Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Yann Bugeaud

Quantitative versions of the Subspace Theorem and applications

Martin Bright

Torsors under tori and Néron models

Laurent Denis

Laurent DENIS
Facteurs communs et torsion en caractéristique non nulle
Tome 23, no 2 (2011), p. 347-352.
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Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 23 (2011), 347-352
Facteurs communs et torsion en caractéristique
non nulle
par Laurent DENIS
Résumé. Le pgcd de quantités de la forme an − 1 et bn − 1 a
été étudié dans différentes situations. Dans la première partie de
ce texte nous prouverons que si a et b appartiennent à Fq[T ], le
pgcd en question peut être borné indépendamment de n dans de
nombreux cas. Ceci répond en particulier à une question de J. Sil-
verman. Dans la deuxième partie nous étudierons un problème
analogue dans la situation des modules de Drinfeld.
Abstract. Common factors and torsion in positive characteris-
tic.
The gcd of an−1 and bn−1 has been studied in various setting.
In the first part of that paper we show that if a and b are in Fq[T ],
there exist situations such that the degree of this gcd is bounded
independently of n, this answer a question by J. Silverman. In the
second part we will see what happens for an analogous problem
concerning Drinfeld modules.
1. Résultats et situation
Si n est un entier naturel, le comportement du pgcd des quantités an−1 et
bn−1 a été étudié par différents auteurs selon l’anneau auquel appartiennent
a et b.
Si a et b sont des entiers naturels plus grands que un et multiplicative-
ment indépendants dans Q∗, Bugeaud, Corvaja et Zannier prouvent dans
[BCZ] que pour tout ε > 0, il existe un entier n0(ε, a, b) tel que si n > n0,
pgcd(an − 1, bn − 1) 6 2εn.
Si a et b sont des polynômes à coefficients complexes, multiplicativement
indépendants dans C[T ]∗, Ailon et Rudnick démontrent dans [AR] qu’il
existe un réel c(a, b) > 0 tel que deg pgcd(an − 1, bn − 1) 6 c(a, b).
Enfin si a et b appartiennent à un anneau de polynômes en une va-
riable sur un corps à q éléments, Silverman montre au contraire que le
pgcd est assez grand pour une infinité d’entiers n, plus précisément le
résultat principal de [S] (theorem 4) est le suivant : pour tous a et b
Manuscrit reçu le 11 janvier 2010, révisé le 10 octobre 2010.
Classification math. 11T55, 11R58, 11D61.
348 Laurent Denis
unitaires dans Fq[T ], pour tout entier k et d ∈ Z/qkZ, il existe un réel
c(a, b, qk) > 0 et une infinité d’entiers n congrus à d modulo qk tels que
deg pgcd(an − 1, bn − 1) > c(a, b, qk)n .
Silverman demande s’il existe aussi une infinité d’entiers n pour lesquels
le pgcd est borné. Dans cette note nous nous placerons sur un corps fini
et donnerons dans une première partie la réponse (partielle) suivante à la
question de Silverman :
Théorème 1.1. Soit Fq[T ] l’anneau des polynômes à coefficients dans le
corps à q éléments de caractéristique p. On suppose que l’entier n est pre-
mier et que la classe de p engendre le groupe multiplicatif (Z/nZ)∗.
a) Excepté le cas où on a à la fois p = 2 et 4 qui divise n− 3 on a :
pour tout a dans Fq[T ] − Fq, pgcd(an − 1, (a + 1)n − 1) = 1 si n > 2 ou
p différent de 3 et ce pgcd vaut a− 1 si n = 2 et p = 3.
b) On suppose p différent de 2 et on considère seulement des entiers naturels
D > 2 premiers avec p. Si ε > 0 alors il existe un entier q0 dépendant de
n, D et de ε tel que si q > q0,
card
{
(a,b) ∈ Fq[T]2
∣∣∣∣ a et b unitaires de degré Ddeg(pgcd(an − 1, bn − 1)) 6 D
}
> (1− ε) q
2D
D2n−2 .
Remarques. a) D’après le travail de Heath-Brown (voir [H-B]) sur la
conjecture d’Artin, les conditions du théorème sont vérifiées pour une infi-
nité d’entiers naturels premiers n sauf peut-être pour deux valeurs de p (et
pour toutes les valeurs de p si la conjecture d’Artin est vraie).
b) Quand le pgcd vaut 1 pour une valeur première m de l’exposant alors
par élévation des termes à la puissance p il vaut également 1 pour les valeurs
n = mps.
c) Si p = 2 et 4 divise n − 3 dans la partie a) du théorème la situation
est différente. Par exemple si n = 3 ou n = 7, le degré du pgcd est n − 1
alors que si n = 11 le pgcd reste 1.
Le résultat du b) viendra d’un théorème de Pollack sur l’hypothèse H de
Schinzel sur Fq[T ]. On peut améliorer le terme en ε en suivant exactement
l’énoncé obtenu par Pollack. On peut aussi obtenir un résultat de même
nature si a et b sont de degrés différents (et de degré inférieur à D) de
manière un peu plus rapide dans ce cas (voir la preuve du b) au paragraphe
suivant).
Enfin dans la seconde partie, nous considérerons l’analogue du problème
sur les modules de Drinfeld. On notera k = Fq(T ), k∞ = Fq((1/T )) son
complété pour la place à l’infini et k∞ une clôture algébrique de k∞.
Définition. Un module de Drinfeld de rang d > 0 sur Fq[T ] est un ho-
momorphisme injectif et Fq-linéaire d’anneaux, Φ : Fq[T ] → End(Ga) tel
que Φ(T ) = TF0 + ... + aiFi + ... + adFd où F est le Frobenius relatif à
Torsion et polynômes 349
l’exposant q et ad est non nul. Par la suite pour tout sous-anneau A de k∞
on dira que Φ est défini sur A quand les ai(1 6 i 6 d) appartiennent à
A. Pour N dans Fq[T ]-{0} l’ensemble des zéros du polynôme Φ(N)(X) est
celui des points de N -torsion du module de Drinfeld.
Comme Xn−1 est le polynôme dont les racines sont les points de torsion
d’ordre n du groupe multiplicatif, il est usuel de considérer Φ(N)(X) comme
un analogue satisfaisant en caractéristique p de ce polynôme.
On dira que deux éléments A et B de k∞[z], sont Φ-indépendants si toute
égalité du type Φ(N)(A) + Φ(M)(B) = 0 où N et M sont dans l’anneau
des endomorphismes EndΦ du module de Drinfeld (on rappelle qu’il s’agit
d’un Fq[T ]-module de type fini) entraîne N = 0 = M . C’est l’analogue de
l’indépendance multiplicative de deux entiers.
Comme c’est souvent le cas en caractéristique p sur un groupe additif,
cet analogue sur les modules de Drinfeld va s’avérer être beaucoup plus
proche de la situation sur les corps de fonctions en caractéristique nulle
que le précédent. On peut en fait se poser les deux questions suivantes :
Question 1. Si le module de Drinfeld est défini sur Fq[T ] et que A et B sont
des éléments de Fq[T ], quel est le comportement en fonction de N ∈ Fq[T ]
de l’expression pgcd(Φ(N)(A),Φ(N)(B)) dans Fq[T ] ?
Question 2. Si le module de Drinfeld est défini sur k∞ et que A et B sont
des éléments de k∞[z], quel est le comportement en fonction de N ∈ Fq[T ]
de l’expression pgcd(Φ(N)(A),Φ(N)(B)) dans k∞[z] ?
Les deux questions sont de nature différente. La question 1 plus arithmé-
tique est liée à la notion de multiplication complexe du module de Drinfeld.
Dans le cas d’un module de Carlitz Φ(T ) = TF0 + F, on sait par exemple
que si N est irréductible N divise tous les coefficients de Φ(N) et donc
notre pgcd n’est jamais borné. On va donc s’intéresser à la question 2 et
voir qu’il s’agit du "bon analogue" du problème d’Ailon et Rudnick. Nous
démontrerons le théorème suivant :
Théorème 1.2. Soit A et B des éléments de k∞[z] supposés Φ indépen-
dants alors il existe H ∈ Fq[T ] − {0} tel que pour tout N dans Fq[T ]-{0},
pgcd(Φ(N)(A),Φ(N)(B)) divise H.
Remarques. Au vu de ce résultat il pourrait être intéressant de formuler
(et de prouver) un résultat similaire sur les courbes elliptiques.
2. Preuve des théorèmes
2.1. Le théorème 1.1. Commençons par le a) du théorème 1.1, et plus
précisément par le cas a = T qui est d’ailleurs le cas particulier fondamental
déjà étudié dans [S]. On a la décomposition Tn− 1 = (T − 1)(1 +T + · · ·+
Tn−1). Nous supposerons maintenant que n est un nombre premier ; alors
350 Laurent Denis
on reconnaît le polynôme cyclotomique d’ordre n, Φn(T ) = 1 + T + · · · +
Tn−1. Si n = 2 la propriété énoncée au a) est vraie, nous supposerons donc
n > 2. Le polynôme Φn(T ) est irréductible sur Fp s’il n’a aucune racine
dans une extension quelconque de Fp de degré j 6 (n − 1)/2, c’est-à-dire
aucune racine dans Fpj pour tout tel j. Soit ξ une racine de Φn(T ) dans une
extension suffisamment grande de Fp. Dès que n est premier et différent de
p, ξ est une racine n-ième de l’unité d’ordre exactement n. Elle appartient
à F∗pj si et seulement si n divise p
j − 1 d’où l’irréductibilité de Φn(T ). En
substituant T + 1 à T on a aussi l’identité (T + 1)n − 1 = TΦn(T + 1)
et sous les hypothèses précédentes on a écrit la décomposition en facteurs
irréductibles de ce polynôme. Par conséquent pgcd(Tn − 1, (T + 1)n − 1) a
comme facteurs premiers éventuels T , T −1, Φn(T ) et Φn(T +1). Il est clair
que ni T ni T − 1 ne divisent ce pgcd. Reste à voir si Φn(T ) divise ce pgcd,
cela ne se produit que si Φn(T ) = Φn(T + 1). La comparaison des termes
de degré inférieur ou égal à 1 de ces polynômes fournit n = 1 modulo p,
puis n(n−1)/2 = 1 modulo p. Si p est impair, c’est absurde. Si p = 2, mais
que 4 divise n− 1, c’est également absurde.
Si on écrit alors une relation de Bezout entre Tn− 1, (T + 1)n− 1 et leur
pgcd, alors en spécialisant T en a(T ), on en déduit immédiatement le a).
Traitons maintenant le b) du théorème 1.1. Rappelons avec nos notations
le “theorem A” de Pollack (voir [P]) :
Theorem A. Soit (f1, ..., fr) un r-uplet de polynômes irréductibles non
associés de Fq[T ] tel que deg(
∏
16i6r fi) 6 B. Alors si les entiers 2D sont
premiers à p on a :
card
{
g
∣∣∣∣ g unitaire de degré Df1(g(T )), . . . , fr(g(T ))irréductibles
}
>
qD
Dr + OD,B(q
D−1/2).
Sous nos hypothèses on peut écrire :
a(T )n − 1 = (a(T )− 1)Φn(a(T )) et b(T )n − 1 = (b(T )− 1)(Φn(b(T )).
Pour conclure la preuve il suffit donc de prouver qu’aucun facteur irréduc-
tible de Φn(a(T )) ou de Φn(b(T )) ne divise le pgcd qu’on cherche à décrire
quand a et b sont bien choisis et de degré D.
Si ξ est une racine primitive n-ième de l’unité, elle engendre un corps
Fqm = Fq(ξ) oùm est l’ordre de q modulo n. On a Φn(T ) =
∏
16i6n−1
(T − ξi).
Ecrivons la décomposition en facteurs irréductibles unitaires de Φn(T )
sur Fq : Φn(T ) =
∏
16i6r Pi(T ), les racines de chaque polynôme P appa-
raissant dans cette décomposition sont des puissances de ξ et si ξj est une
racine de P alors ses autres racines sont de la forme ξjqs (pour un certain
entier s). Comme n est premier, on voit facilement que tous les polynômes
Pi de la décomposition précédente sont de degré m.
Torsion et polynômes 351
Rappelons brièvement que si F est un polynôme irréductible de degré
m = degF sur Fq[T ] et que G appartient à Fq[T ] alors le composé F (G)
est irréductible sur Fq[T ] si et seulement s’il existe une racine λ de F telle
que G(T )−λ soit irréductible sur Fqm [T ]. En effet une racine x de F (G)(T )
va être algébrique de degré degF.degG sur Fq si et seulement si pour au
moins une racine λ de F , G(T )− λ est associé au polynôme minimal de x
sur Fqm .
On applique alors le theorem A aux polynômes P1, ..., Pr dont le produit
est de degré n− 1 et on choisit a et b de degré D tels que tous les Pi(a(T ))
et Pi(b(T )), (1 6 i 6 r) soient irréductibles sur Fq, on a donc l’existence
d’entiers i1, i2 compris entre 1 et n−1 tels que a(T )−ξi1 et b(T )−ξi2 soient
irréductibles sur Fqm . Mais si pour un entier i1 le polynôme a(T )− ξi1 est
irréductible alors par action du groupe de Galois Gal(Fqm/Fq) (en utilisant
cette action pour chaque polynôme Pi) tous les polynômes a(T )− ξl pour
1 6 l 6 n − 1 sont irréductibles sur Fqm et de même pour les polynômes
b(T )−ξl. Pour qu’un facteur irréductible sur Fq[T ] soit commun à Φn(a(T ))
et à Φn(b(T )) il faut donc qu’on ait une égalité Pi(a(T )) = Pj(b(T )) et donc
une égalité a(T )− ξu = b(T )− ξv (pour certains entiers u, v). Ceci est évité
dès que a(T ) − b(T ) n’est pas un élément de Fq. Le cardinal des couples
(a(T ), b(T )) qui vérifient a(T )− b(T ) ∈ Fq, avec des composantes unitaires
de degré D est qD+1. On ne considère alors que les couples (a(T ), b(T ))
dont les deux coordonnées apparaissent dans le theorem A et qui vérifient
a(T ) − b(T ) /∈ Fq, avec ces précautions pgcd(Φn(a(T )),Φn(b(T )) = 1. Si
m > 1, un facteur irréductible de Φn(a(T )) est de degré mD et ne peut pas
non plus diviser b(T )−1. On a donc deg pgcd(an−1, bn−1) 6 deg(a−1) 6
D. Enfin si m = 1 ceci implique qu’on a un a(T )− ξi1 irréductible sur Fq et
on arrive facilement à la même conclusion quand a(T )− b(T ) /∈ Fq. Comme
r 6 n− 1, le cardinal des couples désirés dans le théorème 1.1,b) est donc
supérieur à ( q
D
Dn−1 +OD,B(q
D−1/2))2 − qD+1 d’où le résultat.
2.2. Le théorème 1.2. Regardons pour commencer le cas dégénéré d =
0, module à action dite triviale. Dans ce cas pgcd(Φ(N)(A),Φ(N)(B)) =
pgcd(NA,NB) = Npgcd(A,B) ne dépend pas de N dans k∞[z]. Par la
suite nous supposerons d > 0 et conserverons les notations du théorème
1.2.
Tout comme dans la preuve d’Ailon et Rudnick nous utiliserons un théo-
rème à la "Manin-Mumford". Dans le cadre des modules de Drinfeld la
preuve de ce théorème est due à Scanlon [Sc]. En particulier ce dernier
prouve qu’une courbe irréductible C du plan affine ne peut rencontrer une
infinité de points de torsion du produit direct Φ × Φ de deux modules de
Drinfeld que si C est la translatée d’un sous-T -module par un point de
torsion.
352 Laurent Denis
L’équation d’un sous-T -module de dimension un de Φ × Φ est de la
forme Φ(Q)(X) + Φ(R)(Y ) = 0 où Q et R appartiennent à EndΦ (voir
par exemple l’appendice de [T]). Donc l’équation d’un translaté par un
point de torsion est Φ(Q)(X) + Φ(R)(Y ) + ξ = 0 où ξ est un point de
torsion du module de Drinfeld. Par conséquent si A(z) et B(z) sont Φ-
indépendants, {(A(z), B(z)) | z ∈ k∞} est une courbe irréductible du plan
affine qui ne contient qu’un nombre fini de points de torsion de Φ×Φ. Ainsi
S = {s ∈ k∞/(A(s), B(s)) est un point de torsion} est un sous-ensemble
fini de k∞.
Donc pgcd(Φ(N)(A(z)),Φ(N)(B(z))) =
∏
s∈S(z − s)e(s) où e(s) est un
entier naturel. Or Φ(N)(A(z)) = c(N)
∏
x∈KerΦ(N)(A(z) − x) où c(N) est
dans k∞. Comme les racines de Φ(N) sont simples, si z − s apparaît dans
le pgcd cherché, il existe un unique x dans le noyau de Φ(N) tel que z − s
divise A(z) − x et pour des raisons de degré e(s) 6 deg(A). Il suffit donc
de prendre H(z) =
∏
s∈S(z − s)min(degA,degB) pour achever la preuve du
théorème 1.2.
Remarques. L’analogue des compléments prouvés par Ailon et Rudnick
peut aussi être traité et est laissé au lecteur (voir [AR]).
Remerciements. L’auteur remercie vivement l’arbitre pour lui avoir si-
gnalé une erreur et avoir grandement contribué à la clarté de cet article.
Bibliographie
[AR] N. Ailon, Z. Rudnick, Torsion point on curves and common divisors of ak − 1 and
bk − 1. Acta. Arithmetica 113 :1 (2004), 31–38.
[BCZ] Y. Bugeaud, P. Corvaja, U. Zannier, An upper bound for the G.C.D. of an − 1 and
bn − 1. Math. Zeit. 243 :1 (2003), 79–84.
[H-B] D.R. Heath-Brown, Artin’s conjecture for primitive roots. Quart. J. Math. Oxford Ser
(2) 37 (1986), 27–38.
[P] P. Pollack, An explicit approach to hypothesis H over a finite field. À paraître dans : The
anatomy of integers. Proceedings of a conference on the anatomy of integers, Montreal,
March 13th-17th, 2006, eds : J.M. de Koninck, A. Granville and F. Luca.
[Sc] T. Scanlon,Diophantine geometry of the torsion of a Drinfeld module. Journal of number
theory 97 :1 (2002), 10–25.
[S] J. Silverman, Common divisors of an − 1 and bn − 1 over function fields. New York
Journal of Mathematics 10 (2004), 37–43.
[T] A. Thiery, Théorème de Lindemann-Weierstrass pour les modules de Drinfeld. Compo-
sitio Math. 95 :1 (1995), 1–42.
Laurent Denis
Université des sciences et technologies de Lille
Batiment M2
59655 Villeneuve d’ascq Cedex
E-mail: Laurent.Denis@math.univ-lille1.fr


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