REAL-EOD

Nagy, Erzsébet

VA
JD
AS
ÁG
118
A Kishegyesi Könyvtár, a bácsfeketehegyi 
Kozma Lajos Fiókkönyvtárral és a szeghegyi 
Mitar Pešikan Fiókkönyvtárral együtt, fenn­
állása óta törekszik rá, hogy a község kul­
turális, információs központja és közösségi 
tere legyen. 
Alapítója és fenntartója Kishegyes Község 
Önkormányzata; társalapítója a Magyar 
Nemzeti Tanács; törzskönyvtára a Szabadkai 
Városi Könyvtár. Tagja a „Kapocs” vajdasági 
magyar könyvtárak csoportjának. 
Három fiatal szakképzett könyvtárosa van, akik évente szakmai továbbképzéseken vesznek 
részt. Mindhárman pedagógusok is, ami nagy előnyt jelent gyerekfoglalkozások alkalmával.
Felszerelése korszerű, van honlapja, Facebook és Instagram oldala, és tagintézménye az 
Elektronikus Információszolgáltatás Nemzeti Programnak is. Több mint 35 000 kötettel 
rendelkezik, amelynek fele magyar, fele szerb nyelvű. A köteteket a Szirén integrált könyvtári 
rendszerben dolgoztuk fel. Állományunk folyamatos újítását a Márai­programnak, a szer­
biai Művelődésügyi és Tájékoztatási Minisztériumnak, Vajdaság Autonóm Tartománynak, 
Veresegyház Önkormányzatának, az alapítóknak és könyvbarátoknak köszönhetjük.
Rendezvényeinket saját forrásból és pályáza­
ti eszközökből szervezzük. Ismeretterjesztő 
előadásokkal, kiállításokkal emlékezünk meg 
a történelem, irodalom, művészet kiemelkedő 
magyar személyiségeiről és a magyar vonat­
kozású jeles eseményekről. Fontosnak tartjuk, 
hogy hozzájáruljunk anyanyelvünk és nemzeti 
identitásunk megőrzéséhez. 
DOI: 10.36820/tudomany.2020.34
KISHEGYESI KÖNYVTÁR
Kishegyesi Könyvtár
Cím: Kishegyes, Fő utca 30.
Honlap: http://librarykh.org.rs
E­mail: kishegyesikonyvtar@gmail.com
VA
JD
AS
ÁG
119
Óvodásainkat és az alsós diákokat évköz­
ben bábjátékra, interaktív foglalkozásokra 
várjuk. A szünidőkre irodalmi művekhez, 
világnapokhoz kapcsolódó unaloműző 
délutánokat állítunk össze – vetélkedő­
vel, társasjátékokkal, kézművességgel 
színesítve. Könyvbemutatókat, könyv­
vásárokat is tartunk. Idős, beteg olvasók 
kérésére: „A könyv házhoz megy!”
Hálás szívvel nyugtázhatjuk, hogy törekvő közösség vagyunk, hiszen kis falvaink számos 
köztiszteletben álló embert neveltek a nagyvilágnak. Közös érdekünk, hogy ez a forrás ne 
apadjon el, ezért a szárnyukat bontogató fiataljaink minden évben lehetőséget kapnak a 
bemutatkozásra a Magyar Nemzeti Tanács kiemelt jelentőségű kistérségi rendezvényein – 
Kishegyesen a Hegyesi LITERAtúra, Bácsfeketehegyen pedig a Podolszki József Irodalmi 
Emléknap keretében.
Jó érzés osztozni azok örömében, akik díjban, elismerésben részesülnek, hisz tudjuk, az 
eredmény szülők, tanárok, egyesületek munkáját is tükrözi.
Nagy Erzsébet
A Kishegyesi Könyvtárban 1990­ben kezdett dolgozni könyvtárosként. 
Óvónő, osztálytanító végzettséget Szabadkán szerzett. 1996­ban 
könyvtáros szakvizsgát tett Belgrádban. 2016­ban megbízott 
igazgatója, 2018­tól pedig kinevezett igazgatója a Kishegyesi 
Könyvtárnak.


Kishegyesi Könyvtár

Lencsés, Ákos

Hungarian

Tudomány határok nélkül : Magyar kutatóhelyek a Kárpát-medencében

Monok, István

Zvara, Edina

Esterhasiana Biblioteca : a gyűjtemény története és könyvanyagának rekonstrukciója

Fata, Ildikó

A török politikai rendszer átalakulása 2002 és 2018 között

Debreczeni, Attila

Széphalom: egy emlékezethely születése

Forrai, Judit

Pók, Andrea

Ritmus a tudományok, a technika és az orvoslás körében

Munkácsy, Katalin

179 
 
ISMÉTLŐDÉSEK 
 
 
 
 
 
DR. MUNKÁCSY KATALIN   
ELTE TTK 
E-mail: katalin.munkacsy@gmail.com 
DOI 10.23716/TTO.23.2020.18 
Absztrakt: 
A matematika sok területének szoros kapcsolata van a ritmussal. Most az 
ismétlődésekre helyezem a hangsúlyt, olyan témákat szeretnék bemutatni, amelyek 
a matematikatörténet tanítása során merültek föl. 
Sorminták, síkkitöltések 
Háromszög- és egyéb számok az antik görög matematikában 
A csillagászat, mint a periodikusan ismétlódó jelenségek tudománya 
Helyiértékes és nem helyiértékes számírások. Mitől függ, hogy milyen nagy 
számot tudunk leírni? 
Össze nem mérhető szakaszok, a pi közelítése, végtelen tizedes törtek — a 
szigorú szabályok szerinti és a látszólag szabályok nélküli ismétlődések 
Klasszikus titkosírások, az ismétlődések statisztikai vizsgálatán alapuló 
megfejtések. Egyetlen jellel kódolás. 
Mandelbrot halmazok   
Kulcsszavak: matematikai ismeretterjesztés, periodicítás, matematikatörténeti 
jelenségek  
 
Már évtizedek óta tanítok matematika tanárszakos hallgatóknak 
matematikatörténetet. A legkülönbözőbb matematikai részterületeken bukkant fel az 
ismétlődés. Ezekből szeretnék néhány érdekes példát bemutatni. Forrásaim 
egyetemi tankönyvek és jegyzetek saját tanulmányaim idejéből valamint hallgatóim 
tankönyvei, összefoglaló matematikatörténeti művek és tudományos 
ismeretterjesztő oldalak az internetről. 
 
 
180 
Sorminták, síkkitöltések 
Az ismétlődések egyik különleges változata a sorminták és síkkitöltések.  
Parkettázás, csempézés vagy tapétázás a neve, gyakran előfordul a népszerűsítő 
irodalomban.  
A legkorábbi emlékek néprajziak, népművészetiek. Például a magyar 
népművészetben a lepedőszélek mintái között mind a hét végtelen sormintát adó 
transzformációra épülő mintát megtalálhatjuk. A síkkitöltések gyönyörű és 
matematikailag szinte teljes változata felfedezhető a spanyol Alhambra erőd 
csempéin. 
 
 
 
Ugyanakkor sávok, felületek és a térbeli alakzatok kitöltésének és 
lefedésének vizsgálata modern kutatási terület, amit nemcsak az euklideszi 
geometria által meghatározott keretek között, hanem a hiperbolikus síkon és 
térben is végeznek. Ezeknek a kutatásoknak egyik nemzetközileg elismert 
tekintélye Molnár Emil. 
181 
Háromszög számok, sokszög számok 
A négyzetszámokat mindannyian ismerjük. Az antik görög kultúrában voltak 
háromszög, négyszög, ötszög és további sokszögszámok. Érdekes átmenetet 
képeznek az ősi matematikai tevékenység, a kavicsok kirakásával végzett 
megfigyelések és a matematikai összefüggések megállapítása között. 
Csillagászat 
Sok csillagászati megfigyelés szabadszemmel is elvégezhető. Ilyen a 
napfogyatkozás és a holdfogyatkozás. Az évszázadokon keresztül gyűjtött 
adatok következtésekre adnak lehetőséget. Ennek egy érdekes történeti példája 
Thalesz nevéhez fűződik. Megjósolt egy napfogyatkozást ie. 585-ben, és a 
monda szerint ez egy csatában a görögök győzelméhez vezetett. Ők 
számítottak a világ elsötétedésére, míg ellenségeik ezt a görögök oldalán 
történő isteni beavatkozásnak tartották. De hogyan láthat valaki előre egy 
napfogyatkozást? Úgy, hogy a korábbi, valószínűleg babilóniai megfigyelési 
táblázatok alapján észrevette a periodikus ismétlődést, és ezeket az 
ismereteket alkalmazta a nehéz helyzetben. És hogyan tudunk mi minderről? 
Fennmaradt a monda, aminek igazságtartalmát az elmúlt évszázadban 
régészeti emlékek és a csillagászati számítások bizonyították. 
Számírások 
A számlálás az ismétlődések felismerésén és formalizálásán alapul. Ha nem 
lenne a számok elnevezésében és leírásában rendszer, minden számnak külön 
neve kellene, hogy legyen. És nagyobb számok esetében már a legegyszerűbb 
összeadást sem lehetne elvégezni. A nem helyiértékes számírások lehetővé 
tették a számok pontos leírását a jelek adta korlátokon belül és az egyszerűbb 
műveletek elvégzését. Bonyolultabb számításokhoz, az ókorban a hajózás 
igényeit kielégítő csillagászati és egyéb számításokhoz szükség volt 
modernebb rendszerre, és ez a helyiértékes számírás. A babilóniak alkalmazták 
először, körülbelül 4000 évvel ezelőtt. Ez a felfedezés óriási jelentőségű volt, 
bár mi már nem is érezzük nagyszerűségét. Az időmérésben az óra felosztása 
60 percre, a perc felosztása 60 másodpercre a babilóniak 60-as helyiértékes 
számírását őrzi. Átvette Archimédest, tőle pedig az arab hajósok. Csillagászati 
és hajózási jelentősége annyira mély nyomot  hagyott kultúránkban, hogy sok-
sok logikailag jól megalapozott reformkísérlet ellenére sem sikerült az 
időszámításban és a szögmérésben áttérni a tisztán tizes alapú 
mértékegységekre. 
 
182 
Össze nem mérhető szakaszok, a pi közelítése,                           
végtelen tizedes törtek 
A racionális számok felírhatók végtelen szakaszos tizedes törtek formájában. 
Vannak másmilyen számok is? Az első irracionális számok a gyökkettő és a pi 
voltak. Már az ókori görögök is tudták, hogy ezek nem számok, vagyis nem 
lehetnek egész számok, illetve ezek hányadosai. Ma már úgy mondjuk, hogy 
vannak számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, 
másképp szólva tizedes tört alakjuk nem végtelen szakaszos tizedes tört.   Az 
irracionális számok elmélete később született meg, ezen belül a 
legérdekesebbek és egyben a legnagyobb részhalmazt is alkotják a 
transzcendens számok. Sokáig kérdéses volt, hogy léteznek-e transzcendens 
számok, és ha igen, azok milyen alakúak, felírhatók-e tizes 
számrendszerünkben. A XVIII. században sikerült bebizonyítani, hogy a pi 
irracionális. A XIX század végén pedig azt, hogy az e szám és a pi is 
transzcendens számok, vagyis nem írhatók fel a négy alapművelettel és 
gyökkitevőkkel. Az is kiderült, hogy a transzcendens számok között vannak 
könnyen megszerkeszthetők, jól átláthatók is.  Ezekben újra ismétlődés lehet, 
de annak módosított formájában, pl. a 0,010010001…. végtelen tizedes tört 
transzcendens szám.  
Titkosírások 
Évezredek óta rengeteg féle titkosírást találtak ki kereskedelmi, hadi, pénzügyi 
és egyéb célokra. A legegyszerűbbek, amikor minden betűnek egy másik betűt 
feleltetnek meg. Ránézésre összefügéstelen szöveget kapunk, de rövid 
próbálkozás után könnyen megfejthető. Különösen akkor, ha az abc-ben 
minden betű helyett az azt eggyel, kettővel vagy következetesen n-nel követő 
betűt írjuk. Szabályok nélküli, véletlenszerű hozzárendelés esetén az 
ismétlődések, vagyis statisztikai megfontolások segítenek a megfejtésben.  
Modern matematikai eszközökkel gyakorlatilag megfejthetetlen 
titkosítások készíthetők. Akár egyetlen jellel, vagyis egyetlen számmal is lehet 
szövegeket kódolni. A kódolás a prímszámok régóta ismert tulajdonságain és a 
matematika legújabb eredményein alapul, a  de technikai végrehajtásához 
szükségesek a modern informatikai eszközök. Kevés jelből összeállított rövid 
szövegen ezt a fajta kódolást akár fejszámolással is elvégezhetjük, vagyis 
írhatunk és olvashatunk így kódolt 3 betű hosszúságú, 3 féle jelből álló 
szöveget. (Természetesen ilyen egyszerű szövegeket akár meg is 
számozhatnánk, és csak a sorszámot küldhetnénk el, de ez a példa az elv 
bemutatását szolgálhatja.) 
183 
Mandelbrot halmazok  
Kedves kollégám mesélte, az azóta elhunyt Votisky Zsuzsa, aki a Typotex 
kiadó kitalálójaként csodálatos gazdagságban adta ki a matematikai 
könyveket, hogy azt várta az egyetemtől, hogy új és érdekes dolgokat fog 
megismerni, de újra egyenesekről, háromszögekről meg körökről tanult a 
geometria előadásokon.  Természetesen ezek a fogalmak jelentik a geometria 
alapját, így részei az egyetemi tananyagnak, azonban vannak egészen új 
elméletek a geometria és más matematikai ágak határterületein. Pl. a 
fraktálelmélet. Erről a mai egyetemisták már hallanak, de többségük keveset 
tanul róla. A fraktálokat legegyszerűbb úgy elképzelnünk, ahogy azok 
felfedezése is történt. Próbáljuk meghatározni Anglia kerületét. Minél 
pontosabb, finomabb, részletesebb térképet nézünk, annál több kanyart, öblöt 
és félszigetet láthatunk. Bármelyik sima szakaszt nézzük meg egyre 
közelebbről, egyre több kanyarodó vonalat látunk. De ilyen a csillagos ég is. 
Ha felnézünk éjjel az égre, különböző alakzatokban csillagokat láthatunk. És 
ha látszólag üres területre irányítjuk a távcsövünket, újra látunk különböző 
csillagokat. És ezt folytathatjuk tovább. Minden kis részlet hasonló az egész 
ábrához, és a részletek részletei is. A valóságban nem tudhatjuk, hogy 
végtelenségig folytatható-e ez a nagyítás, a matematikai modellben viszont 
igen. És a fraktálok nemcsak különlegesek és szépek, hanem a ma már sokfelé 
alkalmazhatóak. Pédául akár egy fényképet egyetlen képlettel megadhatunk, 
és csak a sokadik nagyításnál vehető észre, hogy a képlet által szerkesztett kép 
és a fénykép két különböző ábra. 
Nagyon nagy gráfok 
Pontokat kötünk össze élekkel. Lehet, hogy csak néhány pontot. Mindannyian 
ismerjük a táncoló párokra vonatkozó és hasonló feladatokat.  És lehet 
sokmillió pontot is összekötni. Az ilyen hatalmas gráfok sok hasonló kis 
részletből állnak össze, amelyek oly sokszor ismétlődnek, hogy csak igen 
absztrakt módszerekkel vizsgálhatók. Az ismétlődések a matematikai 
absztrakció alapjait jelentik. A problémamegoldó gondolkodás fejlesztése 
során gyakran emlegetett mondás, hogy  az egyszer alkalmazott szokatlan 
megoldás: trükk, a kétszer alkalmazott: módszer, a többször alkalmazott 
problémamegoldó gondolat már egy összefüggő elméleti rendszer része. 
Hasonlót mondhatunk arról a matematikai eszközökkel vizsgált helyzetről, ha 
egy jelenséget, mintát egyszer, kétszer és ha többször is megfigyelhetünk.   
 
 
 
184 
Repetitions in Mathematics  
Many areas of mathematics have a strong relationship with rhythm. Now I 
focus on repetition, wanting to introduce topics that arose in teaching math 
history. 
− Tiling a row, tiling the plane 
− The triangular number and other figurate numbers 
− Astronomy as a science of periodic phenomena 
− The place value system  and numbers writing without place value 
− Incomparable sections,the approximation of pi, infinite decimal 
fractions — strict rules and seemingly unregulated repetitions 
− Classic cryptography, statistical analysis of repetitions, coding by one 
character 
− Mandelbrot sets 
Keywords: popularization of mathematics, repeating patterns, some data of 
mathematics history 
 


Not a member yet

Kishegyesi Könyvtár

Tudomány határok nélkül : Magyar kutatóhelyek a Kárpát-medencében

Esterhasiana Biblioteca : a gyűjtemény története és könyvanyagának rekonstrukciója

A török politikai rendszer átalakulása 2002 és 2018 között

Széphalom: egy emlékezethely születése

Ritmus a tudományok, a technika és az orvoslás körében

Ismétlődések

Fémionok a táplálékláncban és a cirkadián ritmus

A torokgyík elleni küzdelem kezdete a XIX. század végén

Periódusok a hajléktalan-ellátás történetében

12,122

20,154