Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Yiannis N. Petridis

Morten S. Risager

Hyperbolic lattice-point counting and modular symbols

Jean-Claude Douai

Jean-Claude DOUAI
Sur la 2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers des anneaux
locaux henséliens
Tome 21, no 1 (2009), p. 119-129.
<http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2009__21_1_119_0>
© Université Bordeaux 1, 2009, tous droits réservés.
L’accès aux articles de la revue « Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/), implique l’accord avec
les conditions générales d’utilisation (http://jtnb.cedram.org/
legal/). Toute reproduction en tout ou partie cet article sous
quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à
fin strictement personnelle du copiste est constitutive d’une infrac-
tion pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la
présente mention de copyright.
cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques
http://www.cedram.org/
Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 21 (2009), 119-129
Sur la 2-cohomologie non abélienne des modèles
réguliers des anneaux locaux henséliens
par Jean-Claude DOUAI
Résumé. Soit A un anneau Notherien, local, Henselien, excellent,
de corps résiduel k, k étant ou algébriquement clos de caractéris-
tique 0 ou un corps fini, X → Spec A un morphisme propre dont
la fibre spéciale X0 → Spec A est de dimension au plus 1. Dans
ce papier, nous complètons les résultats de [1] en montrant que
si X est régulier et si L est un Xet-lien localement représentable
par un groupe semi-simple simplement connexe, alors toutes les
classes de H2(Xet, L) sont neutres. Prenant pour X un modèle
régulier de A, nous montrons que toutes les classes de H2(K, L),
K = Frac(A), sont neutres si dim(A) = 2 et k algébriquement
clos de caractéristique 0. Ceci redonne certains résultats de [2].
Abstract. Let A be a Notherian, local, Henselien, excellent do-
main with algbraically closed residue field of caracteristic 0 or
finite k, K = Frac(A), X → Spec A a proper morphism with
special fiber X0 → Spec k of dimension at most one. Here we
complete the results of [1] showing that if X is regular and if L is
a Xet-lien that is locally representable by a simply connected semi-
simple group, then all classes of H2(Xet, L) are neutral. Taking
for X a regular model of A, we show that all classes of H2(K, L)
are neutral if dim(A) = 2 and if k is algebraically closed of carac-
teristic 0. We find again some results of [2].
Introduction
Soit A un anneau noethérien, local, hensélien, excellent, de corps rési-
duel k. Supposons k algébriquement clos de caractéristique 0 ou k fini. Soit
π : X → Spec A un morphisme propre dont la fibre spéciale X0 → Spec k
est de dimension au plus un. Colliot-Thélène, Ojanguren et Parimala ont
montré que, si X était régulier, alors Br(X) = Br(X0) = 0. Ils ont aussi
établi la nullité du H1(K, G̃) où K = Frac(A), quand dim A = 2 et k est
algébriquement clos de caractéristique 0, G̃ désignant un K-groupe linéaire
semi-simple simplement connexe. Dans le même esprit, nous montrons que
toutes les classes de H2et(X, L) sont neutres pour tout Xet-lien L locale-
ment représentable par un X-schéma en groupes semi-simples simplement
connexes G̃. En appliquant ce résultat à un modèle régulier X de A et, en
120 Jean-Claude Douai
combinant avec un résultat de [3], on en déduit que toutes les classes de
H2(K, L) sont aussi neutres quand dim A = 2 et k algébriquement clos, de
caractéristique 0.K est alors un corps de type (ll) au sens de [2] et ceci re-
donne certains résultats de Colliot-Thélène, Gilles, Parimala tels que, par
exemple, la surjectivité du cobord H1(K, G) δ
1
→ H2(K, µ) pour G semi-
simple et µ le noyau du revêtement universel de G. Ces derniers imposent
toujours la condition « l’indice d’une K-algèbre simple centrale quelconque
est égal à son exposant ». Notre résultat local de [3] donne automatique-
ment cette égalité quand on travaille sur les corps de type (sl) au sens de
[2] (cf. aussi le théorème 1.5 de [2]) et, de là par globalistion, sur les corps
de type de type (ll) (cf. aussi le théorème 1.3 de [2]).
Je tiens à remercier le referee pour son aide et ses corrections.
Dans toute la suite, nous supposerons A noethérien.
§ I.
Proposition 1.1. Soient A un anneau local hensélien, k son corps rési-
duel, π : X → Spec A un morphisme propre, X0 → Spec k la fibre de
π au-dessus du point fermé. Soit L un lien localement (pour la topologie
étale) représentable par un X-groupe semi-simple G. [On sait qu’alors L
est représentable par un X-groupe GL de même type que G (cf. par ex.
la prop. 1.1 de [4] – GL peut même être pris quasi-déployé)]. Alors, dési-
gnant par Z(GL) le centre de GL (resp. par Z(L) le centre de L), l’indice
0 indiquant la restriction à X0,
H2et(X, Z(L)) = H
2
et(X, Z(GL))
∼→ H2et(X0, Z(GL0))
et H2et(X, L) est isomorphe à H2et(X0, L0), cet isomorphisme d’ensembles
étant compatible avec les actions simplement transitives respectives de
H2et(X, Z(GL)) et H2et(X0, Z(GL0)).
Démonstration. Z(GL) est un X-faisceau en groupes finis et l’isomorphisme
H2et(X, Z(GL))
∼→ H2et(X0, Z(GL0))
résulte du théorème de changement de base propre (cf. par exemple [6] - VI
- 2.7). Or, H2et(X, Z(GL)) (resp. H2et(X0, Z(GL0)) opère simplement tran-
sitivement sur H2et(X, L) (resp. H2et(X0, L0)) (cf. le théor. 3.3.3 - Chap. IV
de [6]). Compte tenu du fait que H2et(X, L) (resp. H2et(X0, L)) est pointé par
la classe neutre unité ε = [Tors(Xet, GL)] (resp. ε0 = [Tors(X0,et, GL0)]),
on obtient alors le résultat. 
Conjecture 1.2. Sous les hypothèses de la prop. 1.1, il y a autant de
classes dans H2et(X, L) que dans H2et(X0, L0). Il nous faut alors comparer
les sous-ensembles des classes neutres de H2et(X, GL) et H2et(X0, GL0) : on
2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers 121
peut conjecturer que l’image inverse par l’application
H2et(X, L) // H
2
et(X0, L0)
|| ||
H2et(X, GL) H
2
et(X0, GL0)
de l’ensemble des classes neutres de H2et(X0, L0) est l’ensemble des classes
neutres de H2et(X, L) étendant ainsi le résultat du cor. 2.2.6 (ii) du chap. VII
de [5] où le résultat est énoncé pour les liens ind-finis L. On sait seulement
que l’application :
H1et(X, (GL)ad) // H
1
et(X0, (GL0)ad )
est injective (cf. cor.5.5-exposé XII, p.90, Lecture Notes n° 305).
Dans le théorème 1.3 suivant, nous montrons que, dans le cas où la fibre
spéciale est de dimension au plus 1, k étant séparablement clos ou fini et
G = G̃ semi-simpe simplement connexe, alors toutes les classes de H2et(X, L)
sont neutres, toutes les classes de H2et(X0, L0) étant neutres, ce qui établit
la conjecture 1.2 dans ce cas.
Théorème 1.3. Soient A un anneau local hensélien et k son corps résiduel.
Supposons k soit ou séparablement clos ou fini. Soit π : X → Spec A un
morphisme propre dont la fibre spéciale X0 → Spec k est de dimension au
plus 1. Supposons X régulier. Soit G̃ un X-groupe semi-simple simplement
connexe. Alors, pour tout Xet-lien L localement représentable par G̃, toutes
les classes de H2et(X, L) sont neutres.
Démonstration. Le lien L est représentable par un X-groupe semi-simple,
simplement connexe, quasi-déployé G̃L : G̃L admet un X-couple de Killing
(B̃, T̃ ) où T̃ est un X-tore induit (cf. la prop. 3.13 - exposé XXIV de
S.G.A.D. [7]) :
T̃ =
∏
X′/X
GmX′ ,
X ′ ouvert étale fini de X,
∏
X′/X
désignant la restriction à la Weil de X ′ à
X, d’où
H2(X, T̃ ) = H2et(X, T̃ ) = H
2
et(X
′, Gm) = Br(X ′) = Br(X ′0) = 0
(cf. par ex. le corollaire 1.10 (b) et le corollaire 1.11 (b) de [1]). Donc
H2(X, T̃ ) = 0.
122 Jean-Claude Douai
• Soit q une classe de H2et(X, L) = H2et(X, G̃L). Ecrivons q sous la forme
α · ε où α ∈ H2(X, Z(G̃L)), ε = classe « unité » [Tors G̃L] de H2et(X, G̃L).
La classe q est en relation avec α par
H2et(X, Z(G̃L)) (→ H2et(X, G̃L)
α (→ q .
Mais q est aussi en relation avec l’image de α dans H2(X, T̃ ) = 0 par la
relation
H2(X, T̃ ) (→ H2et(X, G̃L)
induite par T̃ ↪→ G̃L (cf. la déf. 3.1.4 - Chap. IV de [5] pour la relation
(→) dans le diagramme suivant :
α 	
 // q
H2et(X,Z(L)) 	
 //
''OO
OOO
OOO
OOO
H2et(X,L)=H
2
et(X,G̃L)
H2(X, T̃ )=0.
	
 55kkkkkkkkkkkkkk
• La classe q est donc nécessairement neutre, ce qui démontre le théo-
rème. 
Corollaire 1.4 (au théorème 1.3).
H2et(X, L) = H
2
et(X, L)
′ ' H2et(X0, L0)′ = H2et(X0, L0)
où le ′ désigne le sous-ensemble des classes neutres de H2et(X, L) (resp.
H2et(X0, L0)).
§ II.
Dans cette deuxième partie, nous appliquerons les résultats du § I pré-
cédent au cas où A est un anneau local, hensélien, excellent, de dimension
2, de corps résiduel k algébriquement clos et de caractéristique 0. Selon
Hironaka, Abhyankar et Lipman, il existe alors des modèles réguliers X de
A i.e. des schémas réguliers X munis d’un morphisme projectif birationnel
X → SpecA. La fibre X0 de X → Spec A en le point fermé de Spec A
est une variété projective de dimension au plus 1 sur k. La propriété que
k est algébriquement clos de caractéristique 0 implique que cd · (K), où
K = Frac(A), est égal à 2 (si k était de caractéristique p, on aurait seule-
ment cdl(K) = 2 pour l 6= p).
• Supposons donc que A est un anneau local, de dimension 2, hensélien,
excellent, à corps résiduel k algébriquement clos, de caractéristique 0. Le
corps K = Frac(A) est un corps de type (ll) = (local/local) comme défini
dans [2]. Pour X un modèle projectif lisse de A, soient X1 l’ensemble des
2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers 123
points de codimension 1 de X et ΩX l’ensemble des valuations discrètes
v associées aux points x ∈ X1. Soit Ω la réunion sur tous les modèles
projectifs lisses X des ΩX . Par le corollaire 1.10 de [1], Br(X) = 0. La
nullité de Br(X) implique la trivialité de Brnr(K) défini à la page 187
dans loc-citado où Brnr(K) désigne le groupe de Brauer non ramifié de
K consistant de toutes les classes de Br(K) qui sont non ramifiées en
toute valuation discrète de K. La trivialité de Brnr(K) implique à son tour
la trivialité du noyau de la fonction restriction diagonale des groupes de
Brauer
Br(K) −→
⊕
v∈ΩX
Br(Kv)
et, a fortiori, du noyau de
Br(K) −→
∏
v∈Ω
Br(Kv).
• On sait par [2] p. 293 que chaque Kv, pour v ∈ Ω, est un corps de
type (sl) = (semi − local). En utilisant la théorie de Bruhat-Tits, il a été
montré dans [3] Chap. VII - Théorème 3.1, p. 99 (cf aussi les corollaires 2.6
et 2.8 de [4]) que si G = G̃ est un groupe semi-simple simplement connexe
défini sur un corps semi-local Kv, alors toutes les classes de H2(Kv, L),
où L est un Kv-lien localement (pour la topologie étale) représentable par
G̃, sont neutres. Ce résultat implique, en particulier, l’égalité entre l’indice
et l’exposant pour les corps de type (sl), mentionnée dans l’introduction.
Nous obtenons alors :
Théorème 2.1. Soit A un anneau local, hensélien, excellent, de dimen-
sion 2, de corps résiduel k algébriquement clos de caractéristique 0, K son
corps des fractions, L un K-lien localement (pour la topologie étale) repré-
sentable par un K-groupe semi-simple simplement connexe G̃ = G̃L. Alors
toutes les classes de H2(K, L) sont neutres.
Démonstration. Dans la démontration du théorème 1.3, nous avons consi-
déré la relation
H2(X, T̃ ) = 0 (→ H2et(X, G̃L) = H2et(X, L)
||
Br(X ′)
où X ′ était défini par la condition T̃ '
∏
X′/X GmX′ .
Par ce qui a été dit précédemment, la flèche
Br(K ′) ↪→
⊕
v∈ΩX′
H2(K ′v, Gm)
(K ′ = corps des fonctions de X ′)
est injective. Elle s’insère dans le diagramme suivant :
124 Jean-Claude Douai
(D
1
)
:
H
2
(X
,T̃
)
=
B
r(
X
′ )
=
0
=
B
r n
r
(K
′ )
	
 
// B
r(
K
′ )
	
 

//⊕ v
∈
Ω
X
′
B
r(
K
′ v)
	
 
H
2 et
(X
,G̃
L
)
// H
2
(K
,G̃
L
)
//⊕ v
∈
Ω
X
H
2
(K
v
,G̃
L
).
‖←
th
.1
.3
H
2 et
(X
,G̃
L
)′
2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers 125
• L’application
H2(K, G̃L)→
⊕
v∈ΩX
H2(Kv, G̃L)
est compatible avec les actions respectives de H2(K, Z(G̃L)) et⊕
v∈ΩX H
2(Kv, Z(G̃L)). L’injectivité de
Br(K ′) ↪→
⊕
v∈ΩX′
Br(K ′v)
implique immédiatement l’injectivité de
H2(K ′, µn)→
⊕
v∈ΩX′
H2(K ′v, µn) ∀n ≥ 0,
puis celle de
H2(K, Z(G̃L))→
⊕
v∈ΩX
H2(Kv, Z(G̃L)).
L’application
H2(K, G̃L)→ ⊕v∈ΩX H
2(Kv, G̃L)
dans le diagramme (D1) est donc injective (comme application d’ensem-
bles). En particulier, si une classe de H2(K, G̃L) est envoyée sur la classe
unité
⊕
v∈ΩX
εv =
⊕
v∈ΩX
[Tors(G̃L)v] de
⊕
v∈ΩX
H2(Kv, G̃L), alors elle coincide
avec la classe unité ε = [Tors G̃L].
Montrons maintenant que toutes les classes de H2(K, G̃L) sont neutres.
Nous en donnons deux démonstrations.
Considerons le diagramme suivant :
126 Jean-Claude Douai
(D
2
)
:
H
1
(K
,G̃
L
)
//

H
1
(K
,I
n
t .
G̃
L
)
//
 _ 
H
2
(K
,Z
(G̃
L
))
	

//
 _ 
H
2
(K
,G̃
L
)
 _ 
⊕ v∈
Ω
X
H
1
(K
v
,G̃
L
)
//⊕ v
∈
Ω
X
H
1
(K
v
,I
n
t .
G̃
L
)
////
⊕ v∈
Ω
X
H
2
(K
v
,Z
(G̃
L
))
	

//⊕ v
∈
Ω
X
H
2
(K
v
,G̃
L
)
‖
⊕ v∈
Ω
X
H
2
(K
v
,G̃
L
)′
2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers 127
La deuxième flèche verticale est injective par le théorème 5.3 de [1] (pro-
priété non indipensable dans la suite).
Dans le diagramme (D2), toutes les classes de
⊕
v∈ΩX H
2(Kv, Z(G̃L))
sont envoyées sur la classe unité
⊕
v∈ΩX εv de
⊕
v∈ΩX H
2(Kv, G̃L) par la
relation 	
 // dans la deuxième ligne. Du carré de droite dans le dia-
gramme (D2) résulte alors que toutes les classes de H2(K, Z(G̃L)) sont
envoyées sur la classe ε = [Tors G̃L] par la relation 	
 // de la première
ligne, d’où la surjectivité de l’application
H1(K, Int.G̃L) // // H2(K, Z(G̃L))
dans la suite exacte d’ensemble pointés
H1(K, G̃L) // H1(K, Int.G̃L) // // H2(K, Z(G̃L)) // 1
Comparant avec la suite exacte :
H1(K, G̃L) // H1(K, Int.G̃L) // // H2(K, G̃L)′ // 1
de la proposition 3.2.6(iii)-Chap.IV de [5], on en déduit que H2(K, G̃L) =
H2(K, G̃L)′,i.e que toute classe de H2(K, G̃L) est neutre.
Plus rapidement, on peut dire que la classe 0 de H2(Kv, Z(G̃L)), pour
v ∈ ΩX , est en relation avec toute classe de H2(Kv, G̃L) = H2(Kv, G̃L)′
(cf par ex. le corollaire 3.3.7 (i) Chap.IV de [5]). D’où la classe (0, 0, · · · )
de
⊕
v H
2(Kv, Z(G̃L)) est en relation avec toute classe de
⊕
v H
2(Kv, G̃L).
Par le carré de droite du diagramme (D2), la classe 0 de H2(K, Z(G̃L)) est
donc en relation avec toute classe de H2(K, G̃L), i.e toute K−gerbe à lien
représentable par G̃L admet une section, i.e toutes les classes de H2(K, G̃L)
sont neutres. 
Corollaire 2.2. Toutes les classes de
H2et(X, G̃L)
′ = H2et(X, G̃L)
sont envoyées sur la classe unité [Tors G̃L] de H2(K, G̃L) par l’application
H2et(X, G̃L)→ H2(K, G̃L).
• L’application H2et(X, G̃L)→ H2(K, G̃L) est compatible avec les actions
de H2et(X, Z(G̃L)) (resp. H2(K, Z(G̃L))) sur H2et(X, G̃L) (resp. H2(K, G̃L)).
Supposons, pour simplifier, que Z(G̃L) = µn, n ≥ 0. L’homomorphisme
H2et(X, µn)→ H2(K, µn) se factorise par Br(X)n de la manière suivante :
128 Jean-Claude Douai
P
ic
(X
)
×
n
// P
ic
(X
)
// H
2 et
(X
,µ
n
)

''OOOOOOOOOOOO
// H
2 et
(K
,µ
n
)
//⊕ v
∈
Ω
X
H
2
(K
v
,µ
n
)
B
r(
X
) n
=
0

// B
r(
K
) n
0.
2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers 129
Il est donc nul : dans le cas où Z(G̃L) = µn, toutes les classes de
H2et(X, G̃L) = H
2(X, G̃L)′ sont envoyées sur la classe unité de H2(K, G̃L).
On se ramène ensuite au cas où Z(G̃L) = µn.
Corollaire 2.3. Supposons que A et K sont comme dans le théorème 2.1.
Si L est un K-lien localement (pour la topologie étale) représentable par un
K-groupe semi-simple, toutes les classes de H2(K, L) sont neutres.
En effet, L est représentable par un K-groupe semi-simple GL. Soit G̃L
un revêtement universel de GL :
1→ µ→ G̃L → GL → 1.
Comme K est de dimension cohomologique 2, l’application
H2(K, G̃L)→ H2(K, GL)
est surjective. Toutes les classes de H2(K, GL) sont donc neutres. c.q.f.d.
Le corollaire 2.3 précédent redonne en particulier la proposition 5.3 de [2]
pour les corps de type (ll).
Bibliographie
[1] J.L. Colliot-Thélène, M. Ojanguren and R. Parimala, Quadratic forms over fraction
fields of two-dimensional Henselian rings and Brauer groups of related schemes. In Algebra,
Arithmetic and Geometry, I, II (Mumbai, 2000), Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. 16
(2002), 185–217. MR 1940669.
[2] J.L. Colliot-Thélène, P. Gille and R. Parimala, Arithmetic of linear algebraic groups
over 2-dimensional geometric fields. Duke Math. J. 121 (2004), 285–341.
[3] J.C. Douai, 2-cohomologie galoisienne des groupes semi-simples. Thèse d’Etat, Université
de Lille 1, Lille, France, 1976.
[4] J.C. Douai, Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des
groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux. C.R. Acad. Sci. Paris, Série I 342
(2006), 813–818.
[5] J. Giraud, Cohomologie non abélienne. Grundlheren Math. Wiss. vol. 179, Springer-Verlag,
1971.
[6] J.S. Milne, Etale cohomology. Princeton Mathematical Series, vol. 33, Princeton University
Press, Princeton, 1980.
[7] S.G.A.D., Séminaire de géométrie algébrique 1963-1964. Lecture Notes in Math., 151–153,
Springer, 1970.
Jean-Claude Douai
Laboratoire Painlevé
U.M.R 8524
Université des sciences et technologies de Lille 1
59655 Villeneuve d’ascq cedex France
E-mail : douai@math.univ-lille1.fr


Sur la 2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers des anneaux locaux henséliens

Sandrine Jean

Conjugacy classes of series in positive characteristic and Witt vectors.

Samir Siksek

Diophantine equations after Fermat’s last theorem

Andrew Granville

Pretentiousness in analytic number theory

Melvyn B. Nathanson

Problems in additive number theory, II: Linear forms and complementing sets

Romain Validire

Capitulation for even $K$-groups in the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension.

Ryan Daileda

Jessica Jou

Robert Lemke-Oliver

Elizabeth Rossolimo

Enrique Treviño

On the counting function for the generalized Niven numbers

Chandan Singh Dalawat

Chandan Singh DALAWAT
Wilson’s theorem
Tome 21, no 3 (2009), p. 517-521.
<http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2009__21_3_517_0>
© Université Bordeaux 1, 2009, tous droits réservés.
L’accès aux articles de la revue « Journal de Théorie des Nom-
bres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/), implique l’accord
avec les conditions générales d’utilisation (http://jtnb.cedram.
org/legal/). Toute reproduction en tout ou partie cet article sous
quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à
fin strictement personnelle du copiste est constitutive d’une infrac-
tion pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir
la présente mention de copyright.
cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques
http://www.cedram.org/
Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 21 (2009), 517-521
Wilson’s theorem
par Chandan Singh DALAWAT
Résumé. On fait voir comment K. Hensel aurait pû étendre le
théorème de Wilson de Z à l’anneau des entiers o d’un corps de
nombres, pour trouver le produit de tous les éléments inversibles
d’un quotient fini de o.
Abstract. We show how K. Hensel could have extended Wil-
son’s theorem from Z to the ring of integers o in a number field,
to find the product of all invertible elements of a finite quotient
of o.
1. Introduction
...puisque de tels hommes n’ont pas cru ce sujet
indigne de leurs méditations... [1].
More than two hundred years ago, Gauss generalised Wilson’s theorem
((p−1)! ≡ −1 (mod p) for a prime number p) to an arbitrary integer A > 0
in §78 of his Disquisitiones :
Theorem 1.1. ([1]) Poductum ex omnibus numeris, numero quocunque
dato A minoribus simulque ad ipsum primis, congruum est secundum A,
vnitati vel negatiue vel positiue sumtae.
(The product of all elements in (Z/AZ)× is 1̄ or −1̄). He then specifies
that the product in question is −1̄ if A is 4, or pm, or 2pm for some odd
prime p and integer m > 0 ; it equals 1̄ in the remaining cases.
According to Gauss ([1], §76) the elegant theorem according to which
“ upon augmenting the product of all numbers less than a given prime num-
ber by the unity, it becomes divisible by that prime number ” was first stated
by Waring in his Meditationes — which appeared in Cambridge in 1770 —
and attributed to Wilson, but neither could prove it. Waring remarks that
the proof must be all the more difficult as there is no notation which might
express a prime number. Nach unserer Meinung aber müssen derartige
Wahrheiten vielmehr aus Begriffen (notionibus) denn aus Bezeichnungen
(notationibus) geschöpft werden [1]. The first proof was given by Lagrange
(1771).
Manuscrit reçu le 4 avril 2008.
518 Chandan Singh Dalawat
Some hundred years later, Hensel [2] developed his local notions, which
could have allowed him to extend the result from Z to rings of integers in
number fields ; our aim here is to show how he could have done it.
Proposition 1.1. (“ Wilson’s theorem ”) For an ideal a ⊂ o in the ring
of integers of a number field K, the product of all elements in (o/a)× is 1̄,
except that it is
(1) −1̄ when a has precisely one odd prime divisor, and vp(a) < 2 for
every even prime ideal p,
(2) 1̄ + π̄ (resp. 1̄ + π̄2) when all prime divisors of a are even and for
precisely one of them, say p, vp(a) > 1 with moreover vp(a) = 2,
fp = 1 (resp. vp(a) = 3, fp = 1, ep > 1) ; here π is any element of
p not in p2, and we have indentified (o/p2)× (resp. (o/p3)×) with a
subgroup of (o/a)×.
The notation and the terminology are unambiguous : a prime ideal p of
o is even if 2 ∈ p, odd if 2 /∈ p ; vp(a) is the exponent of p in the prime
decomposition of a ; fp is the residual degree and ep the ramification index
of Kp|Qp (p being the rational prime which belongs to p).
(It may happen that 1̄+π̄ = −1̄ in (o/p2)× (resp. 1̄+π̄2 = −1̄ in (o/p3)×)
for some even prime p ⊂ o. Example : o = Z (resp. Z[
√
2]) and p the unique
even prime of o. More banally, we have −1̄ = 1̄ in (o/pn)× when p is an
even prime and n is between 1 and ep.)
2. d2
The elementary observation behind the proof of Gauss’s th. 1.1, also used
in our proof of prop. 1.1, is that the sum s of all the elements in a finite
commutative group G is 0, unless G has precisely one order-2 element τ ,
in which case s = τ . Anyone can supply a proof ; he can then skip this
section, and take the condition “ d2(G) = 1 ” as a shorthand for “G has
precisely one order-2 element ”.
Define d2(G) = dimF2(2G), where 2G is the subgroup of G killed by 2.
It is clear that G has 2d2(G) − 1 order-2 elements.
Example. For a prime number p and a positive integer n, we have
d2((Z/pnZ)×) =
(1) 1 if p 6= 2,
(2) 0 if p = 2 and n = 1,
(3) 1 if p = 2 and n = 2,
(4) 2 if p = 2 and n > 2.
In this example, the unique order-2 element is −1̄ whenever d2 = 1.
Lemma 2.1. The sum s of all elements in G is 0 unless d2(G) = 1, in
which case s is the unique order-2 element of G.
Wilson’s theorem 519
The involution ι : g 7→ −g fixes every element of the subgroup 2G =
Ker(x 7→ 2x). As the sum of elements in the remaining orbits of ι is 0, we
are reduced to the case G = 2G of a vector F2-space, and the proof is over
by induction on the dimension d2(G) of 2G, starting with dimension 2.
Proof of Gauss’s th. 1.1 : Let A =
∏
p p
mp be the prime decomposition of
A. By the Chinese remainder theorem, (Z/AZ)× is the product over p of
(Z/pmpZ)×, so d2((Z/AZ)×) is the sum over p of d2((Z/pmpZ)×). In view
of the foregoing Example, the only way for this sum to be 1 is for A to be
22, or pmp , or 2pmp for some odd prime p and integer mp > 0.
3. Local units
Let’s enter Hensel’s world : let p be a prime number, K |Qp a finite
extension, o its ring of integers, p the unique maximal ideal of o. Let n > 0
be an integer. We would like to know when d2((o/pn)×) = 1, and, when
such is the case, which one the unique order-2 element is.
Proposition 3.1. Denoting by e the ramification index and by f the resid-
ual degree of K |Qp, we have d2((o/pn)×) =
(1) 1 if p 6= 2,
(2) 0 if p = 2, n = 1,
(3) 1 if p = 2, n = 2, f = 1,
(4) 1 if p = 2, n = 3, f = 1, e > 1,
(5) > 1 in all other cases.
For any o-basis π of p, the unique order-2 element in the cases d2 = 1 is
(1) −1̄ if p 6= 2,
(2) 1̄ + π̄ if p = 2, n = 2, f = 1,
(3) 1̄ + π̄2 if p = 2, n = 3, f = 1, e > 1.
Proof : For every j > 0, denote by Uj the kernel of o× → (o/pj)×. If
p 6= 2, the group (o/pn)× is the direct product of the even-order cyclic
group (o/p)× and the p-group U1/Un, so d2 = 1.
Assume now that p = 2. When n = 1, the group (o/p)× is (cyclic) of
odd order, so d2 = 0. If f > 1, then the d2 of U1/U2 is f and hence the d2
of (o/pn)× is > 1 for every n > 1.
Assume further that f = 1. When n = 2, the d2 of (o/p2)× = U1/U2
is f = 1. If moreover e = 1, then the d2 of U1/Un is 2 for n > 2 (see
Example).
Assume finally that, in addition, e > 1. We see that U1/U3 is generated
by 1̄ + π̄, since (1 + π)2 = 1 + π2 + 2π is in U2 but not in U3. However,
U1/U4 is not cyclic because its order is 8 whereas every element has order
at most 4 : for every a ∈ o,
(1̄ + āπ̄)4 = 1̄ + 4̄π̄ā+ 6̄π̄2ā2 + 4̄π̄3ā3 + π̄4ā4 = 1̄
520 Chandan Singh Dalawat
in U1/U4. Hence U1/Un is not cyclic for n > 3 (cf. Narkiewicz, Elem. and
anal. theory of alg. numbers, 1990, p. 275). This concludes the proof.
(For p = 2 and n > 2e, we have d2((o/pn)×) = 1 + ef ; cf. Hasse,
Zahlentheorie, Kap. 15.)
Corollary 3.1. The only cases in which the group (o/pn)× has precisely
one order-2 element s are : p 6= 2 ; p = 2, n = 2, f = 1 ; p = 2, n = 3,
f = 1, e > 1. In these three cases, s = −1̄, 1̄ + π̄, 1̄ + π̄2, respectively. The
group (o/pn)× has no order-2 element precisely when p = 2, n = 1.
4. The proof
Let us return to the global situation of an ideal a ⊂ o in the ring of
integers of a number field K |Q. The proof can now proceed as in the case
o = Z (§2). Everything boils down to deciding if the d2 of (o/a)× is 1
— we know that the product of all elements is 1 if d2 6= 1 (lemma 2.1).
Writing a =
∏
p p
mp the prime decomposition of a, the Chinese remainder
theorem tells us that d2((o/a)×) is the sum, over the various primes p of o,
of d2((o/pmp)×). This sum can be 1 only when one of the terms is 1, the
others being 0.
For each p, the group (o/pmp)× is the same as (op/p
mp
p )×, where op is
the completion of o at p and pp is the unique maximal ideal of op. Running
through the possibilities enumerarted in prop. 3.1 completes the proof of
prop. 1.1.
Example. Let ζ ∈ Q̄× be an element of order 2t (t > 1) ; take K = Q(ζ)
and p the unique even prime of its ring of integers Z[ζ]. We have ep = 2t−1
and fp = 1 ; we may take π = 1 − ζ. The product of all elements in
(Z[ζ]/pn)× is respectively 1̄, 1̄ + π̄, 1̄ + π̄2, 1̄ for n = 1, n = 2, n = 3 and
n > 3.
5. Acknowledgements
We thank Herr Prof. Dr. Peter Roquette for suggesting the present def-
inition d2(G) = dimF2(2G) instead of the original d2(G) = dimF2(G/2G).
After this Note was completed, a search in the literature revealed M. Laššák,
Wilson’s theorem in algebraic number fields, Math. Slovaca, 50 (2000),
no. 3, pp. 303–314. We solicited a copy from Prof. G. Grekos, and thank
him for supplying one ; it contains substantially the same result as our
prop. 1.1. Our proof is shorter, simpler, more direct, and more concep-
tual ; it is based on notionibus rather than notationibus, of which there is
now-a-days a surfeit. In any case, our aim was to show how Hensel could
have proved prop. 1.1.
Wilson’s theorem 521
References
[1] C. Gauss, Disquisitiones arithmeticae. Gerh. Fleischer, Lipsiae, 1801, xviii+668 pp.
[2] K. Hensel, Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines
beliebigen Primteilers. J. f. d. reine und angewandte Math., 146 (1916), pp. 189–215.
Chandan Singh Dalawat
Harish-Chandra Research Institute
Chhatnag Road, Jhunsi
211019 Allahabad, Inde
E-mail: dalawat@gmail.com


Wilson’s theorem

Carsten Elsner

Shun Shimomura

Iekata Shiokawa

Asymptotic representations for Fibonacci reciprocal sums and Euler’s formulas for zeta values

Not a member yet