148 research outputs found
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Problemi diretti e inversi per relazioni lineari
Full text linkDirect and inverse problem related to linear differential inclusions in Banach spaces are studied.The abstract results are applied to degenerate partial dierential equations of parabolic type.Si studiano problemi diretti e inversi relativi a inclusioni differenziali lineari in uno spazio di Banach. I risultati astratti sono applicati ad equazioni alle derivate parziali degeneri di tipo parabolico
Lipschitz estimates for convex functions with respect to vector fields
Full text linkWe present Lipschitz continuity estimates for a class of convex functionswith respect to Hörmander vector fields. These results have been recently obtained in collaboration with M. Scienza, [22].Presentiamo alcuni recenti risultati ottenuti in collaborazione con M. Scienza [22], riguardanti la determinazione di stime quantitative sulla continuità lipschitziana difunzioni convesse rispetto a campi vettoriali di Hörmander
Questioni di regolarità per minimi locali del funzionale di Mumford & Shah in dimensione 2
Full text linkWe review some issues about the regularity theory of local minimizers of the Mumford & Shah energy in the 2-dimensional case. In particular, we stress upon some recent results obtained in collaboration with Camillo De Lellis (Universität Zurich). On one hand, we deal with basic regularity, more precisely we survey on an elementary proof of the equivalence between the weak and strong formulation of the problem established in [16]. On the other hand, we discuss ne regularity properties by outlining an higher integrability result for the density of the volume part proved in [17]. The latter, in turn, implies an estimate on the Hausdor dimension of the singular set of minimizers according to the results in [2] (see also [18]).Verranno presentati alcuni aspetti della teoria di regolarità dei minimi locali del funzionale di Mumford & Shah in dimensione 2, ottenuti recentemente in collaborazione con Camillo De Lellis (Università di Zurigo). In particolare, si discuteranno un risultato di regolarita bassa, piu precisamente l'equivalenza fra la formulazione debole e quella forte del problema dimostrata in [16] e un risultato di regolarità alta, o meglio la maggiore integrabilità della densitàa del termine di volume dei minimi provata in [17]. Da quest'ultima segue una stima sulla dimensione di Hausdorff del relativo insieme singolare grazie ai risultati contenuti in [2] (vedi anche [18]
Disuguaglianze di Harnack per operatori di evoluzione ipoellittici: aspetti geometrici ed applicazioni
Full text linkWe consider linear second order Partial Differential Equations in the form of "sum of squares of Hörmander vector fields plus a drift term" on a given domain. We prove that an Harnack inequality holds for every compact subset of the interior of the attainable set defined in terms of the vector fields that define the Partial Differential Equation considered. We then ally Harnack's inequalities to prove asymptotic lower bounds of the joint density of a wide class of stochastic processes. Analogous upper bound are proved by Mallilavin's calculus.Consideriamo Equazioni alle Derivate Parziali lineari del secondo ordine in forma di "somma di quadrati di campi vettoriali di Hörmander piu un termine di drift" in un dominio assegnato. Dimostriamo che una disuguaglianza di Harnack vale in ogni sottoinsieme compatto dell'insieme raggiungibile denito in termini dei compi vettoiali che definiscono l'Equazione alle Derivate Parziali considerata. Applichiamo quindi le disuguaglianze di Harnack per dimostrare stime asintotiche dal basso per la densità congiunta di un'ampia classe di processi stocastici. Analoghe stime dall'alto sono dimostrate per mezzo del Calcolo di Malliavin
Metodi perturbativi per problemi inversi su equazioni differenziali degeneri
Full text linkPertubation results for linear relations satisfying a resolvent condition of weak parabolic type are established. Such results are applied to solve some inverse problems for degenerate differential equations, supplying a new method which avoids any fixed-point argument and essentially consists in reducing the original inverse problem to an auxiliary direct one.Vengono provati teoremi di perturbazione per relazioni lineari soddisfacenti una condizione risolvente di tipo debolmente parabolica. Tali risultati sono applicati a problemi inversi per equazioni differenziali degeneri, fornendo un nuovo metodo perturbativo che evita l'uso di argomenti come punto fisso e che essenzialmente consiste nel ridurre l'originale problema inverso ad un problema ausiliario diretto
Ricostruzione parziale del termine di sorgente in un problema parabolico lineare
Full text linkWe consider, in some different situations, the problem of the reconstruction of the source term in a parabolic problem in a space-time domain [0, T] × I × Ω: this source term is assumed of the form g(t,x) f(t,x,y) (t ∈ [0, T], x ∈ I, y ∈ Ω), with f given and g to be determined. The novelty, with respect to the existing literature, lies in the fact that g depends on time and on some of the space variables. The supplementary information, allowing to determine g together with the solution of the problem u, is given by the knowledge, for every (t,x), of an integral of the form ∫{Ω} u(t,x,y) dμ(y), with μ complex Borel measure.Consideriamo, in varie situazioni, il problema delle ricostruzione del termine di sorgente in un'equazione parabolica in un dominio spazio-temporale [0, T] × I × Ω: questo termine di sorgente viene supposto della forma g(t,x) f(t,x,y) (t ∈ [0, T], x ∈ I, y ∈ Ω), con f dato e g da determinare. La novità, rispetto alla letteratura esistente, sta nel fatto che g dipende dal tempo e da una parte delle variabili spaziali. L'informazione supplementare, che permette di determinare g assieme alla soluzione del problema u, è data dalla conoscenza, per ogni (t,x), di un integrale della forma ∫{Ω} u(t,x,y) dμ(y), con μ misura di Borel complessa
Proprietà di palla doppia in gruppi di Carnot di passo due
Full text linkWe investigate the notion of the so-called Double Ball Property, which concerns the nonnegative sub-solutions of some differential operators. Thanks to the axiomatic approach developed in [6], this is an important tool in order to solve the Krylov-Safonov's Harnack inequality problem for this kind of operators. In particular, we are interested in linear second order horizontally-elliptic operators in non-divergence formand with measurable coefficients. In the setting of homogeneous Carnot groups, we would like to stress the relation between the Double Ball Property and a kind of solvability of the Dirichlet problem for the operator in the exterior of some homogeneous balls. We present a recent result obtained in [15], where the double ball property has been proved in a generic Carnot group of step two.Si desidera studiare la nozione della cosiddetta proprietà di Palla Doppia, la quale si riferisce a sottosoluzioni non-negative di certi operatori dierenziali. Grazie all'approccio assiomatico sviluppato in [6], questa proprietà diventa un tassello importante per la dimostrazione di una disuguaglianza di Harnack di tipo Krylov-Safonov per questo tipo di operatori. In particolare, si considerano operatori lineari del secondo ordine in forma di non-divergenza e coefficienti misurabili che siano orizzontalmente ellittici.Si desidera sottolineare come, nell'ambito dei gruppi di Carnot omogenei, questa proprietà sia legata alla risolubilità del problema di Dirichlet per l'operatore all'esterno di certe palle omogenee. Viene qui presentato un recente risultato ottenuto in [15], dove viene dimostrata la validità della proprietà di Palla Doppia in un generico gruppo di Carnot di passo due
Connessioni minime: il problema classico di Steiner e generalizzazioni
Full text linkThe classical Steiner problem is the problem of nding the shortest graph connecting a given finite set of points. In this seminar we review the classical problem and introduce a new, generalized formulation, which extends the original one to infinite sets in metric spaces.Il problema classico di Steiner richiede di determinare il grafo di lunghezza minimica che connette un dato insieme infinito di punti. In questo seminario rivedremo il problema classico e introdurremo una nuova formulazione piuù generale che estende il problema originario a insiemi anche infiniti in spazi metrici
Disuguaglianze di Harnack alla frontiera per equazioni di Kolmogorov
Full text linkWe describe some recent results on the boundary regularity for hypoelliptic Kolmogorov equations. We prove boundary Harnack inequalities of the positive solutions to Kolmogorov equations vanishing on some relatively open subset of the boundary. Sufficient conditions for the boundary Harnack inequality are given in terms of cone conditions, that are satisfied by a wide class of Lipschitz domains. We also prove Carleson type estimates, that are scale-invariant and generalize previous results valid for second order uniformly parabolic equations
Decadimento uniforme per equazioni integro-differenziali lineari di Volterra
Full text linkThis talk is devoted to some recent results concerning the exponential and the polynomial decays of the energy associated with a linear Volterra integro-differential equation of hyperbolic type in a Hilbert space, which is an abstract version of the equation describing the motion of a linearly viscoelastic solid occupying a (bounded) volume at rest.We provide sufficient conditions for the decay to hold, without invoking differential inequalities involving the convolution kernel. A similar analysis is carried on in the whole N-dimensional real space, although both the polynomial and the exponential decay of the memory kernel lead to a polynomial decay of the energy, with a rate influenced by the space dimension N. These results are contained in two joint papers with Monica Conti and Vittorino Pata (Politecnico di Milano)