Annales Mathématiques Blaise Pascal

Flavien Mabilat

Classification des entiers monomialement irréductibles et généralisations

Azeb Alghanemi

Khadijah Abdullah Sharaf

Hichem Chtioui

Mohamed Gdarat

Existence and multiplicity results for a fractional  curvature problem

Mohamed Ait Ouahra

Mohamed Mellouk

Hanae Ouahhabi

Aissa Sghir

An extension of the standard multifractional Brownian motion

Bruno Deschamps

Paul Rodriguez

Bruno Deschamps & Paul Rodriguez
De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiaires
Volume 32, no 1 (2025), p. 33-39.
https://doi.org/10.5802/ambp.432
Cet article est mis à disposition selon les termes de la licence
Creative Commons Attribution (CC-BY) 4.0.
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Publication éditée par le laboratoire de mathématiques Blaise Pascal
de l’université Clermont Auvergne, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
C EN T R E
MER S ENN E
Publication membre du centre
Mersenne pour l’édition scientifique ouverte
http://www.centre-mersenne.org/
e-ISSN : 2118-7436
Annales mathématiques Blaise Pascal 32, 33-39 (2025)
De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiaires
Bruno Deschamps
Paul Rodriguez
Résumé
Grâce à une généralisation du théorème de Brauer–Cartan–Hua, nous montrons qu’à l’exact contraire
du cas extérieur, quand on dispose d’une extension galoisienne, finie, intérieure et concentrique alors
aucune extension galoisienne intermédiaire stricte n’est stable par l’action du groupe de Galois.
On the Instability of Intermediate Galois Extensions
Abstract
Thanks to a generalization of the Brauer–Cartan–Hua theorem, we show that, to the exact opposite of
the outer case, when we take a concentric finite inner Galois extension there exists no strict intermediate
Galois extension invariant under the action of the Galois group.
1. Introduction
Notations. Si𝐻 désigne un corps, et 𝑎 ∈ 𝐻∗, on notera 𝐼 (𝑎) : 𝑥 ↦→ 𝑎𝑥𝑎−1 l’automorphisme
intérieur associé à l’élément 𝑎. Si Ω ⊂ 𝐻∗, on notera Int(Ω) = {𝐼 (𝑎), 𝑎 ∈ Ω}. Pour
toute extension de corps 𝐻/𝐾, on notera Int(𝐻/𝐾) l’ensemble des 𝐾-automorphismes
intérieurs de 𝐻 et 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐻 | ∀ 𝑦 ∈ 𝐾, 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥} le commutant (ou centralisateur) de
𝐾 dans 𝐻. On remarquera alors que Int(𝐻/𝐾) = Int(𝐾∗).
La théorie de Galois généralisée aux corps gauches1 n’est pas bien plus compliquée que
celle du cas des corps commutatifs. Il faut juste prêter attention aux automorphismes inté-
rieurs. Essentiellement, pour une extension galoisienne 𝐻/𝐾 finie, les correspondances
galoisiennes s’opèrent entre l’ensemble des extensions intermédiaires de 𝐻/𝐾 et l’en-
semble des sous-𝑁-groupes de Gal(𝐻/𝐾). Rappelons qu’un sous-groupe𝐺 < Gal(𝐻/𝐾)
est appelé 𝑁-groupe, si l’ensemble
A𝐺 = {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝐼 (𝑥) ∈ 𝐺} ∪ {0}
forme un sous-corps de 𝐻. La qualité, pour une extension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 , d’être
galoisienne sur 𝐾 se caractérise alors par le fait que le plus petit sous-𝑁-groupe qui
contient le normalisateur NGal(𝐻/𝐾 ) (Gal(𝐻/𝑀)) est égal à Gal(𝐻/𝐾) tout entier (on
Mots-clés : Théorie de Galois des corps gauches.
Classification Mathématique (2020) : 12E15.
1Nous renvoyons le lecteur à [1] et [3] pour un exposé complet de cette théorie.
33
B. Deschamps & P. Rodriguez
dit que Gal(𝐻/𝑀) est 𝑁-invariant). On voit que cette condition d’être 𝑁-invariant est,
a priori, plus faible que celle d’être distingué. En fait, la distinction d’un sous-groupe
caractérise la stabilité de l’extension associée :
Proposition 1.1. Soit 𝐻/𝐾 une extension galoisienne finie. Pour qu’une extension
intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 soit stable (i.e. l’orbite de 𝑀 sous l’action de Gal(𝐻/𝐾) est
ponctuelle), il faut et il suffit que Gal(𝐻/𝑀) soit distingué dans Gal(𝐻/𝐾). En particulier,
une extension intermédiaire stable est galoisienne sur 𝐾 et l’on a donc, en toute généralité,
𝑀/𝐾 galoisienne ⇐= 𝑀 est stable ⇐⇒ Gal(𝐻/𝑀) ⊳ Gal(𝐻/𝐾).
Démonstration. Posons 𝐺 = Gal(𝐻/𝑀), de sorte que 𝑀 = 𝐻𝐺 . On a alors
𝑀 = 𝐻𝐺 est stable ⇐⇒ ∀ 𝜎 ∈ Gal(𝐻/𝐾), 𝐻𝐺 = 𝜎
(
𝐻𝐺
)
= 𝐻𝜎𝐺𝜎
−1
.
Si 𝜎𝐺𝜎−1 est lui aussi un 𝑁-groupe, on pourra affirmer, grâce aux correspondances
galoisiennes, que 𝐻𝐺 = 𝐻𝜎𝐺𝜎−1 =⇒ 𝜎𝐺𝜎−1 = 𝐺. Montrons que c’est bien toujours le
cas :
A ∗
𝜎𝐺𝜎−1
= {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝐼 (𝑥) ∈ 𝜎𝐺𝜎−1} = {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝜎−1 ◦ 𝐼 (𝑥) ◦ 𝜎 ∈ 𝐺}
= {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝐼 (𝜎−1 (𝑥)) ∈ 𝐺} = {𝑥 ∈ 𝐻∗ | 𝜎−1 (𝑥) ∈ A ∗𝐺} = 𝜎(A
∗
𝐺).
Puisque 𝐺 est un 𝑁-groupe l’ensemble A𝐺 est un corps et il en est donc de même de
𝜎(A𝐺) = A𝜎𝐺𝜎−1 , c’est-à-dire que 𝜎𝐺𝜎−1 est bien un 𝑁-groupe. □
Lorsque l’extension 𝐻/𝐾 est extérieure (e.g. lorsque 𝐻 est commutatif), c’est-à-dire
lorsque Gal(𝐻/𝐾) ne contient aucun automorphisme intérieur, tous les sous-groupes sont
des 𝑁-groupes et l’on a donc l’équivalence
𝑀/𝐾 galoisienne ⇐⇒ 𝑀 est stable.
L’objet de cette note est de montrer qu’en toute généralité, cette équivalence n’est pas
valable : quand on introduit des automorphismes intérieurs un phénomène d’instabilité
peut apparaitre. Introduisons quelques éléments de terminologie : si 𝐻/𝐾 désigne une
extension galoisienne finie, on dira qu’elle est stable (resp. totalement stable) si toute
extension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 galoisienne sur 𝐾 (resp. a priori quelconque) est stable
sous l’action de Gal(𝐻/𝐾). Une extension non stable sera qualifiée d’instable et l’on
réservera la terminologie de totalement instable lorsque, à part les cas 𝑀 = 𝐾 et 𝑀 = 𝐻,
aucune extension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 n’est stable sous l’action de Gal(𝐻/𝐾).
Comme on vient de le rappeler, on voit qu’une extension galoisienne finie extérieure
𝐻/𝐾 est toujours stable, mais on notera qu’elle n’est que rarement totalement stable,
cette dernière condition équivalent en fait à dire que tout sous-groupe de Gal(𝐻/𝐾) est
distingué. Dans une extension totalement stable, tout sous-corps intermédiaire est en fait
34
De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiaires
galoisien sur 𝐾 , la réciproque étant fausse (voir exemple en fin de texte). Enfin, on notera
que pour être à la fois totalement stable et totalement instable il faut et il suffit d’être
simple (i.e. sans extension intermédiaire, e.g. d’ordre premier).
Dans ce texte, on commence par étudier le cas des extensions qui sont galoisiennes,
intérieures (i.e. Gal(𝐻/𝐾) = Int(𝐻/𝐾)) et finies. On montre (corollaire 2.3) qu’à
l’exact contraire du cas extérieur, quand 𝐻/𝐾 est supposée en plus concentrique (i.e.
𝑍 (𝐻) = 𝑍 (𝐾)) alors elle est totalement instable. Pour autant, il existe des situations dans
le cas intérieur non concentrique où l’équivalence reste vraie et où l’on peut même assurer
du caractère totalement stable (voir corollaire 2.4). Finalement, en application de ces
résultats nous proposons dans la section 3, un découpage systématique pour une extension
galoisienne finie donnée en trois parties « totalement stable/totalement instable/stable ».
2. Cas des extensions intérieures
Pour étudier cette question d’instabilité, nous commençons par donner une généralisation
d’un théorème dû à Cartan, Brauer et Hua :
Théorème 2.1. Soient 𝐻 un corps, 𝐻0 ⊂ 𝐻 un sous-corps et 𝐺 = Int(𝐻∗0). Si 𝑀 ⊂ 𝐻 est
un sous-corps stable par 𝐺, alors, ou bien 𝑀 ⊂ 𝐻0, ou bien 𝐻0 ⊂ 𝑀 .
Démonstration. Un petit calcul élémentaire montre que, pour tout 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, on a
( [𝑏, 𝑎] − [𝑏, 𝑎 − 1])𝑎 = 1 − [𝑏, 𝑎 − 1]
où [ · , · ] désigne le commutateur. Par hypothèse, pour tout 𝑏 ∈ 𝑀 et tout 𝑎 ∈ 𝐻∗0, on
a [𝑏, 𝑎] = 𝑏.(𝑎𝑏−1𝑎−1) ∈ 𝑀, si bien que si [𝑏, 𝑎 − 1] (qui est lui aussi élément de
𝑀) est différent de 1 alors, 𝑎 = ( [𝑏, 𝑎] − [𝑏, 𝑎 − 1])−1 (1 − [𝑏, 𝑎 − 1]) ∈ 𝑀. Puisque
[𝑏, 𝑎 − 1] ≠ 1 ⇔ [𝑏, 𝑎] ≠ 1, on voit donc que, dès que 𝑎 ∈ 𝐻∗0 et 𝑏 ∈ 𝑀 ne commutent
pas, on a nécessairement 𝑎 ∈ 𝑀 .
Supposons que 𝑀 ⊄ 𝐻0 et fixons alors un élément 𝑏0 ∈ 𝑀 −𝐻0 et un élément 𝑎0 ∈ 𝐻0
tel que [𝑏0, 𝑎0] ≠ 1. D’après ce qui précède, on a 𝑎0 ∈ 𝑀 . Pour tout 𝑎 ∈ 𝐻0, on a alors :
• si [𝑏0, 𝑎] ≠ 1 alors 𝑎 ∈ 𝑀 , d’après ce qui précède ;
• si [𝑏0, 𝑎] = 1 alors [𝑏0, 𝑎+𝑎0] ≠ 1 (car 𝑏0 (𝑎+𝑎0)−(𝑎+𝑎0)𝑏0 = 𝑏0𝑎0−𝑎0𝑏0 ≠ 0)
et donc, toujours d’après ce qui précède, 𝑎+𝑎0 ∈ 𝑀 . Comme 𝑎0 ∈ 𝑀 , finalement
𝑎 ∈ 𝑀 .
On vient bien de prouver que, si 𝑀 ⊄ 𝐻0 alors 𝐻0 ⊂ 𝑀 . □
Si l’on choisit 𝐻0 = 𝐻, alors 𝐻0 = 𝑍 (𝐻) et l’on retrouve le
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B. Deschamps & P. Rodriguez
Théorème (Théorème de Cartan–Brauer–Hua). Si 𝐻 un corps et 𝑀 ⊂ 𝐻 est un sous-
corps de 𝐻 stable par tout automorphisme intérieur de 𝐻 alors, ou bien 𝑀 ⊂ 𝑍 (𝐻), ou
bien 𝑀 = 𝐻.
La preuve, présentée dans [1, Theorem 3.9.2], inspire celle du théorème 2.1. Appliqué
au cas d’une extension intérieure le théorème 2.1 fournit alors le
Théorème 2.2. Si 𝐻/𝐾 désigne une extension galoisienne, intérieure et finie alors, pour
toute extension intermédiaire 𝐻/𝑀/𝐾 différente de 𝐾 , on a
𝑀 est stable ⇐⇒ 𝑍 (𝐾) ⊂ 𝑀.
Démonstration. Les extensions galoisiennes, intérieures et finies ont été étudiées dans [2].
Dans cet article, il est montré les propriétés suivantes :
(1) 𝐾 = 𝐾 [2, Proposition7.a] ;
(2) 𝑍 (𝐾) = 𝐾.𝐾 ≃ 𝐾 ⊗𝑍 (𝐾 ) 𝐾 [2, Corollaire 15.b] ;
(3) 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) [2, Proposition 7.b] ;
(4) 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) [2, Théorème 10.b]
que nous allons utiliser pour montrer l’équivalence.
=⇒. Si 𝑀 est stable, alors comme Gal(𝐻/𝐾) = Int(𝐻/𝐾) = Int(𝐾∗), on peut appliquer
le théorème 2.1 avec 𝐻0 = 𝐾 et l’on trouve que :
• soit 𝐾 ⊂ 𝑀, mais comme 𝐾 ⊂ 𝑀, on a alors en utilisant la propriété (b) que𝑍 (𝐾) = 𝐾.𝐾 ⊂ 𝑀 ;
• soit 𝑀 ⊂𝐾 = 𝐾 (d’après la propriété (a)) et l’on a 𝑀 = 𝐾 , ce qui est exclu.
⇐=. On a Gal(𝐻/𝑀) = Int(𝐻/𝑀) = Int(𝑀∗) et puisque 𝑍 (𝐾) ⊂ 𝑀, on voit que
𝑀 ⊂ 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) = 𝑍 (𝐾) (d’après les propriétés (c) et (d)). Si l’on prend 𝑥 ∈ 𝑀∗
et 𝑦 ∈ 𝐾∗ alors 𝑦𝑥𝑦−1 = 𝑥 (puisque 𝑥 ∈ 𝑍 (𝐾)), et donc 𝐼 (𝑦)𝐼 (𝑥)𝐼 (𝑦)−1 = 𝐼 (𝑥) : le
groupe Gal(𝐻/𝑀) = Int(𝑀∗) est (trivialement) distingué dans Gal(𝐻/𝐾) = Int(𝐾∗) et
la proposition 1.1 permet de conclure. □
Si 𝐻/𝐾 est supposée, en plus, concentrique alors 𝑍 (𝐻) = 𝑍 (𝐾) et donc 𝑍 (𝐾) = 𝐻 :
l’extension 𝐻/𝑍 (𝐾) est alors triviale et l’on en déduit le
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De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiaires
Corollaire 2.3. Toute extension galoisienne, intérieure, finie et concentrique est totalement
instable.
Le cadre d’application le plus immédiat du corollaire 2.3 est celui des 𝑘-algèbres
à division, c’est-à-dire des corps de dimension finie sur leur centre 𝑘 . Si 𝐻 désigne
une 𝑘-algèbre à division, alors 𝐻/𝑘 est finie et concentrique par définition et elle est
galoisienne et intérieure en vertu du théorème de Skolem–Noether. Très souvent, on
dispose d’extensions intermédiaires strictes 𝐻/𝑀/𝑘 qui sont galoisiennes sur 𝑘 et qui
fournissent donc des exemples d’extensions galoisiennes instables. Par exemple, si l’on
considère le corps H des quaternions d’Hamilton, il est de dimension 4 sur son centre
R. Les extensions intermédiaires strictes de H/R sont donc toutes d’ordre 2 et, étant
obtenues par l’adjonction à R d’un élément de H − R, il s’agit d’extensions galoisiennes
de R (toutes isomorphes à C)2. L’extension H/C fournit aussi un exemple d’extension
non simple qui est totalement instable bien que toutes ses extensions intermédiaires soient
galoisiennes sur R. Le théorème 2.2 a aussi pour conséquence le
Corollaire 2.4. Toute extension galoisienne, intérieure et finie 𝐻/𝐾 telle que 𝐾 = 𝑍 (𝐾)
est totalement stable.
Les 𝑘-algèbres à division fournissent aussi un moyen simple d’illustrer ce corollaire :
si 𝐻 désigne une 𝑘-algèbre à division, on sait que les extensions commutatives maximales
𝐻/𝐾/𝑘 sont caractérisées par la relation 𝐾 = 𝐾 . Pour une telle extension, on a 𝐾 = 𝑍 (𝐾)
et donc 𝑍 (𝐾) = 𝐾 = 𝐾. Ainsi, par application du corollaire 2.4, dans l’extension
galoisienne intérieure finie 𝐻/𝐾 l’équivalence « galoisienne ⇔ stable » est bien valable
pour toute extension intermédiaire. Dans cette situation, il n’y aucune raison pour que
𝐻/𝐾 soit sans extensions intermédiaires (et donc que la propriété soit triviale) comme
le montre l’exemple suivant : on se donne un corps commutatif 𝑘 et deux 𝑘-algèbres à
division 𝐻1, 𝐻2 de dimensions respectives 𝑝2 et 𝑞2, où 𝑝 et 𝑞 sont des entiers premiers
entre eux. Les indices Ind(𝐻1) = 𝑝 et Ind(𝐻2) = 𝑞, étant premiers entre eux, on a
Ind(𝐻1 ⊗𝑘 𝐻2) = Ind(𝐻1). Ind(𝐻2) et donc 𝐻 = 𝐻1 ⊗𝑘 𝐻2 est une 𝑘-algèbre à division
(de dimension 𝑝2𝑞2) qui contient canoniquement 𝐻1 et 𝐻2. On se donne maintenant 𝐾1 et
𝐾2 deux sous-corps commutatifs maximaux de 𝐻1 et 𝐻2 respectivement et l’on considère
𝐾 = 𝐾1 ⊗𝑘 𝐾2. C’est une 𝑘-algèbre incluse dans 𝐻, elle est donc intègre et étant de
dimension finie, c’est un corps (commutatif). Puisque [𝐾 : 𝑘] = [𝐾1 : 𝑘] .[𝐾2 : 𝑘] = 𝑝𝑞,
c’est une extension commutative maximale de 𝑘 dans 𝐻 et l’extension 𝐻/𝐾 vérifie donc
les hypothèses du corollaire 2.4. Le compositum 𝑀 = 𝐾.𝐻2 fournit alors un exemple
d’extension intermédiaire stricte de 𝐻/𝐾. En effet, il est d’abord clair que 𝐾 ≠ 𝑀 car
2Plus systématiquement, si l’on considère une 𝑘-algèbre 𝐻 obtenue par produit croisé d’une extension
galoisienne de corps commutatifs 𝐿/𝑘 et d’un élément de 𝐻2 (𝐿/𝑘 ) alors 𝐿 est une extension galoisienne
intermédiaire instable.
37
B. Deschamps & P. Rodriguez
sinon 𝐻2 ⊂ 𝐾 et 𝑞2 = [𝐻2 : 𝑘] diviserait 𝑝𝑞 = [𝐾 : 𝑘]. Pour montrer que 𝑀 ≠ 𝐻 on
raisonne par l’absurde. Au niveau des centralisateurs, on a
𝐻1 = C𝐻 (𝐻1) = C𝐻 (𝐻1 ⊗𝑘 𝑘) = C𝐻1 (𝐻1) ⊗𝑘 C𝐻2 (𝑘) = 𝑘 ⊗𝑘 𝐻2 = 𝐻2
ainsi les corps 𝐻1 et 𝐻2 sont commutants l’un de l’autre dans 𝐻. On peut donc écrire3
𝐻 = 𝑀 =⇒ 𝐻 = 𝐾.𝐻2 = 𝐾 ∩ 𝐻2 =⇒ 𝑘 = 𝐾 ∩ 𝐻1
ce qui est visiblement impossible car 𝐾1 ⊂ 𝐾 ∩ 𝐻1.
3. Cas général
Si l’on se donne une extension galoisienne finie 𝐻/𝐾 alors le sous-groupe Int(𝐻/𝐾)
est visiblement distingué dans Gal(𝐻/𝐾) si bien que, si l’on pose 𝑀 = 𝐻Int(𝐻/𝐾 ) alors
𝑀/𝐾 est galoisienne extérieure et 𝐻/𝑀 est galoisienne intérieure. L’extension 𝑍 (𝑀)/𝑀
est alors galoisienne intérieure [2, Théorème 10] tout comme 𝐻/𝑍 (𝑀). Ce qui précède
fournit alors un découpage systématique de 𝐻/𝐾 :
𝐻
galoisienne intérieure
totalement stable𝑍 (𝑀)
galoisienne intérieure
totalement instable
𝑀
galoisienne extérieure
stable
𝐾
Références
[1] Paul M. Cohn. Skew fields. Theory of general division rings, volume 57 of Encyclo-
pedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge University Press, 1995.
[2] Bruno Deschamps. Arithmétique des extensions intérieures. J. Algebra, 620 :50–88,
2023.
[3] Nathan Jacobson. Structure of rings, volume 37 of Colloquium Publications. American
Mathematical Society, 1956.
3La propriété 𝐴.𝐵 = 𝐴∩ 𝐵 est valable pour toute paire {𝐴, 𝐵} de sous-corps d’un corps donné (voir [2,
Lemme 3]).
38
De l’instabilité des extensions galoisiennes intermédiaires
Bruno Deschamps
Département de Mathématiques - Le Mans
Université
Avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9 -
France
CNRS Laboratoire de Mathématiques Nicolas
Oresme - Université de Caen Normandie
BP 5186, 14032 Caen Cedex - France
bruno.deschamps@univ-lemans.fr
Paul Rodriguez
Département de Mathématiques - école Normale
Supérieure de Lyon
15 parvis René Descartes - BP 7000
69342 Lyon Cedex 07 - France
paul.rodriguez@ens-lyon.fr
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