Publications Mathématiques de Besançon

Bernard Oriat

Spiegelungsatz

$2$, $4$ et $8$ rang du groupe des classes d’idéaux de $\protect \protect \mathbb{Q}(\protect \sqrt{2},\protect \sqrt{d})$, $|d| < 1000$

Marie-Nicole Gras

Nombres de classes et unités des extensions cubiques cycliques de $\protect \mathbb{Q}$

Georges Gras

de Théor ie des Nombres Séminaire 
- Besançon -
Année 1974 - 1975 
A N G DES CORPS CUBIQUES NON GALOIS1ENS. 
Georges GRAS 
F a c u l t é d e s S c i e n c e s . M a t h é m a t i q u e s . 
25030 BESANCON CEDEX 
S U R L E 3 - R A N G DES CORPS CUBIQUES NON GALOISIENS 
p a r G e o r g e s GRAS 
Il e s t é tabl i une formule donnant le 3 - r a n g du groupe des c l a s s e s des 
c o r p s cubiques non ga lo i s iens ; ce t te formule e s t une conséquence 
immédiate des r é s u l t a t s géné raux obtenus dans [5 ] ; e l le pe rmet , d 'une 
p a r t , de démont re r ou de r e t r o u v e r c e r t a i n s r é s u l t a t s su r le 3 - r a n g e t , 
d ' a u t r e p a r t , de le c a l c u l e r numériquement g râce à la technique mise au 
point dans [ 5 ] . La démonst ra t ion de la con jec tu re de Cal lahan [2 ] 
r é su l t e aus s i de la formule t r o u v é e . 
1. Notat ions et r a p p e l s . 
a . G é n é r a l i t é s . - Soit L un c o r p s cubique non galois ien 
(il possède deux a u t r e s con jugués L ' et L") . Soient K la c lô ture 
galois ienne de L et k le c o r p s quadra t ique contenu dans K . On peut 
~ - 3 2 
e n g e n d r e r G a l ( K / Q ) - S^ p a r <j et T vé r i f i an t les condit ions a = T = 1 
c t = x a 2 , GalCK/L) = { l , x } et Ga l (K /k ) = j 1, CT, a 2 j . 
On sait que p e s t totalement ramif ié dans L / Q si et seulement s ' i l 
e s t totalement ramif ié dans K/k [ 9 ] . Nous no te rons p^ , . . . ,p 
( r e s p . q^ , . . . ,q— ) l e s nombres p r e m i e r s totalement r a m i f i é s dans L 
et décomposés ( r e s p . non décomposés) dans k ; p^, p^, q ( r e s p . 
•p., O. ) , l < i < u j , 1 < j < a) , dés ignent les idéaux p r e m i e r s de k 
( r e s p . K) au d e s s u s des p^ et q . . Le nombre t d ' idéaux p r e m i e r s 
totalement r ami f i é s dans K/k es t donc t = 2 ou + oj . 
b . C l a s s e s et u n i t é s . - Si M es t un s o u s - c o r p s de K, A ^ , E ^ 
& (M), C l j ^ (a ) , p(M), dés ignant respec t ivement l ' anneau des e n t i e r s , 
le groupe des u n i t é s , le 3 - g r o u p e des c l a s s e s , la c l a s s e de l ' idéa l a 
et le 3 - r a n g de M. Soit N : § (K) § (k) l 'homomorphisme défini pa r 
N CClKCaO = C 1 ] / N K / k C o r m n e d a n s [6 ] (§ 2 , P r o p . 1) nous ident i -
f i e r o n s S&(L ) à 5 ( K ) 1 + T . Nous no te rons ^ 0 0 = {h € § (K), h ( a _ 1 ) = l { . 
Comme 2 es t i nve r s ib l e modulo 3, on peut é c r i r e 
1 + T 1 - T 1 + T 
âCK) = S(K) 2 @ S(K) 2 , a l o r s & = S(L) = S (K), h T = h 
1- T 
et sCK) = j h ç $ 0 0 , h T = h } . Pour ca lcu le r p(L), nous u t i l i s e rons 
le t'ait que + T e s t u n sous -groupe d 'exposant 3 de S CL) dont le 
rang est p CL) C[6] , P r o p . 3 ) . 
Posons CE^ : E k n NK*) = 3 a et Œ k n NK* : NE-^) = 3Ô CA + ô = 0 
si k es t imaginaire et k ^ QCj), a + 6 = 0 ou 1 sinon). Soit CK) le 
groupe engendré p a r les c l a s s e s des idéaux "ambiges" dans K/k ; 
on sai t que (K) : S 1 ClQj = 3° C [ 5 ] , p . 28). Dans le cas 6 = 1 , 
il exis te une c l a s s e h 0 de la forme h0 = Cl-^C 2J<?'+T ) dont l ' image dans 0 
&j,CK) / & 2 CK) est géné ra t r i ce C [ 6 ] , p . 3) ; soit £ 0 = < h 0 > le groupe 
engendré p a r h 0 Csi 6 = 0 , on pose = Cl)) . Comme c SJ9CK)"^+t, g ^ 
h0 es t d ' o r d r e 3 , ce qui fai t que es t fac teur d i rec t dans £ ^ 0 0 . 
Posons £ l = s j CK)1+T , § ~ = C"K)1_T ( o n a $ ^ K ) = & j 9 S J © 
S = & + e &0 ( s = &1CK)1 + T ) , £ = j h ç &(K), h ^ ç Q I C [ 5 ] , t h . 4 . 2 ) , 
§ = j hT = h " 1 ! = 5 1 " t . Comme & c &2CK)1 + t , & 3 = Q ) . 
Soit enfin S} -r>Ck) c § Ck) le sous -g roupe engendré p a r l es c l a s s e s des 
idéaux p ̂ , . . . , p . O n pose dim -^Ck) / S^Ck) fl & Ck) j = a ; on a 
a l o r s dim <v& Ck) / & ^ 0 0 $ Ck) j = pCk) - a - En outre on a a < ou. 
Résul ta t fondamental . 
Lemme 1. - On a la suite exacte 1 § -» & & 1. 
Soit h Ç £> , on vé r i f i e que h 1 + T Ç § : hCT = hh + h0X, h + Ç 5 ^ , x mod 3 
h a 2 = h h 2 h 2 x ; d 'où h a ( 1 + T ) = h a + T a = h h + h ? h T h 2 h ? x = h 1 + T , 
d 'où h 1 + T G &1CK) soit h 1 + T 6 & 1 0 0 1 + T = Sj . l l y a su r j ec t iv i t é c a r 
~ 1 + T ^ L + T 
S c s et s = S e s -
- 1 + T 1 + 
Lemme 2 . - On a la suite exacte 1 $ -» § 2 ® ^ 2 ® ' 
Calculons le noyau : Soit h. 6 h T = h _ 1 ' o n a = > 
h.€ SS7 , h € S&t, x mod 3 ; h ° 2 = h h 2 h 2 h o X et 
2 2 " 
h rCa- l ) = h Ca - D r = h l - c = h - 2 h ~2 h ~2x . d - u n a u t r e c ô t é , 
^TCG - 1 ) = h T h T h X T = h - 1 ^ h X > d , Q Ù j e n c o m p a r a n t ; h _ = 1 SOit 
h a _ 1 = h + h x Ç S , d ' o ù h 6 & s o i t h € & . 
Lemme 3. - On a N & = (1) et N $ (K) = Sj^(k) Sj(k)3 . —————— ^ 
Soit li G § ; h es t de la forme Ci K ( y 1 + T) d 'où 
Nh = Clk(N SI1 + T) = Clk(.Q .1 + T) = 1 (avec Q = Nat ) . 
0 Cl Soit N § 1 (K) = N ( S 9 & P = N s ^ ; o r = T es t engendré pa r 
les C1R U. idéal ambige, donc p a r les c l a s s e s des idéaux p 
et des idéaux a ^ ^ A ^ C a idéal de k), d 'où finalement Nsj~ es t engendré 
p a r les c l a s s e s des idéaux t). et Q 3 (compte tenu du fait que + T et 
1 + T
 1 3 1 o sont pr inc ipaux) , d 'où = .^OO&ÛO • 
On peut maintenant ca l cu l e r p(L) : on a | CK)̂  + T | = ^K)/"^ I 
(lemme 2) = | & 2 0 q / \ (lemme 1) = | S?1CK)| . 2 (K) / ^ ( K ) | / | ; 
en appliquant l e s r é s u l t a t s de [ 5 ] ( th. 4--3) on a u r a : 
iS 2 (K) / S^CK)! = 3 t " 1 ~ r laCOl / | N S l C K ) | = l&OO / 5 R ( k ) s ( k ) 3 | 3 t _ 1 - r 
(lemme 3) = 3 p Û O - a + t - l - r ^ ^ / j = f j ^ j ^ t - l - r ' = 
3 t _ 1 " r ' | sCk) | Gemme 3) et enf in j s ^ O O l = | § ( k ) | 3 t ' 1 " a ( [ 5 ] , t h . 4 . 1 ) . 
Les nombres r et r ' sont r e l a t i f s aux groupes et Q (cf . [5 ] , 
t h . 4-.3 et a) p . 36). On obtient a l o r s : 
T h é o r è m e . - On a p(L) = p(k) - a + t - l - a - ( r - r ' ) . 
C o r o l l a i r e 1 (Conjec tu re de Cal lahan [ 2 ] ) . - Si t = 0 , a l o r s p(L) = p ( k ) - l . 
En e f f e t , si t = 0 , K/k es t non r a m i f i é e , d 'où a = a = r = r ' = 0 . 
(Ceci démontre la con jec tu re de Cal lahan lo r sque k es t r é e l ou imagina i re) . 
C o r o l l a i r e 2 . - Si t = 1, a l o r s p (L) = p(k). 
D ' a p r è s [5] (th. A.3) on a r , r ' , a < t - 1 , d 'où a = r = r" = 0 , et t=l 
implique w = 1, w = 0, d 'où a = 0 . 
Coro l l a i r e 3 . - On a p(L) < p(k) - » + t - 1 - a . 
En e f f e t , on a t ou jou r s r ' < r (on a & & -^00 et les groupes de nombres 
A' et A a s s o c i é s à S et pour ron t t ou jou r s ê t r e p r i s te l s que A' C A ; 
c f . [ 5 ] , chap . IV, § B, 2 . 
R e m a r q u e . On obtient des minora t ions de p(L) en majorant r - r ' convena-
blement . 
Co ro l l a i r e 4 . - (c f . [6] et Kobayashi [ 7 ] ) . - Si & (k) = (1) , a l o r s 
pCK) = 2 (t - 1 ) - r - a . 
En e f f e t , on a ( [ 5 ] , p r o p . 4 . 1 ) : S&2(K) = S h € & (K), h 3 = l), d 'où P (K). 
3 . Etude de r e t r ' . - D ' a p r è s [ 5 ] (pp . 36-37) on doit c o n s i d é r e r des g rcu 
pe s d ' idéaux 3 et 3' r e p r é s e n t a n t ^ ( K ) et § ; on p r e n d r a donc 
3 = < V ; ; + û f A K > e t 3' = < ? 1 1 + T ; Oj ; si «}+y > o ù 
les c l a s s e s des idéaux q^ de k engendren t § (k), 1= 1, . . . , p(k). La 
condition donnée dans [5 ] ( th . 4 - 2 (ii)) e s t s a t i s f a i t e pour 3 et 3 ' . 
Les g roupes A et A ' qui s ' en déduisen t sont de la forme suivante : 
A = < e , a 0 , p. , q_., ^ > et A1 = < e , a 0 , p . , q > , où e e s t l 'uni té 
fondamentale de k si k e s t r é e l ou e = j s i k = Q ( j ) (sinon e ne f igure 
pas dans A et A ' ) , a 0 e s t (éventuel lement) la norme absolue de 2I0, 
l e s « sont des nombres de k (n < p (k) + eu) engendrant le groupe 
3 < p. , a* > fi 3o00 (où 3oCk) e s t le groupe de s idéaux p r inc ipaux de k) . 
4 3 
R e m a r q u e . Dans le ca s de s c o r p s p u r s (i. e . k = Q( j ) ) a l o r s K = k(V"n) , 
n £ 2 , ce qui fait que la décomposi t ion en idéaux p r e m i e r s de 
3 
V"n Ajç donne une re l a t ion non t r i v i a l e e n t r e l e s et O. où tous les 
^ f iguren t à un exposant non congru à 0 mod 3 ; on a a l o r s : 
A = < j , a 0 , P I ? q j , n i > et A ' = < j , a 0 , p . , q > où ^ e s t un 
g é n é r a t e u r de p. . 
C o r o l l a i r e 5 (Honda, Cal lahan [ 3 ] ) . - Si L e s t p u r , on a p(L) = 0 si 
et seulement si on a l 'un des deux c a s su ivants : 
ou = 0 , 00 = 1 , a = 0 ou bien oj = 0 , eu = 2 , a = 1 . 
Si p (L) = 0 , on a r - r ' < cu-1 (s i eu > 1), d 'où 
p(L) > t - l - a - ( o u - l ) = ou + û) - a ; i l e s t n é c e s s a i r e d ' a v o i r u; + ^ < a 
d 'où ou < 1 et p(L) = 2 u j + u ) - a - l soit 2cu + ou = a + 1 et oo + ô û ^ a , 
ce qui conduit à m = 1 et m = a - 1 soit a = 1 et ou = 0 , c a s impossible 
c a r s i (u = l , u ) = 0 , n = p , p = 1(9) et a = 0 . 
Si oj = 0 , a l o r s ou = a + 1, d 'où l e s deux c a s . 
Remarque . L ' e x p r e s s i o n de p(L) donnée p a r no t re théorème étant "exacte1 
l e s minora t ions de p(L) p rov iennen t des ma jo ra t ions de r - r ' ; o r l e s 
symboles de Hi lber t dé f in i s san t l e s coef f i c ien t s du système ont des p r o p r i é 
t é s t r è s p a r t i c u l i è r e s et vé r i f i en t c e r t a i n e s r e l a t i ons (par exemple [ 6 ] , 
lemme 4-). On doit a ins i pouvoir r e t r o u v e r l e s minorat ions dé jà ex i s t an tes 
( [ 1 ] , [ 3 ] ) . 
D ' au t r e p a r t , comme le r emarquen t Ger th 111 [ 4 ] et Kobayashi [ 8 ] , 
le ca s 6 = 1 oblige à dé te rmine r ÎH0 ce qui es t une di f f icul té e s s en t i e l l e ; 
dans les a u t r e s c a s , no t re système l i néa i r e permet de t r o u v e r numér ique-
ment p(L), à condition d ' admet t r e que l 'on connaft par fa i tement le 
3 -g roupe des c l a s s e s de k, ce qui es t une hypothèse r a i s o n n a b l e . 
Dans le cas où e e s t norme (a = 0) on dev ra r é s o u d r e l ' équat ion 
^K/k"^ = e K*) 5 il n ' e s t cependant pa s n é c e s s a i r e de d i s t inguer 
l e s cas 6 = 0 et ô = 1, ce qui fait que l ' équat ion p r é c é d e n t e , admettant 
une inf ini té de so lu t ions , s e r a p lus fac i l e à r é s o u d r e (voir aus s i [~8] 
pour le ca s des c o r p s p u r s ) . 
Après avo i r obtenu ces r é s u l t a t s , nous avons appr i s p a r D. Shanks que 
Ger th III avait démontré indépendamment la re la t ion ci tée dans not re théo-
rème dans : Ranks of 3 - C l a s s Groups of Non-Galo is Cubic F ie lds (à p a r a i - , 
t r e dans Acta Ar i thmet ica ) . 
[ 1 ] P . B a r r u c a n d et H . Cohn, A r a t i ona l Genus , c l a s s Number d iv i s i -
b i l i ty , and Unit Theory f o r P u r e Cubic F i e l d s . Jour , of Number Theo ry , 
2 , pp . 7 -21 (1970). ' 
[ 2 ] T . Ca l lahan , The 3 - c l a s s Groups of non-Galo i s cubic F ie lds (I), 
Mathematika, 21, pp . 72-89 (1974). 
[ 3 ] T . Ca l lahan , The 3 - c l a s s Groups of non-Galo i s cubic F ie lds 
( T h e s i s , Univ. of Toronto) (19740 • 
[ 4 ] F . Ger th III, On 3 - c l a s s Groups of P u r e Cubic F ie lds (à p a r a î t r e ) . 
("51 G. G r a s , Su r l e s 1 - c l a s s e s d ' idéaux dans l es ex tens ions cycl iques 
r e l a t i v e s de deg ré p r e m i e r 1, Ann. I n s t . F o u r i e r , 2 3 , 3 , pp . 1 -48 (1973). 
f61 G. G r a s , Su r l e s 1 - c l a s s e s d ' i déaux des ex tens ions non ga lo is iennes 
de Q de degré p r e m i e r impair 1 à c lô tu re ga lo is ienne d i éd ra l e de degré 21, 
Jour . Math . S o c . Japan, 26, 4 , pp . 677-685 (1974). 
[ 7 ] S . Kobayashi , On the 1 - c l a s s r a n k in some a lgeb ra i c number f ie lds 
(a p a r a î t r e ) . 
[8 ] S . Kobayashi , On the 3 - r a n k of the idéa l c l a s s groups of ce r t a in pure 
cubic f ie lds II (à p a r a î t r e ) . 
[ 9 ] J . Mir t ine t et J . - J . Payan , S u r les ex tens ions cubiques non ga lo i -
s iennes des r a t i onne l s et l eur c lô tu re ga lo i s i enne , J. f . d . r . u . a . Math, 
228, pp . 15-37 (1967). 


Sur le $3$-rang des corps cubiques non galoisiens

Calcul du nombre de classes et des unités des extensions abéliennes réelles de $\protect \mathbb{Q}$

Quelques caractères utiles en arithmétique

Sur l’article de Leopoldt « Über Einheintengruppe und Klassenzahl reeller abelscher Zahlkörper »

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$2$ , $4$ et $8$ rang du groupe des classes d’idéaux de \protect \protect \mathbb{Q}(\protect \sqrt{2},\protect \sqrt{d}), $|d| < 1000$

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Sur le $3$ -rang des corps cubiques non galoisiens

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