Annales Mathématiques Blaise Pascal

Martine Picavet-L’Hermitte

Cale Bases in Algebraic Orders

Michel Marias

$L^{p}$-boundedness of oscillating spectral multipliers on Riemannian manifolds

Naji Yebari

Abderahmane Elkhattat

Stabilisation uniforme d’une équation des poutres d’Euler-Bernoulli

Marie-Josée Jasor

Laurent Lévi

Singular Perturbations for a Class of Degenerate Parabolic Equations with Mixed Dirichlet-Neumann Boundary Conditions

Youssef Akdim

Elhoussine Azroul

Abdelmoujib Benkirane

Existence of Solution for Quasilinear Degenerated Elliptic Unilateral Problems

Denis-Charles Cisinski

Images directes cohomologiques dans les catégories de modèles

Dominique Manchon

Charles Torossian

Cohomologie tangente et cup-produit pour la quantification de Kontsevich

Ming Gen Cui

Huan Min Yao

Huan Ping Liu

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Ming Gen Cui, Huan Min Yao, Huan Ping Liu
The Affine Frame in p-adic Analysis
Volume 10, no2 (2003), p. 297-303.
<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2003__10_2_297_0>
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d’utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute utilisation commerciale
ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute
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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l’université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques
http://www.cedram.org/
Annales Mathematiques Blaise Pascal 10, 297-303 (2003)
The Affine Frame in p-adic Analysis
Ming Gen Cui
Huan Min Yao
Huan Ping Liu
Abstract
In this paper, we will introduce the concept of affine frame in
wavelet analysis to the field of p-adic number, hence provide new
mathematic tools for application of p-adic analysis.
1 Introduction
The concept of affine frame was introduced to wavelet analysis at first in
reference [2]. And the theory of affine frame was studied in reference [3] and
[4] further. In this paper, we introduce the concept of affine frame in wavelet
analysis to the field of p-adic number as the discrete formula of wavelet
transform. Before now, we have introduced the wavelet transform to the
field of p-adic analysis([1]). General knowledge on p-adic analysis see [6].
It is known that if x = pr
∑n
k=0 xkp
−k ∈ R+ ∪ {0}, x0 6= 0. 0 ≤ xk ≤
p− 1, k = 1, 2, · · · , then there is another expression for x.
x = pr(
n−1∑
k=0
xkp
−k + (xn − 1)p−n + (p− 1)
∞∑
k=n+1
p−k) (1.1)
We don’t adopt this expression. Let M
R
be the set of numbers in the form
of (1.1). An mapping ρ was introduced in reference [5], which ρ : Qp →
R+ ∪ {0}, for x = p−r
∑∞
x=0 xkp
k, x0 6= 0, 0 ≤ p− 1, k = 1, 2, · · ·
ρ(x) = p−r−l
∞∑
k=0
xkp
−k (1.2)
For a
R
, b
R
∈ R+ ∪ {0}, mapping (1.2) follows that
b
R
− a
R
= µ([ap, bp]), ap = ρ
−1(a
R
), bp = ρ
−1(b
R
)
297
M.G. Cui, H.M. Yao and H.P. Liu
and then we have the following lemma.
Lemma 1.1: Let f(xp) ∈ L2(Qp) and fR(xR)
def
= f(ρ(xp)), xp ∈ Qp, , xR =
ρ(xp) then ∫ bp
ap
f(xp)dxp =
∫ b
R
a
R
f
R
(x
R
)dx
R
,
where a
R
= ρ(ap), bR = ρ(bp).
Remark: µ
{[
ap, bp]} is defined as the infimum of measure of all the
disjoint discs covering
{
Bri(ai)
}
for interval [ap, bp], and for complex-valued
function f , the integral of f is defined by∫
[ap,bp]
fdxp
def
= inf{Bri (ai)}
∑
i
f(ai)µ
(
Bri(ai)
)
.
2 The Frame in L2(Qp)
Let f, h ∈ L2(Qp). The following we will discuss conditions of {hm,n} becomes
to the frame of L2(Qp). Here, the so-called frame defined as: ∃A, B > 0 such
that
A‖f‖2L2(Qp) ≤
∑
m,n
|(f, hmn)|2L2(Qp) ≤ B‖f‖
2
L2(Qp)
where
‖f‖2L2(Qp) =
∫
Qp
|f |2dxp
(f, hmn)L2(Qp) =
∫
Qp
fhmndxp
It is known that if {hmn} is the frame of L2(Qp), then the function f ∈
L2(Qp) can be express as
f(xp) =
∑
m,n
(f, h∗mn)L2(Qp)hmn(xp) =
∑
m,n
(f, hmn)L2(Qp)h
∗
mn (2.1)
here h∗mn = S−1hmnis the dual frame of hmn,and S : L2(Qp) → L2(Qp) is
the frame operator.
Sf =
∑
m,n
(f, hmn)L2(Qp)hmn
298
The Affine Frame In p-adic Analysis
Theorem2.1. Let f, h ∈ L2(Qp) be complex-value function, and h(0) =
0, x
R
= ρ(xp), xp ∈ Qp \ M, here M = ρ−1(MR), and measure of set M be
equal to 0. Select b0 = pr(b0), r(b0) ∈ Z, a0 = pr(a0), r(a0) ∈ Z. If
(1) ∃A, B > 0 such that for ω 6= 0
A ≤ G(ω) def=
∑
m∈Z
∣∣ĥ1( ω
am0
)
∣∣2 ≤ B,
(2) suppĥ1 ⊂ [− 12b0 ,
1
2b0
]
then {
hmn(xp)
def
= a
m/2
0 h
(
α
(m)
n (xp)− xp
a−m0
)}
n,m∈Z
is a frame of L2(Qp), where
α(m)n (xp) =
{
ρ−1(x
R
+ a−m0 nb0) + xp , xR + a
−m
0 nb0 > 0
xp , xR + a
−m
0 nb0 ≤ 0
the sign̂ denotes the Fourier transform
f̂(w) =
∫
R
f(x)e−2πiωxdx
and h1 is defined from(2.3).
Proof. From the definition of α(m)n (xp), we have
(Sf, f)
L2(Qp)
=
∑
m,n∈Z
∣∣(f, hmn)L2(Qp)∣∣2
=
∑
m,n∈Z
am0
∣∣∣∣∣
∫
Qp\M
f(xp)h
{
α
(m)
n (xp)− xp
a−m0
}
dxp
∣∣∣∣∣
2
=
∑
m,n∈Z
am0
∣∣∣∣∫
R+∪{0}
f
R
(x
R
)h1
{
x
R
+ a−m0 nb0
a−m0
}
dx
R
∣∣∣∣2 (2.2)
where x
R
= ρ(xp), xp ∈ Qp \M, fR(xR) = f(ρ−1(xR)),
h1(xR) =
{
h(ρ−1x
R
), x
R
> 0
h(0), x
R
≤ 0 (2.3)
299
M.G. Cui, H.M. Yao and H.P. Liu
Let
f+
R
(x
R
) =
{
f
R
(x
R
), x
R
≥ 0
0, x
R
< 0
Thus, from(2.2), the following equalities hold∑
m,n∈Z
∣∣(f, hmn)L2(Qp)∣∣2
=
∑
m,n∈Z
am0
∣∣∣∣∫
R
f+
R
(x
R
)h1
(x
R
+ a−m0 nb0
a−m0
)
dx
R
∣∣∣∣2
=
∑
m,n∈Z
a−m0
∣∣∣∣∫
R
f̂+
R
(ω)ĥ1(
ω
am0
)exp(2πia−m0 nb0ω)dω
∣∣∣∣2
=
∑
m,n∈Z
a−m0
∣∣∣∣∣∣
∫ am0
2b0
−
am0
2b0
f̂+
R
(ω)ĥ1(
ω
am0
)exp(2πia−m0 nb0ω)dω
∣∣∣∣∣∣
2
(2.4)
In the last equality, we used suppĥ1 ⊂ [− a
m
0
2b0
,
am0
2b0
]. But
1
am0 /b0
∫ am0
2b0
− a
m
0
2b0
f̂+R (ω)ĥ1(
ω
am0
) exp
(
2πia−m0 nb0ω
)
dω
is the Fourier coefficient of the function f̂+
R
(ω)ĥ1(
ω
am0
). Denotes this coeffi-
cient by c−n. By the Parseval equality, we have
∑
n∈Z
∣∣cn∣∣2 = 1
a2m0 /b
2
0
∑
n∈Z
∣∣∣∣∣∣∣
∫ am0
2b0
− a
m
0
2b0
f̂+R (ω)ĥ1(
ω
am0
) exp
(
2πia−m0 nb0ω
)
dω
∣∣∣∣∣∣∣
2
=
b0
am0
∫ am0
2b0
− a
m
0
2b0
∣∣∣∣f̂+R (ω)ĥ1( ωam0 )
∣∣∣∣2 dω (2.5)
By (2.4), we have
∑
m,n∈Z
∣∣∣(f, hmn)L2(Qp)∣∣∣2 = 1b0 ∑
m∈Z
∫ am0
2b0
− a
m
0
2b0
∣∣∣∣f̂+R (ω)ĥ1( ωam0 )
∣∣∣∣2 dω
300
The Affine Frame In p-adic Analysis
=
1
b0
∫
R
|f̂+R (ω)|
2|ĥ1(
ω
am0
)|2dω (2.6)
Here
G(ω) =
∑
m∈Z
∣∣∣∣ĥ1( ωam0 )
∣∣∣∣2 (2.7)
Finally, by the condition of theorem 0 < A ≤ |G(ω)|2 ≤ B and formula
(2.6), we have
∑
m,n∈Z
|(f, hmn)L2(Qp) |
2 =
 ≥
1
b0
A
∫
R
|f̂+
R
(ω)|2dω
≤ 1
b0
B
∫
R
|f̂+
R
(ω)|2dω
But∫
R
|f̂+
R
(ω)|2dω =
∫
R
|f+
R
(x
R
)|2dx
R
=
∫
R+∪{0}
|f
R
(x
R
)|2dx
R
=
∫
Qp
|f(xp)|2dxp
= ‖f‖2L2(Qp)
Hence, the theorem follows. 
3 Dual frame h∗mn
It is known that if {hmn}mn construct a frame of L2(Qp), then expression
(2.1) is valid. From (2.6), we have
(Sf, f)L2(Qp) =
1
b0
∫
R
|f̂+
R
(ω)|2G(ω)dω
=
1
b0
∫
R
(
f̂+
R
G
)∨
(x
R
)f
+
R
(x
R
)dx
R
=
1
b0
∫
R+∪{0}
(f̂+
R
G)∨(x
R
)f
R
(x
R
)dx
R
=
1
b0
∫
Qp
(
f̂+
R
G
)∨(
ρ(xp)
)
f(xp)dxp (3.1)
where xp = ρ−1(xR), xR ∈ R
+ ∪ {0}, and “∨" is the sign of Fourier inverse
transform. Here, we use lemma A.
301
M.G. Cui, H.M. Yao and H.P. Liu
(3.1) can be rewritten as
(Sf, f)L2(Qp) =
1
b0
(
(f̂+R G)
∨(ρ(xp)), f(xp))
L2(Qp)
(3.2)
Since f is an arbitrary function in Qp,(
Sf
)
(xp) =
1
b0
(
f̂+R G
)∨(
ρ(xp)
)
(3.3)
or for x ∈ R+ ∪ {0}, we conclude that
(Sf)
R
(x
R
) =
1
b0
(
f̂+R G
)∨
(x
R
), (Sf)
R
= S(f ◦ ρ−1) (3.4)
On the basis of formula (3.4), we can extend the domain of function (Sf)
R
(x
R
)
onto R. Therefore
(Sf)∧
R
(ω) =
1
b0
f̂+R (ω)G(ω), ω ∈ R
+ ∪ {0} (3.5)
Replacing f by S−1f in the formula (3.5), we have
f̂
R
(ω
R
) =
1
b0
̂(S−1f)+
R
(ω)G(ω)
Thus
̂(S−1f)+
R
(ω
R
) =
b0f̂R(ω)
G(ω)
or
(S−1f)
+
R
(x
R
) = b0
{ f̂
R
G
}∨
(x
R
)
For x
R
≥ 0, we have
(S−1f)
R
(x
R
) = b0
{ f̂
R
G
}∨
(x
R
)
or
(S−1f)(xp) = b0
( f̂
R
G
)∨(
ρ(xp)
)
So for f
R
(x
R
), x
R
≥ 0,(S−1f)(xp) = b0[fR ∗ (G−1)∨] is valid. Finally, We
have
h∗mn(xp) = b0[(hmn)R ∗ (G−1)∨](ρ(xp)),
where the sign ∗ denotes convolution.
302
The Affine Frame In p-adic Analysis
References
[1] M.G. Cui. Note on the wavelet transform in the field qp of p-adic numbers.
Appl. and Computational hormonic Analgsis, 13:162–168, 2002.
[2] I. Daubechies, A. Grossman, and Y. Meyer. Painless nonorthogonal ex-
pansion. J. Math. Phys., 27:1271–1283, 1986.
[3] E. Ch. Heil and F. Walnut. Continuous and discrete wavelet transforms.
SIAM Review, 31:628–666, 1989.
[4] B. Lian, K. Liu, and S.-T. Yau. Mirror principle I. Asian J. Math.,
4:729–763, 1997.
[5] S.V.Kozyrev. Wavelet theory as p-adic spectral analysis. Izv. Russ. Akad.
Nauk, Ser. Math., 66:149–158, 2002.
[6] V.S.Vladimirov, I.V.Volovich, and E.I.Zelenov. p-adic analysis and Math-
ematical Physics. World Scientific, 38 -112, 1994.
Ming Gen Cui Huan Min Yao
Harbin Institute of Technology Harbin Normal University
Department of Mathematics Department of Information
Wen Hua Xi Road Science
Weihai, Shandong He Xing Road
P.R. CHINA Harbin, Heilongjiang
cmgyfs@263.net P.R. CHINA
hmyao@0451.com
Huan Ping Liu
Harbin Normal University
Department of Information
Science
He Xing Road
Harbin, Heilongjiang
P.R. CHINA
hpliu@vip.0451.com
303


The Affine Frame in $p$-adic Analysis

Jean-Claude Jolly

Solutions à $\varepsilon $ près de systèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires de type mixte posés sur des ouverts non bornés

Sylvie Monniaux

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Sylvie Monniaux
Unicité dans Ld des solutions du système de
Navier-Stokes : cas des domaines lipschitziens
Volume 10, no1 (2003), p. 107-116.
<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2003__10_1_107_0>
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Clermont-Ferrand — France
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Annales Mathematiques Blaise Pascal 10, 107-116 (2003)
Unicité dans Ld des solutions du système de
Navier-Stokes : cas des domaines lipschitziens
Sylvie Monniaux1
Résumé
On prouve l’unicité des solutions du système de Navier-Stokes in-
compressible dans C([0, T );Ld(Ω)d), où Ω est un domaine lipschitzien
borné de Rd (d ≥ 3).
1 Introduction
On s’intéresse dans cet article au système de Navier-Stokes incompressible
dans des domaines fortement lipschitziens bornés de Rd, avec donnée au bord
de Dirichlet et donnée initiale u0 à divergence nulle :
∂u
∂t
−∆u +∇ · (u⊗ u) +∇π = 0 dans (0, T )× Ω
div u = 0 dans (0, T )× Ω
u = 0 sur (0, T )× ∂Ω
u(0, ·) = u0 dans Ω,
(1.1)
Plus particulièrement, on étudie le problème de l’unicité des solutions u
du système (1.1) ayant la régularité C([0, T ); Ld(Ω)d), si elles existent. Dans
le cas de l’espace tout entier (Ω = Rd), la preuve de l’unicité de telles solutions
est due à G. Furioli, P.-G. Lemarié-Rieusset et E. Terraneo dans [5]. D’autres
preuves mettant en oeuvre des méthodes originales ont suivi ; on citera en
particulier Y. Meyer [9], P.-L. Lions et N. Masmoudi [8] et S. Monniaux [10].
Tous ces résultats sont présentés dans le livre de P.-G. Lemarié-Rieusset [7].
Dans les articles [8] et [10], la méthode utilisée s’adapte au cas des domaines
réguliers bornés de Rd ; on pourra aussi citer l’article de H. Amann [1]. Le
cas des domaines extérieurs à frontière régulière a été étudié par N. Depauw
1Ce travail a été effectué lors d’une visite de l’auteur au Center of Mathematics
and its Applications, Australian National University, Canberra - Australie.
107
Sylvie Monniaux
[3] ; notons que la preuve de [10] s’adapte aussi dans ce cas. On pourra se
reporter à la très complète présentation de cet historique par M. Cannone
dans [2].
Le cas des domaines lipschitziens est plus délicat. Le semi-groupe de
Stokes permettant de donner une expression des solutions du système (1.1)
dans les cas précédents n’est pas analytique dans Lp pour tout p ; P. Deuring
dans [4] en a donné des contre-exemples. M. Taylor, dans [14], établit la
conjecture que le semi-groupe de Stokes est analytique dans Lp pour tout
p ∈ [3
2
, 3], s’appuyant sur le caractère borné du projecteur de Leray dans
cet intervalle (voir [6]). Mais à ce jour, aucune preuve de ce résultat n’est
disponible. Une version faible de l’analyticité en dimension 3 peut être trou-
vée dans [11]. L’auteur dans [12] a contourné ce problème de non analy-
ticité en utilisant un résultat de Z. Shen [13] pour montrer, en dimension 3,
l’unicité des solutions de (1.1) dans la classe des fonctions continues en temps,
à valeurs L3 en variable d’espace. Nous proposons ici une adaptation de cette
méthode aux domaines lipschtziens bornés Ω de dimension quelconque d ≥ 3
afin de montrer l’unicité des solutions du système de Navier-Stokes (1.1) dans
C([0, T ); Ld(Ω)d).
Cet article se compose de trois parties. Dans un premier temps, nous
rappelons le théorème de Shen ([13], Theorem 5.1.2) qui est la clé de la
démonstration proposée ici. Ensuite, nous nous intéressons au problème de
Stokes linéaire non autonome : nous donnons les estimations qui seront utiles
dans la dernière partie. Enfin, nous établissons le résultat d’unicité annoncé
plus haut.
2 Le problème de Stokes avec donnée au bord
Nous allons commencer cette partie en rappelant la propriété de régularité
maximale du laplacien dans Rd (d ≥ 3) qui nous sera utile dans différentes
démonstrations. On note (et∆)t≥0 le semi-groupe de la chaleur dans Rd ; son
action est donnée par la convolution par le noyau de la chaleur (pt)t>0 défini
sur Rd par pt(x) = (4πt)−
d
2 e−
|x|2
4t , t > 0, x ∈ Rd.
Proposition 2.1: Soit T > 0 (on autorise aussi le cas T = +∞). Soit MT
l’opérateur défini sur les fonctions régulières de (0, T )× Rd par
MT f(t) =
(
d
dt
−∆
)−1
(−∆f)(t) =
∫ t
0
e(t−s)∆(−∆f)(s)ds, t ∈ (0, T ).
108
Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens
Alors pour tous p, q ∈ (1,∞), l’opérateur MT est borné de Lp(0, T ; Lq(Rd))
dans Lp(0, T ; Lq(Rd)) et ‖MT‖L(Lp(0,T ;Lq(Rd))) est indépendante de T .
Preuve: Ce résultat est classique. On pourra en trouver une démonstration
dans [7], Theorem 7.3, page 64.
Soit maintenant, et dans toute la suite de cet article, Ω un domaine
fortement lipschtzien de dimension d ≥ 3, soit τ > 0. On considère le
problème au bord suivant :
∂v
∂t
−∆v +∇q = 0 dans (0, τ)× Ω
div v = 0 dans (0, τ)× Ω
v = g sur (0, τ)× ∂Ω,
(2.1)
où g est une fonction définie sur (0, τ) × ∂Ω. Soit K est la matrice d × d
donnée par l’expression
Ki,j(t, x) = δi,jpt(x) +
∫ ∞
t
∂2ps
∂xi∂xj
(x)ds, t > 0, x ∈ Rd,
où pt, t > 0, est le noyau de la chaleur dans Rd défini plus haut. Le théorème
de Shen ([13], Theorem 5.1.2) établissant l’existence et l’unicité de solution
du système (2.1) pour certaines données au bord g s’énonce de la manière
suivante :
Théorème 2.2: On note L2N(∂Ω)d l’espace des fonctions γ ∈ L2(∂Ω)d) telles
que
∫
∂Ω
γ ·Ndσ = 0, où N désigne la normale extérieure en un point de ∂Ω.
Il existe un opérateur borné T : L2(0, τ ; L2N(∂Ω)d) → L2(0, τ ; L2(∂Ω)d) tel
que pour toute fonction g ∈ L2(0, τ ; L2N(∂Ω)d), il existe une unique solution
v ∈ L2(0, τ ; L
2d
d−1 (Ω)d) de (2.1) donnée par la formule de potentiel double
couche suivante
v(t, x) =
∫ t
0
∫
∂Ω
∂K
∂N(y)
(t− s, y − x)(T g)(s, y)dσ(y)ds
−
∫
∂Ω
y − x
|y − x|3
(T g)(t, y) ·N(y)dσ(y),
(2.2)
pour x ∈ Ω et t ∈ (0, τ). De plus, il existe une constante κ > 0 indépendante
de g telle que
‖v‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
≤ κ‖g‖L2(0,τ ;L2(∂Ω)d). (2.3)
109
Sylvie Monniaux
Preuve: L’existence et le caractère borné de l’opérateur T ainsi que l’expres-
sion (2.2) ont été montrés par Shen dans [13], Theorem 5.1.2. Il reste
à prouver la propriété d’intégrabilité de la solution v donnée par (2.2) et
l’inégalité (2.3). Soit une fonction ϕ ∈ D((0, τ) × Ω)d ; il nous faut estimer
la quantité
∫ τ
0
∫
Ω
v(t, x) · ϕ(t, x)dxdt
par la norme de g dans L2(0, τ ; L2(∂Ω)d) multipliée par la norme de ϕ dans
l’espace dual de L2(0, τ ; L
2d
d−1 (Ω)d), c’est-à-dire L2(0, τ ; L
2d
d+1 (Ω)d). D’après
(2.2) et l’expression de K en fonction du noyau de la chaleur dans Rd, on a
∫ τ
0
∫
Ω
v(t, x) · ϕ(t, x)dxdt
=
∫ τ
0
∫
Ω
dxdt
d∑
i=1
{
ϕi(t, x)
(∫ t
0
∫
∂Ω
d∑
j=1
∂Ki,j
∂N(y)
(t− s, y − x)(T g)j(s, y)dσ(y)ds
−
∫
∂Ω
yi − xi
|y − x|d
[(T g)(t, y) ·N(y)]dσ(y)
)}
=
∫ τ
0
∫
Ω
dxdt
d∑
i=1
{
ϕi(t, x)
(∫ t
0
∫
∂Ω
∂pt−s
∂N(y)
(y − x)(T g)i(s, y)dσ(y)ds
+
∫ t
0
∫
∂Ω
d∑
j=1
∂
∂N(y)
[∫ ∞
t−s
∂2pr
∂xi∂xj
(y − x)dr
]
(T g)j(s, y)dσ(y)ds
−
∫
∂Ω
yi − xi
|y − x|d
[(T g)(t, y) ·N(y)]dσ(y)
)}
.
Si on note encore ϕ la fonction de (0, τ)× R3 qui vaut ϕ sur (0, τ)× Ω et 0
110
Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens
ailleurs, en échangeant l’ordre d’intégration, cette dernière égalité devient∫ τ
0
∫
Ω
v(t, x) · ϕ(t, x)dxdt
=
∫ τ
0
∫
∂Ω
dσ(y)ds
d∑
i=1
(T g)i(s, y)
[
∂
∂N(y)
(∫ τ
s
e(t−s)∆ϕi(t, ·)dt
)
(y)
+
∂
∂N(y)
∫ τ
s
(
d∑
j=1
∂2
∂xj∂xi
{∫ ∞
t−s
er∆ϕj(t, ·)dr
}
(y)
)
dt
]
−
∫ τ
0
∫
∂Ω
(div (−∆Id)−1ϕ(t, ·))(y)(T g)(t, y) ·N(y)dσ(y)dt
=
∫ τ
0
∫
∂Ω
(T g)(s, y) · (N(y) · ∇)[(−∆Id)−1PM∗ϕ](s, y)dσ(y)dt
−
∫ τ
0
∫
∂Ω
(div (−∆Id)−1ϕ(t, ·))(y)[(T g)(t, y) ·N(y)]dσ(y)dt,
où Id est l’identité sur Rd, P est le projecteur de Leray (P = Id+∇(−∆)−1div ;
c’est la projection sur les fonctions à divergence nulle) et M∗ est l’opérateur
dual de M = M+∞Id (M+∞ est l’opérateur de régularité maximale défini
dans la Proposition 2.1). Des propriétés du laplacien dans Rd nous déduisons
les estimations suivantes
‖div (−∆Id)−1ϕ‖
L2(0,τ ;W
1, 2d
d+1 (Rd)d)
≤ C1‖ϕ‖
L2(0,τ ;L
2d
d+1 (Ω)d)
et
‖∇[(−∆Id)−1PM∗ϕ]‖
L2(0,τ ;W
1, 2d
d+1 (Rd)d)
≤ C2‖ϕ‖
L2(0,τ ;L
2d
d+1 (Ω)d)
.
D’après les propriétés de l’opérateur de trace sur ∂Ω et les injections de
Sobolev appropriées, on obtient alors
‖Tr∂Ω[div (−∆Id)−1ϕ]‖L2(0,τ ;L2(∂Ω)) ≤ C ′1‖ϕ‖
L2(0,τ ;L
2d
d+1 (Ω)d)
et
‖Tr∂Ω(N(·) · ∇)[(−∆Id)−1PM∗ϕ]‖L2(0,τ ;L2(∂Ω)d) ≤ C ′2‖ϕ‖
L2(0,τ ;L
2d
d+1 (Ω)d)
.
Ces deux dernières estimations ainsi que l’expression du produit scalaire de
v par ϕ nous permettent alors de conclure.
111
Sylvie Monniaux
3 Estimations des solutions du problème
linéaire non autonome
Nous nous intéressons maintenant au problème de Stokes non autonome sui-
vant
∂u
∂t
−∆u +∇π = f dans (0, τ)× Ω
div u = 0 dans (0, τ)× Ω
u = 0 sur (0, τ)× ∂Ω
u(0, ·) = 0 dans Ω.
(3.1)
Nous allons déterminer dans le théorème suivant pour quelles fonctions f ce
système (3.1) admet une solution u avec de “bonnes" propriétés.
Théorème 3.1: Pour tout r ∈ [ 2d
d+1
, 2[, pour tout f ∈ L2(0, τ ; W−1,r(Ω)d), il
existe une solution u ∈ L2(0, τ ; L
2d
d−1 (Ω)d) unique de (3.1) vérifiant
‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
≤ ωr(τ)‖f‖L2(0,τ ;W−1,r(Ω)d), (3.2)
où ωr(τ) = O(τ
d+1
4
− d
2r ).
Preuve: L’idée est ici d’étendre le problème à Rd tout entier, puis de se
ramener à un problème au bord du type (2.1). Soit r ∈ [ 2d
d+1
, 2[ et f ∈
L2(0, τ ; W−1,r(Ω)d). On étend f à Rd tout entier de telle façon que l’extension
notée f̃ vérifie
‖f̃‖L2(0,τ ;W−1,r(Rd)d) ≤ c‖f‖L2(0,τ ;W−1,r(Ω)d),
où c est une constante indépendante de f . On note alors
U = P(−∆Id)−
1
2 (MτId)(−∆Id)−
1
2 f̃
= P
(
d
dt
)−1
(−∆Id)
1
2 (Id −MτId)(−∆Id)−
1
2 f̃
où l’opérateur de régularité maximaleMτ a été défini dans la Proposition 2.1.
On a donc U ∈ L2(0, τ ; W 1,r(Rd)d) ∩W 1,2(0, τ ; W−1,r(Rd)d) et il existe une
constante γr > 0 indépendante de f et de τ telle que
‖U‖
L2(0,τ ;W
d
r−
d−1
2 ,r(Rd)d)
≤ γrτ
d+1
4
− d
2r ‖f‖L2(0,τ ;W−1,r(Ω)d).
Les propriétés de l’opérateur de trace ainsi que les injections de Sobolev nous
montrent alors que T∂ΩU ∈ L2(0, τ ; L2(∂Ω)d), de norme contrôlée indépen-
damment de τ par la norme de f dans L2(0, τ ; W−1,r(Ω)d). On considère alors
112
Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens
l’unique v donné par (2.2) du Théorème 2.2 avec g = T∂ΩU . Ainsi, en notant
RΩ la restriction à Ω des fonctions définies sur Rd, la fonction u = RΩU−v est
l’unique solution de (3.1) cherchée. Finalement, (3.2) découle de l’injection
de Sobolev suivante
W
d
r
− d−1
2
,r(Ω)d ↪→ L
2d
d−1 (Ω)d
en dimension d. Ce qui termine la démonstration du Théorème 3.1.
4 Unicité des solutions continues en temps, à
valeurs dans Ld
Tous les outils sont maintenant en place pour démontrer l’unicité des solu-
tions du système de Navier-Stokes (1.1).
Théorème 4.1: Supposons que u1 et u2 sont deux solutions de (1.1) dans
l’espace C([0, T ); Ld(Ω)d). Alors u1 = u2 sur [0, T ).
Remarque: En dimension d = 3, ce théorème a déjà été démontré dans [12].
Preuve: Pour montrer que u1 = u2, nous appliquons la méthode classique
qui consiste à montrer que leur différence u = u1 − u2 est nulle sur un petit
intervalle partant de 0. La continuité des solutions implique que l’ensemble
des t pour lesquels u(t) = 0 est fermé dans [0, T ). D’autre part, la preuve qui
suit montre que cet ensemble est non vide et ouvert. On en déduit alors que
u = 0 sur [0, T ). Comme le domaine Ω est borné et u1, u2 ∈ C([0, T ); Ld(Ω)d),
on a aussi u1, u2 ∈ L2(0, T ; L
2d
d−1 (Ω)d) ; en effet, pour d ≥ 3, on a 2d
d−1 ≤ d.
Le but de la démonstration suivante est de montrer que la norme de u dans
L2(0, τ ; L
2d
d−1 (Ω)d) est nulle pour un τ > 0.
Dans un premier temps, soit p ∈] 2d
d−1 ,
2d
d−2 [ et u0,ε ∈ L
p(Ω)d à choisir plus
tard. Le système (1.1) vérifié par u1 et u2 devient pour u
∂u
∂t
−∆u +∇π = −∇ · (u⊗ u1 + u2 ⊗ u) dans (0, T )× Ω
div u = 0 dans (0, T )× Ω
u = 0 sur (0, T )× ∂Ω
u(0, ·) = 0 dans Ω.
(4.1)
On pose f = −∇ · (u ⊗ u1 + u2 ⊗ u) et on décompose cette distribution en
trois parties : f = f1 + f2 + f3 avec f1 = −∇· (u⊗ (u1−u0)+ (u2−u0)⊗u),
113
Sylvie Monniaux
f2 = −∇ · (u⊗ (u0− u0,ε) + (u0− u0,ε)⊗ u) et f3 = −∇ · (u⊗ u0,ε + u0,ε⊗ u).
On a les propriétés suivantes pour tout τ ∈ (0, T ] :
f1, f2 ∈ L2(0, τ ; W−1,
2d
d+1 (Ω)d) et f3 ∈ L2(0, τ ; W−1,r(Ω)d)
où r est défini par la relation 1
r
= 1
d
+ 1
p
: r ∈] 2d
d+1
, 2[. On a de plus les
estimations
‖f1‖
L2(0,τ ;W
−1, 2d
d+1 (Ω)d)
≤ ‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
·[
‖u1 − u0‖L∞(0,τ ;Ld(Ω)d) + ‖u2 − u0‖L∞(0,τ ;Ld(Ω)d)
]
,
‖f2‖
L2(0,τ ;W
−1, 2d
d+1 (Ω)d)
≤ 2‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
‖u0 − u0,ε‖Ld(Ω)d
et
‖f3‖L2(0,τ ;W−1,r(Ω)d) ≤ 2‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
‖u0,ε‖Lp(Ω)d .
D’après le Théorème 3.1 de la partie précédente (appliqué à chacune des
fi, i = 1, 2, 3) et l’estimation (3.2), il existe alors une unique solution u ∈
L2(0, T ; L
2d
d−1 (Ω)d) vérifiant pour tout τ ∈ (0, T ]
‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
≤ ω 2d
d+1
(τ)
[
‖f1‖
L2(0,τ ;W
−1, 2d
d+1 )
+ ‖f2‖
L2(0,τ ;W
−1, 2d
d+1 )
]
+ ωr(τ)‖f3‖L2(0,τ ;W−1,r).
Ainsi, on a une estimation de u de la forme :
‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
≤
(
ω 2d
d+1
(τ)
[
‖u1 − u0‖L∞(0,τ ;Ld(Ω)d) + ‖u2 − u0‖L∞(0,τ ;Ld(Ω)d)
]
+2ω 2d
d+1
(τ)‖u0 − u0,ε‖Ld(Ω)d + 2ωr(τ)‖u0,ε‖Lp(Ω)d
)
· ‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
.
On choisit maintenant u0,ε ∈ Lp(Ω)d de telle façon que
2ω 2d
d+1
(τ)‖u0 − u0,ε‖Ld(Ω)d <
1
4
.
D’autre part, comme u1 et u2 sont continues en temps et valent u0 en 0, on
a
lim
τ→0
‖u1 − u0‖L∞(0,τ ;Ld(Ω)d) = lim
τ→0
‖u2 − u0‖L∞(0,τ ;Ld(Ω)d) = 0.
114
Unicité pour Navier-Stokes dans les domaines lipschitziens
De plus, comme r ∈] 2d
d+1
, 2[, on a
lim
τ→0
ωr(τ) = 0.
Il existe donc τ > 0 tel que
ω 2d
d+1
(τ)
[
‖u1 − u0‖L∞(0,τ ;Ld(Ω)d) + ‖u2 − u0‖Ld(Ω)d
]
+ 2ωr(τ)‖u0,ε‖Lp(Ω)d <
1
4
.
Ainsi pour le τ choisi, on a
‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
≤ 1
2
‖u‖
L2(0,τ ;L
2d
d−1 (Ω)d)
.
Ce qui implique que u = 0 sur [0, τ), et ceci termine la démonstration.
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Sylvie Monniaux
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tions Appl., 42.
Sylvie Monniaux
Université Aix-Marseille 3
LATP - UMR 6632 - Case cour A
Av. Escadrille Normandie-Niemen
13397 Marseille Cédex
France
sylvie.monniaux@univ.u-3mrs.fr
116


Unicité dans $L^d$ des solutions du système de Navier-Stokes  : cas des domaines lipschitziens

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