148 research outputs found
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An Eigenvalue Problem for Nonlocal Equations
Full text linkIn this paper we study the existence of a positive weak solution for a class of nonlocal equations under Dirichlet boundary conditions and involving the regional fractional Laplacian operator...Our result extends to the fractional setting some theorems obtained recently for ordinary and classical elliptic equations, as well as some characterization properties proved for differential problems involving different elliptic operators. With respect to these cases studied in literature, the nonlocal one considered here presents some additional difficulties, so that a careful analysis of the fractional spaces involved is necessary, as well as some nonlocal L^q estimates, recently proved in the nonlocal framework
Risultati di regolarità dei minimi locali di funzionali con coefficienti discontinui
Full text linkWe give an overview on recent regularity results of local vectorial minimizers of under two main features: the energy density is uniformly convex with respect to the gradient variable only at infinity and it depends on the spatial variable through a possibly discontinuous coefficient. More precisely, the results that we present tell that a suitable weak differentiability property of the integrand as function of the spatial variable implies the higher differentiability and the higher integrability of the gradient of the local minimizers. We also discuss the regularity of the local solutions of nonlinear elliptic equations under a fractional Sobolev assumption.Presentiamo alcuni recenti risultati di regolarità dei minimi locali vettoriali di funzionali integrali le cui caratteristiche principali sono che le densità di energia sono uniformemente convesse solo all’ infinito e che, come funzioni della variabile spaziale possono essere discontinue. Tali risultati possono essere sintetizzati come segue: una opportuna differenziabilità debole dell’ integrando rispetto alla variabile spaziale implica la maggiore differenziabilità e maggiore integrabilità del gradiente del minimo. Discutiamo anche la regolarità delle soluzioni locali di equazioni non lineari ellittiche sotto ipotesi di differenziabilità frazionaria
A measure zero UDS in the Heisenberg group
Full text linkWe show that the Heisenberg group contains a measure zero set N such that every real-valued Lipschitz function is Pansu differentiable at a point of N.Proveremo che ogni gruppo di Heisenberg contiene un insieme di misura nulla tale che ogni funzione lipschitziana ammette almeno un punto di Pansu differenziabilità al suo interno
Formula di Steiner e Curvatura di Gauss nel Gruppo di Heisenberg
Full text linkThe classical Steiner formula expresses the volume of the ∈-neighborhood Ω∈ of a bounded and regular domain Ω⊂Rn as a polynomial of degree n in ∈. In particular, the coefficients of this polynomial are the integrals of functions of the curvatures of the boundary ∂Ω. The aim of this note is to present the Heisenberg counterpart of this result. The original motivation for studying this kind of extension is to try to identify a suitable candidate for the notion of horizontal Gaussian curvature. The results presented in this note are contained in the paper [4] written in collaboration with Zoltàn Balogh, Fausto Ferrari, Bruno Franchi and Kevin Wildricksi scriva come un polinomio di grado n in ∈. In particolare, i coefficienti di questo polinomio sono dati da integrali di funzioni delle curvature del bordo ∂Ω. In questa nota presenteremo l'analoga versione della formula di Steiner nel caso del primo gruppo di Heisenberg H. La motivazione originale che ha portato allo studio della formula di Steiner in H consiste nella ricerca di un possibile candidato per la nozione di curvatura di Gauss orizzontale. I risultati che presenteremo sono contenuti nel lavoro [4] scritto in collaborazione con Zoltàn Balogh, Fausto Ferrari, Bruno Franchi and Kevin Wildrick.
Noncommutative Fourier Analysis on Invariant Subspaces: Frames of Unitary Orbits and Hilbert Modules over Group von Neumann Algebras
Full text linkThis is a joint work with E. Hernández, J. Parcet and V. Paternostro. We will discuss the structure of bases and frames of unitary orbits of discrete groups in invariant subspaces of separable Hilbert spaces. These invariant spaces can be characterized, by means of Fourier intertwining operators, as modules whose rings of coefficients are given by the group von Neumann algebra, endowed with an unbounded operator valued pairing which defines a noncommutative Hilbert structure. Frames and bases obtained by countable families of orbits have noncommutative counterparts in these Hilbert modules, given by countable families of operators satisfying generalized reproducing conditions. These results extend key notions of Fourier and wavelet analysis to general unitary actions of discrete groups, such as crystallographic transformations on the Euclidean plane or discrete Heisenberg groups.Lavoro in collaborazione con E. Hernández, J. Parcet e V. Paternostro. Discuteremo la struttura di basi e frames ottenute da orbite di rappresentazioni unitarie di gruppi discreti in sottospazi invarianti di spazi di Hilbert separabili. Tali spazi invarianti possono essere caratterizzati, attraverso intrallacciamenti, come moduli il cui anello dei coefficienti è dato dall'algebra di von Neumann del gruppo, e sono dotati inoltre di una mappa sesquilineare a valori in spazi di operatori di convoluzione densamente definiti, che definiscono una struttura di Hilbert. Si può mostrare che i frames e le basi associate a famiglie numerabili di orbite hanno una controparte in queste strutture di Hilbert, che ammettono sistemi riproducenti. Questi risultati estendono nozioni chiave di analisi di Fourier e wavelets a sistemi più generali che possono includere trasformazioni geometriche per gruppi cristallografici o rappresentazioni di gruppi di Heisenberg discreti
The Quaternionic Hardy Space and the Geometry of the Unit Ball
Full text linkThe quaternionic Hardy space of slice regular functions H2(B) is a reproducing kernel Hilbert space. In this note we see how this property can be exploited to construct a Riemannian metric on the quaternionic unit ball B and we study the geometry arising from this construction. We also show that, in contrast with the example of the Poincaré metric on the complex unit disc, no Riemannian metric on B is invariant with respect to all slice regular bijective self maps of B.Lo spazio di Hardy di funzioni slice regolari sui quaternioni H2(B) è uno spazio di Hilbert con nucleo riproducente. In questa nota vediamo come questa proprietà possa essere utilizzata per costruire una metrica Riemanniana sulla palla unitaria quaternionica B e studiamo la geometria derivante da questa costruzione. Mostriamo inoltre che, in contrasto con l’esempio della metrica di Poincaré sul disco unitario complesso, non esiste una metrica Riemanniana su B che sia invariante rispetto a tutte le trasformazioni slice regolari biettive della palla in sé
Fluidi viscosi e capillari in rotazione rapida
Full text linkThe present note is devoted to the study of singular perturbation problems for a Navier-Stokes-Korteweg system with Coriolis force. Such a model describes the motion of viscous compressible capillary fluids under the action of the Earth rotation. We are interested in the asymptotic behavior of a family of weak solutions in the limit for the Mach, the Rossby and the Weber numbers going to 0.La presente nota è dedicata allo studio di problemi di perturbazione singolare per un sistema di Navier-Stokes-Korteweg con forza di Coriolis. Tale modello describe il moto di fluidi compressibili, viscosi e capillari sotto l’azione della rotazione della Terra. Ci si interessa qui al comportamento asintotico di una famiglia di soluzioni deboli nel limite a basso numero di Mach, Rossby e Weber
Inverse Problems for Parabolic Differential Equations from Control Theory
Full text linkWe are concerned with some inverse problems related to parabolic first-order and second order linear differential equations in Hilbert spaces. All the results apply well to inverse problems for partial differential equations from mathematical physics and optimal control theory. Various concrete examples are described.In questo articolo vengono considerati alcuni problemi inversi relativi ad equazioni differenziali paraboliche in spazi di Hilbert, sia del primo che del secondo ordine. Tutti i risultati astratti si applicano a problemi inversi per equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico di interesse nella fisica matematica e in teoria del controllo ottimo. In effetti, sono descritti vari esempi concreti ai quali la nostra teoria si applica
Sul principio del confronto di Zaremba-Hopf-Oleinik nei punti caratteristici
Full text linkWe investigate the so-called Hopf lemma for certain degenerate-elliptic equations at characteristic boundary points of bounded open sets. For such equations, the validity of the Hopf lemma is related to the fact that the boundary of the open set reflects the underlying geometry of the specific operator. We present here some recent results obtained in [21] in collaboration with V. Martino. Our main focus is on conditions on the boundary which are stable by changing our operators in some particular classes, for example in the class of horizontally elliptic operators in non-divergence form. We also study what happens to these conditions for degenerate operators with first order terms.Si desidera investigare il cosiddetto lemma di Hopf per alcune equazioni ellittico-degeneri nei punti del bordo di un aperto limitato che siano caratteristici per l’operatore. Per tali equazioni, la validità del lemma di Hopf è legata al fatto che il bordo dell’aperto rifletta in qualche modo la geometria che soggiace l’operatore in questione. Vengono qui presentati alcuni recenti risultati contenuti in [21], ottenuti in collaborazione con V. Martino. Si vuole prestare particolare attenzione a condizioni sul bordo che siano stabili al variare dell’operatore in particolari classi, per esempio nella classe degli operatori orizzontalmente ellittici in forma di non-divergenza. Si studia anche come cambiano queste condizioni sul bordo nel caso di operatori degeneri che ammettano termini del primo ordine
Su alcune generalizzazioni del teorema di Meyers-Serrin
Full text linkWe present a generalisation of Meyers-Serrin theorem, in which we replace the standard weak derivatives in open subsets of ℝm with finite families of linear differential operators defined on smooth sections of vector bundles on a (not necessarily compact) manifold X.Presentiamo una generalizzazione del teorema di Meyers-Serrin, in cui sostituiamo le derivate deboli in sottoinsiemi aperti di ℝm con famiglie finite di operatori differenziali lineari, definiti su sezioni regolari di fibrati vettoriali su una varietà (non necessariamente compatta) X