Annales Mathématiques Blaise Pascal

Oumar Traore

Null controllability and application to data assimilation problem for a linear model of population dynamics

Abdelmalek Azizi

Mohammed Talbi

Capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ où $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$

Salah Eddine Allaoui

Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besov à valeurs vectorielles

Gerhard Frey

On Bilinear Structures on Divisor Class Groups

Hassan Oukhaba

Unités elliptiques, indice et $\mathbf{Z}_p$-extensions

Patrick Dehornoy

Left-Garside categories, self-distributivity, and braids

Bérenger Akon Kpata

Ibrahim Fofana

Konin Koua

Necessary condition for measures which are $(L^{q},L^{p})$ multipliers

Hacène Belbachir

Farid Bencherif

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Hacène Belbachir et Farid Bencherif
Développement asymptotique de la somme des inverses
d’une fonction arithmétique
Volume 16, no 1 (2009), p. 93-99.
<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2009__16_1_93_0>
© Annales mathématiques Blaise Pascal, 2009, tous droits réservés.
L’accès aux articles de la revue « Annales mathématiques Blaise Pas-
cal » (http://ambp.cedram.org/), implique l’accord avec les condi-
tions générales d’utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute
utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive
d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit
contenir la présente mention de copyright.
Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l’université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques
http://www.cedram.org/
Annales mathématiques Blaise Pascal 16, 93-99 (2009)
Développement asymptotique de la somme des
inverses d’une fonction arithmétique
Hacène Belbachir
Farid Bencherif
Résumé
La somme des puissances des inverses de π (n), π (x) désignant le nombre
de nombres premiers n’excédant pas x, a fait l’objet de nombreux travaux. Nous
généralisons, dans cet article, les formules asymptotiques obtenues par ces auteurs
à toute une classe de fonctions arithmétiques.
1. Introduction
Pour tout entier r ≥ 1, et pour tout réel x ≥ 2, on note Sr (x) :=∑
2≤n≤x
(
1
π(n)
)r
, où π (x) =
∑
p≤x 1 est le nombre de nombres premiers p
n’excédant pas x.
Le Théorème des nombres premiers affirme que π (x) ∼ x
log x
(x →∞).
Ce théorème permet de constater aisément que d’une part,
S1 (x) ∼
1
2
log2 x (x −→∞) (1.1)
et que d’autre part pour r ≥ 2, la série
∑
n≥2
(
1
π(n)
)r
est convergente de
somme Cr, et donc
Sr (x) ∼ Cr (x −→∞) . (1.2)
J.-M. De Koninck et A. Ivić [4, 1980], L. Panaitopol [5, 2000] et A.
Ivić [3, 2002] ont donné des développements asymptotiques de S1 (x) plus
précis que l’évaluation (1.1), le dernier en date étant celui de A. Ivić.
Théorème 1.1. Soit (kn)n≥1 la suite d’entiers définie par récurrence par
la relation
kn + 1!kn−1 + 2!kn−2 + · · ·+ (n− 1)!k1 = n.n! (n ≥ 1) . (1.3)
Mots-clés : Théorème des nombres premiers, Formules asymptotiques.
Classification math. : 11N05.
93
H. Belbachir et F. Bencherif
Alors pour tout entier m ≥ 2, on a pour x →∞∑
2≤n≤x
1
π (n)
=
1
2
log2 x− log x− log log x + C + k2
log x
+
k3
2 log2 x
+ · · ·+ km
(m− 1) logm−1 x
+ O
(
1
logm x
)
,
où C est une constante absolue.
Dans le cas où r ≥ 2, H. Belbachir et F. Bencherif [1, 2006] ont établi
le résultat suivant :
Théorème 1.2. Pour un entier r ≥ 2, soient (kn)n≥1 la suite d’entiers
définie par (1.3), (αr,n)n≥0 la suite de rationnels définie par l’égalité dans
R [[X]] : 1−X −∑
n≥1
knX
n+1
r = ∑
n≥0
αr,nX
n,
(λr,k)0≤k≤r et (µr,k)k≥1 les suites de rationnels définies par
λr,k := −
r∑
s=k
s!
k! (r − 1)s−k+1
αr,r−s, µr,k :=
k∑
s=1
(k − 1)!
(s− 1)! (1− r)k−s+1
αr,r+s.
Alors pour tout entier m ≥ 2, on a pour x →∞∑
2≤n≤x
(
1
π (n)
)r
= Cr +
1
xr−1
(
λr,r logr x + · · ·+ λr,2 log2 x
+λr,1 log x + λr,0 +
µr,1
log x
+
µr,2
log2 x
+ · · ·+ µr,m−1
logm−1 x
+ O
(
1
logm x
))
,
où Cr est la constante absolue définie par (1.2).
Le Théorème 1.2 constitue une extension naturelle du Théorème 1.1
d’Ivić. A part la constante Cr qui peut être évaluée avec l’approximation
que l’on veut, les constantes qui y figurent sont des rationnels, explicite-
ment donnés et facilement calculables. Ainsi pour r = 3 et m = 6, on
94
Développement asymptotique
obtient∑
2≤n≤x
(
1
π (n)
)3
= C3 +
1
x2
(
−1
2
log3 x +
3
4
log2 x +
3
4
log x
+
19
8
+
21
2 log x
+
237
4 log2 x
+
1583
4 log3 x
+
24219
8 log4 x
+
104091
4 log5 x
+ O
(
1
log6 x
))
.
Le théorème qui suit généralise les deux précédents et constitue le prin-
cipal résultat de cet article.
2. Enoncé du Théorème
Précisons tout d’abord quelques notations.
Pour toute série formelle T (X) :=
∑
n≥0 tnX
n ∈ R [[X]] de valuation
nulle, et pour tout entier r ≥ 1, la série formelle (T (X))r est inversible et
le coefficient de Xn dans (T (X))−r ne dépend que de t0, t1, . . . , tn et r.
Désignons-le par An (t0, t1, . . . , tn; r). Autrement dit
(T (X))−r =
∑
n≥0
An (t0, t1, . . . , tn; r) Xn.
Un simple calcul donne
A0 (t0; r) =
1
tr0
et A1 (t0, t1; r) = −r
t1
tr+10
,
et en particulier pour r = 1, on a (voir [2])
An (t0, t1, . . . , tn; 1) =
(−1)n
tn+1o
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
t1 t2 · · · · · · tn
t0 t1 · · · · · · tn−1
0 t0 t1 · · · tn−2
0
. . . . . . . . .
...
0 · · · 0 t0 t1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(n ≥ 1) .
Avec ces notations, on obtient le
Théorème 2.1. Soient q ≥ 1, r ≥ 1, s ≥ 1 des entiers, (ak)k≥0 une
suite de réels telle que a0 > 0 et f : N → R une fonction arithmétique
95
H. Belbachir et F. Bencherif
admettant pour tout entier m ≥ 1 un développement asymptotique, pour
n →∞, s’écrivant
f (n) =
ns
logq n
(
a0 +
a1
log n
+ · · ·+ am−1
logm−1 n
+ O
(
1
logm n
))
.
Soit
∑
n≤x
′
(
1
f(n)
)r
une sommation étendue aux seuls entiers n ≤ x véri-
fiant f (n) 6= 0.
Dans le cas où rs = 1, on a pour tout entier m ≥ 1∑
n≤x
′ 1
f (n)
=
b0
q + 1
logq+1 x +
b1
q
logq x + · · ·+ bq
1
log x
+bq+1 log log x + C −
bq+2
log x
− bq+3
2 log2 x
− · · · − bq+m
(m− 1) logm−1 x
+ O
(
1
logm x
)
,
C étant une constante absolue indépendante de m et, pour 0 ≤ k ≤ q +m,
bk = Ak (a0, a1, . . . , ak; 1).
Dans le cas où rs ≥ 2,
∑
n≥0
′
(
1
f(n)
)r
est convergente et on a pour tout
entier m ≥ 1∑
n>x
′
(
1
f (n)
)r
=
logqr x
xrs−1
(
c0 +
c1
log x
+ · · ·+ cm−1
logm−1 x
+ O
(
1
logm x
))
,
avec
ck =
k∑
j=0
(qr − j)!
(qr − k)!
(rs− 1)j−k−1 Aj (a0, a1, . . . , aj ; r) , (0 ≤ k ≤ m− 1) .
Remarque 2.2. Comme pour tout entier m ≥ 1, on a
π (n) =
n
log n
(
m−1∑
k=0
k!
logk n
+ O
(
1
logm n
))
,
on peut choisir f (n) = π (n) avec dans ce cas particulier q = s = 1 et
ak = k! pour k ≥ 0; on retrouve alors les résultats de J.-M. De Koninck
et A. Ivić, L. Panaitopol, A. Ivić, et de H. Belbachir et F. Bencherif.
96
Développement asymptotique
3. Démonstration du théorème principal
La démonstration du théorème principal repose sur les deux lemmes
suivants :
Lemme 3.1. Soient m ≥ 1, q ≥ 1, des entiers, (bk)k≥0 une suite de réels.
Alors en posant
Tm (x) :=
logq x
x
(
b0 +
b1
log x
+ · · ·+ bm+q
logm+q x
)
et
Um (x) : =
b0
q + 1
logq+1 x +
b1
q
logq x + · · ·+ bq
1
log x
+bq+1 log log x−
bq+2
log x
− bq+3
2 log2 x
− · · · − bq+m
(m− 1) logm−1 x
,
on a U ′m (x) = Tm (x).
Lemme 3.2. Soient m ≥ 0, u ≥ 1, v ≥ 2,des entiers, (αk)0≤k≤m et
(βk)0≤k≤m des réels tels que
βk =
k∑
j=0
(u− j)! (v − 1)j−k−1
(u− k)!
αj .
Alors, en posant
Vm (x) :=
logu x
xv
(
α0 +
α1
log x
+ · · ·+ αm
logm x
)
et
Wm (x) := −
logu x
xv−1
(
β0 +
β1
log x
+ · · ·+ βm
logm x
)
,
on a
W ′m (x) = Vm (x) +
(m− u) βm
xv logm+1−u x
.
Preuve des lemmes. La preuve du Lemme 3.1 est immédiate, alors que
celle du Lemme 3.2 nécessite le calcul suivant. On a
W ′m (x) =
logu x
xv
(v − 1) β0 + m∑
j=1
(v − 1) βj + (j − 1− u) βj−1
logj x
+
m− u
logm+1 x
βm
)
.
97
H. Belbachir et F. Bencherif
On vérifie que β0, β1, . . . , βm satisfont les relations
{
(v − 1) β0 = α0
(v − 1) βj + (j − 1− u) βj−1 = αj (1 ≤ j ≤ m) .

Démonstration du Théorème 3. a) Si rs = 1, c’est à dire r = s = 1, alors
1
f (n)
=
logq n
n
(
a0 +
a1
log n
+ · · ·+ am+q
logm+q n
+ O
(
1
logm+q+1 n
))−1
=
logq n
n
(
b0 +
b1
log n
+ · · ·+ bm+q
logm+q n
)
+ O
(
1
n logm+1 n
)
= Tm (n) + O
(
1
n logm+1 n
)
.
On a donc, à la lumière du Lemme 3.1
∑
n≤x
′ 1
f (n)
= C1 +
∑
n≤x
U ′m (n) + O
(
1
logm x
)
= C + Um (x) + O
(
logq x
x
)
+ O
(
1
logm x
)
= C + Um (x) + O
(
1
logm x
)
.
b) Si rs ≥ 2, alors avec αk = Ak (a0, a1, . . . , ak; r) pour 0 ≤ k ≤ m− 1,
u = qr et v = rs, on a
(
1
f (n)
)r
=
logu n
nv
(
α0 +
α1
log n
+ · · ·+ αm−1
logm−1 n
+ O
(
1
logm n
))
.
Comme f (n)−r ∼ a−r0 n−v logu n avec v ≥ 2,
∑
n≥0
′f (n)−r converge,
et l’on a, à l’aide du Lemme 3.2 (on omet de justifier certains passages
98
Développement asymptotique
classiques)∑
n>x
′
(
1
f (n)
)r
=
∑
n>x
(
Vm−1 (n) + O
(
logu n
nv logm n
))
=
∑
n>x
W ′m−1 (n) + O
(
logu x
xv−1 logm x
)
=
∫ ∞
x
W ′m (t) dt + O
(
logu x
xv
)
+ O
(
logu x
xv−1 logm x
)
= −Wm−1 (x) + O
(
logqr x
xrs−1 logm x
)
,
ce qui complète la preuve du Théorème 2.1. 
Références
[1] H. Belbachir & F. Bencherif – « On a sum involving powers of
the prime counting function », Univ. Beograd. Publikac. Elektrotehn.
Fak. Ser. Mat. 17 (2006), p. 45–51.
[2] L. Comtet – Analyse Combinatoire, Puf, Coll. Sup., Paris, Vol. 1 &
2, 1970.
[3] A. Ivić – « On a sum involving the prime counting function π(x) »,
Univ. Beograd. Publikac. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 13 (2002), p. 85–
88.
[4] J.-M. D. Koninck & A. Ivić – Topics in Arithmetical Functions,
vol. 43, North Holland, Amsterdam, New-York, Oxford, 1980.
[5] L. Panaitopol – « A formula for π(x) applied to a result of Koninck-
Ivić », Nieuw Archief Woor Wiskunde 5/1 (2000), p. 55–56.
Hacène Belbachir
USTHB, Faculté de Mathématiques,
PB 32, El Alia, Alger, Algérie.
hbelbachir@usthb.dz
hacenebelbachir@gmail.com
Farid Bencherif
USTHB, Faculté de Mathématiques,
PB 32, El Alia, Alger, Algérie.
fbencherif@usthb.dz
fbencherif@gmail.com
99


Développement asymptotique de la somme des inverses d’une fonction arithmétique

M’hammed Boulagouaz

Une caractérisation de l’existence de l’élément primitif pour une extension gr-séparable des gradués associés à une extension de corps valués

Olivier Ramaré

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Olivier Ramaré
A purely analytical lower bound for L(1, χ)
Volume 16, no 2 (2009), p. 259-265.
<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2009__16_2_259_0>
© Annales mathématiques Blaise Pascal, 2009, tous droits réservés.
L’accès aux articles de la revue « Annales mathématiques Blaise Pas-
cal » (http://ambp.cedram.org/), implique l’accord avec les condi-
tions générales d’utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute
utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive
d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit
contenir la présente mention de copyright.
Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l’université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques
http://www.cedram.org/
Annales mathématiques Blaise Pascal 16, 259-265 (2009)
A purely analytical lower bound for L(1, χ)
Olivier Ramaré
Abstract
We give a simple proof of L(1, χ)√q  2ω(q) when χ is an odd primitiv qua-
dratic Dirichlet character of conductor q. In particular we do not use the Dirichlet
class-number formula.
Résumé
Nous donnons une preuve simple de l’inégalité L(1, χ)√q  2ω(q) lorsque χ
est un caractère quadratique primitif impair. En particulier, nous n’utilisons pas
la formule de Dirichlet liant L(1, χ) et e nombre de classes.
1. Main results
For a Dirichlet quadratic character χ of conductor q, several techniques
were devised to get a lower bound for L(1, χ). One of them consists in
estimating
S(α) =
∑
n≥1
(∑
d|n
χ(d)
)
e−αn (1.1)
in two ways, where α > 0 is a parameter to be chosen. We first notice
that (1 ?χ)(n) ≥ 0 and even ≥ 1 if n is a square, thus obtaining the lower
bound S(α)  α−1/2. On an other side, reversing the inner summation
yields
S(α) = L(1, χ)α−1 +
∑
d≥1
χ(d)
( 1
eαd − 1
− 1
αd
)
. (1.2)
Using partial summation and the Polya-Vinogradov inequality, the "re-
mainder term" isO(√q Log q). Taking α−1 = c√q Log2 q for a large enough
constant c yields L(1, χ)√q  1/Log q. It is fairly easy to remove this
Log q by noticing that only a smoothed version of the Polya-Vinogradov
Keywords: Lower bound for L(1, χ), Dirichlet class number formula.
Math. classification: 11N05.
259
O. Ramaré
inequality is required, thus getting L(1, χ)√q ≥ c for some positive con-
stant c.
The next question is to evaluate c. Recalling the Dirichlet class number
formula
L(1, χ)√q =
{
πh(−q) if χ(−1) = −1, q ≥ 5
Log εq h(q) if χ(−1) = +1,
(1.3)
we see that c > π for q larger than an explicit value would give another so-
lution of the class number 1 problem. As it turns out the previous method
can be made to yield the bound c = π − o(1). Such a result is a priori
surprising since the method being analytical, the smoothing e−x can be
modified. We have not been able to solve the resulting extremal problem
in order to get the best possible smoothing, but we have tried numerically
several of them (including all the smoothings of the form P (x)e−x where P
is a polynomial) and found no better one, which suggests that this choice
is (sadly) optimal. The general case being cumbersome, we have chosen to
present a shorter proof which is well adapted to this particular choice and
enables us to give a more complete description. We shall however restrict
our attention to odd characters.
Using genus theory of quadratic forms, one can deduce from the Dirich-
let class number formula that L(1, χ) ≥ π2 2
ω(q)/
√
q and it turns out that
the previous method can be modified to yield a bound of similar strength,
without any appeal either to the theory of quadratic forms, nor to the
Dirichlet class number formula.
Theorem 1.1. When q goes to infinity and χ is a primitive quadratic
Dirichlet character such that χ(−1) = −1, we have
L(1, χ) ≥ (1 + o(1))π/√q.
Moreover, uniformly for q ≥ 3, we have
L(1, χ) ≥ 2
ω(q)−1π
7.5√q
.
To do so we first rewrite the above proof. The function
Φ(s) = (2π/√q)−s Γ(s)ζ(s)L(s, χ), (1.4)
verifies the relation Φ(1− s) = Φ(s). Consequently and following Hecke’s
theory on Dirichlet series having a functional equation, we deduce that
260
A purely analytical lower bound for L(1, χ)
the function of the variable τ = x+ iy with y > 0
f(τ) =
√
q
2π
L(1, χ) +
∑
n≥1
(1 ? χ)(n)e2iπnτ/
√
q, (1.5)
verifies f(−1/τ) = (τ/i)f(τ). To get these relations, we simply express f
in term of Φ by the Mellin formula and use the functional equation for Φ.
The next step consists in elaborating on the argument (1 ? χ)(n2) ≥ 1.
To do so let λ be Liouville’s function (whose associated Dirichlet series is
ζ(2s)ζ(s)−1). We check that µ2 is the convolution inverse of λ and that
1 ? λ is the characteristic function of the squares. Defining ν = µ2 ?χ ≥ 0,
we get
1 ? χ = 1 ? λ ? µ2 ? χ = ν ? (1 ? λ)
which yields
f(iz) =
√
q
2π
L(1, χ) +
∑
m≥1
ν(m)θ0(2πmz/(k
√
q)) (1.6)
where
θ0(z) =
∑
n≥1
e−zn
2
. (1.7)
On using the functional equation of f , we infer
1− x
2
√
q
π
L(1, χ) =
∑
m≥1
ν(m)H(x, 2πmx/√q) (1.8)
where
H(x, y) = xθ0(y)− θ0(y/x2). (1.9)
The point is that H(x, y) ≥ 0 as soon as x is not too close neither to 1
nor to 0. This property is highly non-obvious since the main terms ( as y
is close to 0) of both summands of the RHS of (1.9) cancel each other as
may be seen in the proof below. H(x, y) is then about (1 − x)/2 when y
is small and then decays to 0.
Lemma 1.2. For x = 0.1987, we have H(x, y) ≥ 0 for y ≥ 0. Moreover
the estimate H(x, y) = 1−x2 +O(y) holds. Finally we have
min
y≤2πx
H(x, y) ≥ 1− x
15
.
We believe much more to be true:
Conjecture 1.3. We have H(x, y) ≥ 0 for every x ∈ [0, 1] and y ≥ 0.
261
O. Ramaré
Proof. We assume throughout that 0 < x < 1. The proof is separated in
two parts according as to y is small or not. We start with the case of small
y’s. By Euler-MacLaurin summation formula, we get
θ0(y) =
∫ ∞
0
e−yt
2
dt− 1
2
+ (−1)
h+1
h!
∫ ∞
0
Bh(t)f (h)(t)dt (h ≥ 2)
where Bh is the h-th Bernoulli function and f(t) = exp(−yt2). This for-
mula is that simple because f is even: this implies that f (r)(0)Br+1(0) = 0
when r ≥ 1. We use the above expression with h = 3. Recalling that
B3(t) = t3− 3t2/2 + t/2 for t ∈ [0, 1], we get |B3(t)| ≤ 1/(12
√
3) and thus
θ0(y) = y−1/2Γ(3/2)− 12 +O
∗(Cy)
where f(t) = O∗(g(t)) means |f(t)| ≤ g(t) and where
C = 1
72
√
3
∫ ∞
0
∣∣∣∣∣ d3dt3 e−t2
∣∣∣∣∣ dt = 4e−3/2 + 136√3 = 0.030351 +O∗(10−6).
Details of this computation can be found in the appendix. We thus get
H(x, y) ≥ 1− x
2
(
1− 2C yx+ x
−2
1− x
)
. (1.10)
From this expression it follows that H(x, y) ≥ 0 as soon as
y/x2 ≤ w(x) = 1− x
2C (1 + x3)
.
Let us assume now that y/x2 ≥ w(x). Using geometrical progressions,
we get
θ0(y/x2) ≤ e−y/x
2 + e−4y/x2 +
∑
n≥3
e−n
2y/x2
≤ e−y/x2 + e−4y/x2 +
∑
n≥3
e−3ny/x
2 ≤ e
−y/x2 + e−3y/x2
1− e−3y/x2
.
We use xθ0(y) ≥ xe−y, and thus H(x, y) ≥ 0 as soon as
1− e−3w(x)
1 + e−2w(x)
e(x
−2−1)y ≥ x−1
(we have used the fact that ρ 7→ (1 − ρ3)/(1 + ρ2) is non-increasing on
[0, 1], as a computation of its derivative readily shows). Since we want to
262
A purely analytical lower bound for L(1, χ)
cover the range y ∈]0,∞[, the condition on x reads
1− e−3w(x)
1 + e−2w(x)
e(1−x
2)w(x) ≥ x−1 (1.11)
which holds for the chosen value of x. See the Appendix for further details.
We now aim at a lower bound of the shape H(x, y) ≥ κ(1 − x) valid for
every y ≤ 2πx. We first check that (1.10) implies it when y ≤ (1 −
2κ)x2w(x). We extend this range by using
H(x, y) ≥ xe−y − e
−y/x2 + e−3y/x2
1− e−3ξ/x
for y ≥ ξx. (1.12)
This lower bound, say H0(x, y, ξ), is first increasing and then decreasing
as a function of y, as an examination of its derivative readily shows. This
implies that
min
ξ1x≤y≤ξ2x
H(x, y) ≥ min
(
H0(x, ξ1x, ξ1),H0(x, ξ2x, ξ1)
)
. (1.13)
We then select x = 0.1987 and κ = 1/15. The lower bound stemming
from (1.13) gives our lower bound when y lies in [1.7, 2π] and we extend
this bound by using (1.10) since (1−2κ)xw(x) > 1.7. Let us mention that
we could have split the range [1.7, 2π] of ξ in several subintervals. The
Lemma follows readily. 
We now continue the proof of Theorem 1.1. Using (1.8) and the Lemma,
we get
L(1, χ)√q ≥ π
(
1 +O(1/√q)
)
by discarding all the terms except the one corresponding to m = 1. By
discarding only the terms corresponding to m > √q, we get
Theorem 1.4. We have
L(1, χ)√q ≥ 2π
15
∑
m≤√q
ν(m)
To end the proof of Theorem 1.1, note that ν(p) = 1 if p|q. Since half
the divisors of q are less than √q, we conclude easily.
Theorem 1.4 is to be compared with what one can get by using the
theory of quadratic forms. For instance (cf [2, (1.4)]), Oesterlé proves
L(1, χ)√q/π ≥
∑
m≤√q/2
ν(m),
263
O. Ramaré
and Goldfeld in [1] already proved similar inequalities. Modifying this
technique we can extend the range of summation to m ≤ √q if we divide
the lower bound by 3.
2. Numerical Appendix
Computing C
With g(t) = e−t2 , we get
g′′(t) = (−2 + 4t2)g(t), g′′′(t) = 4t(3− 2t2)g(t).
The function g′′′(t) is negative except for t ∈ [0,
√
3/2] where it is non-
negative. The L1-norm of g′′′ is −g′′(0)+2g′′(
√
3/2) = 2(4e−3/2+1), which
gives the values of C.
Checking the positivity
Note that the RHS of (1.11) is increasing as a function of w and that
w(x) is a decreasing function of x. By splitting the interval [0, 1] in 1 000
subintervals [x−, x+], and using the fact that the RHS of (1.12) is non-
negative as soon as
1− e−3w(x−)
1 + e2w(x−)
e(1−x
2
+)w(x+) − x−1− ≥ 0 (x− ≤ x ≤ x+) (2.1)
we check that H(x, y) ≥ 0 for all y ≥ 0 provided x verifies:
0.001 ≤ x ≤ 0.882.
Plotting H(x, y)
We have presented a simple approach, but we could have relied more
heavily on computational material. The function θ0 satisfies a functional
equation inherited from the one of the theta function (and the latter is
equivalent via Hecke’s correspondence to the one of the Riemann zeta
function). It reads:
θ0(y) =
√
π
y
θ0(π2/y) +
√
π
2√y
− 1
2
.
This leads to the following GP/PARI-script:
264
A purely analytical lower bound for L(1, χ)
{thetabase0(y)= sumpos(n = 1, exp(-n^2*y))}
{theta0(y)=
if(y < Pi,
return(thetabase0(Pi^2/y)/sqrt(y/Pi)-1/2+1/2/sqrt(y/Pi)),
return(thetabase0(y)))}
{IH(x,y)=(x*theta0(y)-theta0(y/x^2))/(1-x)}
ploth(y = 0.1, 2*Pi*0.1987, IH(0.1987, y));
This produces a high definition plot of H(0.1987, y)/(1− 0.1987). We see
on this that we can replace the 15 in our bound by a 14.
References
[1] D. Goldfeld – Gauss’s class number problem for imaginary qua-
dratic fields, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 13 (1985), no. 1, p. 23–37.
[2] J. Oesterlé – Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires,
Astérisque (1985), no. 121-122, p. 309–323, Seminar Bourbaki, Vol.
1983/84.
Olivier Ramaré
Laboratoire CNRS Paul Painlevé
Université Lille I
59 655 Villeneuve d’Ascq Cedex
ramare@math.univ-lille1.fr
265


A purely analytical lower bound for $L(1,\chi )$

Not a member yet