Repositorio Institucional de CIMAT
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Families of Baker domai
Get PDFLa dinámica asociada a la iteración de una función racional genera una partición de la esfera de Riemann en dos conjuntos, el de normalidad (o el conjunto de Fatou) y su complemento (el conjunto de Julia). Los dominios propios del conjunto de Fatou pueden además clasificarse en cinco tipos de acuerdo a su modelo dinámico local, a decir en dominios atractores, súperatractores, parabólicos, de rotación tipo Siegel o tipo Herman. Al considerar la extensión de la teoría de iteración racional para funciones meromorfas transcendentes, surgen dos nuevas clases de dominios del conjunto de Fatou: los dominios de Baker y los dominios errantes. Un dominio de Baker se caracteriza por estar directamente relacionado con la singularidad esencial en infinito de la función meromorfa transcendente, pues dicho punto pertenece a la frontera del dominio. En este caso el punto al infinito es llamado punto de Baker.
Las funciones complejo-valuadas que son analíticas excepto en un conjunto compacto contable de la esfera, son denominadas funciones meromorfas de clase K. La extensión de la teoría de iteración para la clase K fue recientemente formalizada a mediados de la década de 1990 y existen resultados análogos a la teoría Fatou-Julia en este contexto (por ejemplo, la clasificación de los dominios de Fatou realizada por funciones meromorfas transcendentes también es realizada por funciones en K).
En este trabajo, se estudia una subclase de funciones de clase K de la forma z+exp(g(z)), con g una función meromorfa transcendente o racional. Para estas funciones se demuestra que, bajo ciertas condiciones de crecimiento en vecindades de las singularidades esenciales, cada una de las singularidades es un punto de Baker y tiene asociado un número infinito de dominios de Baker invariantes. Además se demuestra que el modelo dinámico local en cada dominio es semi-conjugado a una translación. El trabajo se complementa con el estudio dinámico de una familia uniparamétrica de funciones en K, estableciendo para ciertos casos la conectividad de los dominios de Baker. Este y otros ejemplos presentados en la tesis resultan ser los primeros en la literatura del área de funciones en la clase K que exhiben dominios de Baker
Variación de Espacios Moduli
Get PDFB. Riemann, en 1885, introduce el concepto de espacio moduli cuando describe el espacio de parámetros de superficies de Riemann de género g>1. En general, si se tiene una colección de objetos geométrico-algebraicos y una relación de equivalencia en los objetos, el espacio moduli es el conjunto de clases de equivalencia con una estructura geométrica-algebraica que refleja como varían los objetos, cuáles son sus deformaciones etc. La Teoría de Invariantes Geométricos (GIT por sus siglas en inglés) ha sido una herramienta muy útil para construir espacios moduli. Esta teoría fue introducida por D. Mumford en los 60’s y en la cual describe objetos llamados estables. Las clases de equivalencia de objetos estables determinan un espacio moduli M(L) llamado GIT-cociente. El concepto de estabilidad, y por lo tanto el espacio moduli M(L), depende de una linearización L.\
En este trabajo, después de dar las propiedades básicas de la Teoría de Espacios Moduli y de GIT, se explica la variación de los GIT-cocientes, al variar la linearización. Se estudia la variación de los GIT-cocientes en el caso particular en que los objetos son parejas de hipersuperficies en un proyectivo. En particular, se describe un abierto contenido en todo M(L)
COMPARACIÓN DE MODELOS GRÁFICOS GAUSSIANOS CON APLICACIÓN EN DATOS DE fMRI
Get PDFEn el área de Neurociencia surge el problema de estudiar las diferencias que puedan existir en las relaciones de conectividad cerebral entre dos grupos de individuos. La conectividad cerebral de un individuo puede ser abordada mediante modelos gráficos gaussianos basándose en datos fMRI. En esta tesis se retoma esta problemática considerando que para realizar esta comparación entre grupos se debe realizar un estudio de pruebas de hipótesis múltiples. La comparación de la conectividad cerebral entre dos grupos de personas ha sido abordada en distintos estudios. En esta tesis se detalla e implementa el método introducido por Narayan et al. (2015), en el cual se consideran asuntos estadísticamente relevantes que surgen en el proceso de análisis que inicia en la preparación de los datos para estimar los correspondientes modelos gráficos hasta realizar la corrección por tratarse de una prueba de hipótesis múltiple. Además, este método se implementó para contrastar la conectividad funcional entre personas con autismo y un grupo control y se comparan los resultados obtenidos con la teoría previa de autismo
ROBUST ESTIMATION OF THE BUNDLE -WISE AXON DIFFUSIVITY PROFILES FROM DW- MRI APPLICATIONS
Get PDFDiffusion-weighted (DW) magnetic resonance imaging (MRI) is an imaging modality which is sensitive to the microscopic Brownian motion of water molecules (i.e. diffusion). Water diffusion in living tissues is affected by their cellular organization. In particular, in the brain white matter, the coherent organization in packed bundles of the neuronal tissue introduces a directional dependence to the microscopic random movements. Therefore, by measuring water molecular displacements using diffusion MRI, it is possible to infer properties of the local tissue micro-structure and the architecture of the neuronal connections in-vivo and in a non-invasive way.
Several methods have been proposed to extract multiple fiber intra-voxel configurations from the DW-MR images. However, many of these methods focus only on the estimation of the number of fiber bundles, the percentage of volume of each bundle within the voxel and their orientations, by assuming constant diffusion profile in all the volume; many other methods focus on the estimation of the diffusion properties by assuming the number of fiber bundles equal to one or by factorizing the orientation information; and few methods incorporate the spatial coherence present in the data in order to improve the estimation of the intra-voxel configuration. Also, there are very few methods that estimate different diffusion properties per bundle, which is important in order to study the axonal degeneration for a single fiber bundle in a crossing fiber region.
In this thesis, we present a general framework for the parameter estimation of the multi-compartment models; this allows us to improve the estimation of the number and orientation of the fiber bundles, as well as their bundle-wise diffusion profiles. The proposed methodology is based on four key novel ideas: (i) A Multi-Resolution Discrete-Search determines the orientation of the fiber bundles accurately and naturally constrains the sparsity on the recovered solutions; (ii) the determination of the number of fiber bundles using the F-test combined with a Rician bias correction; (iii) a general framework for the estimation of the axial and radial diffusivity parameters independently for each bundle; and (iv) a Simultaneous Denoising and Fitting procedure that exploits the spatial redundancy of the axon bundles to achieve robustness with respect to noise.
A new useful evaluation metric is also proposed, which combines the information of the success rate in the es
BLOWUP IN FINITE TIME OF SOME NONLINEAR SYSTEMS OF PDES AND SPDES
Get PDFEn este trabajo de tesis consideramos diferentes sistemas tanto
de EDP's como de EDPE's, y los resultados principales se enfocan en la
existencia y unicidad de soluciones, así como en encontrar cotas superiores e
inferiores para los tiempos de explosión de tales sistemas.
En la primera parte de la defensa se presenta un sistema acoplado de EDP's de
tipo reacción-difusión en , donde los términos difusivos están
gobernados por una perturbación del laplaciano, y los términos reactivos son de
tipo potencial. Después de mostrar un resultado de existencia y unicidad de
soluciones mild para dicho sistema, se dan condiciones sobre los valores
inciales y los parámetros del sistema, las cuales garantizan explosión en tiempo
finito. Bajo ciertas hipótesis sobre los tamaños de los valores iniciales,
se presenta una cota superior para el tiempo de explosión.
En la segunda parte de la defensa, se presentan las distribuciones de dos tipos
de funcionales del movimiento browniano: el funcional de Dufresne y el
funcional unilateral de Dufresne. Posteriormente se verá cómo emergen dichos
funcionales en el estudio cualititativo de un sistema acoplado de EDPE's en
R^d de tipo reacción-difusión con ruido blanco multiplicativo y
términos difusivos gobernados por el laplaciano fraccionario. Para ello, se
demuestra la existencia de la solución mild de dicho sistema, y con ayuda de
una supersolución explosiva, se da una cota inferior para el tiempo de explosión
del sistema. Dicha cota depende del funcional de Dufresne, lo cual permite dar
una cota superior para la probabilidad de explosión en tiempo finito.
Con ayuda de una subsolución explosiva, se da una cota
superior para el tiempo de explosión del sistema, la cual depende del
funcional unilateral de Dufresne. Esto permite dar una cota inferior para la
probabilidad de explosión en tiempo finito.
Finalizando, se presentan resultados similares a todos los
anteriores para un sistema acoplado de EDPE's con diferentes potencias
fraccionarias del laplaciano. La explosión se toma en el sentido de la
norma L^p (D), y se muestra cómo los criterios de explosión y las
cotas superiores para el tiempo de explosión dependen de la propiedad de
ultracontractividad intrínseca del laplaciano fraccionario
Homological Ideals of Finite Dimensional Algebras
Get PDFWe will be working with a finite dimensional connected and basic k-algebra A over an algebraically closed field k, all modules will be finite dimensional modules and all ideals will be two sided ideals unless stated otherwise. In this dissertation we
Contributions on Non–Asymptotic Singularity of Random Matrices and on Backbend Percolation
Get PDFThe main purpose of this thesis is the study of invertibility of unstructured and structured random matrices, which have been intensively investigated for at least five decades. Chapter 2 contains a brief introduction to the problem of the singularity of random matrices. Chpater 3 presents the main probabilistic tools to prove that Ginibre and Wigner matrices are invertible with hihg probability. Chapter 4 presents some of the main results in this thesis. Theorem 13 in this chapter establishes the universality rate of the probability of non--singularity of the Ginibre and Wigner matrices. Chpater 5 contains another set of the main contributions in this thesis, Theorem 14 in this chapter determines the behavior of the minimum singular value of a circulant random matrix whose entries have moment generating functions. For our proof of Theorem 14, it is used a remarkable result about the roots of a random polynomial. Finally, Chapter 6 is about our contributions on backbend percolation
Análisis de sincronía y causalidad en datos electroencefalográficos
Get PDFEl estudio de la magnitud del retardo asociado a la sincronía, pese a que ha sido un problema poco tratado en la literatura, podría contribuir a una mejor comprensión de los eventos síncronos y de los procesos cerebrales que los originan, debido a que proporciona información adicional acerca de una relación de sincronía. En este trabajo se presenta una nueva metodología para el análisis de sincronía que constituye una buena alternativa para el estudio de la causalidad y proporciona un mecanismo novedoso y confiable para estimar el retardo de relaciones de sincronía. La metodología separa la detección de relaciones de sincronía y la estimación de los retardos asociados, siendo estos retardos calculados a partir de las diferencias de fase. La utilización de señales de banda estrecha en frecuencia en el análisis permite una buena localización en tiempo-frecuencia de los eventos. Además, se introduce una representación de eventos de sincronía mediante clúster de electrodos que puede contribuir a la localización de potenciales fuentes cerebrales que expliquen el evento de sincronía.
Para la validación de la metodología se propone un modelo espectral de sincronía con ancho de banda controlado para datos EEG sintéticos, el cual también podría ser utilizado para la simulación de dependencias en datos de otra naturaleza. También se realiza un estudio comparativo entre modelos MVAR y métodos de análisis de sincronía y causalidad en tiempo-frecuencia, sobre datos generados por modelos MVAR y por el modelo espectral de sincronía propuesto. Para datos generados por modelos MVAR, el estudio indica la superioridad de los métodos de análisis de sincronía y causalidad en tiempo-frecuencia, siendo la mejor la metodología desarrollada, en los siguientes escenarios: contribuciones pequeñas entre las series, contaminación de los datos con repeticiones sin relaciones de sincronía y la restricción de la sincronía a una ventana temporal pequeña (100 muestras); mientras que los modelos MVAR resultan superiores en la identificación de patrones complejos de conectividad. En datos sincronizados con ancho de banda estrecho (2Hz) mediante el modelo espectral de sincronía, los modelos MVAR no funcionan correctamente, a diferencia de los métodos de análisis de sincronía y causalidad en tiempo-frecuencia
YAMABE PROBLEM ON RICCI SOLITONS, AND POISSON STRUCTURES ON SINGULAR FIBRATIONS
Get PDFWe study the Yamabe Problem in a special class of Riemannian manifolds, the Ricci solitons. We also explore contact and symplectic manifolds admitting a compatible Ricci soliton, where we obtain some observations. With respect to Poissons geometry, we provide local expressions for Poisson bivectors and the corresponding symplectic forms with broken Lefschetz and wrinkled singularities in dimensions 4, and 6, and discuss the higher dimension case.
With respect to the Yamabe Problem on compact Ricci solitons the main result that
we obtained is:
Theorem There exists a unique U(2)-invariant solution to the Yamabe equation on
CP2#-CP2 with the Koiso-Cao metric.
We also explore the Ricci soliton equation. We use Hamiltonian and Liouville vector fields to derive some results concerning a Ricci soliton with a compatible symplectic structure. The main result obtained:
Theorem Let (M, w) be a symplectic manifold of dimension greater than 2. If w has compatible Ricci soliton g determined by a Hamiltonian or a Liouville holomorphic vector field, then g is Einstein.
We also constructed singular Poisson structures on manifolds of dimension 4 and 6, where the singularties are given by a broken Lefschetz fibration or a wrinkled fibration. The main results are:
Theorem A closed, orientable, smooth 4-manifold equipped with a wrinkled fibration admits a complete Poisson structure. The fibres of the fibration are leaves of the symplectic foliation and both structures share the same singularities.
Theorem A generalized broken Lefschetz fibration admits a Poisson structure compatible with the fibration structure. Also, generalized wrinkled fibrations in dimension 6 admit compatible Poisson structures
UN ALGORITMO DE CLASIFICACIÓN COMO HERRAMIENTAS DE DIAGNOSTICO DE DIABETES CON DATOS DE LA PRUEBA ORAL DE TOLERANCIA A LA GLUCOSA
Get PDFUna herramienta para el diagnóstico de la diabetes mellitus tipo 2 e intolerancia a la glucosa, es la prueba oral de tolerancia a la glucosa (OGTT), en la cual, a un paciente se le administra una cantidad de glucosa después de estar en ayunas durante la noche. Luego, se mide la concentración de glucosa cada 30 minutos durante dos horas. El problema de interés es usar estos datos para distinguir los individuos, no solo que estan sanos o son diabéticos, sino también los que son pre-diabéticos.
Un enfoque es proponer modelos matemáticos para describir la interacción de glucosa-insulina durante la OGTT que nos permitan profundizar en la comprensión de la enfermedad usando herramientas numéricas para su solución. Los modelos consisten en sistemas de ecuaciones diferenciales donde la mayoría de los parámetros son desconocidos, o son difíciles de medir, por lo que hay que estimarlos a partir de los datos.
En este trabajo nos interesa no solo la modelación y estimación de parámetros, sino el uso de estos últimos como herramienta de diagnóstico. Se suponen conocidos los datos de la prueba oral de tolerancia a la glucosa (OGTT) y dado un modelo básico de la cinética glucosa-insulina, se propone una metodología para la estimación de sus parámetros. De nuestra investigación proponemos dos parámetros del modelo básico como herramienta de diagnóstico, los cuales son utilizados para construir
un clasificador basado en máquinas de soporte vectorial (SVM), cuya superficie de decisión, que es la recta que separa a los pacientes sanos de los enfermos, podría ser utilizada para identificar a los pacientes que están en riesgo