Publications Mathématiques de Besançon

Thong Nguyen Quang Do

La conjecture principale de la théorie d’Iwasawa non commutative

Bruno Anglès

Mohamed Ould Douh

Arithmetic of “units” in $\protect \mathbb{F}_q[T]$

Mohamed Krir

POLARISATION DE FONCTIONS SYMÉTRIQUES
par
Mohamed Krir
Résumé. — L’objet de cet article est de donner une preuve d’un résultat de Lønsted et
Kleiman énoncé et non démontré dans [LøKl]. On donne une décomposition algébrique de
certaines fonctions symétriques de multi-ensembles d’indéterminées.
Abstract. — The aim of this article is to prove a result of Lønsted et Kleiman, stated without
proof in [LøKl]. We give algebraic decomposition of certain symmetric functions on finite set
of n-tuples of variables.
Introduction
Soit R un anneau commutatif, A une R-algèbre et G un groupe fini de R-automorphismes de
A. La sous R-algèbre de A invariante par G est notée AG. Lønsted et Kleiman ont introduit
dans [LøKl] une sous R-algèbre ΣGR(A) de AG : si G = {g1, g2, . . . , gn} et si on pose, pour
tout a ∈ A et pour tout entier j tel que 1 ≤ j ≤ n, σj(a) = Sj(g1a, . . . , gna) où Sj est la
j-ième fonction symétrique élémentaire en n variables alors ΣGR(A) = R
[ ⋃
1≤j≤n
σj(A)
]
.
Dans [BeMé1], Bertin et Mézard valident cette construction dans le cas oùG est un schéma en
groupe fini et plat et étudient les propriétés de l’algèbre ΣGR(A) ainsi associée. Cette construc-
tion de ΣGR(A) se comporte de façon fonctorielle par changement de base et par passage au
quotient. Elle permet une approche combinatoire des invariants tout à fait adaptée à la géo-
métrie algébrique. Elle est valide pour l’action sous un groupoïde fini et plat [DeGa] et [Gi].
Elle est adaptée à la théorie des déformations G-équivariantes [BeMé2]. Elle est également
adaptée à l’étude locale des quotients de l’action d’un groupe fini d’une courbe semi-stable et
à la description de la structure du groupe d’inertie au point double [Ra].
L’objet de cet article est d’expliciter des relations algébriques entre certaines fonctions symé-
triques et notamment de donner une démonstration complète du résultat énoncé au lemme 4.5
de [LøKl] et non démontré.
Classification mathématique par sujets (2000). — 05E05.
Mots clefs. — Fonction symétrique, fonction symétrique élémentaire, décomposition algébrique.
112 Polarisation de fonctions symétriques
Dans une première partie on introduit les notations et conventions utilisées et on définit la no-
tion de fonctions symétriques polarisées. Ces fonctions sont S-invariantes où S est un produit
de groupes symétriques ; dans ce sens, elles généralisent la notion de fonctions symétriques. La
deuxième partie est réservée à la preuve de résultats de décomposition algébrique des fonctions
symétriques et des fonctions symétriques polarisées. Dans la dernière partie, on démontre le
résultat principal.
1. Notations et conventions
Dans cette partie on introduit les notations utilisées dans toute la suite et on définit la notion
de fonctions symétriques polarisées.
Tous les polynômes considérés dans cet article sont à coefficients dans un anneau commutatif
unitaire. Soit n ∈ N∗ on note J1, nK, l’ensemble des entiers compris entre 1 et n. Soit k ∈ J1, nK,
la k-ième fonction symétrique élémentaire en n indéterminées indépendantes (x1, . . . , xn) est
par définition (c.f. par exemple [Ma] pour plus de détails),
Sk(x1, . . . , xn) =
∑
1≤i1<i2<···<ik≤n
xi1xi2 · · ·xik
où la somme est prise sur toutes les suites i1 < i2 < · · · < ik d’éléments de J1, nK. On appelle
support du monôme xi1xi2 · · ·xik l’ensemble
Supp (xi1xi2 · · ·xik) := {i1, . . . , ik}
Soit q ∈ N∗. On considère q ensembles X(1), . . . , X(q) de n variables. On pose, pour tout
` ∈ J1, qK,
X(`) =
(
x
(`)
1 , . . . , x
(`)
n
)
et on définit la somme des (X(i))1≤i≤q par :
X(1) + · · ·+X(q) =
(
x
(1)
1 + · · ·+ x
(q)
1 , . . . , x
(1)
n + · · ·+ x(q)n
)
.
Pour tout (r1, . . . , rq) ∈ Nq, on définit formellement le monôme
(
X(1)
)r1 · · ·
(
X(q)
)rq
en les variables X(1), . . . , X(q) par
(
X(1)
)r1 · · ·
(
X(q)
)rq =
((
x
(1)
1
)r1 · · ·
(
x
(q)
1
)rq , . . . ,
(
x(1)n
)r1 · · ·
(
x(q)n
)rq
)
.
Pour tout q-uplet (α1, . . . , αq) ∈ Nq tel que α1 + · · ·+ αq ≤ n, on pose
(1) Sα1,··· ,αq
(
X(1), . . . , X(q)
)
=
∑(
x
(1)
i
(1)
1
· · ·x(1)
i
(1)
α1
)
· · ·
(
x
(q)
i
(q)
1
· · ·x(q)
i
(q)
αq
)
où la somme est prise sur toutes les suites disjointes partiellement ordonnées
(
i
(k)
1 < · · · < i(k)αk
)
1≤k≤q
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Mohamed Krir 113
d’éléments de J1, nK, i.e. tels que les q supports
(
Supp
(
x
(k)
i
(k)
1
· · ·x(k)
i
(k)
αk
))
1≤k≤q
soient deux à
deux disjoints.
Définition 1.1. — Les fonctions définies par (1) sont appelées fonctions symétriques pola-
risées.
Remarque 1.2. — Si αk = 0 alors la variable X(k) n’intervient pas dans la somme (1) et si
tous les αk sont nuls sauf un (disons αi) alors
S0,...,0,αi,0,...,0 = Sαi(X
(i))
Exemple 1.3. — Pour q = 3, n = 5, (α1, α2, α3) = (1, 1, 2), on pose, pour alléger les nota-
tions,
X(1) = X = (x1, x2, x3, x4, x5)
X(2) = Y = (y1, y2, y3, y4, y5)
X(3) = Z = (z1, z2, z3, z4, z5)
on a alors
S1,1,2(X,Y, Z) = (x1y2 + x2y1)(z3z4 + z3z5 + z4z5)
+ (x1y3 + x3y1)(z2z4 + z2z5 + z4z5)
+ (x1y4 + x4y1)(z2z3 + z2z5 + z3z5)
+ (x1y5 + x5y1)(z2z3 + z2z4 + z3z4)
+ (x2y3 + x3y2)(z1z4 + z1z5 + z4z5)
+ (x2y4 + x4y2)(z1z3 + z1z5 + z3z5)
+ (x2y5 + x5y2)(z1z3 + z1z4 + z3z4)
+ (x3y4 + x4y3)(z1z2 + z1z5 + z2z5)
+ (x3y5 + x5y3)(z1z2 + z1z4 + z2z4)
+ (x4y5 + x5y4)(z1z2 + z1z3 + z2z3)
Remarque 1.4. — Notons Sαk le αk-ième groupe symétrique et posons
S = Sα1 × · · · ×Sαq .
Soit τ = τ1 × · · · × τk ∈ S. On fait agir τ sur Sα1,··· ,αq
(
X(1), . . . , X(q)
)
en faisant agir τk sur
chaque monôme de la forme
(
x
(k)
i
(k)
1
· · ·x(k)
i
(k)
αk
)
. Comme cette dernière action consiste à permuter
les indéterminées alors la fonction Sα1,··· ,αq
(
X(1), . . . , X(q)
)
est invariante par S.
2. Décomposition algébrique des fonctions symétriques
Dans ce paragraphe on montre trois lemmes. Dans le premier, on exprime une certaine fonction
symétrique élémentaire comme somme de fonctions symétriques polarisées de la forme (1) et
dans les suivants, on décompose le produit de fonctions symétriques élémentaires en une
somme de fonctions symétriques polarisées.
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114 Polarisation de fonctions symétriques
Lemme 2.1. — Soit q, n ∈ N∗ et soit X(`) =
(
x
(`)
1 , . . . , x
(`)
n
)
pour 1 ≤ ` ≤ q, q ensembles de
n variables. Pour tout entier j ≤ n, on a
(2) Sj
(
X(1) + · · ·+X(q)
)
=
∑
α1+···+αq=j
Sα1,...,αq
(
X(1), . . . , X(q)
)
Démonstration. — Ecrivons X(1) + · · · + X(q) = (Y1, . . . , Yn) où Yk = x(1)k + · · · + x
(q)
k pour
tout k ∈ J1, nK. On a donc pour j ≤ n,
Sj
(
X(1) + · · ·+X(q)
)
= Sj(Y1, · · · , Yn)
=
∑
1≤i1<i2<···<ij≤n
Yi1Yi2 · · ·Yij
=
∑
1≤i1<i2<···<ij≤n
[( q∑
r=1
x
(r)
i1
)
· · ·
( q∑
r=1
x
(r)
ij
)]
Chaque produit
[( q∑
r=1
x
(r)
i1
)
· · ·
( q∑
r=1
x
(r)
ij
)]
est la somme de qj termes, chacun d’entre eux
faisant intervenir, pour chaque entier k ∈ J1, nK, αk composantes de X(k) et est donc de la
forme (
x
(1)
i
(1)
1
· · ·x(1)
i
(1)
α1
)
· · ·
(
x
(q)
i
(q)
1
· · ·x(q)
i
(q)
αq
)
avec 


α1 + · · ·+ αq = j
0 ≤ αk ≤ j pour k = 1, . . . , q
i
(k)
1 < · · · < i
(k)
αk pour k = 1, . . . , q
et où les q supports
(
Supp
(
x
(k)
i
(k)
1
· · ·x(k)
i
(k)
αk
))
1≤k≤q
sont deux à deux disjoints. Il s’ensuit qu’en
sommant sur toutes les suites i1 < · · · < ij de J1, nK, les produits[( q∑
r=1
x
(r)
i1
)
· · ·
( q∑
r=1
x
(r)
ij
)]
on aura
Sj
(
X(1) + · · ·+X(q)
)
=
∑
α1+···+αq=j
∑(
x
(1)
i
(1)
1
· · ·x(1)
i
(1)
α1
)
· · ·
(
x
(q)
i
(q)
1
· · ·x(q)
i
(q)
αq
)
=
∑
α1+···+αq=j
Sα1,...,αq
(
X(1), . . . , X(q)
)
Lemme 2.2. — Soit q, n ∈ N∗ et soit X(`) =
(
x
(`)
1 , . . . , x
(`)
n
)
pour 1 ≤ ` ≤ q, q ensembles de n
variables. Soit (α1, . . . , αq) ∈ Nq tel que α1 + · · ·+αq ≤ n. Le produit Sα1(X(1)) · · ·Sαq(X(q))
des fonctions symétriques élémentaires s’exprime comme somme de fonctions symétriques
polarisées de la forme (1) dont les variables sont des monômes en (X(i)).
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Mohamed Krir 115
Démonstration. — On calcule le produit des fonctions symétriques Sαi(X(i)).
q∏
i=1
Sαi(X
(i)) =
( ∑
i1<···<iα1
x
(1)
i1
· · ·x(1)iα1
)
· · ·
( ∑
i1<···<iαq
x
(q)
i1
· · ·x(q)iαq
)
.
Ce produit est égal à une somme de termes, chacun étant un produit de |α| = (α1 + · · ·+αq)
indéterminées dont αk indéterminées proviennent de X(k) pour k = 1, . . . , q. Ces différents
termes sont des monômes à supports non disjoints.
Soit P l’ensemble des parties non vides de l’ensemble {1, . . . , q}. Le cardinal de P est donc
N = 2q − 1. Pour tout σ ∈ P on définit le monôme Mσ en les variables X(i) par
Mσ =
∏
i∈σ
X(i)
Pour chaque N -uplet (jσ)σ∈P d’entiers naturels vérifiant la condition
(3) ∀i ∈ {1, 2 . . . , q},
∑
σ∈P
i∈σ
jσ = αi.
on considère la fonction symétrique polarisée
S(jσ)σ∈P
(
(Mσ)σ∈P
)
.
On a alors
q∏
i=1
Sαi(X
(i)) =
∑
(jσ)σ∈P
S(jσ)σ∈P
(
(Mσ)σ∈P
)
(4)
la somme étant prise sur tous les N -uplets (jσ)σ∈P vérifiant la condition (3).
Exemple 2.3. — Illustrons ce lemme 2.2 par un exemple où n = 5, q = 3, (α1, α2, α3) =
(1, 1, 2). On a alors
S1(X
(1))S1(X
(2))S2(X
(3)) =
(
x
(1)
1 + x
(1)
2 + x
(1)
3 + x
(1)
4 + x
(1)
5
)
(
x
(2)
1 + x
(2)
2 + x
(2)
3 + x
(2)
4 + x
(2)
5
)
(
x
(3)
1 x
(3)
2 + x
(3)
1 x
(3)
3 + x
(3)
1 x
(3)
4 + x
(3)
1 x
(3)
5 + x
(3)
2 x
(3)
3
+ x
(3)
2 x
(3)
4 + x
(3)
2 x
(3)
5 + x
(3)
3 x
(3)
4 + x
(3)
3 x
(3)
5 + x
(3)
4 x
(3)
5
)
Ici P = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} et la condition (3) se traduit par le sys-
tème suivant : 


j{1} + j{1,2} + j{1,3} + j{1,2,3} = 1
j{2} + j{1,2} + j{2,3} + j{1,2,3} = 1
j{3} + j{1,3} + j{2,3} + j{1,2,3} = 2
La situation est résumée dans le tableau suivant :
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116 Polarisation de fonctions symétriques
σ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}
Mσ X
(1) X(2) X(3) X(1)X(2) X(1)X(3) X(2)X(3) X(1)X(2)X(3)
jσ 1 1 2 0 0 0 0
jσ 1 0 1 0 0 1 0
jσ 0 1 1 0 1 0 0
jσ 0 0 2 1 0 0 0
jσ 0 0 0 0 1 1 0
jσ 0 0 1 0 0 0 1
Donc, en tenant compte de la remarque 1.2, la formule (4) s’écrit
S1(X
(1))S1(X
(2))S2(X
(3)) = S1,1,2(X
(1), X(2), X(3))
+ S1,1,1(X
(1), X(3), X(2)X(3))
+ S1,1,1(X
(2), X(3), X(1)X(3))
+ S2,1(X
(3), X(1)X(2))
+ S1,1(X
(1)X(3), X(2)X(3))
+ S1,1(X
(1)X(2)X(3), X(3))
Remarque 2.4. — Les données du tableau ci-dessus ne dépendent pas du nombre n d’indé-
terminées de chaque variable (X(i))1≤i≤3. Cette décomposition de S1(X(1))S1(X(2))S2(X(3))
est donc valable pour tout n ≥ 4.
Lemme 2.5. — Soit q, n ∈ N∗ et soit X(`) =
(
x
(`)
1 , . . . , x
(`)
n
)
pour 1 ≤ ` ≤ q, q ensembles de
n variables. Soit (α1, . . . , αq) ∈ Nq tel que α1 + · · ·+ αq ≤ n. Il existe un entier s ≥ 1 tel que
l’on ait :
q∏
i=1
Sαi(X
(i)) = Sα1,...,αq(X
(1), . . . , X(q))
+
s−1∑
k=1
Sβ1,...,βrk (T
(1), . . . , T (rk))
(5)
où chaque T (j) est un monôme en les variables X(i) et chaque βj est un entier ≥ 1 avec pour
tout k = 1, . . . , s − 1, β1 + · · · + βrk < α1 + · · · + αq et avec la convention
∑
∅ = 0, ce qui
correspond au cas éventuel s = 1.
Démonstration. — On part de l’égalité (4). Soit s le nombre de N -uplets (jσ)σ∈P intervenant
dans la somme de l’égalité (4) i.e. le nombre de N -uplets vérifiant la condition (3). On nu-
mérote ces N -uplets de 1 à s. Pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ s, on note β1, . . . , βrk les
entiers jσ 6= 0 du k-ième N -uplet (jσ)σ∈P et on note aussi T (1), . . . , T (rk) les monômes Mσ
correspondants. L’égalité (4) s’écrit alors
q∏
i=1
Sαi(X
(i)) =
s∑
k=1
Sβ1,...,βrk (T
(1), . . . , T (rk))
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Mohamed Krir 117
Tous ces rk-uplets (β1, . . . , βrk), pour k = 1, . . . , s, vérifient l’inégalité
rk∑
ν=1
βν ≤
q∑
i=1
αi
et l’égalité est atteinte pour un seul d’entre eux. En effet, puisque pour tout σ ∈ P on a Card
(σ) ≥ 1 alors
rk∑
ν=1
βν =
∑
σ∈P
jσ ≤
∑
σ∈P
(jσCardσ) =
q∑
i=1
(∑
σ∈P
i∈σ
jσ
)
=
q∑
i=1
αi
et pour avoir l’égalité ∑
σ∈P
jσ =
∑
σ∈P
(jσCardσ)
il faut et il suffit que pour tout σ ∈ P tel que jσ 6= 0 on ait Card σ = 1. Auquel cas les seuls
jσ non nuls seront ceux pour lesquels σ = {i} avec i = 1, . . . , q. Quitte à renuméroter les
N -uplets (jσ), on peut supposer que celui-ci est le s-ième. On a donc rs = q et en vertu de la
condition (3), {
βi = αi = j{i} pour tout i = 1, . . . , q
T (i) = X(i) = M{i} pour tout i = 1, . . . , q
et par suite
Sβ1,...,βrs (T
(1), . . . , T (rs)) = Sα1,...,αq(X
(1), . . . , X(q))
Ainsi l’égalité (4) s’écrit sous la forme souhaitée en (5).
3. Polarisation
Dans ce paragraphe on utilise les lemmes 2.1, 2.2, et 2.5 pour démontrer le résultat principal
annoncé en introduction, et l’illustrer à l’aide d’un exemple.
Théorème 3.1. — Soit q, n ∈ N∗ et soit X(`) =
(
x
(`)
1 , . . . , x
(`)
n
)
pour 1 ≤ ` ≤ q, q ensembles
de n variables. Pour tout entier j ≤ n, la j-ième fonction symétrique élémentaire
Sj
(
X(1) + · · ·+X(q)
)
s’exprime comme polynôme à coefficients entiers en les fonctions symétriques (Sk) pour k ≤ j
et où les variables des Sk sont des monômes de la forme(
X(1)
)r1 · · ·
(
X(q)
)rq
pour certains entiers r1, . . . , rq. Autrement dit
(6) Sj
(
X(1) + · · ·+X(q)
)
∈ Z
[
Sk
((
X(1)
)r1 · · ·
(
X(q)
)rq)]
k≤j
Démonstration. — Par la décomposition (2), il suffit de montrer que pour tout entier fixé
j ≤ n et pour tout α = (α1, . . . , αq) ∈ Nq tel que α1 + · · ·αq = j, on a
(7) Sα1,...,αq
(
X(1), . . . , X(q)
)
∈ Z
[
Sk
((
X(1)
)r1 · · ·
(
X(q)
)rq)]
k≤j
En utilisant l’égalité (5) on montre (7) par récurrence sur |α| = α1 + · · ·αq.
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118 Polarisation de fonctions symétriques
Pour |α| = 1, la propriété (7) est évidente (Sα1(X(1)) ∈ Z[Sα1(X(1)]). Pour |α| > 1, l’hypo-
thèse de récurrence permet d’affirmer, puisque β1 + · · · + βrk < |α|, que la propriété (7) est
vraie pour
s−1∑
k=1
Sβ1,...,βrk (T
(1), . . . , T (rk)).
La propriété (7) est vérifiée par chacune des fonction Sαi(X(i)) donc par le produit
q∏
i=1
Sαi(X
(i)). Enfin, comme tout monôme en les variables T (m) est un monôme en les
variables X(i) alors la propriété (7) est vérifiée par
Sα1,...,αq(X
(1), . . . , X(q)) =
q∏
i=1
Sαi(X
(i))−
s−1∑
k=1
Sβ1,...,βrk (T
(1), . . . , T (rk)),
ce qui achève la preuve du théorème.
Exemple 3.2. — Pour q = 2 et n ≥ 4. On pose, pour simplifier les notations, X(1) = X et
X(2) = Y des variables à au moins 4 indéterminées. En appliquant (2) avec j = 4, on a
S4(X + Y ) = S4,0(X,Y ) + S0,4(X,Y ) + S3,1(X,Y ) + S1,3(X,Y ) + S2,2(X,Y ).
Et en appliquant (4) on a successivement
S3,1(X,Y ) = S3(X)S1(Y )− S2,1(X,XY )
S1,3(X,Y ) = S3,1(Y,X) = S3(Y )S1(X)− S2,1(Y,XY )
S2,2(X,Y ) = S2(X)S2(Y )− S1,1,1(X,Y,XY )− S2(XY )
S1,1(X,Y ) = S1(X)S1(Y )− S1(XY )
S2,1(X,Y ) = S2(X)S1(Y )− S1,1(X,XY )
= S2(X)S1(Y )− S1(X)S1(Y ) + S1(XY ).
Donc
S2,1(Y,XY ) = S2(Y )S1(XY )− S1(Y )S1(XY ) + S1(XY 2)
S2,1(X,XY ) = S2(X)S1(XY )− S1(X)S1(XY ) + S1(X2Y ).
De même, en appliquant (4) (avec q = 3) on a
S1,1,1(X,Y, Z) = S1(X)S1(Y )S1(Z)− S1,1(X,Y Z)
− S1,1(Z,XY )− S1,1(Y,XZ)− S1(XY Z)
= S1(X)S1(Y )S1(Z)− S1(X)S1(Y Z) + S1(XY Z)
− S1(Z)S1(XY ) + S1(ZXY )− S1(Y )S1(XZ)
+ S1(Y XZ)− S1(XY Z)
= S1(X)S1(Y )S1(Z)− S1(X)S1(Y Z)
− S1(Z)S1(XY )− S1(Y )S1(XZ) + 2S1(XY Z).
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Mohamed Krir 119
Donc
S1,1,1(X,Y,XY ) = S1(X)S1(Y )S1(XY )
− S1(X)S1(XY 2)− S1(Y )S1(X2Y )
− S1(XY )S1(XY ) + 2S1(X2Y 2)
D’où finalement
S4,0(X,Y ) = S4(X)
S0,4(X,Y ) = S4(Y )
S3,1(X,Y ) = S3(X)S1(Y )− S2(X)S1(XY ) + S1(X)S1(XY )− S1(X2Y )
S1,3(X,Y ) = S3(Y )S1(X)− S2(Y )S1(XY ) + S1(Y )S1(XY )− S1(XY 2)
S2,2(X,Y ) = S2(X)S2(Y )− S2(XY )− S1(X)S1(Y )S1(XY )
+ S1(X)S1(XY
2) + S1(Y )S1(X
2Y ) + S1(XY )S1(XY )− 2S1(X2Y 2)
et
S4(X + Y ) = S4(X) + S4(Y )
+ S3(X)S1(Y )− S2(X)S1(XY ) + S1(X)S1(XY )− S1(X2Y )
+ S3(Y )S1(X)− S2(Y )S1(XY ) + S1(Y )S1(XY )− S1(XY 2)
+ S2(X)S2(Y )− S2(XY )− S1(X)S1(Y )S1(XY )
+ S1(X)S1(XY
2) + S1(Y )S1(X
2Y ) + S1(XY )S1(XY )− 2S1(X2Y 2)
∈ Z
[
Si(X), Si(Y ), S1(XY ), S1(XY
2), S1(X
2Y ), S1(X
2Y 2), S2(XY )
]
i≤4
Références
[BeMé1] Bertin, J., Mézard, A. : Problem of formation of quotients and base change, Manuscripta
Math. 115, 467-487 (2004).
[BeMé2] Bertin, J., Mézard, A. : Déformations formelles des revêtements sauvagement ramifiés de
courbes algébriques, Invent. Math. 41, 195-238, (2000).
[DeGa] Demazure, M., Gabriel, P. : Groupes algébriques. Tome 1, Masson, (1970).
[Gi] Gillet, H. : Intersection theory on Algebraic stacks and Q-varieties, J. Pure. Appl. Alg. 34, 193-
240 (1984).
[LøKl] Lønsted, K., Kleiman, S. : Basics on families of hyperelliptic curves, Compositio Mathematica
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[Ra] Raynaud, M. : p-groupes et réduction semi-stable des courbes. In The Grothendieck Festschrift
Volume III, Birkhauser, 1990, pp. 179-197.
01 juin 2011
Publications mathématiques de Besançon - 2012/2
120 Polarisation de fonctions symétriques
Mohamed Krir, Laboratoire de mathématiques de Versailles, UMR CNRS 8100, Université de Versailles
saint Quentin, 78035 Versailles cedex, France • E-mail : mohamed.krir@uvsq.fr
Publications mathématiques de Besançon - 2012/2


Polarisation de fonctions symétriques

Hassan Asensouyis

Jilali Assim

Codescente pour le noyau sauvage étale

Georges Gras

Roland Quême

Vandiver papers on cyclotomy revised and Fermat’s Last Theorem

Werner Bley

La conjecture équivariante de Tamagawa

Cornélius Greither

Introduction à la conjecture ETNC et applications

Étude kummerienne de la $q$-suite centrale descendante d’un groupe de Galois

Farid Bencherif

Tarek Garici

SUITES DE CESARO ET NOMBRES DE BERNOULLI
par
Farid Bencherif & Tarek Garici
Résumé. — Selon Edouard Lucas, on désigne par suite de Cesàro toute suite de nombres
complexes dont la série génératrice exponentielle S(z) vérifie la relation S(z) = ezS(−z). Nous
prouvons dans cet article deux identités vérifiées par ces suites. Nous généralisons de manière
simple des identités vérifiées par les nombres de Bernoulli et découvrons de nouvelles identités
vérifiées par les nombres de Genocchi, de Fibonacci et de Lucas.
Abstract. — According to Edouard Lucas, a Cesàro sequence is any sequence of complex
numbers whose exponential generating series S(z) satisfies the relation S(z) = ezS(−z). In this
paper, we prove two identities which are satisfied by such sequences. Then we generalize, in
a simple way, identities satisfied by Bernoulli numbers, and we find new identities satisfied by
Genocchi numbers, Fibonacci numbers and Lucas numbers.
1. Introduction
Selon Edouard lucas (cf.[10]), on appelle suite de Cesàro toute suite (un)n≥0 de nombres
complexes vérifiant
(1) un =
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k uk pour tout n ≥ 0.
En désignant par S (z) =
∑∞
n=0
un
n! z
n la série génératrice exponentielle associée à la suite
(un)n≥0, la condition (1) est équivalente à
(2) S (z) = ezS (−z) .
Il est aisé de vérifier que les suites ((−1)nBn)n≥0 et
(
(−1)n
n+1 Gn+1
)
n≥0
, où (Bn)n≥0 et (Gn)n≥0
sont les suites des nombres de Bernoulli et de Genocchi de séries génératrices exponentielles
associées : zez−1 et
2z
ez+1 , sont des suites de Cesàro.
Classification mathématique par sujets (2000). — 11B68, 11B39, 05A40.
Mots clefs. — Suite de Cesàro, Nombres de Bernoulli, Nombres de Genocchi.
20 Suites de Cesàro et nombres de Bernoulli
Le but de cet article est d’établir un théorème général fournissant des identités pour toute
suite de Cesàro. Ce théorème que nous énonçons et prouvons au paragraphe suivant va nous
permettre non seulement de généraliser plusieurs identités connues comportant les nombres
de Bernoulli mais aussi de découvrir des identités similaires pour les nombres de Genocchi, de
Fibonacci et de Lucas. Nous consacrons le troisième paragraphe à l’énoncé de ces identités.
2. Enoncé du théorème principal
Nous adoptons les notations suivantes préconisées dans [8], pour tous entiers naturels n et m,
on pose
mn =
n−1∏
j=0
(m− j) et m−n =
n∏
j=1
(m+ j)−1,
avec la convention qu’un produit vide vaut un et qu’une somme vide vaut zéro. Notre principal
résultat s’énonce ainsi :
Théorème 2.1. — Soit (un)n≥0 une suite de Césàro. Alors, pour tous entiers naturels n, m
et q, on a :
1.
m+q∑
k=0
(
m+ q
k
)
(n+ k + q)q (−1)k un+k + (−1)q+1
n+q∑
k=0
(
n+ q
k
)
(m+ k + q)q (−1)k um+k = 0.
2.
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k un+k+q
(n+ k + q)q
+ (−1)q+1
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k um+k+q
(m+ k + q)q
=
q−1∑
k=0
n!(m+ q − k − 1)!
k!(q − 1− k)!(m + n+ q − k)! (−1)
k uk.
Démonstration du théorème 2.1. — Pour toute suite u = (un)n≥0 de nombres complexes,
désignons par Lu la forme linéaire définie sur C[x] par Lu(xn) = un, pour tout entier n ≥ 0.
Convenons de noter P (u) l’image par Lu d’un polynôme P (x) de C[x]. Ainsi si P (x) =
∑
akx
k,
alors P (u) =
∑
akuk.. Posons en(x) = xn−(1−x)n, pour tout n ≥ 0. D’après (1), dire qu’une
suite u est de Cesàro équivaut à dire que (en(u))n≥0 est la suite nulle. Posons
E := {A(x) −A(1− x); A ∈ C[x]}.
Alors, E est le sous espace vectoriel de C[x] engendré par la famille de polynômes (en(x))n≥0.
Il en résulte que pour toute suite u de Cesàro et pour tout polynôme P ∈ E, on a P (u) = 0.
Soient n, m et q des entiers naturels et u une suite de Césàro. Posons
P ∗(x) =
m+q∑
k=0
(
m+ q
k
)
(−1)k (n+ k + q)qxn+k +
n+q∑
k=0
(
n+ q
k
)
(−1)k+q+1 (m+ k + q)qxm+k
Publications mathématiques de Besançon - 2012/1
Farid Bencherif et Tarek Garici 21
et
Q∗(x) =
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k x
n+k+q
(n+ k + q)q
+ (−1)q+1
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k x
m+k+q
(m+ k + q)q
−
q−1∑
k=0
n!(m+ q − k − 1)!
k!(q − 1− k)!(m+ n+ q − k)! (−1)
k xk.
Les relations 1 et 2 du théorème 2.1 se traduisent par les relations
(3) P ∗(u) = 0 et Q∗(u) = 0,
pour toute suite u de Césàro. Grâce au lemme suivant dans lequel D désigne l’opérateur de
dérivation et I l’opérateur d’intégration définis sur C[x] respectivement par D(P (x)) = P ′(x)
et I(P (x)) =
∫ x
0
P (t)dt, nous allons prouver (3) en montrant que les polynômes P ∗ et Q∗
appartiennent à E.
Lemme 2.2. — Pour tous polynômes A(x) et B(x) de C[x] , on a
1. pour q ≥ 0 :
PA(x) := D
q
(
A(x) + (−1)q+1A(1− x)
)
∈ E,
2. pour q ≥ 1 :
QB(x) := I
q
(
B(x) + (−1)q+1B(1− x)
)
− 1
(q − 1)!
∫ 1
0
B(1− t)(t− x)q−1dt ∈ E.
Démonstration. — On prouve que PA(x) et QB(x) sont dans E en constatant que PA(x) =
(DqA)(x) − (DqA)(1 − x) et également que QB(x) = (IqB)(x) − (IqB)(1 − x). On établit
cette dernière relation en exploitant le fait que pour tout polynôme P (x) de C[x], on a :
(IqP )(x) =
1
(q − 1)!
∫ x
0
P (t)(x− t)q−1dt.
Dans ce qui suit, A(x) = xn+q(1− x)m+q et B(x) = xn(1− x)m. Nous allons prouver qu’avec
ce choix de A et B, on a PA = P ∗ et QB = Q∗, il en résultera alors d’après le lemme que P ∗
et Q∗ sont bien dans E et le théorème 2.1 sera prouvé.
On a
PA (x) = D
q
(
xn+q(1− x)m+q + (−1)q+1 (1− x)n+q xm+q
)
= Dq
(
m+q∑
k=0
(
m+ q
k
)
(−1)k xn+k+q + (−1)q+1
n+q∑
k=0
(
n+ q
k
)
(−1)k xm+k+q
)
= P ∗(x).
Publications mathématiques de Besançon - 2012/1
22 Suites de Cesàro et nombres de Bernoulli
On a aussi
Iq(B(x) + (−1)q−1B(1− x))
= Iq
(
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k xn+k + (−1)q+1
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k xm+k
)
=
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k x
n+k+q
(n+ k + q)q
+ (−1)q+1
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k x
m+k+q
(m+ k + q)q
et
∫ 1
0
B(1− t)(t− x)q−1dt =
∫ 1
0
(1− t)n tm(t− x)q−1dt
=
q−1∑
k=0
(
q − 1
k
)(∫ 1
0
(1− t)n tm+q−1−kdt
)
(−1)k xk
=
q−1∑
k=0
(
q − 1
k
)
n! (m+ q − k − 1)!
(n+m+ q − k)! (−1)
k xk.
Il en résulte que
QB (x) = I
q
(
B(x) + (−1)q+1B(1− x)
)
− 1
(q − 1)!
∫ 1
0
B(1− t)(t− x)q−1dt = Q∗(x).
La preuve du théorème est complète.
3. Applications et exemples
Le théorème 2.1 permet de retrouver simplement des identités connues comportant les nombres
de Bernoulli et les nombres de Genocchi, découvertes par différents auteurs et prouvées par
diverses méthodes.
3.1. Identités vérifiées par les nombres de Bernoulli. — L’application du théorème
2.1 à la suite de Cesàro ((−1)nBn)n≥0 fournit les deux identités suivantes
(4) (−1)n
m+q∑
k=0
(
m+ q
k
)
(n+ k + q)qBn+k + (−1)m+q+1
n+q∑
k=0
(
n+ q
k
)
(m+ k + q)qBm+k = 0,
et
(−1)n+q
m∑
k=0
(
m
k
)
Bn+k+q
(n+ k + q)q
+ (−1)m+1
n∑
k=0
(
n
k
)
Bm+k+q
(m+ k + q)q
=
q−1∑
k=0
n!(m+ q − 1− k)!
k!(q − 1− k)!(m+ n+ q − k)!Bk(5)
Dans tout ce qui suit, on suppose n ≥ 0 et m ≥ 0. La relation (4) généralise plusieurs identités
connues.
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Farid Bencherif et Tarek Garici 23
1. Pour m = n et q = 1, elle permet d’obtenir :
n+1∑
k=0
(
n+ 1
k
)
(n+ k + 1)Bn+k = 0.
C’est la relation d’Ettingshausen [15] (1827), redécouverte par Seidel [13] (1877) puis
de nouveau par Kaneko [9] (1995). Cette relation apparait dans le livre de Nielsen [12],
(1923). Une relation plus générale, écrite symboliquement, figure aussi en page 240 dans
le livre d’Edouard Lucas [10] (1891). D’autres auteurs se sont intéressés à ce résultat.
Ainsi Gessel [7] (2003) en donne une démonstration utilisant le calcul ombral. Chen [5]
(2005) la démontre en exploitant des propriétés d’une matrice de Seidel. Chen et Sun
[2] (2009) la prouvent en utilisant une extension de l’algorithme de Zeilberger alors que
Cigler [3] (2009) reprend, en la modernisant, la démonstration originelle de Seidel.
2. Pour q = 0, on reconnait la relation de Carlitz [1](1968), établie aussi par Gessel [7]
(2003), prouvée également par Wu, Sun et Pan[14] (2004), par Chen[5] (2005) ainsi que
par Chen et Sun[2] (2009) :
(−1)n
m∑
k=0
(
m
k
)
Bn+k − (−1)m
n∑
k=0
(
n
k
)
Bm+k = 0.
3. Pour q = 1, on obtient la relation prouvée par Momiyama, [11] (2001), à l’aide de
l’intégrale de Volkenborn et généralisée aux polynômes de Bernoulli par Wu, Sun et Pan
[14] (2004). Cette relation a aussi été démontrée par Chen et Sun[2] (2009) :
(−1)n
m+1∑
k=0
(
m+ 1
k
)
(n+ k + 1)Bn+k + (−1)m
n+1∑
k=0
(
n+ 1
k
)
(m+ k + 1)Bm+k = 0.
4. Pour m = n et q = 3, on retrouve la relation de Chen et Sun [2] (2009) :
n+3∑
k=0
(
n+ 3
k
)
(n+ k + 3)(n + k + 2)(n + k + 1)Bn+k = 0.
5. La relation (5) pour q = 1, est la formule de Gelfand [6], (1968), démontrée aussi par
Chen et Sun [2] (2009) :
(−1)n−1
m∑
k=0
(
m
k
)
Bn+k+1
(n+ k + 1)
+ (−1)m−1
n∑
k=0
(
n
k
)
Bm+k+1
(m+ k + 1)
=
m!n!
(m+ n+ 1)!
.
Cette formule a de plus été généralisée aux polynômes de Bernoulli par Chang et Ha [4]
(2006).
3.2. Identités vérifiées par les nombres de Genocchi. — L’application du théorème
2.1 à la suite de Cesàro
(
(−1)n
n+1 Gn+1
)
n≥0
fournit les deux identités suivantes
(6)
(−1)n
m+q∑
k=0
(
m+ q
k
)
(n+k+q)q−1Gn+k+1+(−1)m+q+1
n+q∑
k=0
(
n+ q
k
)
(m+k+q)q−1Gm+k+1 = 0.
Publications mathématiques de Besançon - 2012/1
24 Suites de Cesàro et nombres de Bernoulli
et
(−1)n+q
m∑
k=0
(
m
k
)
Gn+k+q+1
(n+ k + q + 1)q+1
+ (−1)m+1
n∑
k=0
(
n
k
)
Gm+k+q+1
(m+ k + q + 1)q+1
=
q−1∑
k=0
n!(m+ q − 1− k)!
(k + 1)!(q − 1− k)!(m+ n+ q − k)!Gk+1.
1. En changeant n en n− 1 et m en m− 1, la relation (6) permet d’obtenir pour q = 1
(7) (−1)n
m∑
k=0
(
m
k
)
Gn+k + (−1)m
n∑
k=0
(
n
k
)
Gm+k = 0.
Cette dernière relation établie pour n ≥ 1 et m ≥ 1 est en fait vérifiée pour n ≥ 0 et
m ≥ 0. Elle permet d’obtenir pour m = n l’identité
(8)
n∑
k=0
(
n
k
)
G2n−k = 0,
Il est facile de constater que Gm = 0, pour tout entier m impair supérieur ou égal à 3. Il
suffit pour cela de remarquer que la serie formelle 2zez+1 − z = −z tanh
(
z
2
)
est paire. La
relation (8) devient pour n ≥ 2
⌊n2 ⌋∑
k=0
(
n
2j
)
G2n−2j = 0
On obtient ainsi la relation de Seidel ([7])
2. La relation (8.1) de ( [2])
(9)
n∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)
Gm+k =
m∑
k=0
(−1)k
(
m
k
) n+k∑
j=0
(−1)j
(
n+ k
j
)
Gj
peut s’obtenir trivialement en constatant que le polynôme
T (x) =
n∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)
xm+k −
m∑
k=0
(−1)k
(
m
k
) n+k∑
j=0
(−1)j
(
n+ k
j
)
xj
est le polynôme nul. On a en effet
T (x) = xm (1− x)n − (1− x)n (1− (1− x))m = 0.
On a donc T (u) = 0 pour toute suite (un)n≥0. Autrement dit
n∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)
um+k =
m∑
k=0
(−1)k
(
m
k
) n+k∑
j=0
(−1)j
(
n+ k
j
)
uj.
Le cas particulier un = Gn donne la relation (8.1) de ([2]).
Publications mathématiques de Besançon - 2012/1
Farid Bencherif et Tarek Garici 25
3.3. Identités vérifiées par les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. —
Les suites des nombres de Fibonacci (Fn)n≥0 et de Lucas (Ln)n≥0 vérifient la même relation
de récurrence un = un−1 + un−2, avec les conditions initiales F0 = 0, F1 = 1, L0 = 2, L1 = 1.
Avec α = 1+
√
5
2 et β =
1−
√
5
2 , on a Fn =
αn−βn
α−β , Ln = α
n + βn et on constate facilement
que les séries génératrices exponentielles associées aux suites
(
Fn+1
n+1
)
n≥0
et (Ln)n≥0 sont
respectivement e
αz−eβz
(α−β)z et e
αz + eβz. On vérifie, à l’aide de la propriété (2), que les suites(
Fn+1
n+1
)
n≥0
et (Ln)n≥0 sont des suites de Cesàro. L’application du théorème 2.1 fournit alors
les identités suivantes :
m+q∑
k=0
(
m+ q
k
)
(n+k+q)q−1 (−1)k Fn+k+1+(−1)q+1
n+q∑
k=0
(
n+ q
k
)
(m+k+q)q−1 (−1)k Fm+k+1 = 0,
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k Fn+k+q+1
(n+ k + q + 1)q+1
+ (−1)q+1
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k Fm+k+q+1
(m+ k + q + 1)q+1
=
q−1∑
k=0
n!(m+ q − 1− k)!
(k + 1)!(q − 1− k)!(m+ n+ q − k)! (−1)
k Fk+1,
m+q∑
k=0
(
m+ q
k
)
(n + k + q)q (−1)k Ln+k + (−1)q+1
n+q∑
k=0
(
n+ q
k
)
(m+ k + q)q (−1)k Lm+k = 0,
et
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k Ln+k+q
(n+ k + q)q
+ (−1)q+1
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)k Lm+k+q
(m+ k + q)q
=
q−1∑
k=0
n!(m+ q − 1− k)!
k!(q − 1− k)!(m+ n+ q − k)! (−1)
k Lk.
Références
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(1827).
11 juillet 2011
Farid Bencherif, Faculté de Mathématiques, U.S.T.H.B., BP 32 El Alia 16111 Bab Ezzouar Alger.
E-mail : fbencherif@usthb.dz ; fbencherif@yahoo.fr
Tarek Garici, Faculté de Mathématiques, U.S.T.H.B., BP 32 El Alia 16111 Bab Ezzouar Alger.
E-mail : tgarici@usthb.dz ; tarekgarici@gmail.com
Publications mathématiques de Besançon - 2012/1


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