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L'insegnamento della geometria euclidea nella scuola secondaria di secondo grado
I percorsi per l'apprendimento e i percorsi per l'insegnamento sono
profondamente collegati e implicano la strutturazione di modelli di
formazione specifici per ogni studente. Questo lavoro verte sull'insegnamento della geometria euclidea nella Scuola secondaria di secondo grado. Dopo aver presentato brevemente le opere di
Euclide e le principali riforme della scuola italiana dall'Unità d'Italia a
oggi, con riferimento alla geometria euclidea, si analizza il suo
insegnamento nell'odierna Scuola secondaria. Partendo, quindi, dalle
difficoltà che molti studenti incontrano nello studio della matematica, si
analizzano le diverse metodologie di insegnamento e si presenta il
significato del metodo ipotetico-deduttivo. In conclusione, si sottolinea
l'importanza della geometria dello spazio, spesso trascurata
nell'insegnamento secondario
Sviluppo e analisi di formule di quadratura basate su nodi mappati
Lo scopo di questa tesi è quello di approssimare l’integrale di funzioni
analitiche su un intervallo compatto a partire da valori su una griglia
arbitraria. Nel primo capitolo proponiamo un metodo di interpolazione per
polinomi univariati basato sulle basi mappate (Approccio Fake Nodes).
Costruire la funzione di interpolazione attraverso la base mappata è
equivalente a mappare i nodi e a costruire l’approssimante polinomiale
classica senza bisogno di ricampionare la funzione. Abbiamo inoltre
studiato l’approccio dei fake nodes nel contesto della quadratura numerica.
Nel secondo capitolo studiamo la mappa di Kosloff e Tal-Ezer applicata alla
teoria dei Fake Nodes. Una attenta selezione dei parametri della mappa
assicurerà da una parte grande accuratezza dell’approssimazione e
dall’altra un rapporto asintoticamente ottimo tra il grado del polinomio e
la spaziatura della griglia. Lo scopo di questo capitolo è quello di
introdurre un metodo ai minimi quadrati pesato per approssimare funzioni
analitiche a partire da valori su nodi arbitrari che combina le buone
proprietà dell’approssimazione polinomiale algebrica e trigonometrica. Nel
terzo capitolo descriviamo una serie di esperimenti numerici per
confrontare i vari metodi. Evidenze numeriche mostrano che il metodo KTL
(Kosloff Tal-Ezer Least-squares) è pratico, semplice e può essere implementato in modo efficiente
Il teorema di Riemann-Roch con applicazioni alle curve ellittiche
Questa tesi ha tre obiettivi. Il primo obiettivo consiste nell'introduzione della nozione di genere per una curva algebrica definita su un campo perfetto. Anche se nella tesi non sarà dimostrato questo risultato, vogliamo sottolineare come n el caso di superfici di Riemann le due nozioni di genere, algebrica e topologica, coincidano. Il secondo obiettivo consiste nell'enunciare e dimostrare il teorema di Riemann-Roch per curve algebriche; seguiremo l'esposizione di Serre [7,ChapterI I], che fa uso di classi di ripartizione per lo studio della coomologia di fasci associati a divisori su curve algebriche. Infine, vedremo come il teorema di Riemann-Roch si traduce nel caso di curve di genere 1 e quale sia il suo legame con equazioni di Weierstrasse e curve ellittiche