TU Braunschweig: LeoPARD - Publications And Research Data
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Simultane Bootstrapinferenz für Autokovarianzen und Autokorrekationen unter strikter Stationarität
Full text linkThis thesis analyses simultaneous bootstrap inference for autocovariances and autocorrelations and examines structural identifiability of vector autoregressive models with singular innovation covariance matrix. The first part discusses the theory of two bootstrap methods that allow to conduct simultaneous inference for autocovariances and autocorrelations. Natural statistics in this case are maximum deviations of sample autocovariances and autocorrelations from their population counterparts. In contrast to classical multivariate asymptotic theory, we allow for the number of lags to increase with sample size. We obtain results for a general class of physically dependent strictly stationary time series. Such a class includes many well-known linear and non-linear time series. We show that the autoregressive (AR) sieve bootstrap, which is a classical time domain bootstrap method that is simple to apply to data, is asymptotically valid under the important condition that the number of lags grows with the number of observations to infinity. We also show that the AR-sieve bootstrap speed of convergence is of polynomial order if the underlying process is a linear time series. The convergence rate to the asymptotic distribution, which is of Gumbel-type, is at best of logarithmic order. In a next step we show that a dependent wild-type bootstrap is asymptotically valid for our maximum deviation statistics at a polynomial convergence rate. This result holds for physically dependent strictly stationary processes and it does not need the condition that the number of lags grows polynomially with the sample size. The number of lags is still allowed to grow polynomially. This makes it a valuable result for simultaneous statistical inference. In order to obtain such a result we apply modern tools of Gaussian approximation for sums of high-dimensional vectors. Moreover we give potential applications including spectral density estimation and investigate by simulations the finite sample properties of both bootstrap proposals. In our finite sample study we observe that the AR-sieve and the dependent wild-type bootstrap work better than the asymptotic approximation. However, especially for non-linear time series undercoverage of simultaneous confidence bands can be observed for the AR-sieve. The dependent wild-type bootstrap which also captures higher order properties of the underlying time series performs better in such cases. In the second part of the thesis, we generalize well-known results on structural identifiability of vector autoregressive (VAR) models to the case where the innovation covariance matrix is of reduced rank. Singular structural VAR models appear, for example, as solutions of rational expectation models where the number of shocks is usually smaller than the number of endogenous variables, and as an essential building block in dynamic factor models. We show that order conditions for identifiability are misleading in the singular case and we provide a rank condition for identifiability of the noise parameters. Since the Yule-Walker equations may have multiple solutions, we analyse the effect of restricting system parameters on over- and underidentification in detail and provide easily verifiable conditions.Diese Arbeit analysiert Bootstrapmethoden zur simultanen Inferenz für Autokovarianzen und Autokorrelationen und untersucht in einem zweiten Teil die strukturelle Identifizierbarkeit von Vektorautoregressiven Modellen mit singulärer Innovationskovarianzmatrix. Der erste Teil erörtert theoretische Resultate zu zwei Bootstrap-Methoden die gleichmäßige Inferenz für Autokovarianzen und Autokorrelationen erlauben. Natürliche Statistiken sind in diesem Fall maximale Abweichungen der Stichprobenautokovarianzen und -autokorrelationen von den jeweiligen Populationsgrößen. Im Gegensatz zur klassischen multivariaten asymptotischen Theorie lassen wir zu, dass die Anzahl der Lags mit dem Stichprobenumfang zunimmt. Wir erzielen Ergebnisse zu Validität und Konvergenzgeschwindigkeiten der Bootstrapverfahren für eine große Klasse von strikt stationären Prozessen. Diese Klasse umfasst viele bekannte Modelle für lineare und nichtlineare Zeitreihen. Wir zeigen, dass der autoregressive (AR) Sieve-Bootstrap, der eine klassische Bootstrap-Methode für den Zeitbereich und einfach auf Daten anzuwenden ist, unter der Bedingung, dass die Anzahl der Lags mit der Anzahl der Beobachtungen wächst, konsistent ist. Wir zeigen auch, dass die Konvergenzgeschwindigkeit des AR-Sieve-Bootstraps von polynomialer Ordnung ist, wenn der zugrunde liegende Prozess eine linearer Prozess ist. Dies macht ihn zu einem klaren Konkurrenten zur Approximation durch die asymptotische Verteilung, die vom Gumbel-Typ ist. Klassische Resultate zeigen, dass die in dieser Arbeit behandelteten Statistiken nur mit logarithmischer Rate gegen diese Extremwertverteilung konvergieren. In einem nächsten Schritt zeigen wir, dass ein Dependent Wild-Bootstrap für unsere Abweichungsstatistiken asymptotisch valide mit einer polynomialen Konvergenzrate ist. Dieses Ergebnis gilt für die große Klasse der funktional abhängigen strikt stationären Prozesse. Um dieses Ergebnis zu erzielen, verwenden wir Resultate der Approximation durch Gauß-Prozesse für Summen hochdimensionaler Vektoren. Darüber hinaus geben wir mögliche Anwendungen einschließlich der Schätzung der Spektraldichte an und untersuchen durch Simulationen die Eigenschaften beider Bootstrap-Methoden für endliche Stichproben. In den Simulationen sehen wir, dass der AR-Sieve und der Dependent Wild-Bootstrap besser funktionieren als die asymptotische Approximation. Insbesondere bei nichtlinearen Zeitreihen sind Unterschiede zwischen beiden Bootstrapverfahren sichtbar. Der Wild-Bootstrap, der auch Eigenschaften höherer Ordnung der zugrunde liegenden Zeitreihen erfasst, schneidet in diesen Fällen besser ab. Im zweiten Teil der Arbeit verallgemeinern wir bekannte Ergebnisse zur strukturellen Identifizierbarkeit von Vektorautoregressiven (VAR) Modellen für den Fall, dass die Innovationskovarianzmatrix von reduziertem Rang ist. Singuläre strukturelle VAR-Modelle erscheinen zum Beispiel als Lösungen von Rational-Expectation-Modellen, bei denen die Anzahl der Schocks in der Regel kleiner ist, als die Anzahl der endogenen Variablen, und als ein wesentlicher Baustein in dynamischen Faktormodellen. Wir zeigen, dass Ordnungsbedingungen für die Identifizierbarkeit im singulären Fall irreführend sind, und wir liefern eine Rangbedingung für die Identifizierbarkeit der Parameter des wei\ss{}en Rauschens. Da die Yule-Walker-Gleichungen mehrere Lösungen haben können, analysieren wir die Auswirkung der Einschränkung von Systemparametern auf Über- und Unteridentifikation im Detail und stellen leicht überprüfbare Bedingungen auf
Reconstruction of aerosol kinematics from receiver spectra of a bistatic wind lidar system
Full text linkDas bistatische Wind-Lidar-System der PTB ist ein optisches Fernmessinstrument der nächsten Generation, welches die Rekonstruktion des Windgeschwindigkeitsvektors anhand von Aerosolpartikeln in mittleren Messhöhen zwischen 5m und 250m mit bisher unerreichter räumlicher und zeitlicher Auflösung ermöglicht. Die Dissertation adressiert die Herausforderungen, die sich aus dem optischen Messprinzip selbst und aus den Einflüssen variabler atmosphärischer Bedingungen wie Turbulenz und Hydrometeoren (z. B. Regentropfen, Schneeflocken) ergeben. Aufgrund dieser Einflüsse unterliegen sowohl die Verfügbarkeit als auch die Messabweichung der Rekonstruktion mit dem bislang eingesetzten (alten) Verfahren signifikanten Schwankungen. Turbulenz resultiert in hohen Detektionsfehlerraten von bis zu 80%, wodurch die Datenrate drastisch sinkt. Hydrometeore verursachen signifikante Messabweichungen, wodurch Messungen bei Regen oder Schnee bislang nicht möglich waren. Zur Lösung dieser Probleme werden Methoden der digitalen Signal- und Bildverarbeitung sowie statistische Ansätze kombiniert, die durch Prüfund Feldmessungen validiert werden. Zentral sind dabei die Charakterisierung des Messvorgangs mittels Monte-Carlo-Simulationen, die innovative Verwendung von Spektrogrammen in Kombination mit einer auf der Gauß-Filterung basierenden Turbulenz- und Hydrometeorfilterung zur Minimierung von Störeinflüssen, sowie die Anwendung eines Kalman-Filters zum Entrauschen und Extrapolieren der Daten. Die Effektivität der Turbulenz- und Hydrometeorfilterung wird anhand von Feldmessungen mit um mindestens 30% reduzierten Detektionsfehlerraten demonstiert. Die verzerrungsfreie Rekonstruktion für trockene Wetterbedingungen wird durch einen Vergleich mit dem alten Verfahren bestätigt und die Dynamik des Kalman- Filters wird für empirisch ermittelte Amplituden des Prozess- und Messrauschens durch Prüfmessungen charakterisiert. Ferner wird demonstriert, dass die Wetterbedingungen am Messort anhand spektraler Charakteristika mittels Machine Learning mit einer Trefferquote von 97% klassifiziert werden können, was die Perspektive einer adaptiven Filterung eröffnet. Das mehrstufige Verfahren erlaubt die Rekonstruktion der Kinematik des Aerosols als zeitlich hoch aufgelöste Vektorzeitreihe mit hoher Verfügbarkeit und Datenrate sowie mit geringer Messabweichung auch unter Wetterbedingungen wie Regen und Schnee, was für die Windindustrie und Meteorologie von großer Bedeutung ist.PTB’s bistatic wind lidar system is a next-generation optical remote sensing instrument that enables the reconstruction of the wind velocity vector based on aerosol particles at mean measurement heights between 5m and 250m with unprecedented spatial and temporal resolution. The dissertation addresses the challenges arising from the optical measurement principle itself and from the influences of variable atmospheric conditions such as turbulence and hydrometeors (e.g., raindrops, snowflakes). Due to these influences, both the availability and the measurement deviation of the reconstruction with the previously used (old) method, are subject to significant fluctuations. Turbulence results in high detection error rates of up to 80%, which drastically reduces the data rate. Hydrometeors cause significant measurement deviations, rendering measurements in rain or snow impossible until now. To solve these problems, digital signal and image processing methods are combined with statistical approaches, which are validated by test and field measurements. Central to this are the characterization of the measurement process using Monte Carlo simulations, the innovative use of spectrograms in combination with turbulence and hydrometeor filtering based on Gaussian filtering to minimize interference, and the application of a Kalman filter to de-noise and extrapolate the data. The effectiveness of the turbulence and hydrometeor filtering is demonstrated by field measurements, with detection error rates reduced by at least 30%. The distortionfree reconstruction for dry weather conditions is confirmed by a comparison with the old method and the dynamics of the Kalman filter are characterized for empirically determined amplitudes of the process and measurement noise by test measurements. Furthermore, it is demonstrated that the weather conditions at the measurement location can be determined on the basis of spectral characteristics using machine learning with a hit rate of 97%, which opens up the prospect of adaptive filtering. The multi-stage method allows the reconstruction of the kinematics of the aerosol as a high-resolution vector time series with high availability and data rate as well as low measurement deviation even under weather conditions such as rain and snow, which is of great importance for the wind industry and meteorology
Chemometric Approaches for Sustainable Pharmaceutical Analysis Using Liquid Chromatography
Full text linkChemometrics, which applies mathematical and statistical methods to aid in experimental design, data analysis, and process optimization, is gaining more importance. It plays an important role in enhancing the sustainability of analytical methods when integrated with green analytical chemistry. Applying chemometrics to liquid chromatographic methods can speed up the analytical method, saving time, energy, and solvent consumption. This would be reflected by a low energy footprint and environmental impact. This review discusses the application of chemometric methods like multivariant data analysis, design of experiments, retention time prediction, and peak deconvolution in green liquid chromatographic analysis of pharmaceuticals. The review highlights the impact of chemometric approaches on the global push for sustainable practices. The integration of chemometrics into sustainable chromatographic analysis will continue to revolutionize the field leading to better performance of analytical methods
Elevational ranges of pioneer marsh species are site specific and likely shaped by different abiotic and biotic factors
Full text linkSalt marshes are dynamic systems whose landscape structure and resilience to disturbance depend on bio-geomorphological interactions. The ecological niches of salt marsh plants are asserted to be organized along an elevational gradient, determining the impact of abiotic factors such as soil aeration, flooding, and salinity, which generate the typical salt marsh zonation. In the foremost (pioneer) zone, vegetation must cope with nonoptimal environmental conditions due to strong impacts of hydrodynamic forces and sedimentation and is threatened by climate change–induced sea level rise or increased storminess. To test the hypothesis that species have different elevational ranges, which are shaped by local abiotic conditions and biotic interactions, salt marsh species occurrences and covers were recorded along 65 seaward–landward transects at two study sites on the back-barrier island Spiekeroog in the German Wadden Sea, differing in topography, site age, and history. Elevations were extracted from a digital terrain model. Zero-inflated beta regression models demonstrated that species occurrence and cover are mediated by elevation in a species-specific manner. The fast colonizer Salicornia procumbens occurred foremost at the lowest elevations, followed by the pioneer species Spartina anglica and Salicornia europaea. The higher marsh species Limonium vulgare, Atriplex portulacoides, and Spergularia spp. occurred at higher elevations, indicating varying species' vulnerability to local abiotic factors. Furthermore, the individual cover of species was negatively related to the total cover of other species, possibly indicating that species-specific elevational ranges are further modified by interspecific interactions. Especially, the cover of the ecosystem engineer Sp. anglica mostly had negative effects on individual species cover, although positive effects on the cover of Sa. europaea at the eastern site. Our results provide insights into plant species responses and interactions under highly dynamic conditions in the foremost marsh zone. Knowledge about species-specific responses to their abiotic and biotic environment is an important prerequisite for modeling and predicting future ecosystem shifts in salt marshes under climate change.Als Schnittstelle zwischen Land und Meer wird die Resilienz und Landschaftsstruktur von Salzwiesen von komplexen bio-geomorphologischen Wechselwirkungen bestimmt. Die typische Zonierung von Salzwiesen entlang eines Höhengradienten, spiegelt den Einfluss abiotischer Faktoren wie Überflutungen und dem Salzgehalt sowie die jeweiligen ökologischen Nischen der verschiedenen Salzwiesenarten wider. In der vordersten Zone – der Pionierzone – sind die hydrodynamischen Kräfte und die Sedimentation besonders hoch. Der Meeresspiegelanstieg sowie häufigere Störungen durch Sturmflutereignisse infolge des Klimawandels gefährden Pionierarten und erfordern verstärkte Schutzmaßnahmen und Forschung zum Erhalt des Ökosystems. Um zu testen, ob Salzwiesen-Pionierarten unterschiedliche Geländehöhenbereiche besiedeln und ob diese Bereiche zusätzlich durch lokale abiotische Bedingungen und zwischenartliche Interaktionen beeinflusst werden, wurde das Vorkommen und die Bedeckung von Salzwiesenarten entlang von 65 seewärts-landwärts verlaufenden Transekten an zwei Untersuchungsstandorten auf der Barriereinsel Spiekeroog im deutschen Wattenmeer, ermittelt. Die Standorte unterscheiden sich sowohl in ihrer Topographie als auch in ihrem Alter und ihrer Entwicklungsgeschichte. Die Geländehöhen beider Standorte wurden aus einem digitalen Geländemodell extrahiert. Die Datenanalyse mithilfe von sogenannten “Zero-inflated”-Beta-Regressionsmodellen hat gezeigt, dass Artvorkommen und -bedeckung artspezifisch durch die Geländehöhe beeinflusst werden. Der Erstbesiedler Salicornia procumbens trat vor allem bei den niedrigsten Geländehöhen auf, gefolgt von den anderen Pionierarten Spartina anglica und Salicornia europaea. Die höheren Salzwiesenzonen zugeordneten Arten Limonium vulgare, Atriplex portulacoides und Spergularia spp. kamen dagegen bei höheren Geländehöhen vor, was auf eine stärkere Vulnerabilität dieser Arten gegenüber abiotischen Faktoren hinweist. Weiterhin stand die individuelle Artbedeckung in einem negativen Zusammenhang zur Gesamtbedeckung anderer Arten, und speziell zur Bedeckung des Ökosystemingenieurs Spartina anglica. Eine Ausnahme bildete hierbei jedoch die Bedeckung von Sa. europaea, die im auf jüngeren Standort positiv durch Sp. anglica beeinflusst wurde. Dies deutet daraufhin, dass artspezifische Höhenbereiche durch interspezifische Wechselwirkungen zusätzlich modifiziert werden. Unsere Ergebnisse geben Aufschluss über die artspezifischen Reaktionen und Interaktionen von Pflanzenarten unter den hochdynamischen Bedingungen in der Pionierzone von Salzwiesen. Diese Kenntnisse sind eine wichtige Voraussetzung für die Modellierung und Vorhersage künftiger Ökosystemveränderungen in Salzwiesen vor dem Klimawandel
40 years of the “living” Landtechnik-Museum Braunschweig Gut Steinhof
Full text linkAus der Rettung eines akut vom Abriss bedrohten Gutshofes entstand im Jahr 1984 der „Förderkreis Gut Steinhof e.V.“. Dem Erhalt der historischen Wirtschaftsgebäude verschrieben, konnte der Verein die Gebäude vom Eigentümer pachten, sanieren und mit einer breit gefächerten Ausstellung zur Mechanisierung der Landwirtschaft füllen. Wesentlicher Bestandteil des Museumskonzeptes ist dabei von Beginn an nicht nur die statische Ausstellung der Exponate, sondern auch die Nutzung der Geräte in Vorführungen. Für das komplett ehrenamtlich geführte Museum hat sich dies als wichtiger Schlüssel zur Nachwuchsgewinnung erwiesen, so dass hier von einem „lebendigen Museum“ gesprochen werden kann.The “Förderkreis Gut Steinhof e.V.” was founded in 1984 as a result of the renovation of a manor house that was under acute threat of demolition. Committed to preserving the historic farm buildings, the association was able to lease the buildings from the owner, renovate them and fill them with a wide-ranging exhibition on the mechanization of agriculture. From the very beginning, an essential part of the museum concept is not only the static display of the exhibits, but also the use of the equipment in demonstrations. For the museum, which is run entirely by volunteers, this has proven to be an important key to attracting young talent, so that we can speak of a “living museum”
Suitability of near-infrared sensors for the characterization of liquid organic manures under on-farm conditions
Full text linkFlüssige Wirtschaftsdünger sind für eine nachhaltige Pflanzenproduktion unerlässlich, da sie Pflanzennährstoffe liefern, den Einsatz von Mineraldüngern verringern und die Bodenfruchtbarkeit fördern. Aufgrund der variablen Zusammensetzung ist eine genaue Nährstoffanalyse unerlässlich. Nahinfrarotspektroskopie (NIRS) hat sich bereits als Messtechnik in vielen Anwendungsbereichen etabliert, so auch bei der Laboranalyse von Gülle. Mehrere Hersteller bieten NIRS-Sensoren für den Einsatz in landwirtschaftlichen Betrieben an, da diese Technik Möglichkeiten für eine optimierte Ausbringung von Gülle bietet. Aus praktischen Studien und DLG-Testergebnissen lässt sich jedoch schließen, dass Verbesserungen bei der NIRS-Kalibrierung erforderlich sind. Darüber hinaus könnte die Zuverlässigkeit der NIRS-Sensoren durch Anwenderschulungen und die Einrichtung eines Qualitätssicherungssystems erhöht werden.Liquid farm manures are essential for sustainable crop production as they provide plant nutrients, reduce the use of mineral fertilizers and promote soil fertility. Due to the variable composition, precise nutrient analysis is essential. Near-infrared spectroscopy (NIRS) is already established as a measurement technique in many areas of application including lab analysis of liquid farm manure. Several manufacturers already offer NIRS sensors for on-farm use as this technique offers opportunities for the optimized application of liquid manures. However, based on practical studies and DLG test results, it can be concluded that improvements in NIRS calibrations are necessary. In addition, the reliability of NIRS sensors might be increased through user training and the establishment of a quality assurance system
Seeding Technology
Full text linkDie globale Nachfrage nach Präzisionssätechnik mit neuen und erweiterten Funktionen wird nach Ansicht amerikanischer Marktforscher bis 2032 jährlich um ca. 10% wachsen. Hersteller dieser Maschinen nutzen neueste Technologien, um Präzision, Schlagkraft, Flexibilität und Funktionsumfang weiter zu steigern. Als Beispiele für die Drilltechnik seien die gleichzeitige Aussaat mehrerer Kulturen in unterschiedlichen Ablagetiefen sowie die automatische Regelung der Ablagetiefe genannt. Bei Einzelkornsämaschinen illustrieren Bandlaufwerke zur Senkung des Bodendrucks einerseits und die kamerabasierte Überwachung der Ablagequalität andererseits die Bandbreite der hier vorgestellten Innovationen. Ebenso vielfältig sind die Themen aktueller Forschungsprojekte - sie reichen von betriebswirtschaftlichen Effekten einer definierten Ausrichtung der Maiskörner bis zu neuen Strategien für die Regelung der Ablagetiefe.According to American market researchers, global demand for precision seeding technology with new and expanded functions will grow by around 10% annually until 2032. Manufacturers of these machines are using the latest technologies to further increase precision, efficiency, flexibility and range of functions. Examples of seed drill technologies include the simultaneous sowing of several crops at different seeding depths and automatic control of the depth. In precision seeders, belt drives to reduce soil pressure on the one hand and camera-based monitoring of the planting quality on the other hand illustrate the range of innovations presented. The topics of the research projects presented are just as diverse - they range from the economic effects of a defined corn seed orientation to new strategies for controlling the seeding depth
Tillage
Full text linkWetterextreme mit längeren Trockenphasen und häufigeren Starkregenereignissen verändern das Anforderungsprofil an Ackerbausysteme. Flaches, Verdunstung reduzierendes Arbeiten, aber auch situative, standortabhängige und sensorgestützte Bodenbearbeitung liegen weiterhin im Trend. Neben Geräteanpassungen der Hersteller an höhere verfügbare Antriebsleistungen, sind weiterhin auch findige Lösungen zur präzisen Konturführung bei flacher Bodenbearbeitung Bestandteil der aktuellen Entwicklung. Zudem wird weiterhin an Verfahren zur Ertragssicherung bei langen Trockenperioden geforscht. Im Bereich der hochautomatisierten und teilautonomen Maschinensysteme für die Bodenbearbeitung wird derzeit Prozessüberwachungssensorik entwickelt und an einer Definition von Bewertungskriterien für das Arbeitsergebnis gearbeitet.Extreme weather conditions with longer dry periods and more frequent heavy rainfall events are changing the requirements for farming strategies. Shallow, evaporation reducing tillage but also situation-specific, location-based and sensor-supported tillage are still trending. Manufacturers adapt their equipment to the higher drive power available. Innovative solutions for accurate contour guidance in shallow tillage are still part of current developments. Another area of research is the development of methods to secure crop yields in long drought periods. In the field of highly automated and semi-autonomous machine systems for soil cultivation, development work is focusing on process control sensors and the definition of evaluation criteria for the quality of the process results
Sustainability assessment in agriculture - challenges for the supply chain
Full text linkESG, CSRD, LkSG und EU-Taxonomie: Abkürzungen und komplexe Begrifflichkeiten wie diese kursieren in der deutschen und europäischen Politik. Sie stehen stark vereinfacht für Vorgaben, die Wirtschaftsaktivitäten in nachhaltige Bahnen lenken sollen. Auch wenn viele dieser Regelwerke Landwirtinnen und Landwirte bislang nur mittelbar betreffen, sind sie zunehmend gefordert, sich mit den ESG-Kennziffern des eigenen Betriebes auseinanderzusetzen. Der nachfolgende Beitrag gibt einen Überblick über die wichtigsten Konzepte der ESG-Regulatorik. Zudem zeigt der Text exemplarisch, welchen Beitrag technologische Innovationen in der Landtechnik zum Erreichen von Nachhaltigkeitszielen leisten können.ESG, CSRD, LkSG and EU taxonomy: abbreviations and complex terms such as these circulate in German and European politics. In a highly simplified form, they stand for guidelines that are intended to steer economic activities in a sustainable direction. Even if many of these regulations have so far only indirectly affected farmers, they are increasingly being called upon to deal with the ESG indicators of their own business. The following article provides an overview of the most important concepts of ESG regulation. It also provides examples of the contribution that technological innovations in agricultural technology can make to achieving sustainability goals
Temperature-dependent mechanical losses of Eu3+:Y2SiO5 for spectral hole burning laser stabilization
Full text linkWe investigate the mechanical loss characteristics of Eu3+:Y2SiO5—a promising candidate for ultra-low-noise frequency stabilization through the spectral hole burning technique. Three different mechanical oscillators with varying surface-to-volume ratios and crystal orientations are evaluated. In this context, we perform mechanical ringdown and spectral measurements spanning temperatures from room temperature down to 15 K. By doing so, we measure a maximum mechanical quality factor of Q = 3676, corresponding to a loss angle of ϕ = 2.72 × 10−4. For a spectral hole burning laser stabilization experiment at 300 mK, we can estimate the Allan deviation of the fractional frequency instability due to Brownian thermal noise to be below σδν/ν0 = 2.4 × 10−18, a value lower than the estimated thermal-noise limit of any current cavity-referenced ultra-stable laser experiment