148 research outputs found
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Maximum principles for viscosity solutions of weakly elliptic equations
Full text linkMaximum principles play an important role in the theory of elliptic equations. In the last decades there have been many contributions related to the development of fully nonlinear equations and viscosity solutions. Here we consider degenerate elliptic equations, where the main term is a partial trace of the Hessian matrix of the solution. We establish maximum principles in domains that are unbounded in some directions, contained in slabs, and extended maximum principles, which lead to removable singularity results
On s-harmonic functions on cones
Full text linkWe deal with non negative functions which are s-harmonic on a given cone of the n-dimensional Euclidean space with vertex at zero, vanishing on the complementary. We consider the case when the parameter s approaches 1, wondering whether solutions of the problem do converge to harmonic functions in the same cone or not. Surprisingly, the answer will depend on the opening of the cone through an auxiliary eigenvalue problem on the upper half sphere. These conic functions are involved in the study of the nodal regions in the case of optimal partitions and other free boundary problems and play a crucial role in the extension of the Alt-Caffarelli-Friedman monotonicity formula to the case of fractional diffusions
Il problema isoperimetrico in spazi di Carnot-Carathéodory
Full text linkWe present some recent results obtained on the isoperimetric problem in a class of Carnot-Carathéodory spaces, related to the Heisenberg group. This is the framework of Pansu’s conjecture about the shape of isoperimetric sets. Two different approaches are considered. On one hand we describe the isoperimetric problem in Grushin spaces, under a symmetry assumption that depends on the dimension and we provide a classification of isoperimetric sets for special dimensions. On the other hand, we present some results about the isoperimetric problem in a family of Riemannian manifolds approximating the Heisenberg group. In this context we study constant mean curvature surfaces. Inspired by Abresch and Rosenberg techniques on holomorphic quadratic differentials, we classify isoperimetric sets under a topological assumption.Presentiamo risultati recenti ottenuti sul problema isoperimetrico in spazi di Carnot-Carathéodory legati al gruppo di Heisenberg. Questo è il contesto della congettura di Pansu sulla forma degli insiemi isoperimetrici. Presentiamo due diversi approcci. Da un lato, descriviamo il problema isoperimetrico negli spazi di Grushin, sotto un’ipotesi di simmetria che dipende dalla dimensione. In questo contesto, forniamo una classificazione degli insiemi isoperimetrici, valida per specifiche dimensioni. Dall’altro lato, presentiamo alcuni risultati sul problema isoperimetrico in una famiglia di varietà Riemanniane che approssimano il gruppo di Heisenberg. In questo contesto, studiamo superfici a curvatura media costante. Ispirati dalle tecniche di Abresch and Rosenberg sui differenziali quadratici olomorfi, classifichiamo gli insiemi isoperimetrici sotto un’ipotesi topologica
Una stima sparsa per forme multisublineari di funzioni massimali a valori vettoriali
Full text linkWe prove a sparse bound for the m-sublinear form associated to vector-valued maximal functions of Fefferman-Stein type. As a consequence, we show that the sparse bounds of multisublinear operators are preserved via ℓr-valued extension. This observation is in turn used to deduce vector-valued, multilinear weighted norm inequalities for multisublinear operators obeying sparse bounds, which are out of reach for the extrapolation theory developed by Cruz-Uribe and Martell in Limited range multilinear extrapolation with applications to the bilinear Hilbert transform, preprint arXiv:1704.06833 (2017). As an example, vector-valued multilinear weighted inequalities for bilinear Hilbert transforms are deduced from the scalar sparse domination theorem of Domination of multilinear singular integrals by positive sparse forms, preprint arXiv:1603.05317.In questa nota dimostriamo una stima sparsa per forme m-sublineari associate a funzioni massimali a valori vettoriali di tipo Fefferman-Stein. In conseguenza di tale stima, dimostriamo che le norme sparse di operatori multisublineari sono preservate dall’estensione a valori in ℓr. Da tale risultato si deducono stime pesate di tipo multilineare a valori vettoriali che non possono essere dimostrate all’interno della recente teoria di estrapolazione di Cruz-Uribe e Martell Limited range multilinear extrapolation with applications to the bilinear Hilbert transform, preprint arXiv:1704.06833 (2017). In qualità di esempio, otteniamo stime pesate multilineari a valori vettoriali per la trasformata di Hilbert bilineare, utilizzando la stima sparsa dimostrata dagli autori in Domination of multilinear singular integrals by positive sparse forms, preprint arXiv:1603.05317
Fractional Poincaré Inequalities in Various Settings
Full text linkWe survey on several fractional Poincaré inequalities in several constexts: the Euclidean case, the case of Lie groups and the case of Riemannian manifolds
Regolarità massimale per il problema misto parabolico di cauchy-dirichlet con derivata temporale frazionaria
Full text linkIn this seminar we illustrate some results of maximal regularity for the Cauchy-Dirichlet mixed problem, with a fractional time derivative of Caputo type in spaces of continuous and Hölder continuous functions.In questo seminario presentiamo alcuni risultati di regolarità massimale per il problema misto di Cauchy-Dirichlet, con una derivata temporale frazionaria di Caputo, in spazi di funzioni continue e hölderiane
Soluzioni radiali positive di problemi di Neumann supercritici governati dal p-Laplaciano
Full text linkThis paper deals with existence and multiplicity of positive solutions for a quasilinear problem with Neumann boundary conditions. The problem is set in a ball and admits at least one constant non-zero solution; moreover, it involves a nonlinearity that can be supercritical in the sense of Sobolev embeddings. The main tools used are variational techniques and the shooting method for ODE's. These results are contained in A. Boscaggin, F. Colasuonno, B. Noris. Multiple positive solutions for a class of p-Laplacian Neumann problems without growth conditions. ESAIM Control Optim. Calc. Var., DOI: 10.1051/cocv/2016064 (2017; F. Colasuonno, B. Noris. A p-Laplacian supercritical Neumann problem. Discrete Contin. Dyn. Syst., 37 (2017) 3025-3057.In questo lavoro trattiamo l’esistenza e la molteplicità di soluzioni positive per un probelma quasilineare ambientato in una palla, con condizioni al bordo di Neumann. Il problema ammette almeno una soluzione costante non nulla e coinvolge una nonlinearità che può essere supercritica nel senso delle immersioni di Sobolev. I principali strumenti usati nello studio di tale problema sono tecniche variazionali e il metodo di shooting per le EDO. Questi risultati sono contenuti in A. Boscaggin, F. Colasuonno, B. Noris. Multiple positive solutions for a class of p-Laplacian Neumann problems without growth conditions. ESAIM Control Optim. Calc. Var., DOI: 10.1051/cocv/2016064 (2017); F. Colasuonno, B. Noris. A p-Laplacian supercritical Neumann problem. Discrete Contin. Dyn. Syst., 37 (2017) 3025-3057
Local Solvability of a Class of Degenerate Second Order Operators
Full text linkIn this paper we will first present some results about the local solvability property of a class of degenerate second order linear partial differential operators with smooth coefficients. The class under consideration (which in turn is a generalization of the Kannai operator) exhibits a degeneracy due to the interplay between the singularity associated with the characteristic set of a system of vector fields and the vanishing of a function. Afterward we will also discuss some local solvability results for two classes of degenerate second order linear partial differential operators with non-smooth coefficients which are a variation of the main class presented above.In questo articolo presenteremo prima alcuni risultati sulla proprietà di locale risolubilità di una classe di operatori alle derivate parziali lineari degeneri del secondo ordine a coefficienti regolari. La classe considerata (che a sua volta è una generalizzazione dell’operatore di Kannai) esibisce una degenerazione dovuta all’interazione tra le singolarità associate all’insieme caratteristico di un sistema di campi vettoriali e l’annullamento di una funzione. Successivamente discuteremo anche alcuni risultati di locale risolubilità per due classi di operatori alle derivate parziali lineari degeneri del secondo ordine a coefficienti non regolari che sono una variazione della classe principale presentata sopra
Il metodo dei piani mobili: un approccio quantitativo
Full text linkWe review classical results where the method of the moving planes has been used to prove symmetry properties for overdetermined PDE's boundary value problems (such as Serrin's overdetermined problem) and for rigidity problems in geometric analysis (like Alexandrov soap bubble Theorem), and we give an overview of some recent results related to quantitative studies of the method of moving planes, where quantitative approximate symmetry results are obtained.Rivisitiamo risultati classici nei quali il metodo dei piani mobili è stato usato per dimostrare proprietà di simmetria per problemi sovradeterminati (come il Teorema di Serrin) e per problemi di rigidità in analisi geometrica (come il Teorema di Alexandrov). Inoltre forniamo un panoramica di recenti risultati legati a studi quantitativi del metodo dei piani mobili, nei quali vengono dimostrati risultati di simmetria approssimata
Identificazione per problemi differenziali degeneri di tipo iperbolico
Full text linkA degenerate identification problem in Hilbert space is considered. An application to second order evolution equations of hyperbolic type is also provided. The abstract results are applied to concrete differential problems.Un problema degenere di identificazione in uno spazio di Hilbert viene descritto. Una applicazione ad equazioni di evoluzione del secondo ordine é anche fornita. Tutti i risultati astratti sono applicati a problemi differenziali concreti