Annales Mathématiques Blaise Pascal

Pere Menal-Ferrer

Joan Porti

Local coordinates for $\operatorname{SL}(n,\mathbf{C})$-character varieties of finite-volume hyperbolic 3-manifolds

Emmanuel Royer

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Emmanuel Royer
Quasimodular forms: an introduction
Volume 19, no 2 (2012), p. 297-306.
<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2012__19_2_297_0>
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tions générales d’utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute
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d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit
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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l’université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques
http://www.cedram.org/
Annales mathématiques Blaise Pascal 19, 297-306 (2012)
Quasimodular forms: an introduction
Emmanuel Royer
Abstract
Quasimodular forms were the heroes of a Summer school held June 20 to
26, 2010 at Besse et Saint-Anastaise, France. We give a short introduction to
quasimodular forms. More details on this topics may be found in [1].
Formes quasimodulaires : une introduction
Résumé
Les formes quasimodulaires furent les héroines d’une école d’été qui s’est tenue
du 20 au 26 juin 2010 à Besse et Saint-Anastaise, France. On donne une courte
introduction aux formes quasimodulaires. Une présentation plus large est donnée
dans [1].
1. Besse summer school on quasimodular forms
The birth house of Bourbaki, at Besse et Saint-Anastaise, hosted from
20 to 26 June 2010 a summer school on quasimodular forms and appli-
cations. This summer school, organised with the financial support of the
ANR project Modunombres, was attended by 29 participants. Beside short
conferences by some of the participants, six experts of modular and quasi-
modular forms gave courses. The aim of this volume is to provide the
lectures of four of the lecturers.
The algebra of modular forms is not stable by differentiation. This is
one of the reasons why quasimodular forms are an interesting extension
of modular forms. Rankin-Cohen brackets are combination of modular
forms and their derivatives that are modular. Michaël Pevzner (Univer-
sité de Reims) gave a lecture Rankin–Cohen brackets and representations
of conformal Lie groups. He presented Rankin-Cohen brackets through
the theory of unitary representations of conformal Lie groups. Min Ho
Lee (University of Northern Iowa) is an expert on quasimodular forms. He
presented a survey of his work in his course Quasimodular forms and quasi-
modular polynomials. In Quasi-modular forms attached to elliptic curves,
297
E. Royer
I, Hossein Movasati (Instituto de Matematica Pura e Aplicada) developed
the theory of quasimodular forms in the framework of Algebraic Geometry.
He gave a geometric interpretation of quasimodular forms using moduli
of elliptic curves with marked elements in their de Rham cohomologies.
Marios Petropoulos (École polytechnique) gave a course on quasimodular
forms in physics. He wrote notes with Pierre Vanhove (Institut des Hautes
Études Scientifiques) Gravity, strings, modular and quasimodular forms.
In thses notes, they exhibit the role played by modular and quasimodualar
forms in gravity and string theory.
2. Modular forms
A reference for this part is [2]. Let
SL2(Z) :=
{(
a b
c d
)
: (a, b, c, d) ∈ Z4, ad− bc = 1
}
.
be the modular group. It is well known that it is generated by
S =
(
0 −1
1 0
)
and T =
(
1 1
0 1
)
.
The Poincaré upper half plane is the set
H := {z ∈ C : Imz > 0}.
We add to H the set Q ∪ {∞} to obtain H. The modular group acts on
H: if
(
a b
c d
)
∈ SL2(Z) and z ∈ H, then
(
a b
c d
)
z :=

az+b
cz+d if z ∈ H \ {∞,−
d
c}
∞ if z = −dc
a
c if z =∞.
Definition 2.1. Let k be an integer. A modular form of weight k over
SL2(Z) is a holomorphic function f : H → C such that :
(1) for any matrix
(
a b
c d
)
in SL2(Z) and any z ∈ H,
(cz + d)−kf
(
az + b
cz + d
)
= f(z) ;
(2) the holomorphic function f is holomorphic at infinity.
298
Quasimodular forms
The first condition implies that f is periodic of period 1. This implies
that f admits a Fourier expansion. The second condition requires that
this Fourier expansion has no coefficients with negative index:
f(z) =
+∞∑
n=0
f̂(n)e2πinz.
We write Mk for the vector space of modular forms of weight k over
SL2(Z). It is finite dimensional.
Theorem 2.2. (1) If k < 0 or if k is odd, thenMk = {0}.
(2) if k ≥ 0 is even, then
dimMk =

⌊
k
12
⌋
if k ≡ 2 (mod 12)⌊
k
12
⌋
+ 1 otherwise.
We consider now that k is always nonnegative and even. A modular
form is said to be parabolic if its Fourier expansion has no constant term:
f(z) =
+∞∑
n=1
f̂(n)e2πinz.
We write Sk for the subspace of parabolic forms inMk. If k ≥ 4, we have
Mk = Sk ⊕ CEk where Ek is the weight k Eisenstein series defined by
Ek(z) = 1−
2k
Bk
+∞∑
n=1
σk−1(n)e2iπnz
where
σk−1(n) =
∑
d|n
dk−1
and
+∞∑
n=0
Bn
tn
n! =
t
et − 1 .
Moreover, if k ≥ 12, then Sk = ∆Mk−12 where
∆ = 11728(E
3
4 − E26).
It can be shown that ∆ vanishes only at ∞ and that this zero has order
1.
299
E. Royer
3. Definition of quasimodular forms
The notion of quasimodular forms is due to Kaneko & Zagier. Werner
Nahm gave the definition we use. The theory has been developped by Don
Zagier [3]. Define
D := 12iπ
d
dz .
The following proposition (proved recursively) implies that the derivatives
of a modular form are not modular forms.
Proposition 3.1. Let f ∈Mk and r ∈ N. Let
(
a b
c d
)
∈ SL2(Z). Then
(cz + d)−(k+2m) Dmf
(
az + b
cz + d
)
=
m∑
j=0
(
m
j
)
(k +m− 1)!
(k +m− j − 1)!
( 1
2iπ
)j
Dm−jf(z)
(
c
cz + d
)j
.
This proposition is used to define quasimodular functions.
Definition 3.2. Let f : H → C be a holomorphic function, k and s ≥ 0
be integers. The function f is a quasimodular function of weight k and
depth s if there exist holomorphic functions f0, . . . , fs over H with fs non
identically zero, such that
(cz + d)−kf
(
az + b
cz + d
)
=
s∑
j=0
fj(z)
(
c
cz + d
)j
(3.1)
for any matrix
(
a b
c d
)
∈ SL2(Z) and any z ∈ H. By convention, the zero
function is quasimodular of depth 0 for any weight.
With the notation of definition 3.2, we write Qj(f) := fj . The applica-
tion (
a b
c d
)
7→ f |
k
(
a b
c d
)
where
f |
k
(
a b
c d
)
(z) := (cz + d)−kf
(
az + b
cz + d
)
(3.2)
300
Quasimodular forms
is an action of SL2(Z) on the holomorphic functions over H . Finally, for
any A =
(
a b
c d
)
∈ SL2(Z), we define
X(A) : H → C
z 7→ c
cz + d.
With all these definitions (3.1) is rewritten
f |
k
A =
s∑
j=0
Qj(f) X(A)j . (3.3)
For any quasimodular form f , we have Q0(f) = f . Moreover, f is periodic
of period 1. Indeed we prove in the next proposition that each Qj(f) is
itself a quasimodular function.
Proposition 3.3. Let f be a quasimodular form of weight k and depth s.
For any m ∈ {0, . . . , s}, we have
Qm(f) |
k−2m
A =
s−m∑
v=0
(
m+ v
v
)
Qm+v(f) X(A)v
for any A ∈ SL2(Z).
Proof. Since f |
k
AB =
(
f |
k
A
)
|
k
B, we have
f |
k
(AB) =
s∑
n=0
(
Qn(f) |
k−2n
B
)
·
(
X(A)|
2
B
)n
.
Since X(A)|
2
B = X(AB)−X(B), it follows that
f |
k
(AB) =
s∑
j=0
 s∑
n=j
(
n
j
)
(−X(B))n−j
(
Qn(f) |
k−2n
B
)X(AB)j .
Comparing with the expression of f |
k
AB, we obtain
Qj(f) =
s∑
n=j
(
n
j
)
(−X(B))n−j
(
Qn(f) |
k−2n
B
)
301
E. Royer
for any j. Let
M(x) =
((
β − 1
α− 1
)
xβ−α
)
1≤α≤s+1
α≤β≤s+1
.
The matrixM(x) is invertible and upper triangular with inverseM(x)−1 =
M(−x). We rewrite these equations as
M (−X(B))

Q0(f)|
k
B
...
Qs(f) |
k−2s
B
 =
Q0(f)...
Qs(f)

so that 
Q0(f)|
k
B
...
Qs(f) |
k−2s
B
 = M (X(B))
Q0(f)...
Qs(f)
 .
Finally
Qn(f) |
k−2n
B =
s∑
n=j
(
n
j
)
Qn(f) X(B)n−j
for any n. This concludes the proof. 
It follows from proposition 3.3 that, if f is a quasimodular function of
weight k and depth s then Qj(f) is a quasimodular function of weight
k − 2j and depth s − j. We add a condition so that Qs(f) is indeed a
modular form.
Definition 3.4. A quasimodular function f of weight k and depth s is a
quasimodular form if the Fourier expansions of each Qj(f) have no terms
of negative index :
Qj(f)(z) =
+∞∑
n=0
Q̂j(f)(n)e2iπnz
for any j ∈ {0, . . . , s}.
We denote byMsk the set of quasimodular forms of weight k and depth
s and M≤sk the C-vector space of quasimodular forms of weight k and
302
Quasimodular forms
depth less than or equal to s. We define also
M∞k :=
⋃
s∈N
M≤sk .
If f ∈ Msk then Qs(f) ∈ Mk−2s. There are no modular forms of odd
weight or negative weight hence k is even and s ≤ k/2.
Theorem 3.5. Let f ∈ Msk be non constant. Then Df ∈ M
s+1
k+2. More
precisely,
Q0(Df) = Df,
Qn(Df) = D(Qnf) +
k − n+ 1
2iπ Qn−1(f)
if 1 ≤ n ≤ s and
Qs+1(Df) =
k − s
2iπ Qs(f).
Proof. Since
D X(A) = − 12iπ X(A)
2
the derivation of (3.1) leads to
D
(
f |
k
A
)
=
s∑
j=0
(
D (Qj(f)) X(A)j −
j
2iπQj(f) X(A)
j+1
)
. (3.4)
We compare (3.4) with the equality
D
(
f |
k
A
)
= − k2iπ
(
f |
k
A
)
X(A) + (Df) |
k+2
A
and use (3.3) to have
(Df) |
k+2
A =
s∑
j=0
(
D (Qj(f)) X(A)j −
j
2iπQj(f) X(A)
j+1
+ k2iπQj(f) X(A)
j+1
)
. (3.5)

Beside the derivatives of modular forms, we can build another quasi-
modular form. Let
E2 =
D∆
∆ .
303
E. Royer
Like ∆, this function has a Fourier expansion without any coefficient of
negative index. Moreover, it follows from proposition 3.1 that
E2 |
2
A = E2 +
6
iπ
X(A).
for any A ∈ SL2(Z). Then E2 is a quasimodular form of weight 2 and
depth 1. It is less easy (but this justifies the notation) to prove that
E2(z) = 1− 24
+∞∑
n=1
σ1(n)e2iπnz.
4. Structure theorems
We give two structure theorems.
Theorem 4.1. Let f ∈ Msk. There exists modular forms Fi ∈ Mk−2i
such that
f =
s∑
i=0
FiE
i
2.
In other words,
M≤sk =
s⊕
i=0
Mk−2iEi2.
Proof. The proof is done recursively using the fact that if f has depth less
than or equal to s then
f −
(
iπ
6
)s
Qs(f)Es2
has depth less than or equal to s− 1. 
Theorem 4.2. Let f ∈ Msk. There exist a real number α and modular
forms Fi ∈Mk−2i such that
f =

s∑
i=0
DiFi si s <
k
2
k/2−2∑
i=0
DiFi + αDk/2−1E2 si s =
k
2 .
304
Quasimodular forms
In other words,
M∞k =M
≤k/2
k =
k/2−2⊕
i=0
DiMk−2i ⊕ CDk/2−1E2.
Proof. We proceed by descent on the depth s based to the following fact.
We need a modular form g ∈ Mk−2s satisfying Qs(Dsg) = Qs(f). It
would follow f−Dsg ∈M≤s−1k . Consequently, let g ∈Mk−2s. Reiterating
theorem 3.5, we get
Qs(Dsg) =
s!
(2iπ)s
(
k − s− 1
s
)
g. (4.1)
If
(k−s−1
s
)
6= 0, wich is the case as soon as s 6= k2 , we choose
g := (2iπ)
s
s!
1(k−s−1
s
)Qs(f).
It belongs to Mk−2s. If s = k2 , this procedure is not efficient since the
binomial coefficient binomial is vanishing (this corresponds to the fact
thatM0 = C). However, reiterating theorem 3.5, we have
Qk/2
(
Dk/2−1E2
)
= (k/2− 1)!
(2iπ)k/2−1
Q1(E2) =
(k/2− 1)!
(2iπ)k/2−1
6
iπ
.
Since Qk/2(f) ∈M0 = C, we define
α := iπ6
(2iπ)k/2−1
(k/2− 1)!Qk/2(f) ∈ C
to obtain f − αDk/2−1E2 ∈M≤k/2−1k . It follows that
M≤k/2k =
k/2−1⊕
i=0
DiMk−2i ⊕ CDk/2−1E2.
We conclude usingM2 = {0}. 
Remark 4.3. Do we really need E2? We would like to have a modular form
f ∈ M` and an integer r such that Drf ∈ M
k/2
k . This implies k = `+ 2r
and k/2 = `+ r hence ` = 0. HoweverM0 = C and DM0 = {0}. Hence,
the function E2 acts like ”the nonzero derivative of a modular form of
weight 0”.
305
E. Royer
References
[1] E. Royer – “Un cours «africain» de théorie des nombres”, Unpub-
lished. Available at http://carva.org/emmanuel.royer, 2011.
[2] J.-P. Serre – Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France,
Paris, 1977, Deuxième édition revue et corrigée, Le Mathématicien, No.
2.
[3] D. Zagier – “Elliptic modular forms and their applications”, in The
1-2-3 of modular forms, Universitext, Springer, Berlin, 2008, p. 1–103.
Emmanuel Royer
Clermont Université
Université Blaise Pascal
Laboratoire de Mathématiques
BP 10448
F-63000 CLERMONT-FERRAND
CNRS, UMR 6620, LM
F-63177 AUBIERE, France
emmanuel.royer@math.univ-
bpclermont.fr
306


Quasimodular forms: an introduction

Hossein Movasati

Quasi-modular forms attached to elliptic curves, I

Mohammed Benalili

Hichem Boughazi

The second Yamabe invariant with singularities

Jiecheng Chen

Dashan Fan

Optimal boundedness of central oscillating multipliers on compact Lie groups

Amarisa Chantanasiri

Généralisation des critères pour l’indépendance linéaire de Nesterenko, Amoroso, Colmez, Fischler et Zudilin

Mohammed El Aïdi

Un majorant du nombre des valeurs propres négatives correspondantes à l’opérateur de Schrödinger généralisé.

Bechir Amri

Mohamed Sifi

Riesz transforms for Dunkl transform

Mohamed Ait Ouahra

Abdelghani Kissami

Aissa Sghir

ANNALES MATHÉMATIQUES
BLAISE PASCAL
Mohamed Ait Ouahra, Abdelghani Kissami & Aissa Sghir
Un principe d’invariance de type Donsker dans une classe
d’espaces de Besov-Orlicz
Volume 19, no 1 (2012), p. 263-269.
<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2012__19_1_263_0>
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cal » (http://ambp.cedram.org/), implique l’accord avec les condi-
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de l’université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
cedram
Article mis en ligne dans le cadre du
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Annales mathématiques Blaise Pascal 19, 263-269 (2012)
Un principe d’invariance de type Donsker dans
une classe d’espaces de Besov-Orlicz
Mohamed Ait Ouahra
Abdelghani Kissami
Aissa Sghir
Résumé
Dans ce papier, nous allons étendre le principe classique d’invariance de Donsker
[4] dans une classe des espaces de Besov-Orlicz associés à la N -fonction exponen-
tielle M2(x) = exp(x2)− 1.
1. Introduction
Le résultat classique connu sous le nom du théorème de la limite cen-
trale assure que pour toute suite de variables aléatoires réelles i.i.d (Xn)n≥1
centrées, de variance σ2 finie, la suite
(
1
σ
√
n
∑n
k=1Xk
)
n≥1
converge en loi
vers une variable aléatoire suivant une loi normale standard. La version
fonctionnelle du théorème de la limite centrale connue sous le nom de prin-
cipe d’invariance a été établie par Donsker [4], dans l’espace des fonctions
continues C([0, 1]), muni de la topologie de la convergence uniforme, et
dans l’espace D([0, 1]), muni de la topologie de Skorohod pour les proces-
sus discontinus.
Théorème 1.1. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen-
trées, de variance σ2 finie et soit Sn =
∑n
k=1Xk et S0 = 0. Alors, la suite
des processus {
ξn(t) =
1
σ
√
n
S[nt], 0 ≤ t ≤ 1
}
,
converge faiblement, lorsque n→ +∞, vers un mouvement Brownien stan-
dard, dans l’espace D([0, 1]).
Mots-clés : Espaces de Besov-Orlicz, Principe d’invariance de type Donsker, Conver-
gence faible, Tension.
Classification math. : 46E30, 60F17.
263
M. Ait Ouahra, A. Kissami & A. Sghir
Théorème 1.2. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen-
trées, de variance σ2 finie et soit Sn =
∑n
k=1Xk et S0 = 0. Alors, la suite
des processus{
γn(t) =
1
σ
√
n
(
S[nt] + (nt− [nt])X[nt]+1
)
, 0 ≤ t ≤ 1
}
,
converge faiblement, lorsque n→ +∞, vers un mouvement Brownien stan-
dard, dans l’espace C([0, 1]).
Ce genre de théorèmes ont été étudiés par Hamadouche [5] et Lamperti
[7] dans l’espace de Hölder et Morel [8] dans les espaces de Besov stan-
dard. D’autre part, Kerkyacharian et Roynette [6] ont donné une autre
démonstration du résultat de Lamperti [7] en utilisant la base de Schau-
der. Dans ce papier, nous allons étendre ces deux théorèmes à la topo-
logie des espaces de Besov-Orlicz associés à la N -fonction exponentielle
M2(x) = exp(x2)− 1.
Soit la N -fonction Mβ définie par :
Mβ(x) =
{
e|x|
β − 1 si β ≥ 1,
Eβ(x)− Eβ(0) si 0 < β < 1,
où Eβ(x) = Eβ(−x) est le prolongement de la partie convexe de e|x|
β sur
[xβ,+∞[ par sa tangente au point xβ > 0. (e|x|
β change de concavité en
xβ).
Le reste de ce papier est organisé comme suit : Dans la deuxième partie,
nous présentons quelques notions de base sur la théorie des espaces de
Besov-Orlicz, associés à la N -fonction exponentielle Mβ, pour β > 0. La
dernière partie est réservée à la démonstration de nos résultats.
2. Espaces de Besov-Orlicz
Pour la théorie de base des espaces de Besov-Orlicz, nous renvoyons le
lecteur à Boufoussi [2] et Ciesielski et al. [3]. Cependant, nous présentons
un bref aperçu sur ces espaces.
Soit (Ω,Σ, µ) un espace de mesure finie. L’espace d’Orlicz LMβ(dµ)(Ω) as-
socié à la N -fonctionMβ, pour β > 0, est l’espace de Banach des fonctions
f : Ω→ R mesurables muni de la norme
‖f‖Mβ(dµ) = infλ>0
{∫
Ω
Mβ(|
f(.)
λ
|)dµ(.) < 1
}
.
264
Principe d’invariance de type Donsker
Dans le cas d’un espace probabilisé (Ω,Σ, P ), on a
‖f‖Mβ(dP ) = infλ>0
{
E(Mβ(|
f
λ
|)) < 1
}
.
Le module de continuité d’une fonction f définie sur [0, 1] en norme d’Or-
licz est défini pour tout h ∈ R par :
ωMβ (f, t) = sup
|h|≤t
‖∆hf‖Mβ(dx),
où ∆hf(x) = 1[0,1−h](x)[f(x+ h)− f(x)] et dx est la mesure de Lebesgue
sur [0, 1].
Pour tout 0 < µ < 1 et ν > 0, l’espace de Besov-Orlicz noté Bωµ,νMβ ,∞, est
l’espace de Banach des fonctions continues f ∈ LMβ(dx)([0, 1]) muni de la
norme
‖f‖ωµ,νMβ ,∞ = ‖f‖Mβ(dx) + sup0<t≤1
ωMβ (f, t)
ωµ,ν(t)
,
où
ωµ,ν(t) = tµ(1 + log(
1
t
))ν .
Muni de cette norme, l’espace Bωµ,νMβ ,∞ n’est pas séparable. Par contre, il
contient un sous espace fermé et séparable noté Bωµ,ν ,0Mβ ,∞ qui correspond
aux fonctions f telles que ωMβ (f, t) = o(ωµ,ν(t)), quand t→ 0.
Nous savons que toute fonction f continue sur [0, 1], se décompose dans
la base de Schauder {ϕn = ϕj,k, j ≥ 0, k = 1, ..., 2j}
f(t) =
∞∑
n=0
Cn(f)ϕn(t),
où la convergence est uniforme et les coefficients dans cette base sont
donnés par
C0(f) = f(0), C1(f) = f(1)− f(0),
n = 2j + k, j ≥ 0 , k = 1, ..., 2j ,
Cn(f) = fj,k = 2
j
2
[
2f(2k−12j+1 )− f(
2k−2
2j+1 )− f(
2k
2j+1 )
]
.
Les preuves des deux théorèmes suivants se trouvent dans Ait Ouahra et
al. [1], le premier caractérise la régularité Besov-Orlicz des trajectoires du
mouvement Brownien standard et le deuxiéme donne un critère de tension
dans les espaces de Besov-Orlicz.
265
M. Ait Ouahra, A. Kissami & A. Sghir
Théorème 2.1. Soit {Bt, t ≥ 0} un mouvement Brownien standard.
Alors p.s, la trajectoire t → Bt appartient à l’espace de Besov-Orlicz
B
ω 1
2 ,ν
,0
M2,∞ , ∀ν > 1.
Théorème 2.2. Soit (Xnt : t ∈ [0, 1])n≥1 une suite de processus stochas-
tiques définis sur (Ω,Σ, P ) satisfaisant les hypothèses suivantes
(1) Xn0 = 0, pour tout n ≥ 1.
(2) Il existe une constante C > 0 telle que pour tous t, s ∈ [0, 1], on a,
‖Xnt −Xns ‖Mβ(dP ) ≤ C|t− s|
µ.
Alors, la famille des lois de (Xnt : t ∈ [0, 1]) est tendue dans B
ωµ,ν ,0
Mβ ,∞, pour
tous β ≥ 1, 0 < µ < 1 et ν > 1.
3. Les résultats principaux
Théorème 3.1. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen-
trées, de variance σ2 finie, et soit Sn =
∑n
k=1Xk et S0 = 0. Alors, la suite
des processus {
ξn(t) =
1
σ
√
n
S[nt], 0 ≤ t ≤ 1
}
,
converge faiblement, lorsque n→ +∞, vers un mouvement Brownien stan-
dard, dans l’espace de Besov-Orlicz B
ω 1
2 ,ν
,0
M2,∞ , pour tout ν > 1.
Théorème 3.2. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d cen-
trées, de variance σ2 finie, et soit Sn =
∑n
k=1Xk et S0 = 0. Alors, la suite
des processus{
γn(t) =
1
σ
√
n
(
S[nt] + (nt− [nt])X[nt]+1
}
, 0 ≤ t ≤ 1
}
,
converge faiblement, lorsque n→ +∞, vers un mouvement Brownien stan-
dard, dans l’espace de Besov-Orlicz B
ω 1
2 ,ν
,0
M2,∞ , pour tout ν > 1.
On a besoin du lemme suivant de Morrow [9] dont la preuve se trouve
dans Zhonggen Su [10] .
266
Principe d’invariance de type Donsker
Lemme 3.3. Soit 0 < β ≤ 2. Si (Xn)n∈N est une suite de variables
aléatoires i.i.d centrées telles que ‖X1‖Mβ(dP ) < ∞, alors il existe une
constante 0 < Cβ <∞ telle que∥∥∥∥X1 + ...+Xn√n
∥∥∥∥
Mβ(dP )
≤ Cβ‖X1‖Mβ(dP ).
Remarque 3.4. Si (Xn)n∈N est une suite de variables aléatoires i.i.d cen-
trées telles que pour tout p ≥ 1, ‖X1‖p <∞, alors il existe une constante
0 < Cp <∞ telle que∥∥∥∥X1 + ...+Xn√n
∥∥∥∥
p
≤ Cp‖X1‖p.
C’est l’inégalité de Marcinkiewicz-Zygmund.
Preuve du Théorème 3.1. Il suffit d’établir que la famille (ξn(t)) est tendue
dans l’espace B
ω 1
2 ,ν
,0
M2,∞ , pour tout ν > 1.
‖ξn(t)− ξn(s)‖M2(dP ) =
∥∥∥∥∥∥ 1σ√n
[nt]−1∑
k=[ns]
Xk
∥∥∥∥∥∥
M2(dP )
=
∣∣∣∣∣
√
[nt]− [ns]
σ
√
n
∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥∥
[nt]−1∑
k=[ns]
Xk√
[nt]− [ns]
∥∥∥∥∥∥
M2(dP )
.
Remarquons que pour n assez grand,∣∣∣∣∣
√
[nt]− [ns]√
n
∣∣∣∣∣ ≤ |t− s| 12 .
Il suffit donc de montrer qu’il existe une constante 0 < C < ∞, telle que
pour tout n assez grand,∥∥∥∥∥∥
[nt]−1∑
k=[ns]
Xk√
[nt]− [ns]
∥∥∥∥∥∥
M2(dP )
≤ C,
ce qui est le cas d’après Lemme 3.3. 
Preuve du Théorème 3.2. Il suffit d’établir que la famille (γn(t)) est ten-
due dans l’espace B
ω 1
2 ,ν
,0
M2,∞ , pour tout ν > 1.
267
M. Ait Ouahra, A. Kissami & A. Sghir
Premier cas : [nt] = [ns].
Dans ce cas [nt] ≤ ns ≤ nt < [nt] + 1, et par suite [nt]n ≤ s ≤ t <
[nt]+1
n ,
ce qui implique que
√
n|t− s| ≤ 1. Donc,
‖γn(t)− γn(s)‖M2(dP ) =
√
n|t− s|
‖X[nt]+1‖M2(dP )
σ
≤
‖X1‖M2(dP )
σ
|t− s|
1
2 .
Deuxième cas : [ns] < [nt].
Dans ce cas [ns] ≤ ns < [ns] + 1 ≤ [nt] ≤ nt < [nt] + 1,
et par suite [ns]n ≤ s <
[ns]+1
n ≤
[nt]
n ≤ t <
[nt]+1
n . Donc,
‖γn(t)− γn(s)‖M2(dP ) ≤ ‖γn(t)− γn(
[nt]
n
)‖M2(dP )
+ ‖γn(
[nt]
n
)− γn(
[ns]
n
)‖M2(dP ) + ‖γn(s)− γn(
[ns]
n
)‖M2(dP ).
D’après le premier cas, il existe une constante 0 < C <∞ telle que
‖γn(t)− γn(
[nt]
n
)‖M2(dP ) ≤ C|t− s|
1
2 ,
et
‖γn(s)− γn(
[ns]
n
)‖M2(dP ) ≤ C|t− s|
1
2 ,
en remarquant que [nt] = [nt′] et [ns] = [ns′], avec t′ = [nt]n et s
′ = [ns]n .
Pour le terme du milieu, la même technique utilisée dans la démonstration
du Théorème 3.1, entraîne qu’il existe une constante 0 < C ′ <∞ telle que
‖γn(
[nt]
n
)− γn(
[ns]
n
)‖M2(dP ) = ‖γn(t
′)− γn(s′)‖M2(dP ) ≤ C
′|t− s|
1
2 .
La preuve du Théorème 3.2 est ainsi achevée. 
Références
[1] M. Ait Ouahra, A. Kissami & A. Sghir – « Un critère de tension
dans les espaces de Besov-Orlicz et applications au problème du temps
d’occupations », Ann. Math. Blaise. Pascal 18(2) (2011), p. 237–257.
[2] B. Boufoussi – « Espaces de Besov : Caractérisations et Applica-
tions. », Thèse, Université Henri Poincaré. Nancy. France, 1994.
[3] Z. Ciesielski, G. Kerkyacharian & B. Roynette – « Quelques
espaces fonctionnels associés à des processus gaussiens », Studia Ma-
thematica 107(2) (1993), p. 171–204.
268
Principe d’invariance de type Donsker
[4] M. D. Donsker – « An invariance principle for certain probability
limit theorems », Mem. Amer. Math. Soc., 1951 (1951), no. 6, p. 12.
[5] D. Hamadouche – « Invariance principles in Hölder spaces », Por-
tugal. Math 57(2) (2000), p. 127–151.
[6] G. Kerkyacharian & B. Roynette – « Une démonstration simple
des théorèmes de Kolmogorov, Donsker et Itô-Nisio », C. R. Acad.
Sci. Paris. Ser. I 312 (1991), p. 877–882.
[7] J. Lamperti – « On convergence of stochastic processes », Trans.
Amer. Math. Soc 104 (1962), p. 430–435.
[8] B. Morel – « Weak convergence of summation processes in Besov
spaces », Studia Mathematica 165 (2004), p. 19–37.
[9] J. G. Morrow – « On a central limit theorem motivated by somme
Fourier series with dependent coefficients », Unpublished manuscript,
1984.
[10] Z. Su – « Central limit theorems for random processes with sample
paths in exponential Orlicz spaces », Stochastic Processes and their
applications 66 (1997), p. 1–20.
Mohamed Ait Ouahra
Laboratoire de Modélisation Stochastique
et Déterministe et URAC 04
Faculté des Sciences Oujda
B.P. 717
Maroc
ouahra@ucam.ac.ma
Abdelghani Kissami
Laboratoire de Modélisation Stochastique
et Déterministe et URAC 04
Faculté des Sciences Oujda
B.P. 717
Maroc
Kissami@fso.ump.ma
Aissa Sghir
Laboratoire de Modélisation Stochastique
et Déterministe et URAC 04
Faculté des Sciences Oujda
B.P. 717
Maroc
semastai@hotmail.fr
269


Un principe d’invariance de type Donsker dans une classe d’espaces de Besov-Orlicz

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