REAL-EOD

Forrai, Judit

Fejezetek a magyarországi természettudományi társaság történetének múltjából

Deme, Péter

Értékmegőrzés, innováció, múzeum − Vámos Éva munkásságáról a múzeumügyben

Entz, Géza Antal

Műemléki topográfia és társadalmi háttér

Munkácsy, Katalin

| 160  
„Kétkezi matematikatörténet” az angol nyelvű 
irodalomban létező Hands-on History nyomán  
dr. Munkácsy Katalin PhD 
ELTE TTK Matematikai Intézet  
 katalin.munkacsy@gmail.com 
DOI 10.23716/TTO.21.2017.13 
Absztrakt:  
Az Ankétok hagyományai szerint, a tudománytörténet és a 
technikatörténet kapcsolatának egy lehetséges formáját szeretném 
megmutatni. 
Fontosnak tartom, hogy a matematikatörténetet minél változatosabban 
mutassuk be a fiataloknak. Az elméleti jellegű és az anekdotikus 
megközelítés mellett a szemléletességre is nagy figyelmet fordítunk. A 
történeti tényeken túl (kronológia, matematikusok, művek, 
felfedezések) egy-egy korszak hangulatát, gondolkodási stílusát is 
megpróbáljuk érzékeltetni. E módszer előzményei: 
−  a szemléletességre és a tárgyi tevékenységre irányuló 
matematika-didaktikai kutatások 
− az angol nyelvű pedagógiai irodalomban olvasható „hands-on” 
módszer 
− matematikatörténet-tanítási tapasztalataim 
− Példákkal szeretném illusztrálni módszerünket. 
− Kultúrtörténeti érdekességek matematikai vonatkozással 
− labirintusok, 
− szigorúbban matematikatörténi vonatkozások  
− szabályos testek a geometriában és a mindennapi életben 
− csillagászat, hordozható napóra, a Naprendszer ábrázolása  
− logarléc modelljének elkészítése 
− hiperbolikus geometria,  
− kódolás, egy jellel kódolás 
A „kétkezi matematikatörténet” alkalmasnak bizonyult a kultúrtörténet 
néhány elemének beemelésére az oktatási folyamatba és egyes nehezen 
érthető matematikai fogalmat is közelebb hozott a diákokhoz.  
 | 161  
Kulcsszavak: matematikatörténet, matematika tanítás, tanárképzés, 
kézművesség 
Keywords: history of mathematics, mathematics teaching, teacher 
training, hands-on activity 
 
A matematikatörténet népszerűsítésének kialakulóban lévő irányzata új, 
egységes szemléletbe foglal korábban is meglévő jelenségeket. A 
matematikatörténeti vonakozású kézműveskedés kibővíti azokat a 
lehetőségeket, amelyeket a konkrét tárgyakkal végzett tevékenységek eddig 
is nyújtottak a matematikatanítás számára. Ebben az esetben valóban létező, 
használt eszközökkel és módszerekkel ismerkednek meg a diákok, és ez a 
többi tanított matematikai összefüggés fontosságára és érvényességére is 
felhívhatja a figyelmüket. Módszerünket az angol terminológia nyomán 
történetileg motivált fizikai objektumok alkalmazását is felhasználó 
tanításnak nevezhetjük,  “teaching mathematics using historically-motivated 
physical objects”. [SHELL-GELLASH, 2007] 
Ebben az írásban magukra a történeti ismeretekre csak érintőlegesen 
utalok, célom a manipulációs lehetőségek bemutatása. Ezeknek az 
információknak a forrásai a közismert matematikatörténeti tankönyvek, 
ismeretterjesztő művek. A kézműveskedéssel kapcsolatban felhasználom a 
Mathematics in the Making nemzetközi projekt tapasztalatait is, valamint 
annak a programnak a keretében használt ábrákat is.  
Ebben az írásomban, néhány az ELTE matematika tanárszakos hallgatói 
számára tartott speciálkollégium, illetve reguláris óra keretében elkészített 
modellt fogok bemutatni. 
A hallgatók érdeklődését követve a kézműveskedés értelmezését kissé 
kibővítettem, a kézbe vehető modelleken túl foglalkoztunk a nálunk 
megszokottól eltérő, egyszerű kiszámolási algoritmusokkal is. Kihasználtuk 
a számítógépek kínálta lehetőséget is a hiperbolikus geometriával való 
ismerkedésre.  
Számírások, műveleti algoritmusok 
Megismerkedni egy időben vagy térben távoli kultúra számolási 
eljárásaival kicsit olyan, mintha részeseivé válnak annak a másik életnek.. 
Mintha megkóstolnánk az ételeiket, felpróbálnánk ruháikat. 
162 | 
Egyitomi hieroglifák 
Az egyiptomi számírás varázsát elsősorban az jelenti, hogy a hallgatók 
megtanulnak használni néhány hieroglifát. Sokan ahhoz is kedvet kapnak, 
hogy megismerjék az egyiptomi írást, azon belül az eltérő célokra használt 
eltérő rendszereket is. A matematikatörténet keretében természetesen a 
legegyszerűbb jeleket ismerjük csak meg. 
 
1. ábra: egyiptomi számírás 
A Sulinet-ről kimásolt ábrán jól láthatók a kisebb számjegyek, és az 
egyszerű ismétlődésen alapuló struktúra. Itt hiányzik az 1000 jele, a kicsit a 
tulipánra hasonlító lótuszvirág, amit a tanulók általában nagy műgonddal 
szoktak rajzolgatni. 
Ezzel a jelöléssel igen nehéz dolgozni, minden művelet, az összeadáson 
kívül nagyon bonyolult. Ezért használták a kettőzés módszerét. A duplikáció 
az összeadáson alapul, bármely szorzás elvégezhető vele a pozitív egészek 
körében. A törtekkel való számolás külön művészet volt, nem csoda, ha a 
számolni tudás megbecsült szakma volt az ókori Egyiptomban. 
A klasszikus római számok 
Hasonlóképpen nem helyiértékes, tizes alapú rendszer a rómaiak 
számírása. Az ötös értékek kicsit érdekesebbé teszik a tiszta tizes alapú 
számírásnál. Másik különlegessége a négy, kilenc, negyven, stb. jelölése. Ez 
megbontja a szigorú additív rendszert, ezért érdemesebb a korábbi változatot 
megtanulni, ahol a négyet IIII jelölte, így sehol nem alkalmazták a kivonást. 
Ez a számírás a számmisztika megmutatását is lehetővé teszi, hiszen sok 
szóhoz a benne szereplő egyes betűk alapján számértéket rendelhetünk. 
 | 163  
Érdemes megemlíteni a görög számírást is, ahol minden egyes betű számot 
jelentett, így minden szónak volt, természetes módon, számértéke. (A 
görögöknél a misztikus gondolkodás és a számelméleti ismeretek nagyon 
különös módon keveredtek. Az 5 a házasság jelképe volt, a páros számok a 
női, a páratlanok a férfi számok voltak, az 5 pedig a két legkisebb páros és 
páratlan szám összege. És az 1? Az 1 nem volt szám, az az egység volt, 
amiből a számok származnak.   Így eleinte úgy írtak, hogy tekintsük az 
egységet vagy egy számot. Később megszünt ez a körülményeskedés, 
egyszerűen számról beszéltek, és természetesen ekkor is csak a pozitív 
egészekre gondoltak.) 
Babilóniai számírás 
A legrégibb helyiértékes számírás 60-as alapú volt. Babilóniában a 
számokat 1-től 59-ig nem helyiértékes módon, a 10-es és az 1 jelének 
megfelelő számú ismétlésével írták, és a 60 jele megegyezett az 1 jelevél. A 
hallgatók sokszor azt hiszik, hogy a számjegyek írásának furcsasága okozza 
ennek a rendszernek a megértését, valójában a helyiértékek mélyebb 
átgondolása igényli, azt a szellemi munkát, amelyet az ismerős 10-es 
számrendszerrel kapcsolatban szívesen megtakarítunk magunknak. Itt jól 
láthatjuk, a helyiértékes jelölés nehézségeit, és egyben előnyeit is. Ezt látta 
Archimedes, aki amikor számításokat végzett, nem a görög, hanem a 
babilóniai számírást alkalmazta. A jól használhatónak bizonyult számírás 
emlékét őrzi ma is az óra 60 percre bontása és szögmérésben használt 60-as 
váltószám. 
Indiai szorzás 
A helyiértékes számírás előnyeit élményszerűen mutatja meg az indiai 
szorzás. 1   Ez az algoritmus lényegében megegyezik az általunk is 
használttal, de kivitelezésében még is van annyi érdekesség, ami    leköti a 
diákok figyelmét. Itt egy animáció segítségével kipróbálható   az eljárás.  
 
 
 
 
1
 http://hirmagazin.sulinet.hu/hu/pedagogia/indiai-szorzas 
164 | 
Labirintusok 
Ókori eredetűek a labirintusok, a hallgatók egy része örömmel gyűjti a 
művészettörténeti információkat a különböző épített és kertekben 
megvalósított útvesztőkről. A matematikai labirintusok az elveszettség 
élményét képesek visszaadni, akkor is, ha csak papíron vagy szobányi 
méretben próbálkozunk a megfelelő út megtalálásával. [UGHI, 2017] 
 
 
2. ábra: Matematikai labirintus 
A szabály: hármat lépünk egy színen, majd színt váltunk. (Nem előírás, 
de valójában hosszú bolyongás és az összes szín érintése révén oldható csak 
meg a feladat.) Úgy kell eljutnunk a célhoz, hogy közben átmenetileg 
távolodnunk kell tőle. Ez az egyszerű, lábbal is megoldható feladat szinte a 
problémamegoldás egész folyamatát érzékelteti. 
 
 
 
 | 165  
Poliéderek 
A poliéderek is végiskísérik az emberiség történetét. Olyan egyszerű 
tárgy, mint az építési tégla is rengeteg kultúrtöténeti vonatkozással bír. A 
téglatestek „prototípusa” sokféle játékos feladat megoldására kínál alkalmat. 
 
3. ábra: Téglatest 
Schlosser Ákossal és Bontovics Ignáccal terveztük meg és valósítottuk 
meg az oroszlános szoftvert, ami a kisgyerekek térbeli tájékozódását segíti. 
A neten elérhető,2 ahonnan futtatható exe formátumban, illeve egy zip file-ba 
csomagolva letölthető. Nagyobbaknak a poliéderekkel való ismerkedésre a 
drágaköveket és az építészetet javaslom. Fontosnak tartom, hogy a „mértani 
test” kifejezést hallva a diákok ne a matematikai szertárak szabályos 
testjeire, hanem a környezetükben található érdekes alakzatokra 
gondoljanak. 
 
2
 http://bontovics.extra.hu 
166 | 
Napóra 
Egy újabb óegyiptomi tárgy, aminek valóban érdemes elkészíteni a 
modelljét. 
 
4. ábra: Különböző napórák 
Az a) és b) jelű tárgyak hordozható napórák. Egy vonalzó méretű 
kartonlapból könnyen meghajlíthatók. Érdekessé a kalibrálás válik.      A 
napóra rövidebb, függőlegesen álló felét kell a Nap felé fordítani, úgy, hogy 
árnyéka teljes egészében a vízszintes részére essen.  
Az elkészítés során az árnyék hosszát jelöljük be és mellé írjuk a 
pillanatnyi pontos időt. A leolvasáskor is megfelelően be kell állítani 
modellünket. A csillagászati jelenségek megfigyelésére irányíthatjuk a 
diákok figyelmét ezzel az egyszerű eszközzel. 
Naprendszer 
A Naprendszer modellezése sokkal több munkát igényel és többféle 
ismeretet is mozgósít. A Naprendszerről általában olyan képeket szoktak 
közölni, ahol a bolygók szinte egymásba érnek. Hogy is van ez valójában? 
Először nézzünk meg egy dombornyomású domborzati térképet. Képzeljünk 
el egy olyant, ami Magyarországot kelet-nyugati irányban körülbelül 50 cm-
es térképen ábrázolja. Milyen magas lenne ezen a térképen a Kékestető? 
Könnyű utánaszámolni, hogy 1 mm körül lenne, ami természetesen 
használhatatlan térkép lenne. Ezért más méretarányokat használnak a 
 | 167  
vízszintes és a függőleges távolságokra. Így van ez a Naprendszer ábrázolása 
során is. Más a bolygók átmérője és más a keringési sugarak kicsinyítését 
szolgáló arány. Próbálkozzunk meg ugyanazt az arányt alkalmazni. 
A Nap átmérője legyen 1 méter. A bolygók golyónyi és labdányi 
méretűek lesznek, a keringési sugarak pedig néhány 10 métertől néhány km-
ig terjednek. Magyarországon Kecskeméten készült el egy szépen 
kivitelezett modell, de egyszerűbbeket a hallgatóim is készítettek. Ez a 
táblázat is a MiMa program keretében készült. 
 
5. ábra: Naprendszer modell 
Logarléc 
A logaritmust, a logarlécet, a logaritmus táblázatot ma már sehol sem 
használják semmilyen praktikus kiszámolási céllal, mégis érdemes 
megismertetni a diákokat a logarléccel. Hiszen a logaritmikus összefüggések 
nagyon fontosak a természettudományokban és a gazdasági életben. Segítik 
az összefüggések megértését, megjegyzését és alkalmazását a kézzel fogható 
tapasztalatok. Egy hallgató, Takács Anna készítette el a modell ábráját is. (6. 
ábra) 
 
6. ábra: 2 hatványok szorzása logarléccel (Logarléc modell) 
168 | 
Hiperbolikus geometria 
A hiperbolikus geometria ábrái szabadkézzel vagy a szokásos 
szerkesztési eljárásokkal nagyon nehézkesen készíthetők el, ez gátat szab az 
elmélet megismerésének is. Szilassi Lajos Bolyai.exe programja [SZILASSI, 
2017] az elmélyült tanuláson túl, a játékos ismeretszerzést is lehetővé teszi. 
Középiskolás tanulók rövid, félórát el nem érő időtartamú ismerkedés után 
készítették ezeket a rajzokat a hiperbolikus sík különböző, szabályos 
hatszögeiről.3    
 
  
7. és 8. ábra: Hiperbolikus geometria ábrái szabadkézzel 
Egy jeggyel kódolás 
A XX. század 30-as éveiben volt nagy elméleti jelentősége a szövegek 
egyetlen számmal történő kódolásának, azóta pedig a titkosítással 
kapcsolatban is hasonló meggondolások lépnek föl. Ezért tartom fontosnak, 
hogy az eljárás alapját, az egyértelmű prímfelbontáson alapuló algoritmus 
tapasztalati úton is megismerjék a hallgatók. 
Legyen a titkosítandó szövegünk az a, b, c, d betűk tetszőleges számú 
felhasználásával írt három betűs üzenet. Természetesen itt kis számú, véges 
sok eset van, egyszerűen megsorszámozhatnánk mindegyiket, de most a 
kódolás modelljét szeretném megmutatni. Jelöljük a három helyet az első 
 
3
 http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/Bolyai/ 
 | 169  
három prímmel, a négy betűt az első négy pozitív egésszel. Így pl. a bab 
betűcsoportot a 22×31×52 szorzattal, vagyis a 300 számmal kódoljuk, 
visszafejteni pedig a szám prímtényezős felbontása révén lehet. 
Tapasztalatok 
A hallgatók a matematikatörténeti ismeretek, tudományfilozófiai elvek 
mellett örömmel foglalkoznak tárgyakkal, kézműveskedéssel, régen használt 
egyszerű algoritmusok megismerésével. Többen közülük tervezik, hogy 
saját tanítási gyakorlatukba is beépítenek hasonló foglalkozásokat.  
Hands-on History of Mathematics in Teacher Training 
Abstract:  
According to the traditions of the Ankét, I would like to show the 
connection between the history of science and the history of 
technology. 
I find it important to show the history of mathematics, as varied as 
possible, to young people. In addition to the theoretical and the 
anecdotal approach, we also pay attention to the intensity approach. In 
addition to the historical facts (chronology, mathematicians, their 
works) we also try to express the mood and thinking style of the certain 
historical periods.  The paper summarizes the results of my work in  the 
following fields 
− Mathematics-Didactic Research 
− The “hands-on” method in the English-language pedagogical 
literature 
− My teaching experience on the history of mathematics 
− Cultural history memory with mathematical aspects: labyrinths 
− More rigorously mathematical aspects 
− Regular 3D  shapes 
− Astronomy, portable sundials, solar system model 
− Slide rule model 
− Drawing on hyperbolic plane 
− Encoding, encoding with one signal 
“Hands-on Mathematics History” has proved to be suitable for 
incorporating some of the elements of cultural history into the 
170 | 
educational process and has brought some difficult mathematical 
concepts closer to the students. 
Irodalom:  
SHELL-GELLASH, A. (ed): A Resource for Teaching Math. Washington DC, AMM, 
2007. 
SZILASSI LAJOS: Euklidész, Bolyai és a tér. (Előadás) ELTE Matematikai Esték, 2016. 
április 16. http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/Bolyai/ (letötés 
időpontja: 2017. május 6.) 
UGHI, E. (ed): Guidelines for the implementation of the MiMa methodology. 
[Vezérfonal a MiMa Módszertan Bevezetéséhez], 
http://www.mathematicsinthemaking.eu/ (letötés ideje: 2017. május 6.) 


"Kétkezi matematikatörténet" az angol nyelvű irodalomban létező Hands-on History nyomán

Monok, István

Madl, Claire

Frédéric Barbier, un historien du livre qui sait oú se

trouve I’Europe centrale

Granasztói, Olga

« Éloge du roi de Prusse »

Les connotations politiques d’un succès de librairie.

La Prusse et la Hongrie entre 1780 et 1790

Bachleitner, Norbert

Die österreichische Zensur 1751–1848

Sándor, Klára

A székely írás reneszánsza

Pozsgai, Imre

Képalkotás, kémiai analízis és szerkezeti vizsgálat

a korszerű pásztázó elektronmikroszkópban

Puskás, Andrea

Assessing Young Learners in the English Language Classroom

Not a member yet

Fejezetek a magyarországi természettudományi társaság történetének múltjából

Értékmegőrzés, innováció, múzeum − Vámos Éva munkásságáról a múzeumügyben

Műemléki topográfia és társadalmi háttér

"Kétkezi matematikatörténet" az angol nyelvű irodalomban létező Hands-on History nyomán

Frédéric Barbier, un historien du livre qui sait oú se trouve I’Europe centrale

« Éloge du roi de Prusse » Les connotations politiques d’un succès de librairie. La Prusse et la Hongrie entre 1780 et 1790

Die österreichische Zensur 1751–1848

A székely írás reneszánsza

Képalkotás, kémiai analízis és szerkezeti vizsgálat a korszerű pásztázó elektronmikroszkópban

Assessing Young Learners in the English Language Classroom

12,122

20,154