Shiga University Repository

高田, 聖治

確率への招待 13回目
確率変数と確率分布①
1
2
１．確率変数と確率分布
これまで学んできた確率の考えを、もっと数学的に
扱いやすくしたい。
・「サイコロを振ったときに出た目」は数字だから、
まぁそのままでも数学的に扱える。
・「試合で勝った」「負けた」は、このままでは数字では
ないから、扱いづらい
⇒ 試合に勝った・・・１
〃 負けた・・・０
と置き換えれば、数学的に扱いやすい。
これが「確率変数」。
・つまり、確率変数とは起こった事象を数字に置き
換える変数のこと。
3
例）１個のサイコロを振るとき、出た目の値をＸとすると、
Ｘのとり得る値は１，２，３，４，５，６の６つで、
各々の確率は1/6である。
別の変数Ｙを、
１ （出た目が１か３のとき）
Ｙ＝ ０ （出た目が２，４，６のとき）
－１ （出た目が５のとき）
とすると、Ｙ＝１となる確率は1/3、０となる確率は1/2、
－１となる確率は1/6である。
このように、確率変数は事象と対応しているので、各値を
とる確率が定まっている。
一般に、取りうる値とその確率が与えられた変数のことを
確率変数という。
4
定義だけ見るとヤヤコシソウだが、別に大したことをや
っているわけではない。
「お昼にカレーを食べた」「定食を食べた」などと言葉で書いてい
ると数学的に扱いにくいので、数字に置き換えた、ということ。
例えば、
・家庭の電力使用量・・・もともと数字なので、このまま確率変数
として考えてもよい
・犯罪捜査・・・犯人ならば１、そうでなければ０をとる確率変数
・アンケートの結果・・・ある政策に賛成なら１、反対なら２、どちら
でもないなら９
など。
5
Ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ 計
Ｐ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 １
確率変数Ｘのとり得る値がｘ1、ｘ2、…、ｘnであるとき、Xが一つの
値ｘkをとる確率をＰ（Ｘ＝ｘk）で表す。
前々ページのサイコロの例でいうと、
これを次のような表にしておくと見やすい。
この対応関係を確率分布（または単に分布）といい、確率変
数はこの分布に従うという。
確率なので、下の欄の数字は０から１の値をとり、合計は１。
3
1)1(,
2
1)0(,
6
1)1(
6
1)6(,,
6
1)2(,
6
1)1(


YPYPYP
XPXPXP 
Ｙ － １ ０ １ 計
Ｐ 1/6 1/2     1/3 １
6
２．確率変数の期待値と分散
確率変数Ｘが概ねどのような値をとるかを考えてみる。
たとえば、サイコロの目のように全ての値を取りうる値が同様
に確からしいときには、その期待値（平均）を
1 2 ⋯ 6
6 3.5
のように算術平均で考える。
では、同様に確からしくないときはどうだろうか。
サイコロの目で1の目を2の目に変えたとする。このとき、2の目
の出る確率は1/3となり、この場合の期待値は
2 3 3 4 5 6
6
1
3 2
1
6 3 ⋯
1
6 6 3.67
となる。
つまり、取りうる値とその確率を掛けて足し合わせることで
期待値を計算できる。
7
確率変数Ｘが以下のような分布に従うとする。
このとき、 Xの期待値または平均を
で定義し、記号E(X)またはｍで表す。
（Ｅはｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎの、ｍはｍｅａｎの頭文字）
中学校で度数分布表（ヒストグラム）を使って平均
値を求めたのとまったく同じ。
これは「全体をおしなべると、Ｘがだいたいどのくらいの値で
あるか」を表すもの。
Ｘ ｘ1 ｘ2 ・・・ ｘn 計
Ｐ（Ｘ＝ｘk） ｐ1 ｐ2 ・・・ ｐn １



n
k
kknn pxpxpxpx
1
2211 
8
次に、「確率変数Ｘがどの程度ばらついているか」を考える。
ｘk が平均ｍからどれくらい離れているかは、引き算してｘk－ｍ
と計算されるが、Σ（ｘk－ｍ）ｐk＝０である。
・絶対値をとって|ｘk－ｍ|とすると、Σ|ｘkーｍ|ｐkはばらつきを
表す指標となる（平均絶対偏差という）が、絶対値が数学的に
扱いにくい（微分不可能）こともあり、あまり使われない。
・２乗してΣ（ｘk－ｍ）2ｐkを考えると、これは正の数となり、数学的
にも扱いやすい（例えば、 大や 小を求めるとき、微分する
と１次関数になって簡単に解ける）ので、これがよく用いられる。
これを確率変数の分散といい、記号Ｖ（Ｘ）で表す。
   01)( mmpmpxpmx kkkkk



n
k
kk mXEpmxXV
1
22 ))(()()(
9
Ｖ（Ｘ）の「単位」はｘの2乗の単位になってしまう（例えば、ｘが長さ
（メートル）ならば、Ｖ（Ｘ）は平方メートル）ので、やや不便。
⇒Ｖ（Ｘ）の平方根（ ）はＸと同じ単位になるので、
これをＸの標準偏差といい、記号σ（Ｘ）で表す。
（「しぐま エックス」、σはstandard deviationの頭文字）
ついでにもう一つ。
この、Ｖ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ2）－（Ｅ（Ｘ））2 という結果は、あとでも使うので、
覚えておいた方がよい。
2
	 2
	 2 1
10
平均と分散の計算方法
p.5の確率変数XとYの平均と分散を計算してみる。
確率変数の値とその確率を掛けたものを計算し、その合計が平均
となる。また、確率変数の値の2乗と確率を掛けたものを計算し、
その合計は確率変数の2乗の平均となる。
この結果に基づいて、分散はV(X) = E(X2) – (E(X))2となる。
Ｙ －１ ０ １ 計
Ｐ 1/6 1/2     1/3 １
ＹＰ –1/6 0  1/3  1/6
Ｙ２Ｐ 1/6 0 1/3 1/2
Ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ 計
Ｐ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 １
ＸＰ 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/2
Ｘ２Ｐ 1/6 4/6 9/6 16/6 25/6 36/6 91/6
(＝E(X))
(＝E(X 2))
91
6
7
2
35
12
(＝E(Y))
(＝E(Y 2))
1
2
1
6
17
36
11
期待値の（一つの）特徴づけ
ａを定数とするとき、E（（X-a)2）をａの回りの平均２乗偏
差と呼ぶが、これが 小になるのは、ａ＝Ｅ（Ｘ）のときで
ある。
（証明）
（X-a）2＝｛（X-E(X))＋（E(X)-a）｝2
＝（X-E(X)）2＋２（X-E(X)）（E(X)-a）＋（E(X)-a)2なので、
これの期待値をとると、
E(（X-a)2)＝E((X-E(X))2)＋（E(X)-a）2＝V(X)＋（E(X)-a)2
よって、aを変数と考えてこれが 小となるのは、
ａ＝Ｅ（Ｘ）のとき。
12
それでは、平均絶対偏差だとどうなるだろう？
確率変数Ｘの取り得る値ｘ1，ｘ2，…，ｘnが全て等確率と
する。ａのまわりの平均絶対偏差Ｅ（|Ｘ－ａ|）が 小にな
るのは、ａがＸの中央値のときである。
（証明）
Ｘの取りうる値を小さい方から順に並べて
ｘ１≦ｘ２≦・・・≦ｘｎとする。
関数f（ｙ）＝Σ｛|ｘiーｙ|｝のグラフを考えると、
と折れ線のグラフになり、これが 小値をとるのは、
ｎが偶数＝２ｋならば、ｘk≦ｙ≦ｘk+1のとき
（ 小値をとるｙはたくさんある）
ｎが奇数＝２ｋ＋１ならば、ｙ＝ｘk+1のとき。
13
３．確率変数の変換
次のような分布に従う確率変数Ｘに対し、
Ｘの一次関数Ｙ＝ａＸ＋ｂ（ただしａ，ｂは定数）も確率変数。
Ｘに対してこのようなＹを考えることを確率変数の変換という。
（一次関数ならば一次変換、または線形変換という）
このとき、Ｙの期待値や分散、標準偏差がどうなるか考える。
「確率変数の一次変換と、期待値をとる操作とは、順序の
入れ替えが可能」
bXaE
pbpxapbaxpyYE kkkkkkk

   
)(
)()(
Ｘ ｘ1 ｘ2 ・・・ ｘn 計
Ｐ（Ｘ＝ｘk） ｐ1 ｐ2 ・・・ ｐn １
Ｙ ｙ1 ｙ2 ・・・ ｙn 計
Ｐ（Ｙ＝ｙk） ｐ1 ｐ2 ・・・ ｐn １
(yi=axi+b)
14
次に分散を計算してみると、
まとめると、
)()()()(
)()}({)}({)(
)}({})({)(
2
1
2
1
222
XaXVaYVY
XVapXExapYEyYV
XExabXaEbaxYEy
n
k
n
k
kkkk
kkk
 


 
 
よって、標準偏差は、
だから、
)()(
),()(
,)()(
2
XabaX
XVabaXV
bXaEbaXE
 


15
ところで、「一次変換と期待値をとる操作とは順序交換可能」だっ
たが、一次変換以外だと、こううまくはいかない。
例）Ｙ＝Ｘ2 という確率変数の変換に対して期待値をとると、
E(X 2) = {E(X)}2+V(X) である（p.9でやった）。
よって、V(X) = 0 でない限り、E(X 2) > {E(X)}2
一般には次のことが成り立つ。
Ｊｅｎｓｅｎの定理）下に凸の関数ｆ（Ｘ）に対し、Ｅ（ｆ（Ｘ））≧ｆ（Ｅ（Ｘ））
証明）ｆ（Ｘ）が下に凸なので、右図のように、
x=E(X)のところでy=f(x)に接線y=ax+bを
引くと、y=f(x)はこの接線の上にくる。
すなわち、任意のｘに対しf(x)≧ax+b
両辺の期待値をとって、
E(f(X))≧E(aX+b)=aE(X)+b=f(E(X))
y=f(x)
y=ax+b
E(X)
16
４．２つの確率変数の同時分布、確率変数の独立
（１）同時分布
Ｘ、Ｙを確率変数とするとき、実数ａ，ｂに対して
Ｘ＝ａ かつ Ｙ＝ｂ となる確率を Ｐ（Ｘ＝ａ，Ｙ＝ｂ）と表す。
一つの確率変数についてＸ＝ｘkとなる確率を表で表したのと同様、
（Ｘ,Ｙ）についても、Ｐ（Ｘ＝ｘ ｉ，Ｙ＝ｙj）＝ｐｉｊとなるｐｉｊを行列の形で
書き表すと、
となる。この対応をＸとＹの同時分布という。
ｙ1 ｙ2 …… ｙm 計
ｘ1
ｘ2
:
:
ｘn
ｐ11 ｐ12 … ｐ1m
ｐ21 ｐ22 … ｐ2m
ｐn1 ｐn2 … ｐnm
ｐ1
ｐ2
ｐn
計 ｑ1 ｑ2 … ｑm １
17
また、この表から、
となる。したがって、表の右端の欄は確率変数Ｘの確率分布、
表の一番下の欄は確率変数Ｙの確率分布となっている。
これをそれぞれ、Ｘの周辺分布、Ｙの周辺分布という。
18
（２）確率変数の独立
２つの確率変数Ｘ、ＹについてＸとＹが独立であるということを、
事象の独立と同様に、次のように定義する。
任意の実数ａ，ｂに対し、Ｐ（Ｘ＝ａ，Ｙ＝ｂ）＝Ｐ（Ｘ＝ａ）Ｐ（Ｙ＝ｂ）
となるとき、ＸとＹは独立であるという。
先ほどの同時分布の表でいうと、
「任意のｉ，ｊについて、ｐij＝ｐｉ×ｑｊ が成り立つとき、ＸとＹは独立で
ある」ということになる。
先週まででやった「事象の独立」では、Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）
となるとき、事象Ａと事象Ｂは独立であるというのであった。
これと同じことである。


Not a member yet

確率への招待13

10,078

15,011