PROA-UA (Univ. de Aveiro)

Cunha, Joaquim José da

O método dos multiplicadores de Lagrange para maximizar e minimizar funções de \u27n\u27 variáveis sujeitas a condições: Reflecções para resolver o problema com recurso à Álgebra Matricial

Sousa, Virgínia Maria Granate Costa e

Portuguese

Desenvolvimento Regional e Migrações Humanas

Cravo, Domingos José da Silva

O Plano Oficial de Contabilidade e a sua adequação à 4." Directiva da C.E.E."

Directivo, Presidente do Conselho

ESTUDOS DO 1. S C A. A 
ANO I
INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO
A V E I R O
1 9 8 1 
PALAVRAS DE ABERTURA
1 — O Dec-Lei 313/75 de 26 de Junho, ao fazer depender os Institutos 
Comerciais da Direcção-Geral do Ensino Superior e equiparar a Ba-
charéis todos os seus diplomados, veio pôr fim a uma situação de 
injustiça gue há muitos anos se vinha a verificar. 
A este regime de transição pôs termo o Dec.-Lei 327/76 de 6 de Maio 
que converteu os Institutos Comerciais em Institutos Superiores de 
Contabilidade e Administração. Quando tudo parecia desanuviado, eis 
que novas nuvens apareceram no horizonte que até hoje ainda não 
deixaram que estas novas Escolas emanem toda a luz de que são capazes. 
A luta e as sugestões que esta Escola tem já desencadeado para diminuir 
o peso asfixiante da indefinição, serve apenas de lenitivo e esperança 
para que o M. E. U., sem favores, dê aos I. S. C. A. o estatuto de 
maioridade a que têm direito e que por mérito já conquistaram. 
2 — Enquanto não desaparece a borrasca entorpecedora da indefinição, 
embora vagarosamente, o crescimento qualitativo do I. S. C. A. Aveiro 
prossegue.
O aparecimento da publicação «Estudos do I. S. C. A. A.» testemunha 
o vigor qualitativo desta Escola que mesmo contra a corrente, teima 
em crescer. 
3 — As dificuldades com que vamos deparando não param e por isso mesmo 
mais apostados estamos em superá-las. 
Este primeiro número sai com quatro artigos. Outros números sairão 
por certo com mais trabalhos e de melhor qualidade. 
Ao exortar todos os nossos colaboradores a um trabalho árduo e elabo-
rado, queremos significar que, acima de tudo, o que interessa é encarar 
de maneira construtiva o futuro do I. S. C. A. Aveiro de modo a tor-
ná-lo um instrumento de desenvolvimento social no meio em que está 
inserido, e, de imediato levar o progresso e formação a todos os alunos 
que o procuram. 
É que estes, acreditamos, ao serviço do saber e do desenvolvimento da 
instituição, darão tanto da sua generosidade quanto contam receber. 
O PRESIDENTE DO CONSELHO DIRECTIVO


Abertura

ESTUDOS DO 1. S C A. A 
ANO I
INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO
A V E I R O
1 9 8 1 
A Gestão e os Processos Markovianos
Exemplo de um Problema
Markoviano Estacionário
Joaquim José da Cunha 
1 _ CONSIDERAÇÕES GERAIS
Em administração de empresas quer públicas, quer privadas, estamos
longe dum conhecimento que nos permita, face a um caso, tomar uma reso-
lução previamente determinada ou compendiada.
Assim sendo, e porque a grande maioria dos problemas são do domí-
nio dos fenómenos aleatórios, a função administrativa torna-se assaz delicada.
As grandes empresas poderão ter contabilistas, economistas, gestores empre-
sariais, em convergência de esforços.
As pequenas empresas, verdadeiras fontes de emprego, terão no seu
contabilista um pouco de tudo isto; razão pela qual, o contabilista, hoje mais
que nunca, deve além da contabilidade possuir igualmente conhecimentos
nos domínios do Direito, Ciências Sociais, Estatística.
A contabilidade fornece hoje exaustivamente e com precisão a situação
líquida da empresa, bem como a evolução no passado. Classificar e fazer
a síntese destes fenómenos, eis o que se exige ao gestor de hoje. Se à conta-
bilidade compete a árdua missão de fornecer dados que por indução permitam
o estabelecimento de leis que explicando um passado recente, ajudem a 
formular uma continuidade que assegure um futuro sem grandes degraus,
compete igualmente ao gestor contabilista estar munido de conhecimentos
profundos dos assuntos estatísticos, para poder desempenhar cabalmente a 
missão que empresa dele vai exigir.
O objectivo deste trabalho, embora modesto, é sensibilizar o conta-
bilista ou gestor, para a necessidade de este ter em arquivo determinados
estudos que amanhã lhe hão-de permitir a tomada em consciência, de posi-
ções com uma margem mínima de risco.
75
CADEIAS DE MARKOV — CONSIDERAÇÕES GENÉRICAS A
USAR NA RESOLUÇÃO ANALÍTICA DE UM PROBLEMA
ESTACIONÁRIO DA CADEIA DE MARKOV.
2.1. — Exemplo e Definição
Todas as noites, um homem ou vai ao cinema ou vai ao café.
Este homem nunca vai ao café dois dias seguidos, mas se ele vai hoje
ao cinema, então no dia seguinte, a probabilidade de ir ao cinema é igual à
probabilidade de ir ao café.
Do enunciado logo tiramos que : 
• O espaço dos estados é dado pelo conjunto : 
/
\
café, cinema
O acontecimento de cada dia fica dependente do que aconteceu no
dia anterior.
A matriz que traduz o enunciado é a que a seguir se indica : 
matriz assim formada porquanto : 
a) O homem nunca vai ao café dois dias seguidos.
b) Indo hoje ao cinema, amanhã volta a ir ao cinema ou então
vai ao café.
Do exemplo, e tal como muito bem diz o Prof. Nieto de Alba em
«Processos y Cadenas de Markov» todo o passado da evolução do sistema
está resumido no último instante conhecido. Daqui o inferir-se que o pro-
cesso fica determinado : 
• Pela distribuição inicial : 
P [ X ( o ) < x] = P(o,x)
76
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 5
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	   5 	
##
• A matriz P diz-se regular, se e apenas se, sao positivos todos os ele-
mentos de alguma potência P.
TEOREMA : 
Se P é uma matriz estocástica regular, então : 
a) P tem um único vector de probabilidade t fixo. 
b) A sucessão P, P2, P3, ... converge para uma matriz A em que
todas as suas linhas são iguais ao ponto fixo t = (t.. t 2 ' . . .,t ) 
c) Sendo P, um vector de probabilidade arbitrária a sucessão
Pi ' Pi ' . . . converge para o ponto fixo de A.
3 —RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE APLICAÇÃO A UM
PROCESSO MARKOVIANO ESTACIONÁRIO
(A lei de distribuição P (0 , x) é independente do tempo)
3.1. — Problema
Uma empresa de pesca, para descarga dos seus barcos tem em perma-
nência um camião. Este camião assegura três viagens por dia. A descarga
devidamente observada conduziu à seguinte lei de probabilidade : 
Em 10 % dos casos, a descarga exige 5 viagens por dia.
Em 40 % dos casos, a descarga exige 4 viagens por dia.
Em 50 % dos casos, a descarga exige 3 viagens por dia.
A gestão da empresa, atenta às condições dos produtos a descarregar,
decidiu que, se ao fim de um dia houvesse mais de uma viagem em atraso, 
então, no dia seguinte, seria alugado mais um camião que faria duas viagens. 
3.2. — Resolução do problema e estabelecimento da política a seguir:
3.2.1. — Estudo da decisão tomada pela administração da empresa 
• Estado Ao
Partindo do pressuposto que hoje estamos na posição A0 com zero
78
viagens de atraso, sendo A, A2 A3 respectivamente os estados com 1, 2, 3 
viagens em atraso, o camião no dia seguinte assegura 3 viagens e o esquema
de probabilidade é o seguinte : 
. 0 viagens em atraso com a probabilidade 0,5
| 1 viagem em atraso com a probabilidade 0,4
/ 2 viagens em atraso com a probabilidade 0,1
0
3 viagens em atraso com a probabilidade 0 
• Estado AT
Se ao fim do dia chegarmos com uma viagem de atraso, no dia se-
guinte, utilizaremos ainda o nosso camião e estamos em condições de asse-
gurar 3 viagens. O esquema de probabilidade é agora o seguinte : 
0 viagens em atraso com a probabilidade 0 
1 viagem em atraso com a probabilidade 0,5
2 viagens em atraso com a probabilidade 0,4
3 viagens em atraso com a probabilidade 0,1
• Estado A2
Se ao fim do dia chegarmos com 2 viagens em atraso, no dia seguinte
metemos mais um camião, ficando com a possibilidade de efectuar 5 viagens.
O esquema de probabilidade tem agora a forma:
0 viagens em atraso com a probabilidade 0,5
1 viagem em atraso com a probabilidade 0,4
2 viagens em atraso com a probabilidade 0,1
3 viagens em atraso com a probabilidade 0 
79
• Estado A3
Na posição A3, o estado é agora em tudo idêntico ao estado em Ab e 
daqui o esquema de probabilidade : 
0 viagens em atraso com a probabilidade 0 
1 viagem em atraso com a probabilidade 0,5
2 viagens em atraso com a probabilidade 0,4
3 viagens em atraso com a probabilidade 0,1
A matriz de transição, é nesta hipótese, a matriz
_Ao
1
0,5
A!
i
0,4
A2
I
0,1
A3_
1l
0 - A0
0 0,5 0,4 0,1 - A,
0,5 0,4 0,1 0 - A2
0 0,5 0,4 0,1 *- A3
O problema que nos é posto é o seguinte : 
«Qual é a longo prazo, a nova matriz de transição?» 
Ora, pelo exposto, no número 2.2., página 77, temos sucessivamente : 
(t0, t1;t2, 1 - to - 1 , - ta).
0,5 0,4 0,1 0
0 0,5 0,4 0,1
0,5 0,4 0,1 0
0 0,5 0,4 0,1
(t0, t,,t2, l - t o - V t j )
80
produto que nos leva ao sistema de equações : 
0,5 to + 0,5 t2 = t„
0,4 t0 + 0,5 t, + 0,4 t2 + 0,5 (1 -10 -1, -12) = t,
0,11„ + 0,4 t, + 0,1 t2 + 0,4 (1 -10 -1, -12) = t2
0,11, + 0,1 (1 -10 -1, -12) = 1 - to -1-, - ta
de solução única, igual ao ponto fixo da nossa matriz de transição P : 
t0 = 0,25
t, = 0,45
t2 = 0,25
t3 = 1 - (0,25 + 0,45 + 0,25)
= 0,05
Esta solução, nos termos atrás expostos, permite concluir que a polí-
tica seguida, se traduzirá ao fim de um dia em : 
0 viagens em atraso com a probabilidade estabilizada 25 % 
1 viagem em atraso com a probabilidade estabilizada 45 % 
2 viagens em atraso com a probabilidade estabilizada 25 % 
3 viagens em atraso com a probabilidade estabilizada 5 % 
o que conduz à média X :
— _ 0 X 25 + 1 X 45 + 2 X 25 + 3 X 15
100
= 1,1
A solução encontrada permite-nos concluir que em 30 % dos casos,
para termos uma descarga eficiente, temos de recorrer ao aluguer de um
camião.
81
Balanço da política encetada 
O valor médio encontrado é igual ao regime estacionário procurado.
Custando o aluguer do camião 8 000$00 diários, a política de gestão
adoptada, leva às seguintes conclusões : 
• O agravamento de encargos gerais é de 2400$00/dia.
• O atraso médio dia é de 1,1 viagens.
• A percentagem de viagens diferidas para o dia seguinte é dada pela
razão : 
U 1,1
0,10 X 5 + 0,40 X 4 + 0,50 X 3 3,6
= 30 % 
3.2.2. Estudo de uma nova política
Face à natureza do produto a descarregar, às condições de funciona-
mento do navio, às necessidades de satisfazer encomendas, etc., deve o conta-
bilista gestor, dispor ainda de outros elementos para melhor tomar as suas
decisões.
Uma outra política de gestão seria, mantendo-se as condições enun-
ciadas, alugar um camião logo que tivéssemos uma viagem em atraso. O 
potencial de viagens será agora de 5 e apenas a 2.a linha da matriz de tran-
sição estudada atrás, sofrerá alterações pelo que a nova matriz de transição é : 
0,5 0,4 0,1 0 
0,9 0,1 0 0 
0,5 0,4 0,1 0 
0 0,5 0,4 0,1
e consequentemente, usando os mesmos processos atrás estudados, a solução
do sistema de Cramer é única e a que a seguir se indica : 
to = 0,62
t! = 0,31
t2 = 0,07
t3 = 0 
82
solução que leva a concluir : 
• Que a média de viagens em atraso no fim de um dia é :
_ 31 + 14
X = 100 
= 0,45
• Que em 38 % dos casos temos de recorrer a um camião de aluguer.
E daqui : 
• O agravamento de encargos gerais é de 3 040$00/dia.
• O atraso médio é de 0,45 viagens/dia.
• A percentagem de viagens diferidas para o dia seguinte é de : 
0,45
3,6
= 12,5 % 
4 — CONCLUSÕES
Pode por fim pór-se a hipótese de adquirir um novo camião, o que
viria a dotar a empresa de 2 camiões em permanência, acabando-se o pro-
blema de viagens em atraso.
Se este camião custar 5 000 contos, contando com encargos de amor-
tizações, juros de capital e manutenção, estimamos em 5 000$00, o créscimo
de encargos diários resultante da aquisição.
Com o estudo assim feito, pode agora o contabilista gestor, propor a 
solução que melhor sirva à empresa face à delicadeza e condicionamentos
que a descarga pode trazer.
BIBLIOGRAFIA
'• Tom. M. Apostol em «Calculus»—2.° volume—-1972 — Editorial
Reverte;
• Seymou Lipschutz em «Matemática Finita» — Colecção Schaum — 
Megraw-Hill-Brasil;
• Morris Degroot em «Probability and Statistics» — Addison-Wesley,
London, 1975;
• Jeques Ferrier em «Statistiques et Probabilités» — Paris, 1967 — 
Editions D'Organisation;
• Nieto de Alba — em Estatística — Aguilar—1973 — Madrid.
83


A Gestão e os Processos Markovianos: Exemplo de um Problema Markoviano Estacionário

Amorim, Amílcar

Juventude e Associativismo no Distrito de Aveiro

Rodrigues, Ilídio Duarte

Concorrência de Convenções Colectivas de Trabalho

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