Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Yuichiro Hoshi

Yu Iijima

The pro-$l$ outer Galois actions associated to modular curves of prime power level

Masanobu Kaneko

Fumi Sakurai

Hirofumi Tsumura

On a duality formula for certain sums of values of poly-Bernoulli polynomials and its application

Georges Gras

On the order modulo $p$ of an algebraic number

Toshiro Hiranouchi

Class field theory for open curves over local fields

Lukas Spiegelhofer

Pseudorandomness of the Ostrowski sum-of-digits function

Sean Howe

Transcendence of the Hodge–Tate filtration

Samuel Pilon

Damien Roy

Samuel PILON et Damien ROY
Construction de nombres extrémaux pour le problème de l’approximation
simultanée d’un nombre et de son carré
Tome 30, no 3 (2018), p. 873-877.
<http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2018__30_3_873_0>
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Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 30 (2018), 873–877
Construction de nombres extrémaux
pour le problème de l’approximation simultanée
d’un nombre et de son carré
par Samuel PILON et Damien ROY
Résumé. Nous considérons le problème de l’approximation simultanée d’un
nombre et de son carré dans un cadre général qui englobe aussi bien les corps
quadratiques imaginaires que les corps de fonctions rationnelles en une va-
riable. Dans ce contexte, nous construisons de nouveaux nombres extrémaux.
Abstract. We consider the problem of simultaneous approximation to a
number and to its square in a general framework that encompasses imaginary
quadratic number fields and fields of rational functions in one variable. In
this context, we construct new extremal numbers.
Le problème de l’approximation simultanée d’un nombre et de son carré
a été initialement considéré par Davenport et Schmidt comme outil pour
l’approximation des nombres réels par les entiers algébriques cubiques. En
2013, Bel a étendu le cadre de ce problème à un corps de nombres K
quelconque.
Pour son résultat principal, Bel choisit, pour chaque place v de K, la
valeur absolue | · |v qui étend la valeur absolue usuelle de Q si v est ar-
chimédienne, ou sa valeur absolue p-adique usuelle si v est au-dessus d’un
nombre premier p (on a alors |p|v = p−1). Il fixe aussi une place w de
K et désigne par Kw le complété de K pour cette valeur absolue et par
OK,w l’ensemble des éléments x de K tels que |x|v ≤ 1 pour toute place
v de K distincte de w. En notant par γ = (1 +
√
5)/2 le nombre d’or, le
théorème 1.1 de [1] s’énonce ainsi.
Théorème 1 (Bel). Soient K et w comme ci-dessus.
(a) Pour chaque ξ ∈ Kw tel que 1, ξ, ξ2 soient linéairement indépen-
dants sur K, il existe une constante c > 0 telle que les conditions
|x0|w ≤ X et max{|x0ξ − x1|w, |x0ξ2 − x2|w} ≤ cX−1/γ
Manuscrit reçu le 28 avril 2017, accepté le 16 juin 2017.
Classification Mathématique (2010). 11J13, 11J61.
Mots-clefs. approximation simultanée, géométrie des nombres, corps de fonctions, nombres
extrémaux.
Les auteurs remercient le CRSNG pour son appui financier à cette recherche, en particulier
pour la bourse de recherche de premier cycle accordée au premier auteur.
874 Samuel Pilon, Damien Roy
n’admettent pas de solution non nulle (x0, x1, x2) ∈ O3K,w pour des
nombres réels X arbitrairement grands.
(b) Pour chaque ε > 0, il existe un nombre ξ ∈ Kw qui est transcendant
sur K tel que les conditions
|x0|w ≤ X et max{|x0ξ − x1|w, |x0ξ2 − x2|w} ≤ X−1/γ+ε
admettent une solution non nulle (x0, x1, x2) ∈ O3K,w pour tout
nombre réel X assez grand.
Dans les travaux antérieurs à Bel, on n’avait considéré que le corps K =
Q. Dans ce cas, si w = ∞ on a Kw = R et OK,w = Z. La partie (a) du
théorème reprend alors le contenu du théorème 1a de [3], tandis que la
partie (b) est démontrée sous une forme plus forte au théorème 1.1 de [4],
avec la borne X−1/γ+ε remplacée par c′X−1/γ pour un c′ > 0, les nombres
réels ξ qui réalisent cette borne étant dits extrémaux.
Si on prend pour w la place de Q associée à un nombre premier p, on
a Kw = Qp et OK,w = Z [1/p] ∩ [−1, 1]. La partie (a) est alors équivalente
au cas n = 3 du théorème 2 de [6], tandis que la partie (b) est prouvée
indépendamment par Zelo au théorème 1.3.4 de [7] et par Bugeaud dans [2].
Dans ce cas, on ne connait pas de nombres extrémaux et on doute de leur
existence.
Le but de cet article est de présenter de nouvelles situations pour les-
quelles il existe des nombres extrémaux, en conséquence du résultat suivant.
Théorème 2. Soient A un anneau intègre et K son corps des fractions.
On suppose qu’il existe une valeur absolue non triviale | · | sur K telle que
|a| ≥ 1 pour tout a ∈ A \ {0}, et on note K le complété de K pour cette
valeur absolue.
(a) Supposons que A soit un anneau à factorisation unique. Alors, pour
tout ξ ∈ K tel que 1, ξ et ξ2 sont linéairement indépendants sur K,
il existe une constante c1 > 0 et des nombres réels X arbitrairement
grands tels que les inégalités
(1) |x0| ≤ X et L(x) := max{|x0ξ − x1|, |x0ξ2 − x2|} ≤ c1X−1/γ
ne possèdent aucune solution non nulle x = (x0, x1, x2) ∈ A3.
(b) Il existe ξ ∈ K tel que 1, ξ et ξ2 sont linéairement indépendants
sur K et une constante c2 > 0 telle que pour tout X assez grand les
inégalités
(2) |x0| ≤ X et L(x) := max{|x0ξ − x1|, |x0ξ2 − x2|} ≤ c2X−1/γ
possèdent une solution non nulle x = (x0, x1, x2) ∈ A3.
Par exemple, on peut prendre pour A l’anneau des polynômes F [u] en
une indéterminée sur un corps quelconque F . En munissant cet anneau
de la valeur absolue |p| = edeg(p) et en étendant cette dernière au corps
Construction de nombres extrémaux 875
K = F (u), on obtient pour complété K = F ((1/u)). Alors le théorème
montre l’existence de séries ξ ∈ F ((1/u)) avec une propriété d’approxima-
tion extrémale.
Lorsque K est un corps de nombres, la condition |a| ≥ 1 pour tout a ∈ A
implique que K ne possède qu’une place archimédienne w, que | · | est une
valeur absolue associée à cette place et que A est contenu dans l’anneau des
entiers OK = OK,w de K. Alors, selon la partie (a) du théorème de Bel cité
précédemment, le théorème 2(a) demeure vrai sans supposer que A soit à
factorisation unique. Donc le théorème 2(b) montre l’existence de nombres
complexes extrémaux sur l’anneau des entiers d’un corps quadratique ima-
ginaire donné, par exemple sur Z[i] ou sur Z[
√
−5].
Démonstration de la partie (a). On reprend la démonstration de [3,
Theorem 1a] en supposant que les inégalités (1) admettent une solution
non-nulle x = (x0, x1, x2) dans A3 pour tout X assez grand, disons pour
tout X ≥ X0. En vertu des hypothèses sur A, on peut se restreindre aux
solutions primitives, c’est-à-dire celles pour lesquelles pgcd(x0, x1, x2) = 1.
Le but est de montrer que c1 > c(ξ) > 0. Cela permet de supposer que
c1 < 6−1/2 et que X0 ≥ 1.
Pour chaque X ≥ X0, on note S(X) l’ensemble non vide des solutions
primitives de (1) dans A3, et on pose `(X) = inf{L(x) ; x ∈ S(X)}. Comme
L(x) < (6X)−1/2 pour tout x ∈ S(X), les estimations de [3, Lemma 4]
montrent que le déterminant de n’importe quels trois points de S(X) est
en valeur absolue inférieur à 1, donc nul. Ainsi, S(X) est contenu dans
un sous-K-espace vectoriel V de K3 de dimension au plus 2 et l’argument
de [3, Lemma 5] permet de conclure que `(X) > 0. On peut donc construire
récursivement une suite de points primitifs (xi)i≥1 dans A3 en choisissant,
pour chaque i ≥ 1,
xi ∈ S(X̃i−1) tel que L(xi) < 2`(X̃i−1)
où X̃i−1 = X0 si i = 1 et X̃i−1 =
(
2c1/L(xi−1)
)γ si i > 1. Alors, en posant
Xi = |xi,0| et Li = L(xi) pour tout i ≥ 1, on obtient
(3) Li ≤ 2c1X−1/γi+1 , Li+1 ≤ Li/2 et Xi ≤ Xi+1 (i ≥ 1).
En effet, comme xi+1 ∈ S(X̃i), on a Xi+1 ≤ X̃i, donc Li = 2c1X̃−1/γi ≤
2c1X−1/γi+1 . Comme xi+1 ∈ S(X̃i), on a aussi Li+1 ≤ c1X̃
−1/γ
i = Li/2. Enfin,
puisque Li < 2`(X̃i−1), cette dernière inégalité implique Li+1 < `(X̃i−1),
donc xi+1 /∈ S(X̃i−1), et par suite Xi+1 > X̃i−1 ≥ Xi.
Les inégalités (3) impliquent que limi→∞Xi =∞ car si la suite (Xi)i≥1
était bornée supérieurement par un nombre réel X, on aurait `(X) ≤ Li
pour tout i ≥ 1, donc `(X) = 0, ce qui est impossible. Comme Li 6= Li+1, on
observe aussi que les points xi et xi+1 sont linéairement indépendants sur
876 Samuel Pilon, Damien Roy
K pour tout i ≥ 1. Partant de là, on conclut en reprenant, avec des chan-
gements mineurs, le reste de l’argument de Davenport et Schmidt dans [3,
§3]. Par exemple si, pour un entier i ≥ 1, on a xi,0xi,2 − x2i,1 = 0, alors
xi = a(m2,mn, n2) pour une unité a de A et un point non nul (m,n) de
A2. Comme |a| = 1, on en déduit que |m| = X1/2i et que |mξ−n| ≤ X
−1/2
i Li.
Démonstration de la partie (b). Soit ρ > 1 et soit (aj)j≥1 une suite
d’éléments de A avec |aj | ≥ 1 + ρ pour tout j ≥ 1. On peut donner un
sens à la fraction continue ξ = [0, a1, a2, a3, . . . ] comme limite dans K
des quotients pj/qj où (pj)j≥0 et (qj)j≥0 sont les suites d’éléments de A
caractérisées par(
qj qj−1
pj pj−1
)
=
(
a1 1
1 0
)(
a2 1
1 0
)
· · ·
(
aj 1
1 0
)
(j ≥ 1).
En effet, on vérifie que |qj+1| ≥ ρ|qj | et que |pj+1/qj+1−pj/qj | = 1/|qjqj+1|
pour tout j ≥ 1. On en déduit que (pj/qj)j≥1 est une suite de Cauchy dans
K qui converge vers un élément ξ de K avec |ξ − pj/qj | ≤ c0|qj |−2 pour
tout j ≥ 1, où c0 = ρ/(ρ2 − 1).
Comme dans [4, §2], on choisit a et b dans A distincts ayant |a| , |b| ≥
1 + ρ, et on prend ξ = [0, w] = [0, a, b, a, a, b, . . . ] où w = abaab . . . est
le mot de Fibonacci sur {a, b}, limite de la suite de mots (wi)i≥1 définie
récursivement par w1 = a, w2 = ab et wi = wi−1wi−2 pour i ≥ 3 dans le
monoïde E∗ des mots sur {a, b}. On applique ensuite le résultat de Berstel
suivant lequel, pour tout i ≥ 1, le mot wi+2 privé de ses deux dernières
lettres est un palindrome mi. Son image sous le morphisme de monoïdes
Φ: E∗ → GL2(A) qui applique a sur ( a 11 0 ) et b sur
(
b 1
1 0
)
est donc une
matrice symétrique qui s’écrit
Mi = Φ(mi) =
(
xi,0 xi,1
xi,1 xi,2
)
pour un triplet xi = (xi,0, xi,1, xi,2) ∈ A3. En vertu des considérations
initiales, on en déduit, pour tout i ≥ 1, les inégalités |xi,0ξ−xi,1| ≤ c3|xi,0|−1
et |xi,1ξ − xi,2| ≤ c3|xi,1|−1, donc L(xi) ≤ c3X−1i en posant Xi = |xi,0| et
c3 = (1 + |ξ|)c0.
Soient J =
( 0 1
−1 0
)
et S = ( a 11 0 )
(
b 1
1 0
)
. D’après [4, Lemme 2.1], on a
Mi+1 = MiSiMi−1 pour tout i ≥ 2, où Si = S si i est pair et Si = St sinon.
Grâce aux formules de [5, §2], on en déduit que
det(xi−1,xi,xi+1) = − trace(JMiJMi+1JMi−1)
= det(Mi−1Mi) det(SiJ) = ±(a− b) 6= 0.
Comme x−1i,0 xi converge dans K vers le point (1, ξ, ξ2), on conclut que 1,
ξ et ξ2 sont linéairement indépendants sur K (voir la preuve de [5, Theo-
rem 5.1]).
Construction de nombres extrémaux 877
Partant de là, on reprend l’argument de [4, Théorème 2.2]. On trouve que
Xi/(Xi−2Xi−1) converge vers |θ| avec θ = ξ2 + (a+ b)ξ+ (ab+ 1) 6= 0, puis
qu’il existe des constantes c5 > c4 > 0 telles que les rapports ri = Xi/Xγi−1
satisfassent c4r−1/γi−1 ≤ ri ≤ c5r
−1/γ
i−1 pour tout i ≥ 3. En choisissant c4 assez
petit et c5 assez grand de sorte que cγ4/c5 ≤ r2 ≤ c
γ
5/c4, on en déduit par
récurrence que cγ4/c5 ≤ ri ≤ c
γ
5/c4 pour tout i ≥ 2. Cela corrige une erreur
à la fin de la démonstration de [4, Théorème 2.2] et montre en particulier
que Xi+1 ≤ (cγ5/c4)X
γ
i pour tout i ≥ 1, donc L(xi) ≤ c3X
−1
i ≤ c2X
−1/γ
i+1
pour i ≥ 1, avec c2 = c3c1/γ4 /c5. Enfin, pour tout X ∈ R avec X ≥ X1,
il existe un indice i ≥ 1 tel que Xi ≤ X ≤ Xi+1 et alors le point x = xi
satisfait les inégalités (2). Donc ξ possède les propriétés requises.
Bibliographie
[1] P. Bel, « Approximation simultanée d’un nombre v-adique et de son carré par des nombres
algébriques », J. Number Theory 133 (2013), no 10, p. 3362-3380.
[2] Y. Bugeaud, « On simultaneous uniform approximation to a p-adic number and its square »,
Proc. Am. Math. Soc. 138 (2010), no 11, p. 3821-3826.
[3] H. Davenport & W. M. Schmidt, « Approximation to real numbers by algebraic integers »,
Acta Arith. 15 (1969), p. 393-416.
[4] D. Roy, « Approximation simultanée d’un nombre et de son carré », C. R. Math. Acad. Sci.
Paris 336 (2003), no 1, p. 1-6.
[5] ———, « Approximation to real numbers by cubic algebraic integers I », Proc. Lond. Math.
Soc. 88 (2004), p. 42-62.
[6] O. Teulié, « Approximation d’un nombre p-adique par des nombres algébriques », Acta Arith.
102 (2002), no 2, p. 137-155.
[7] D. Zelo, « Simultaneous approximation to real and p-adic numbers », Thèse, Université
d’Ottawa (Canada), 2009, https://arxiv.org/abs/0903.0086.
Samuel Pilon
Département de mathématiques et de statistique
Université d’Ottawa
150 Louis Pasteur
Ottawa, Ontario K1N 6N5, Canada
E-mail: spilo077@uottawa.ca
Damien Roy
Département de mathématiques et de statistique
Université d’Ottawa
150 Louis Pasteur
Ottawa, Ontario K1N 6N5, Canada
E-mail: droy@uottawa.ca
URL: http://aix1.uottawa.ca/~droy


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