Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

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The probability that a complete intersection is smooth

Joseph H. Silverman

Lehmer’s conjecture for polynomials satisfying a congruence divisibility condition and an analogue for elliptic curves

Gaël Rémond

Gaël RÉMOND
Borne polynomiale pour le nombre de points rationnels des courbes
Tome 23, no 1 (2011), p. 251-255.
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Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 23 (2011), 251-255
Borne polynomiale pour le nombre de points
rationnels des courbes
par Gaël RÉMOND
Résumé. Soit F un polynôme en deux variables, de degré D et
à coefficients entiers dans [−M,M ] pour M ≥ 3. Alors le nombre
de zéros rationnels de F est soit infini soit plus petit que M23
D2
.
Nous montrons aussi une version plus générale sur les corps de
nombres.
Abstract. Polynomial bound for the number of rational points
on curves.
Let F be a polynomial in two variables with integer coefficients,
D its degree and M ≥ 3 an upper bound for the absolute value of
its coefficients. Then the number of rational zeroes of F is either
infinite or less than M23
D2
, a polynomial bound in M . We also
give a more general statement for number fields. The proof is
a variation on an earlier result together with an easy counting
lemma for rational points.
1. Introduction
Le but de cette note est de borner le nombre de zéros rationnels d’un
polynôme à coefficients entiers de manière polynomiale en ses coefficients.
Théorème 1. Soit F ∈ Z[X,Y ] de degré D et soit M ≥ 3 un majorant
de la valeur absolue des coefficients de F . Alors l’ensemble {(x, y) ∈ Q2 |
F (x, y) = 0} est ou bien infini ou bien de cardinal au plus M23
D2
.
Le résultat précédent s’obtient en fait comme cas particulier d’un théo-
rème sur les corps de nombres. Nous y utilisons la hauteur d’un polynôme
(logarithmique, absolue et définie par des normes du supremum à l’infini).
La notation ∆K/Q désigne le discriminant absolu d’un corps de nombres K.
Théorème 2. Soient K un corps de nombres et F ∈ K[X,Y ] de degré D.
Alors, si l’ensemble {(x, y) ∈ K2 | F (x, y) = 0} est fini, il est de cardinal
au plus
exp
(
23D
2
[K : Q]4 max(h∞(F ), log |∆K/Q|, 1)
)
.
252 Gaël Rémond
Nous obtenons cette borne en modifiant légèrement l’approche de [R2].
Dans cet article précédent, nous démontrions le même énoncé avec la borne :
exp
(
5D4 [K : Q]5 max(h∞(F ), log |∆K/Q|, 1) log(h∞(F ) + 2)
)
.
Nous améliorons donc la dépendance en la hauteur (et très légèrement
celle en le degré de K) au prix d’une perte assez sensible sur le terme de
degré.
Les calculs de [R2] se basent sur le travail effectué dans [R1]. Pour comp-
ter les points rationnels d’une courbe de genre au moins deux, nous les
séparons en deux ensembles : d’une part les grands points font l’objet de la
méthode de Vojta-Faltings-Bombieri et il faut borner par ailleurs les petits
points. Pour cela, dans [R1] et [R2], nous invoquons un théorème de Phi-
lippon et David sur le problème de Bogomolov (voir [DP]) qui permet de
majorer assez finement le nombre de petits points.
De manière un peu plus précise, avec les notations du théorème 2 ci-
dessus, la hauteur critique (celle qui sépare petits et grands points) se trouve
être linéaire en h(F ). Par suite la borne de Philippon-David est polynomiale
en h(F )r où r est le rang de la jacobienne sur K. Ceci semble à première
vue polynomial en h(F ) donc encore meilleur que ce que l’on veut obtenir
(exponentiel en h(F )). Malheureusement, les estimations connues pour le
rang r (voir [R2]) sont elles-mêmes linéaires en h(F ) d’où la dépendance
qui apparaît dans [R2]. Pour être complet, disons aussi que le nombre de
grands points se borne en cr pour une constante c ne comportant pas de
termes de hauteur.
Ici, nous changeons le décompte des petits points. Au lieu du résultat fin
de [DP], nous employons un décompte beaucoup plus élémentaire : nous
majorons le nombre de points de hauteur bornée sur C par le nombre
de points de hauteur bornée dans un espace projectif dans lequel C est
plongée. La dépendance en la hauteur critique devient exponentielle au
lieu de polynomiale mais le rang disparaît de l’estimation des petits points.
Ainsi la borne finale est de la forme exp(c′h(F )) + cr ≤ exp(c′′h(F )) pour
diverses constantes c, c′ et c′′ indépendantes de la hauteur. La perte sur D
provient de l’estimation de c′.
2. Décompte
Nous utiliserons l’effectivisation élémentaire suivante du théorème de
Northcott.
Lemme 1. Le nombre de points de Pn(Q) de degré au plus D et de hauteur
au plus H est majoré par exp((n+ 1)D3(H + 2)).
Démonstration. Dans un premier temps, nous associons à chaque point x
concerné un (n + 1)-uplet (x0, . . . , xn) de coordonnées projectives formé
Borne polynomiale pour le nombre de points rationnels des courbes 253
d’entiers algébriques tels que h∞(1, x0, . . . , xn) ≤ DH (voir lemme 5.1 de
[R2]). Nous associons ensuite à chaque xi son polynôme minimal Pi ∈ Z[X]
de degré Di ≤ D puis le polynôme Qi = XD−DiPi unitaire de degré D.
De cette façon, nous avons défini une application de notre ensemble vers
Z(n+1)D (qui envoie x sur les coefficients des Qi). Chaque fibre de cette
application contient au plus Dn+1 points. D’autre part la valeur absolue
d’un coefficient de Qi (ou de Pi) est majorée de la manière suivante :∣∣∣∣∣∣
∑
j1<···<jk
σj1(xi) · · ·σjk(xi)
∣∣∣∣∣∣ ≤
(
Di
k
)∏
v|∞
max(1, |xi|nvv ) ≤ 2DieDih(xi)
où 1 ≤ k ≤ Di, la lettre v désigne une place de K = Q(xi) et nv = [Kv : Qv]
est le degré local tandis que les σj pour 1 ≤ j ≤ Di sont les différents
plongements de K dans C. Par suite le nombre cherché est au plus
Dn+1(2D+1eD2H + 1)(n+1)D
et cette quantité est facilement majorée par celle de l’énoncé. 
Nous nous référons maintenant à la deuxième partie du théorème 2.1 de
[R1]. Dans les définitions qui le précèdent, si l’on utilise Γ = A(K) alors on
peut remplacer la fonction Ω qui comptait les petits points à la façon de
[DP] par une expression tirée du lemme précédent. Plus précisément dans
les notations de [R1] nous remplaçons
Ω(r, 1,degX, c)
par
exp((n+ 1)[K : Q]3((c+ 1) max(1, cNT, h1) + 2))
(on note la disparition du rang r). Nous souhaitons maintenant procéder
comme dans la proposition 10.1 de [R2] c’est-à-dire appliquer ceci à une
courbe C = X de genre g ≥ 2 plongée dans sa jacobienne elle-même plon-
gée dans Pn avec n = 24g − 1 par un plongement thêta associé à (seize
fois) un diviseur thêta symétrique de la jacobienne. Dans ce cadre, David
et Philippon montrent cNT ≤ 4g+1hθ + 3g log 2 (proposition 3.9 de [DP])
et h1 ≤ 2(4g − 1)hθ (proposition 3.7) où hθ est la hauteur thêta utilisée
dans [R2]. En outre degX = 16g donc la quantité D apparaissant dans le
théorème 2.1 de [R1] vaut max(16g, 214) que nous majorons par 27g. En
combinant tout ceci, il vient
CardC(K)
≤ exp((n+ 1)26g[K : Q]3(n+ 1)2D20(2 + 3 log(n+ 1)) max(1, cNT, h1))
+ (3(n+ 1)2D12)r
≤ exp(24g26g[K : Q]328g2140g(11g)(4g+1hθ + 3g)) + (3.28g284g)r
≤ exp(2164g[K : Q]3 max(1, hθ)) + 294gr
254 Gaël Rémond
où sur la première ligne nous avons remplacé [K : Q] par 22g[K : Q] pour
tenir compte de l’extension de corps éventuelle pour rendre le diviseur thêta
symétrique.
3. Calculs
Il reste à reprendre les calculs de la dernière partie de [R2] à partir de
la formule ci-dessus pour aboutir au théorème 2. Pour alléger, nous notons
comme dans cet article H1 = max(h∞(F ), log |∆K/Q|, 1).
Nous suivons d’abord la proposition 10.1. Dans le cas présent, nous de-
vons montrer
exp(2164g[K : Q]3 max(1, hθ)) + 294gr +D2 ≤ exp(23
D2 [K : Q]4H1).
La majoration de r + 1 qui figure dans [R2] entraîne d’une part 94gr ≤
5D4−64[K : Q]4H1 donc 294gr + D2 est inférieur à la moitié du majorant
cherché. Pour hθ, les calculs donnent
max(1, hθ) ≤ 15DD
3−3m20m8
g
H1
≤ DD3−1(4D2)20m8gH1
≤ 2D(D3−1)/2+(D+2)20m8gH1
≤ 2D4/2+20D48gH1
(où à chaque étape nous tirons profit des majorations faites dans la preuve
de la proposition 10.1 de [R2]). Nous estimons encore 2164g ≤ 282D2 ≤ 26D4
pour aboutir à
2164gmax(1, hθ) ≤ 221D
48g−1H1.
Il reste à constater que 21D48g est au plus 3D2 (avec g ≤ (D−1)(D−2)/2).
Ensuite, dans la démonstration de la proposition 10.2, nous modifions
simplement la dernière majoration pour écrire
D12[K : Q] log(h∞(F ) + 2) ≤ 2D12[K : Q]4H1
et retrouver la même borne que précédemment grâce à l’estimation très
large 2D12 ≤ 23D
2
.
Il n’y a rien à changer au lemme 10.1 qui utilise seulement que la borne
doit être supérieure à D2. Pour montrer l’analogue du lemme 10.2, en sui-
vant son argument (et ses notations), il nous suffit de montrer
s∑
i=1
23
D2
i (4D + 1) ≤ 23D
2
ou encore
5D223(D−2)
2
≤ 23D
2
.
Borne polynomiale pour le nombre de points rationnels des courbes 255
Ceci est à nouveau très largement vérifié et permet donc de terminer la
démonstration du théorème 2. Le théorème 1 s’en déduit immédiatement
par h∞(F ) ≤ logM et [K : Q] = ∆K/Q = 1.
Bibliographie
[DP] S. David et P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de
variétés abéliennes. Comment. Math. Helv. 77 (2002), 639–700.
[R1] G. Rémond, Décompte dans une conjecture de Lang. Invent. math. 142 (2000), 513–545.
[R2] G. Rémond, Nombre de points rationnels des courbes. Proc. London Math. Soc. 101 (2010),
759–794.
Gaël Rémond
Institut Fourier, UMR 5582
BP 74
38402 Saint-Martin-d’Hères Cedex, France
E-mail: Gael.Remond@ujf-grenoble.fr


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