorenstein na forma I = (xm1
; : : : ; xmn
) : f, para certa forma f 2 R. Se
I tem co-comprimento nito e resolução linear, estabelecemos sob quais condições a
forma f é unicamente determinada e qual é seu grau. Mostramos também que esse
problema está relacionado com a noção de dual de Newton, introduzido por Costa
Simis e posteriormente estudado por vários autores recentes
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