Annales Mathématiques Blaise Pascal

Benoit Fresse

Théorie des opérades de Koszul et homologie des algèbres de Poisson

Gábor Kallós

A generalization of Pascal’s triangle using powers of base numbers

Maria Vallarino

A maximal function on harmonic extensions of $H$-type groups

Philippe Monnier

Nguyen Tien Zung

Normal forms of vector fields on Poisson manifolds

Mohamed Aït-Nouh

Daniel Matignon

Kimihiko Motegi

Geometric types of twisted knots

Abdelmadjid Boudaoud

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Abdelmadjid Boudaoud
La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers
Volume 13, no 1 (2006), p. 103-109.
<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2006__13_1_103_0>
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cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
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Annales mathématiques Blaise Pascal 13, 103-109 (2006)
La conjecture de Dickson et classes particulières
d’entiers
Abdelmadjid Boudaoud
Abstract
As a consequence of Dickson’s Conjecture, we prove, for each couple of integers
q > 0 and k > 0, the existence of an infinite set Lq,k ⊂ N such that, for each
n ∈ Lq,k and every integer s, 0 < |s| ≤ q, we have n + s = |s| t1...tk where
t1 < ... < tkare prime numbers. Similarly, we prove the existence of an infinite set
Mq,k ⊂ N such that , for each n ∈ Mq,k and every integer s ∈ [−q, q] (including 0),
we have n + s = lt1...tk where t1 < ... < tk are prime numbers and l ∈ [1, 2q + 1]
is an integer. The nonstandard interpretation of this result suggests the following
question: Is every unlimited integer equal to the sum of a limited integer and a
product of two unlimited integers ? We present families of integers in which each
unlimited member is a product of two unlimited integers.
Résumé
En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque
couple d’entiers q > 0 et k > 0, il existe une partie infinie Lq,k ⊂ N telle que,
pour chacun des entiers n ∈ Lq,k et tout entier s tel que 0 < |s| ≤ q, on ait
n + s = |s| t1...tk où t1 < ... < tk sont des nombres premiers. De même, pour
chaque couple d’entiers q > 0 et k > 0, il existe une partie infinie Mq,k ⊂ N telle
que, pour chacun des entiers n ∈ Mq,k et tout entier s (nul ou non ) de l’intervalle
[−q, q], on ait n + s = lt1...tk où t1 < ... < tk sont des nombres premiers et l’entier
l appartient à l’intervalle [1, 2q + 1]. La lecture non standard de ce résultat nous
suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité
près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles
d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers
illimités.
Mots-clés : Conjecture de Dickson, analyse non standard, nombres premiers, suites d’en-
tiers naturels.
Classification Mathématique (1991) : Primary 11N32, 26E35 ; Secondary 11A51, 11A41,
11B83.
103
A. Boudaoud
1. Introduction
En 1904 Dickson [1], avait annoncé sa conjecture concernant les nombres
premiers, valeurs simultanées de s formes linéaires à coefficients entiers
fi (x) = bix + ai où bi > 0 pour 1 ≤ i ≤ s.
Parmi les travaux suscités par cette conjecture on peut citer ceux de
Schinzel & Sierpinski [6]. Schinzel a donné une généralisation de la conjec-
ture de Dickson où les formes linéaires sont remplacées par des polynômes.
Pour notre part, et sous l’hypothèse que la conjecture de Dickson est vraie,
nous démontrons l’existence de classes particulières d’entiers dont chacun
des éléments a une factorisation spéciale lorsque l’on ajoute un entier s.
Nous donnons, en termes non standard ([2, 3]), une conséquence du
résultat principal et des exemples de familles d’entiers dans chacune des-
quelles tout membre illimité est produit de deux entiers illimités.
2. Rappel
La conjecture de Dickson [5]. On l’énonce comme suit. On se donne
s formes linéaires à coefficients entiers fi (x) = bix + ai, où bi > 0 pour
1 ≤ i ≤ s. On désigne par g (x) = f1 (x) f2 (x) ...fs (x) le produit de ces s
formes. On suppose que la condition suivante est satisfaite :
(D) L’ensemble des entiers {g (k) : k ∈ Z} n’a aucun diviseur
commun > 1.
Il existe alors une infinité d’entiers m ∈ N pour lesquels chacun des
entiers f1 (m), f2 (m),..., fs (m) est un nombre premier.
3. Résultat principal
Théorème 3.1. En admettant la conjecture de Dickson, pour chaque
couple d’entiers q > 0 et k > 0, il existe une partie infinie Lq,k ⊂ N telle
que, pour chacun des entiers n ∈ Lq,k et tout entier s tel que 0 < |s| ≤ q,
on ait
n + s = |s| t1...tk
où t1 < ... < tk sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple
d’entiers q > 0 et k > 0, il existe une partie infinie Mq,k ⊂ N telle
104
La conjecture de Dickson ...
que, pour chacun des entiers n ∈ Mq,k et tout entier s (nul ou non ) de
l’intervalle [−q, q], on ait
n + s = lt1...tk
où t1 < ... < tk sont des nombres premiers et l’entier l appartient à
l’intervalle [1, 2q + 1].
La démonstration se fait selon le schéma suivant
(1) On commence par établir l’existence d’une partie infinie Lq,1 de N
pour tout entier q > 0 en utilisant la conjecture de Dickson.
(2) On établit ensuite l’existence des parties infinies Lq,k , par récurrence
sur l’entier k, en utilisant la partie Lq,1.
(3) On établit enfin l’existence des parties Mq,k en se servant unique-
ment des parties infinies Lq,k
Démonstration.
Première étape.
Existence de la partie infinie Lq,1 pour tout entier q > 0.
Soit q > 0 un entier. On désigne par 2 = p1 < p2 < ... < pn < ... la
suite des nombres premiers. On choisit un entier suffisamment grand r > 1
pour que l’on ait q < min {2r, pr} et on pose K = (p1p2p3...pr−1)r.
Tout entier s 6= 0 de l’intervalle [−q, q] est un diviseur de K. En effet,
pour un nombre premier donné p et chaque entier k > 0 tels que pk divise
s, on a pk ≤ |s| ≤ q < min {2r, pr} donc p < pr et k < r de sorte que pk
divise K.
Soit, maintenant, h > 0 un entier quelconque, premier avec Kpr
[on peut prendre simplement h = 1]. Enfin, pour chaque diviseur d de
K, positif ou négatif (y compris ±1 et ±K), on définit la forme linéaire
fd (x) comme suit :
i) fd (x) = dprhx + 1 si d > 0 et
ii) fd (x) = |d| prhx− 1 si d < 0.
On obtient ainsi une famille de 2 (r + 1)r−1 formes linéaires auxquelles
on adjoint encore la forme f0 (x) = p1p2p3...pr−1hx + pr. Démontrons,
maintenant, que la famille de ces 2 (r + 1)r−1 +1 formes satisfait la condi-
tion (D).
En effet, on désigne par F (x) le produit de toutes les formes fd (x)
(pour d diviseur de K) et on pose g (x) = F (x) f0 (x). Il s’agit de montrer
105
A. Boudaoud
que l’ensemble des entiers {g (k) : k ∈ Z} n’a aucun diviseur commun > 1.
On suppose que le nombre premier p divise tous les produits F (k) f0 (k)
pour k ∈ Z. Alors p divise, en particulier, le produit F (p) f0 (p), mais il
ne saurait diviser aucun des fd (p), il divise donc nécessairement f0 (p) =
p1p2p3...pr−1hp+pr et divise donc pr de sorte que l’on devrait avoir p = pr.
Ainsi, pr diviserait en particulier le produit F (1) f0 (1), ce qui n’est pas
possible.
On en déduit, à l’aide de la conjecture de Dickson, qu’il existe une
infinité d’entiers m ∈ N pour lesquels l’entier f0 (m) ainsi que tous les
entiers fd (m) sont premiers.
Soit m l’un quelconque de ces entiers et soit n = Kprhm. On montre
que, pour tout entier s 6= 0 de l’intervalle [−q, q], on a
n + s = |s| p
où p est un nombre premier.
On sait déjà que s divise K donc K = sd et n + s = (sd) prhm + s =
s (dprhm + 1). Suivant que s est positif ou négatif, d sera également positif
ou négatif, de sorte que l’on aura
i) n + s = s (dprhm + 1) = |s| fd (m) ou
ii) n + s = |s| (|d| prhm− 1) = |s| fd (m).
Or, dans les deux cas, l’entier fd (m) est premier ce qui achève la dé-
monstration de la première étape.
Deuxième étape.
Il s’agit d’établir l’existence des parties Lq,k pour tout entier k > 1. On
procède par récurrence sur l’entier k, en utilisant l’existence des parties
Lr,1 pour tout entier r > 0.
On suppose établie l’existence de Lq,k pour un entier k > 0 et on établit
l’existence de Lq,k+1.
On observe ceci. Pour m ∈ Ln+q,1, n ∈ Lq,k et s un entier non nul de
l’intervalle [−q, q], on a n+ s = |s| t1...tk où t1 < ... < tk sont des nombres
premiers. Or 0 < n + s ≤ n + q. D’où m + (n + s) = |n + s| p = |s| t1...tkp
où p est un nombre premier. Il suffit alors de prendre m assez grand [ par
exemple m > (n + q)2 ] pour avoir p > tk.
[Vérification. Si m > (n + q)2 alors (m + (n + s))2 = (n + s)2 p2 >
m2 > (n + q)4 ≥ (n + s)4 . D’où p2 > (n + s)2 = |s|2 (t1...tk)2 ≥ (t1...tk)2,
donc p > t1...tk et p > tk ]. On peut ainsi prendre
106
La conjecture de Dickson ...
Lq,k+1 =
{
m + n : m ∈ Ln+q,1, n ∈ Lq,k, m > (n + q)2
}
,
cet ensemble étant infini puisque Ln+q,1 et Lq,k le sont.
Troisième étape.
Il suffit de reprendre l’ensemble L2q+1,k et de poser Mq,k = L2q+1,k +q+1.
En effet, soient n ∈ Mq,k et s ∈ [−q, q]. Ainsi n = m+ q +1 pour un entier
m ∈ L2q+1,k de sorte que n + s = m + (q + 1 + s). On a (q + 1 + s) ∈
[1, 2q + 1] et m ∈ L2q+1,k donc n + s = (q + 1 + s) t1...tk = lt1...tk où
t1 < ... < tk sont des nombres premiers et l’entier l appartient à l’intervalle
[1, 2q + 1]. 
En termes non standard ([2, 3], le théorème précédent a la conséquence
suivante
Corollaire 3.2. En admettant la conjecture de Dickson, pour chaque en-
tier k > 0, il existe une partie infinie L∞,k ⊂ N telle que, pour chacun des
entiers n ∈ L∞,k et tout entier limité non nul s, on ait
n + s = |s| t1...tk
où t1 < ... < tk sont des nombres premiers. De même, pour tout entier
illimité ω > 0 et chaque entier k > 0, il existe une partie infinie M∞,k ⊂ N
telle que, pour chacun des entiers n ∈ M∞,k et tout entier limité s (nul
ou non ), on ait
n + s = lt1...tk
où t1 < ... < tk sont des nombres premiers et l’entier l appartient à
l’intervalle [1, ω].
Démonstration. L∞,k = Lq,k où q est un entier illimité quelconque. M∞,k =
Mq,k où q est un entier illimité tel que 2q + 1 ≤ ω. 
4. Une question
Soit F (n) la propriété externe qui dit ceci : " l’entier n est illimité,
positif, mais il n’est pas produit de deux entiers illimités ". La propriété
F (n) est ainsi satisfaite si et seulement si n est de la forme n = r.p où r
est un entier limité ≥ 1 et p un nombre premier illimité.
107
A. Boudaoud
Soit n ∈ L∞,1. L’entier n est produit de deux entiers illimités, par
construction. Cependant, pour chaque entier limité s 6= 0, la propriété
F (n + s) est satisfaite.
La question se pose : existe-t-il des entiers n pour lesquels la propriété
F (n + s) est satisfaite pour tout entier limité s, nul ou non ?
Autrement dit, pour tout entier illimité n existe-t-il toujours un entier
limité s tel que n + s soit produit de deux entiers illimités ?
Dans la suite nous présentons des familles d’entiers, dans chacune des-
quelles, tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités (pour
une bibliographie concernant ces familles se référer à [4]).
Exemple 1. Nombres pseudopremiers.
Procédons par étapes.
(1) Un entier n illimité, composé, mais qui n’est pas produit de deux
entiers illimités est nécessairement de la forme n = s.p pour un entier
limité s > 1 et un nombre premier illimité p.
(2) Si le nombre de diviseurs d’un entier n est illimité, alors n est produit
de deux entiers illimités. [Conséquence immédiate du (1).]
(3) Soit a > 1 un entier limité. Tout nombre a-pseudopremier illimité
n est produit de deux entiers illimités.
En effet, sinon, l’entier n serait de la forme n = s.p pour un entier
limité s > 1 et un nombre premier illimité p. Or an−1 ≡ 1 mod n donc, en
particulier, an ≡ a mod p. D’autre part ap ≡ a mod p car p est premier.
Ainsi an = (ap)s = as mod p d’où as ≡ a mod p, autrement dit p divise
as − a ce qui est impossible car as − a est limité et non nul. 
(4) Les nombres pseudopremiers d’Euler en base a et les nombres pseu-
dopremiers forts en base a sont des cas particuliers de nombres a-pseudo-
premiers, de sorte que le (3) s’applique à eux.
(5) Tout nombre de Carmichael illimité n est produit de deux entiers
illimités car n est a-pseudopremier pour tout entier a premier avec n et
tel que 1 < a < n. S’il existe un nombre a limité et premier avec n, le
résultat découle du (3). Sinon, le nombre des diviseurs de n est illimité et
le résultat découle du (2).
Exemple 2. Tout nombre illimité n pour lequel σ (n) = an−b où a > 0
est entier et b ≥ 0 entier limité (σ (n) désigne la somme des diviseurs
positifs de n ), est produit de deux entiers illimités.
Démonstration. Si l’on avait n = sp où s est un entier limité et p un
nombre premier illimité, on aurait
108
La conjecture de Dickson ...
σ (n) = σ (sp) = σ (s) (p + 1) = asp− b
donc (as− σ (s)) p = σ (s) + b ce qui est impossible. 
Remerciements. Les observations de l’arbitre nous ont permis d’amé-
liorer sensiblement la première version de cet article. Qu’il trouve ici l’ex-
pression de notre gratitude.
Références
[1] L. E. Dickson – « A new extension of Dirichlet’s theorem on prime
numbers », Messenger 2, no. 38, p. 155–161.
[2] F. Diener et G. Reeb – Analyse non standard, Hermann, 1989.
[3] E. Nelson – « Internal set theory : A new approach to non standard
analysis », bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), p. 1165–1198.
[4] P. Ribenboim – The little book of big primes, Springer-Verlag, 1991.
[5] , Nombres premiers : mystères et records, PUF, 1994, page 214.
[6] A. Schinzel et W. Sierpinski – « Sur certaines hypothèses concer-
nant les nombres premiers », Acta Arith. 4 (1958), 185–208 ; erratum
5 (1958), p. 259.
Abdelmadjid Boudaoud
Département de Mathématiques
Université de M’sila
28000 M’sila
ALGÉRIE
boudaoudab@yahoo.fr
109


La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers

Nikolay V. Solodov

Cohomologies bivariantes de type cyclique

Ferdaous Kellil

Guy Rousseau

Transformation de Poisson sur un arbre localement fini

Michel Crouzeix

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Michel Crouzeix
Une famille d’inégalités pour les ensembles convexes
du plan
Volume 12, no2 (2005), p. 223-230.
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Annales Mathematiques Blaise Pascal 12, 223-230 (2005)
Une famille d’inégalités pour les ensembles
convexes du plan
Michel Crouzeix
Résumé
Nous considérons une famille de fonctions ne dépendant que de la
forme d’un ensemble convexe du plan. Nous en donnons des majora-
tions faisant intervenir le plus petit rapport des rayons des couronnes
qui contiennent la frontière de ce convexe.
1 Introduction
Soit Ω un ouvert convexe borné et non vide du plan R2 = C. Si ω ∈ Ω, il
existe une fonction 2π-périodique ρω(.; Ω) telle que
Ω = {ω + r eiϕ ; 0 ≤ r < ρω(ϕ; Ω), ϕ ∈ [0, 2π]}.
On se donne par ailleurs une fonction g : R → R, que l’on suppose paire et
convexe, et on considère la fonctionnelle J définie par
J(Ω) := inf
ω∈Ω
∫ 2π
0
g
(ρ′ω(ϕ; Ω)
ρω(ϕ; Ω)
)
dϕ.
Il est clair que J(Ω) ne dépend que de la forme de Ω (i.e. J(Ω) est invariant
par similitude directe ou indirecte sur Ω). On considère enfin la fonction j
définie sur l’intervalle [1,∞[ par j(1) = 2πg(0) et, si y > 1, par
j(y) := 2n
∫ γ
0
g(tg(ϕ)) dϕ + 2
∫ π−nγ
0
g(tg(ϕ)) dϕ,
où γ = arccos 1
y
et n est le plus grand entier tel que γ <
π
n
.
Le but de cet article est de montrer le résultat
j(y) = max{J(Ω) ; ∃ ω0 et r > 0 tel que ∂Ω ⊂ C(ω0, r, y)}, (1.1)
223
M. Crouzeix
le maximum étant pris sur tous les ensembles convexes bornés du plan dont
la frontière est contenue dans une couronne fermée
C(ω0, r, y) := {z ∈ C ; r ≤ |z − ω0| ≤ r y}.
Il est facile de voir que j est une fonction continue et croissante. L’estima-
tion (1.1) nous fournit donc une majoration de J(Ω) en fonction du (plus
petit) rapport y des rayons des couronnes qui contiennent la frontière de Ω.
Nous verrons de plus que ce maximum est atteint pour des polygones.
2 Borne dans une couronne
Dans ce paragraphe, nous supposons que la frontière du convexe Ω est con-
tenue dans la couronne C(0, 1, y) centrée à l’origine. Nous considérons la
quantité
G(Ω) :=
∫ 2π
0
g
(ρ′0(ϕ; Ω)
ρ0(ϕ; Ω)
)
dϕ.
Lemme 2.1: Soit y > 1 et soit n le plus grand entier tel que y cos π
n
< 1.
Alors, sous les contraintes Ω convexe et ∂Ω ⊂ C(0, 1, y), le maximum de
G(Ω) est atteint dans la famille des polygones à n+1 côtés, et vaut j(y).
Démonstration: Pour fixer les idées, nous considérons d’abord le cas
y ≥ 2, c’est à dire γ = arccos 1
y
≥ π
3
. On a donc n = 2, et la quantité j(y)
est réalisée par les deux triangles suivants :
M.Crouzeix
le maximum étant pris sur tous les ensembles convexes bornés du plan dont
la frontière est contenue dans une couronne fermée
C(ω0, r, y) := {z ∈ C ; r ≤ |z − ω0| ≤ r y}.
Il est facile de voir que j est une fonction continue et croissante. L’estima-
tion (1.1) nous fournit donc une majoration de J(Ω) en fonction du (plus
petit) rapport y des rayons des couronnes qui contiennent la frontière de Ω.
Nous verrons de plus que ce maximum est atteint pour des polygones.
2 Borne da s une couronne
Dans ce paragraphe, nous supposons que la frontière du convexe Ω est con-
tenue dans la couronne C(0, 1, y) centrée à l’origine. Nous considérons la
quantité
G(Ω) :=
∫ 2π
0
g
(ρ′0(ϕ; Ω)
ρ0(ϕ; Ω)
)
dϕ.
Lemme 2.1: Soit y > 1 et soit le plus grand entier tel que y cos π
n
< 1.
Alors, sous les contraintes Ω convexe et ∂Ω ⊂ C(0, 1, y), le maximum de
G(Ω) est atteint dans la famille des polygones à n+1 côtés, et vaut j(y).
Démonstration: Pour fixer les idées, nous considérons d’abord le cas
y ≥ 2, c’est à dire γ = arccos 1
y
≥ π
3
. On a donc n = 2, et la quantité j(y)
est réalisée par les deux triangles suivants :
γ
γ
γ
γ
γ
γ γ
γ
On en déduit
maxG(Ω) ≥ j(y) = 4
∫ γ
0
g(tg(ϕ)) dϕ + 2
∫ π−2γ
0
g(tg(ϕ)) dϕ.
Il reste à montrer que l’on a G(Ω) ≤ j(y). Nous allons le faire sous les
hypothèses additionnelles : la fonction g est strictement convexe, de classe
224
On en déduit
max G(Ω) ≥ j(y) = 4
∫ γ
0
g(tg(ϕ)) dϕ + 2
∫ π−2γ
0
g(tg(ϕ)) dϕ.
Il reste à montrer que l’on a G(Ω) ≤ j(y). Nous allons le faire sous les
hypothèses additionnelles : la fonction g est strictement convexe, de classe
224
Inégalités sur les convexes
C1, et l’ensemble convexe Ω est un polygone à m ≤ m0 côtés (avec m0 ≥ 3
fixé, arbitrairement grand). Un argument de passage à la limite permet
facilement de lever ces restrictions.
On considère donc un polygone convexe Ω, et on utilise les notations
correspondant à la figure suivante (avec une numérotation modulo m)
Inégalités sur les convexes
C1, et l’ensemble convexe Ω est un polygone à m ≤ m0 côtés (avec m0 ≥ 3
fixé, arbitrairement grand). Un argument de passage à la limite permet
facilement de lever ces restrictions.
On considère donc un polygone convexe Ω, et on utilise les notations
correspondant à la figure suivante (avec une numérotation modulo m)
α3/2
α2 αm−1/2
αm
α1/2
α1
σ1
σ2
σ3
σ0 = σmσ1/2
σ3/2
On numérote (dans le sens positif) σ1, σ2, . . . , σm = σ0 les sommets du
polygone, et on note σj+1/2 le pied de la hauteur menée de l’origine O sur le
côté (σj, σj+1). On choisira la numérotation de sorte que |σ1/2| soit minimum,
et on notera αj (respectivement αj+1/2) l’argument de
σj
σj−1/2
(resp.
σj+1/2
σj
).
Sans perte de généralité, on peut supposer que |σ1/2| = 1.
Notons que l’on a alors
G(Ω) =
2m∑
k=1
∫ αk/2
0
g(tg ϕ) dϕ. (2.1)
Le polygone Ω est déterminé de manière unique par la donnée de σ1/2 vérifiant
|σ1/2| = 1 et des angles αj ∈]− π2 , π2 [ satisfaisant les contraintes
2m∑
k=1
αk/2 = 2π,
m∑
j=1
log
cosαj−1/2
cos αj
= 0. (2.2)
225
On numérote (dans le sens positif) σ1, σ2, . . . , σm = σ0 les sommets du
polygone, et on note σj+1/2 le pied de la hauteur menée de l’origine O sur le
côté (σj, σj+1). On choisira la numérotation de sorte que |σ1/2| soit minimum,
et on notera αj (respectivement αj+1/2) l’argument de
σj
σj−1/2
(resp. σj+1/2
σj
).
Sans perte de généralité, on peut supposer que |σ1/2| = 1.
Notons que l’on a alors
G(Ω) =
2m∑
k=1
∫ αk/2
0
g(tg ϕ) dϕ. (2.1)
Le polygone Ω est déterminé de manière unique par la donnée de σ1/2 vérifiant
|σ1/2| = 1 et des angles αj ∈]− π2 ,
π
2
[ satisfaisant les contraintes
2m∑
k=1
αk/2 = 2π,
m∑
j=1
log
cos αj−1/2
cos αj
= 0. (2.2)
225
M. Crouzeix
Les autres contraintes sur Ω se traduisent par
αj−1/2 + αj > 0, αj + αj+1/2 > 0, 1 ≤ j ≤ m, (2.3)
log
1
cos α1
+
k−1∑
j=1
log
cos αj+1/2
cos αj+1
≤ log y, 1 ≤ k ≤ m, (2.4)
k∑
j=1
log
cos αj+1/2
cos αj
≥ 0, 1 ≤ k ≤ m− 1. (2.5)
La première inégalité de (2.3) signifie que les sommets sont numérotés dans
le sens contraire des aiguilles d’une montre, la seconde que Ω est convexe.
Notons que le membre de gauche de l’inégalité (2.4) vaut log | σk
σ1/2
| et celui de
(2.5) vaut log |σk+1/2
σ1/2
|, de sorte que ces inégalités correspondent respective-
ment à |σk| ≤ y et à |σk+1/2| ≥ 1.
Nous supposons maintenant que les données α correspondent à un poly-
gone Ω qui réalise le maximum de G(Ω) parmi tous les polygones convexes
à m côtés satisfaisant les contraintes précitées ; par compacité, il est clair
que (pour un m ≤ m0) un tel polygone existe. On considère deux entiers
1 ≤ k < ` ≤ 2m + 1 tels que
|σk/2| = y ou 1, |σ`/2| = y ou 1, 1 < |σj/2| < y, si k < j < `.
Pour un tel couple, qui existe nécessairement, on peut avoir les occurences
suivantes :
1er cas. ` = k + 1. Alors nécessairement α`/2 = γ.
2ème cas. ` = k + 2. Alors nécessairement 0 < α(k+1)/2 = α`/2 < γ. Notons
que ce cas se présente au plus une fois. En effet, supposons qu’il y ait deux
tels couples (k, ` = k + 2), (r, s = r + 2), avec par exemple α`/2 = α(`−1)/2 ≥
αs/2 = α(s−1)/2. Soit alors Ωε l’ouvert convexe correspondant à αε défini par
αε`/2 = α
ε
(`−1)/2 = α`/2 + ε, α
ε
s/2 = α
ε
(s−1)/2 = αs/2 − ε,
αεk/2 = αk/2, pour les autres valeurs de l’indice k.
On vérifie facilement que Ωε satisfait aux contraintes exigées (pour ε > 0
assez petit) mais on a, compte-tenu de la croissance stricte de g,
G(Ωε)−G(Ω) = 2
( ∫ α`/2+ε
α`/2
g(tg ϕ) dϕ−
∫ αs/2
αs/2−ε
g(tg ϕ) dϕ
)
> 0.
226
Inégalités sur les convexes
On est donc en contradiction avec l’hypothèse de maximalité de G(Ω).
3ème cas. ` − k ≥ 3. Notons que l’on a nécessairement 0 < α(k+1)/2 < γ.
On introduit τ1 = α(k+1)/2, τ2 = α(k+2)/2, τ3 = α(k+3)/2. On écrit alors que
G(Ω) ≥ G(Ω′), pour tout polygone Ω′ correspondant aux angles α′ vérifiant
α′j/2 = αj/2, si j /∈ {k+1, k+2, k+3}.
Les contraintes actives pour Ω′ au voisinage de Ω sont alors les égalités (2.2) ;
elles se réécrivent ici (avec des notations évidentes)
τ ′1 + τ
′
2 + τ
′
3 = τ1 + τ2 + τ3,
log 1
cos τ ′1
+ log
cos τ ′2
cos τ ′3
= log 1
cos τ1
+ log cos τ2
cos τ3
.
Les conditions d’optimalité G(Ω) ≥ G(Ω′) impliquent
g(tg τj) + λ− µ(−1)j tg τj = 0, pour j = 1, 2, 3,
où λ et µ sont les multiplicateurs de Lagrange correspondant aux contraintes
actives. Il résulte de la stricte convexité de la fonction g que l’équation
g(t) + λ − µt = 0, a au plus deux racines. Comme on a de plus τ1 + τ2 > 0
et τ2 + τ3 > 0, on en déduit τ1 = τ3 6= −τ2.
Posons maintenant δj = τ ′j − τj. Les contraintes entraînent
δ1 + δ2 + δ3 = 0,
(δ1+δ3) tg τ1 − δ2 tg τ2 +
δ21 + δ
2
3
2 cos2 τ1
− δ
2
2
2 cos2 τ2
= O(|δ|3).
On en déduit que l’on a δ2 = O(|δ|2) et
(δ1+δ3)(tg τ1+tg τ2) = −
δ21 + δ
2
3
2 cos2 τ1
+ O(|δ|3),
δ2(tg τ1+tg τ2) =
δ21 + δ
2
3
2 cos2 τ1
+ O(|δ|3),
On développe maintenant G(Ω′)−G(Ω) et on obtient
G(Ω′)−G(Ω) =
3∑
j=1
∫ τ ′j
τj
g(tg ϕ) dϕ
= (δ1+δ3)g(tg τ1) + δ2g(tg τ2) +
g′(tg τ1)
2 cos2 τ1
(δ21+δ
2
3) + o(|δ|2)
=
δ21 + δ
2
3
2 cos2 τ1(tg τ1 + tg τ2)
[
g(tg τ2)− g(tg τ1) + g′(tg τ1)(tg τ1+tg τ2
)
]
+o(|δ|2).
227
M. Crouzeix
La fonction g étant convexe et paire, on en déduit
g(tg τ2) = g(− tg τ2) > g(tg τ1) + g′(tg τ1)(− tg τ2− tg τ1).
On a donc (si δ 6= 0) G(Ω′) > G(Ω), ce qui contredit l’optimalité de Ω. Ce
cas est donc impossible.
Les seuls cas possibles sont donc αj/2 = γ, sauf peut-être pour deux
valeurs de j qui sont alors successives et qui correspondent à deux angles
égaux. Cela implique m = 3 et n’est possible que pour les triangles donnés
par la première figure.
La démonstration est identique pour les autres valeurs n > 2, mais on a
alors m = n + 1. La figure suivante montre les deux sortes de configurations
optimales arrivant pour n = 3.
M.Crouzeix
La fonction g étant convexe et paire, on en déduit
g(tg τ2) = g(− tg τ2) > g(tg τ1) + g′(tg τ1)(− tg τ2− tg τ1).
On a donc (si δ 	= 0) G(Ω′) > G(Ω), ce qui contredit l’optimalité de Ω. Ce
cas est donc impossible.
uls cas possibles ont donc αj/2 = γ, sauf pe t-être pour deux
val e j qui sont alors successives et qui correspondent à deux angles
éga . ela implique m = 3 et n’est possible que pour les triangles donnés
par la première figure.
La démonstration est identique pour les autres valeurs n > 2, mais on a
alors m = n + 1. La figure suivante montre les deux sortes de configurations
optimales arrivant pour n = 3.
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γγ
γγ
γγ
3 L’optimalité
On déduit du lemme précédent, et de l’invariance de J(Ω) par similitude, que
l’on a J(Ω) ≤ j(y) dès que la frontière ∂Ω est contenue dans une couronne
C(ω0, r, y). Pour montrer l’optimalité de cette majoration, c’est-à-dire la
relation (1.1), il suffit d’exhiber un exemple de convexe Ω pour lequel on a
J(Ω) = j(y) et ∂Ω ⊂ C(0, 1, y).
Nous allons nous limiter à considérer le cas n = 3, la généralisation aux
autres cas étant immédiate.
228
3 L’optimalité
On déduit du lemme précédent, et de l’invariance de J(Ω) par similitude, que
l’on a J(Ω) ≤ j(y) dès que la frontière ∂Ω est contenue dans une couronne
C(ω0, r, y). Pour montrer l’optimalité de cette majoration, c’est-à-dire la
relation (1.1), il suffit d’exhiber un exemple de convexe Ω pour lequel on a
J(Ω) = j(y) et ∂Ω ⊂ C(0, 1, y).
Nous allons nous limiter à considérer le cas n = 3, la généralisation aux
autres cas étant immédiate.
228
Inégalités sur les convexes
On choisit pour cela le quadrilatère Ω correspondant à la configuration
de droite de la figure précédente et, pour ω ∈ Ω, on pose
Gω(Ω) :=
∫ 2π
0
g
(ρ′ω(ϕ; Ω)
ρω(ϕ; Ω)
)
dϕ.
Inégalités sur les convexes
On choisit pour cela le quadrilatère Ω correspondant à la configuration
de droite de la figure précédente et, pour ω ∈ Ω, on pose
Gω(Ω) :=
∫ 2π
0
g
(ρ′ω(ϕ; Ω)
ρω(ϕ; Ω)
)
dϕ.
β2
α2
α3
α4
β1α1
ω
Avec les notations de cette nouvelle figure (notons que l’angle α3 y est
négatif), on a
Gω(Ω) =
4∑
k=1
( ∫ βk
0
g(tg ϕ) dϕ +
∫ αk
0
g(tg ϕ) dϕ
)
et G0(Ω) = j(y).
On remarque que (α1 + β1)/2 = (α2 + β2)/2 = (α4 + β4)/2 = γ et
(α3 + β3)/2 = π−3γ. On en déduit
Gω(Ω) − G0(Ω) =
4∑
j=1
(
H(αj) + H(βj) − 2H(αj + βj
2
)
,
avec H(θ) :=
∫ θ
0
g(tg ϕ) dϕ.
229
Avec les notations de cette nouvelle figure (notons que l’angle α3 y est
négatif), on a
Gω(Ω) =
4∑
k=1
( ∫ βk
0
g(tg ϕ) dϕ +
∫ αk
0
g(tg ϕ) dϕ
)
et G0(Ω) = j(y).
On remarque que (α1 + β1)/2 = (α2 + β2)/2 = (α4 + β4)/2 = γ et
(α3 + β3)/2 = π−3γ. On en déduit
Gω(Ω)−G0(Ω) =
4∑
j=1
(
H(αj) + H(βj)− 2H(
αj + βj
2
)
,
avec H(θ) :=
∫ θ
0
g(tg ϕ) dϕ.
229
M. Crouzeix
Il résulte de la remarque ci-après que chacun des termes de la somme est
positif ou nul. On a donc
G0(Ω) = min
ω∈Ω
Gω(Ω),
c’est-à-dire j(y) = J(Ω).
Remarque 3.1: On suppose x > 0, x+t et x−t ∈]− π
2
, π
2
[, on a alors
H(x+t) + H(x−t)− 2H(x) ≥ 0.
En effet, on a H ′′(θ) = g′(tg θ)(1+tg2 θ) ; cette dérivée seconde est donc
impaire et croissante. D’après la formule de Taylor, il existe s ∈]0, t[ tel que
H(x + t) + H(x− t)− 2H(x) = t
2
2
(
H ′′(x+s) + H ′′(x−s)
)
=
t2
2
(
H ′′(s+x)−H ′′(s−x) ≥ 0,
puisque H ′′ est croissante.
Pour conclure, on considère l’exemple correspondant au choix g(t) = |t|.
Si on désigne par y le plus petit des rapports (grand/petit) des rayons des
couronnes contenant le bord du convexe, et si on suppose y ≥ 2, notre
majoration devient
inf
ω∈Ω
TV
(
log ρω(., Ω)
)
≤ 2 log y
4
y2 − 2
,
où TV(f) désigne la variation totale de la fonction f prise sur le bord de Ω.
Michel Crouzeix
Université de Rennes 1
IRMAR, UMR 6625
Campus de Beaulieu
35042 Rennes Cedex
FRANCE
michel.crouzeix@univ-rennes1.fr
230


Une famille d’inégalités pour les ensembles convexes du plan

Georges Maltsiniotis

Structures d’asphéricité, foncteurs lisses, et fibrations

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