REAL-EOD

Munkácsy, Katalin

9 
I.  TECHNIKATÖRTÉNETI HÁLÓZATOK  
 
 
A METRÓHÁLÓZATOK TÉRKÉPE 
 
 
 
 
 
 
MUNKÁCSY KATALIN PhD, (ELTE Matematikai Intézet): 
E-mail: katalin.munkacsy@gmail.com 
DOI 10.23716/TTO.24.2020.02 
Absztrakt 
A metrótérképek itthon is, és külföldön is mindennapi segítőink a 
tájékozódásban. Annyira természetes a használatuk, hogy meg sem nézzük, 
valójában milyenek ezek a térképek.  Legtöbbször egyenes szakaszok 
találhatók rajta, azok vagy derékszögben, vagy 45 fokos szögben metszik 
egymást. Az egyenesek párhuzamosak a térképlap oldalaival, illetve átlósan 
haladnak. Az egyes állomások távolsága nagyjából egyforma. Miért 
különböznek a metrótérképek a szokásos város térképektől?  Mi az oka 
ezeknek az eltéréseknek?  
Ezekkel a kérdésekkel, vagyis nagyon sok információnak, nagyon sok 
elemű hálózatoknak látható alakban történő megjelenítésével egy új 
tudományterület, az adatok vizualizációja foglalkozik.1  
Kulcsszavak: matematikatörténet, térképtörténet, londoni metro 
 
Az első metrótérképek sztorija 
Az első, londoni metrótérképet Harry Beck rajzolta. Harry Beck 1902-ben született 
Angliában. Műszaki tanulmányokat folytatott, a londoni metrónál dolgozott 
műszaki rajzolóként. A metró elektromos hálózatát tervezete, majd munkanélkülivé 
vált. Ezalatt az idő alatt, feltehetően 1931-ben, saját szórakoztatására kezdte el 
megtervezni a jobban használható metrótérképet. Hamarosan újból alkalmazták őt a 
metrónál, és ekkor bemutatta térképét. Főnöke minimális összeggel, 5 guineával 
jutalmazta, majd fiókba tette a rajzot.  
 
 
1 TAN−STEINBACH−KUMAR, 2012. 
10 
 
 
Henry Charles Beck  2 
A metró vezetői úgy gondolták, hogy az utasokat irritálná a térkép, hiszen nem 
mutatja London valódi földrajzi jellemzőit.  
1932-ben próbaképpen kiadták 500 példányban, és nagy sikere volt.1933-ban 
megjelent zsebtérképként, 700 000 példányban, és egy hónap múlva már újra kellett 
nyomtatni.  
Majd megszületett poszter formában is. Hamarosan más városokban is 
alkalmazták, először Sydneyben, 1939-ben. A II. világháború után különböző 
munkákat végzett. Harry Beck csalódott volt, alkotását életében sohasem 
méltányolták.  1974-ben halt meg .3 
A térkép nem mutatta a valódi földrajzi viszonyokat, viszont jelentősen 
segítette az utasok tájékozódását. Csak azok az információk voltak rajta, 
amelyek segítették az egyik állomástól a másikhoz való eljutást. A térképnek 
érdekes és meglepő hatása is volt, jelentősen hozzájárult Nagy-London 
kialakulásához. A térképen a külvárosok közelebbinek tűntek, a közlekedés 
pedig valóban gyors és egyszerű volt, így a külső kerületek népszerűsége 
megnőtt. Ezt a Londoni Közlekedési Múzeum egy korábbi kurátora mondta el 
egy interjúban, valószínűleg Ken Garland eredményeire is támaszkodva, aki 
kutatta és megírta Harry Beck életrajzát .
4
  
 A térkép kiadásának 80-ik évfordulójára Harry Beck megkapta a 
nagypresztizsű „Kék tábla”-t, egy emléktáblát az egyik londoni 
metróállomáson. Az angol designerek a vizuális kultúra radikális 
 
2Henry Charles BECK, better known as ‘Harry’ (4 June 1902 – 18 September 1974); 
https://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Beck 
3 HARRY BECK: Famous Graphic Designers, htps://www.famousgraphicdesigners.org/harry-beck 
http://www.openculture.com/2018/04/the-genius-of-harry-becks-1933-london-tube-map.html 
4 Ken Garland’s Mr Beck’s Underground Map, 1994.  
11 
megújítójaként tartják számon. A londoni designe múzeum a 20. század 
második legnagyszerűbb ipari formatervének nevezete Beck metrótérképét a 
Concord repülőgép után. A londoni metrót videón mutatja be a Londoni 
Közlekedési Múzeum.5 Remek képek találhatók rajta Harry Beckről és 
természetesen az általa készített térképekről is. 
Voltak más metrótérképek is, New Yorkban, Berlinben. Nincs arról 
információ, hogy ezeket ismerte-e Beck. Ezek is alkalmaztak színeket a 
metróvonalak megkülönböztetésére, de azok elrendezése a londonihoz képest 
esetleges volt, például vegyesen használtak egyenes szakaszokat és köríveket. 
Harry Beck — szintén megbízatás nélkül, saját érdeklődését követve — 
elkészítette Párizs metrótérképét is, de azt egyértelműen elutasították a 
párizsiak, akik büszkék voltak fejlett térképolvasási képességükre. Ők a 
bonyolult, geográfiailag hiteles térképen is el tudtak igazodni. Ma már, a múlt 
század végétől, Párizsban is a Londonban kialakult szabványt alkalmazzák. 
Városok, ahol korán alkalmazni kezdték Beck találmányát: 1958 Moszkva és 
Oszaka, 1970 Szentpétervár (akkor nyilván Leningrád), 1971 München, 1972 
Tokió, 1976 Melbourne, Montreal és Glasgow. Érdekes módon, az elmúlt 
néhány évben újra felmerült a földrajzilag hiteles térkép iránti igény. Ezeket 
nem nevezhetjük klasszikus metrótérképnek, ahogyan ez a fogalom közel 90 
évvel ezelőtt kialakult. Inkább tekinthető olyan London térképnek, amelyen a 
metróvonalak kiemelt hangsúllyal szerepelnek. 6 
A metrótérkép és a topológia 
A londoni metrótérkép matematikai szempontból egy sajátos topológiai és 
egyben gráfelméleti ábra. A gráfokban pontok vannak, és a pontok közötti 
kapcsolatot jelző élek. Az élek alakjának, hosszának semmilyen jelentősége 
nincs, ezért egy ilyen ábrát egy táblázattal is megadhatunk. 
A königsbergi hidak 
Königsberg különös város. A Párizsi Békeszerződések révén, 1947-ben került 
szovjet fennhatóság alá, és új nevet is kapott, Kalinyingrád lett, a forradalmár 
Kalinyinról nevezték el. A németeket hamarosan kitelepítették a városból, 
helyükre oroszok költöztek be. 1991-ben, amikor a Szovjetunió felbomlott és 
a balti államok függetlenek lettek, megszakadt Oroszország és Kalinyingrád 
 
5 https://www.youtube.com/watch?v=rHaVUuy1D8w 
6Az új térkép a londoni metróvonalakkal pl. itt nézhető meg. Köszönöm Pók Andrea szíves közlését. 
https://hungliaonline.com/elkeszult-az-uj-londoni-metroterkep-ami-vegre-a-valos-tavolsagokat-mutatja/ 
12 
közötti földrajzi összeköttetés, bonyolult szerződések teszik lehetővé e terület 
kapcsolatát Moszkvával. 
És furcsa kapcsolat volt a németek és oroszok között a XVIII. században 
is. EULER, a nagy német (svájci) matematikust BERNOULLI meghívta a 
szentpétervári akadémiára. Így Euler Szentpéterváron dolgozott, amikor 
megkapta a königsbergiek kérdését, hogy bejárható-e a város 7 hídja úgy, 
hogy azok mindegyikét pontosan egyszer érintik. Königsberg gazdag 
kereskedő város volt, lakói szerették városukat, érdekelték őket a várossal 
kapcsolatos „elméleti” kérdések is. Euler 1736-ra megoldotta a problémát: A 
válasz a kérdésre — a problémának nincs megoldása. Logikailag ez nagyon 
nehéz megoldás. Honnan tudhatom, hogy nem csak nekem nem sikerült 
megtalálni a megoldást, hanem egyáltalán nincs is megoldás. A lehetetlenség 
bizonyítására Euler új módszert, és egyben új elméletet talált fel, ez pedig a 
gráfelmélet. Ezáltal vált híressé az egyébként akár érdektelennek is tekinthető, 
rejtvényszerű feladat.  
A gráfelméleti válasz 
Két matematikai tudományág született meg: topológia és a gráfelmélet. A 
topológia a matematikának az a részterülete, ami alakzatoknak azokkal a 
tulajdonságaival foglalkozik, amelyek nyújtások, csavarások ellenére is 
megmaradnak.7 Nézzük például a nyomtatott nagybetűket: Az I és a L 
topológikusan megegyeznek, ezzel szemben a T különbözik tőlük, hiszen ez 
utóbbiban van egy „T” elágazás. A T viszont megegyezik az E-vel. (Tessék 
kipróbálni: az E középső szakaszát kell alaposan megnyújtani, majd a másik 
két szakaszt derékszögben elfordítani. Javaslom az olvasóknak, keressenek 
újabb példákat is!) 
A gráfelmélet a kapcsolatokkal foglalkozik. Ezt az utat fogjuk követni. 
Königsberg valódi földrajzi viszonyait feltüntető térkép atlaszokban is, az 
interneten is könnyen megtalálható. Számunkra a lényeges elemek. Van egy 
folyó, a Prégel, és ennek két szigete. A partokat a szigetekkel, illetve a két 
szigetet egymással összesen 7 híd köti össze. Nézzük azokat a pontokat a 
városban, amelyekből egy másikba száraz lábbal, a folyó átszelése nélkül 
eljuthatunk. Ezeket a pontokat színezzük be, be majd az azonos színű pontokat 
jelöljük egyetlen ponttal.  
 
7 A gráfokról javaslom olvasni a következő könyveket:  
POGÁTS FERENC: Egybevágóságok, gráfok, felületek, ELTE, Budapest, 1993. 
GERŐCS LÁSZLÓ, VANCSÓ ÖDÖN (szerk.): Matematika, Akadémiai Kiadó, 2010, 24 (Gráfok) 
13 
 
A königsbergi Prégel folyó sematikus térképe a két szigettel és a 7 híddal 
 
Az így kapott pontok a gráf pontjai. A hidak lesznek a gráf élei.  
 
A 4 pontot összekötő 7 híd gráfja 
Bejárhatók a hidak? 
Akkor járható körbe a gráf, ha minden pontba páros sok él fut be. Hiszen a 
körbejárást éppen az jelenti, hogy akárhányszor belépünk egy pontba, 
pontosan ugyanannyiszor ki is kell lépnünk onnan. A königsbergi hidak nem 
feleltek meg ennek a feltételnek, így beláttuk, hogy az Euler-nek adott feladat 
nem oldható meg. 
A gráfelméletnek igen sok, szerteágazó alkalmazása van, ezek egyike a 
metrótérkép is. 
 
 
 
14 
A hiperbolikus fák  
A metrótérképek folyamatosan fejlődnek. Kísérleteznek az állomások, a 
csomópontok jelölésének megváltoztatásával, a szövegek, betűméretek 
megfelelő kiválasztásával és olyan egyedi problémák megoldásával is, hogy 
például a folyókat feltüntessék-e a metrótérképen. A folyók egyrészt nagyon 
fontos tájékozódási pontok, másrészt zsúfoltabbá tehetik a térképet, és nem is 
tartoznak a metróhálózathoz. Ezek a változások azonban nem befolyásolják a 
metrótérképek lényeges sajátosságait. De felmerült egy újabb probléma: az 
utasok annyira hozzászoktak ahhoz, hogy a metrótérképek alapján 
tájékozódjanak, hogy gyakran előfordul: pár perces rövid gyaloglás helyett is 
inkább átszállásos utazást választanak, mert a térkép alapján az tűnik a legjobb 
megoldásnak
8
. És ezzel újból a matematika és a vizuális információkkal 
foglalkozó tudomány határterületére érkeztünk. Sokszor szükség lehet arra, 
hogy tájékozódás közben egyszerre legyen áttekintésünk a teljes képről is, és 
annak számunkra fontos valamilyen részterületéről is. Magyar diákok 
szellemes megoldása a gumilabdára festett térkép.
9
 „A labdát megnyomkodva 
a kidudorodó felületen máris megkapjuk a részletes információkat.” 
Síkbeli megoldást jelent ugyanerre a problémára a hiperbolikus fa. 
(Magyarul csak néhány, angolul 3 820 000 találatot jelez a Google.)
10
, Rövid 
meghatározás az angol nyelvű wikipédiából: A hiperbolikus fa, röviden a 
hiperfa információ vizualizációs eszköz és gráfrajzoló módszer, amit a 
hiperbolikus geometria inspirált. [A hyperbolic tree — often shortened as 
hypertree — is an information visualization and graph drawing method 
inspired by hyperbolic geometry.] A hiperbolikus fa legegyszerűbb példája a 
Google találatok elrendezésének egy nagyszerű ötlete: ne lineárisan tüntessük 
fel a találatokat, hanem gondolati térkép formájában, a hiperbolikus sík 
Poincare korongmodelljén, vagyis egy olyan körlap belsejében, ahol a 
keresett, vizsgált információk ezen kör középpontjának közelében láthatók, 
minden további információ a körlap széle felé, egyre  kisebb  méretben.11 
(A hiperbolikus geometria körmodellje ESCHER grafikái alapján ismerős lehet 
számunka, javaslom a Circle Limit sorozat darabjainak megtekintését.) A 
számunkra fontos részletek kerülnek dinamikusan változva az ábra közepébe 
 
8 Ennek a problémának a megoldására születtek olyan metrótérképek, amely az egyes állomások közötti 
gyalogos közlekedés időtartamát is megadja percekben kifejezve. 
9 Navigáció tojástérképpel: https://3mango.hu/blog/navigacio-tojasterkeppel/ [2020. május 17.] 
10 Dr. PŐDÖR ANDREA: Megjelenítés és geovizualizáció GIS felhasználóknak, Az Óbudai Egyetem AMK, 
Fm/Fr mérnök hallgatók részére, 2015. http://oszkdk.oszk.hu/storage/00/01/70/49/dd/1/Podor.pdf 
11 SHIRKY, CLAY: Information Visualization: Graphical Tools for Thinking about Data, Edventure.com, 
2002. 
15 
kerülnek felnagyítva. Ez a térkép azonban még nem készült el, és ha elkészül, 
akkor is csak képernyőn használható lesz. 
Összefoglalva 
A metrótérképek praktikus gyakorlati feladatok megoldását, a nagyvárosi 
utazásokat segítik és egyben nagyon absztrakt gondolatokhoz is elvezetnek. 
Talán ilyen téma lehetett a csillagászat az ókorban: nélkülözhetetlen volt a 
hajózásban, és elérhetetlen messzeségbe repítette a gondolkodást. 
 
The history of metro maps 
Euler developed and published a new mathematical apparatus to prove that a 
unsolved problem has not a solution. This article was the first graph theory 
work. Beside graphs theory this topic  was also  popular tasks in magazins. 
The history of metro maps is one of the non-mathematical side-effects of 
graph theory. The first map of subway  was made by Harry Back in London in 
1931 and was only taken out of the drawer in 1960. The metro maps help 
passengers better way to navigate than geographically correct maps. 
Another opportunity of data visualsation is drawing hyperbolic trees. It is 
expected that the results of these studies will also appear on the later subway 
maps that can only be displayed on screens. 
Keywords: Math History, Map History, London Underground 
Irodalom  
TAN P. N. − STEINBACH M. − KUMAR V.:  Bevezetés az adatbányászatba 
Budapest, Panem Kft., 2012. (Vizualizáció, Bevezetés ) 
https://regi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_adatbanyaszat/ch03s0
3.html, [2020. május 17.] 


A metróhálózatok térképe

Kiss, Endre

A hálózat,  mint közvetítés és mint üzenet

Rab, Irén

A 18. század közösségi hálója: a diákemlékkönyvek

Képiró, Ágnes

Történelmi sorsfordulók egy alkotó értelmiségi életpálya tükrében : Pomogáts Béla életútinterjú

Pechnyó, Péter

Petruska, Ferenc

A török határnyitással növekvő migrációs nyomásra adható határválaszok

A járvány selyemútja – a COVID-19 terjedésének elemzése

Miklós, Réka

Egyházzene és kántorképzés : A Délkelet-európai Regionális Himnológiai Konferencia előadásai, Szabadka, 2018. aug. 17–19. = Kirchenmusik und Kantorenausbildung : Tagungsbericht der 1. Südosteuropäischen Regionaltagung der IAH, Subotica, 17.–19. August 2018

Németh, Eszter

Távol ‒ Odébb ‒ Odaát. Az afáziás beszéd színrevitele

Kurtág György Samuel Beckett: What is the Word című művében (Op. 30 B)

Szabó, Zsolt Mihály

Az öregedés mítosza

Papp, Klára

Bárány, Attila

Kerepeszki, Róbert

Pallai, László

Kultúra, művelődés, agrárium : Tanulmányok ifj. Barta János 80. születésnapjára

Not a member yet

A metróhálózatok térképe

A hálózat, mint közvetítés és mint üzenet