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Potenze frazionarie e teoria della interpolazione per operatori lineari multivoci ed applicazioni
Full text linkWe provide intermediate properties for the domains of the fractional powers of an abstract multivalued linear operator A of weak parabolic type. In particular, the results exhibit the special role played by the linear subspace A0. The behaviour of the singular semigroup generated by A with respect to the domains of the fractional powers is then studied. Such results are applied to maximal time and space regularity for solutions to abstract multivalued evolution equations. Some concrete cases of partial differential equations enlighten the abstract results.Si studiano proprietà intermedie per i domini delle potenze frazionarie di un operatore lineare multivoco A di tipo debolmente parabolico. In particolare, i risultati evidenziano il ruolo speciale giocato dal sottospazio lineare A0. Si studia il comportamento del semi-gruppo singolare generato da A rispetto ai domini delle potenze frazionarie. Tali risultati vengono applicati nello studio della regolarità massimale nel tempo e nello spazio per equazioni multivoche di evoluzione. Alcuni casi concreti di equazioni alle derivate parziali illustrano i risultati astratti
Ipoellitticità e non ipoellitticità per somme di quadrati di campi complessi
Full text linkIn this talk we give a report on a paper where we consider a model sum of squares of planar complex vector fields, being close to Kohn's operator but with a point singularity. The characteristic variety of the operator is the same symplectic real analytic manifold as Kohn's. We show that this operator is hypoelliptic and Gevrey hypoelliptic provided certain conditions are satisfied. We show that in the Gevrey spaces below a certain index the operator is not hypoelliptic. Moreover there are cases in which the operator is not even hypoelliptic. This fact leads to some general negative statement on the hypoellipticity properties of sums of squares of complex vector fields, even when the complex H\"ormander condition is satisfied
Un problema di determinazione del termine di sorgente in un'equazione parabolica astratta
Full text linkConsideriamo il problema della ricostruzione del termine di sorgente in un'equazione astratta di tipo parabolico. L'informazione supplementare, necessaria per la determinazione della soluzione del sistema e della parte incognita del termine di sorgente, è data dalla conoscenza di un integrale della soluzione rispetto alla variabile temporale e a una certa misura di Borel. Presento un teorema di esistenza e unicità di una soluzione, che è anche di regolarità massimale. Esamino alcuni casi particolari, assieme al fatto che talvolta il problema gode di una sorta di proprietà dell'alternativa di Fredholm
Un nuovo approccio alle disuguaglianze isoperimetriche quantitative
Full text linkWe introduce a new variational method for studying geometric and functional inequalities with quantitative terms. In the context of isoperimetric-type inequalities, this method (called Selection Principle) is based on a penalization technique combined with the regularity theory of quasiminimizers of the perimeter functional. In this seminar we present the method and describe two remarkable applications. The rst one is a new proof of the sharp quantitative isoperimetric inequality in Rn. The second one is the proof of a conjecture posed by Hall about the optimal constant in the quantitative isoperimetric inequality in R2, in the small asymmetry regime.Si introduce un nuovo metodo variazionale per lo studio di disuguaglianze geometriche e funzionali in forma quantitativa. Nell'ambito delle disuguaglianze di tipo isoperimetrico, tale metodo (detto Principo di Selezione) si basa su una tecnica di penalizzazione combinata con la teoria della regolarità per i quasiminimi del perimetro. In questo seminario verrà presentato il metodo assieme a due notevoli applicazioni. La prima consiste in una nuova dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica quantitativa con esponente sharp in Rn. La seconda, invece, è la risposta aermativa ad una congettura di Hall sulla costante ottimale nella disuguaglianza isoperimetrica quantitativa in R2, nel regime delle piccole asimmetrie
Interpolation inequalities in pattern formation
Full text linkIn this seminar I will present some interpolation inequalities that involves the BV-norm and some negative norms of a function u. These inequalities are the strong version of some already known estimates in weak form, which play a crucial role in the study of pattern formation. The main ingredient in the proof of these estimates is given by a geometric construction, that was first used by Choksi, Conti, Kohn and Otto in the context of branched patterns in superconductors, and which main idea goes back to De Giorgi. This is a joint work with Felix Otto
Potenze frazionarie e teoria della interpolazione per operatori lineari multivoci ed applicazioni
No full textCarnot groups (connected simply connected nilpotent stratified Lie groups) can be endowed with a complex of ``intrinsic'' differential forms. In this paper we want to provide an evidence of the intrinsic character of Rumin's complex, in the spirit of the Riemannian approximation, like in e.g., the notes of Gromov (Textes Mathématiques 1981) and in Rumin (Geom. Funct. Anal.,2000) . More precisely, we want to show that the intrinsic differential is a limit of suitably weighted usual first order de Rham differentials. As an application, we prove that the L^2-energies associated to classical Maxwell's equations in R^n Gamma-converges to the L^2-energies associated to an ''intrinsic'' Maxwell's equation in a free Carnot group
Su alcune relazioni tra operatori frazionari del laplaciano e operatori hessiani
Full text linkAfter recalling the many representations of the fractional Laplace operator and some of its important properties, some recent results (proved in a joint work with Bruno Franchi and Igor Verbitsky) about the relations between the k-Hessian energy of the k-Hessian operator of a k convex function vanishing at infinity and the fractional energy of a particular fractional operator will be introduced.Moreover we shall recall an integration by parts formula for the fractional Laplace operator giving a new simpler proof.Dopo aver ricordato le numerose rappresentazioni del laplaciano frazionario e alcune sue importanti proprietà, verranno presentati alcuni recenti risultati ottenuti in collaborazione con Bruno Franchi e Igor Verbitsky sulle relazioni esistenti tra l’energia (delle funzioni k-convesse che si annullano all’infinito) associata all’operatore Hessiano di ordine k e l’energia di un opportuno operatore frazionario per la stessa funzione.Verrà infine richiamata una formula di integrazione per parti del laplaciano frazionario di cui si fornirà una nuova dimostrazione elementare
Sulla simmetria delle soluzioni stabili di alcune equazioni semilineari
Full text linkCon particolare riferimento alle proprietà di simmetria, si discuterà del comportamento delle soluzioni stabili di alcune equazioni a derivate parziali semilineari ellittiche. Verranno inoltre presentate alcune disuguaglianze pesate di tipo Poincaré; ottenute a partire da campi vettoriali che commutano con l'operatore
Subharmonic functions in sub-Riemannian settings
Full text linkIn this note we present mean value characterizations of subharmonic functions related to linear second order partial differential operators with nonnegative characteristic form, possessing a well-behaved fundamental solution ¡. These characterizations are based on suitable average operators on the level sets of ¡. Asymptotic characterizations are also considered, extending classical results of Blaschke, Privaloff, Radó, Beckenbach and Reade. The results presented here generalize and carry forward former results of the authors in [6, 8].In this note we present mean value characterizations of subharmonic functions related to linear second order partial differential operators with nonnegative characteristic form, possessing a well-behaved fundamental solution ¡. These characterizations are based on suitable average operators on the level sets of ¡. Asymptotic characterizations are also considered, extending classical results of Blaschke, Privaloff, Radó, Beckenbach and Reade. The results presented here generalize and carry forward former results of the authors in [6, 8]
Una Trasformata di Legendre su un modello non standard
Full text linkWe consider an exotic contact form on the three-dimensional sphere and we establish explicitly the existence of a non singular vector field in its kernel such that the dual form is still a contact form with the same orientation than the given one. In particular this means that a Legendre transform can be completed