Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

Simplice Dossou-Gbété

Axel Grorud

Biplots for matched two-way tables

Elena A. Erosheva

Stephen E. Fienberg

Brian W. Junker

Alternative statistical models and representations for large sparse multi-dimensional contingency tables

Claude Thélot

L'analyse statistique des tables de mobilité à l'aide du modèle quasisymétrique et de ses dérivés

F. D. Araruna

G. O. Antunes

L. A. Medeiros

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE
F. D. ARARUNA
G. O. ANTUNES
L. A. MEDEIROS
Semilinear wave equation on manifolds
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6e série, tome 11,
no 1 (2002), p. 7-18
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_2002_6_11_1_7_0>
© Université Paul Sabatier, 2002, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de
Toulouse » (http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les
conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitu-
tive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier
doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
- 7 -
Semilinear wave equation on manifolds (*)
F. D. ARARUNA, G. O. ANTUNES AND L. A. MEDEIROS (1)
Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Vol. XI, n° 1, 2002
pp. 7-18
Dedicated to M. Milla Miranda in the
occasion of his 60th. anniversary.
R,ESUME. - Dans ce travail nous étudions un probleme pour les equations
des ondes non linéaire définies dans une variete. Ce probleme a etc motive
par J.L.Lions [8], p. 134. Pour l’existence de solutions nous avons applique
la méthode de Galerkin. Le comportement asymptotique des solutions a
ete examine aussi.
ABSTRACT. - In this paper, we study a type of second order evolution
equation on the lateral boundary £ of the cylinder Q = n x ]0, T[, with Q
an open bounded set of 1R n. In this problem is fundamental that the un-
known function solves an elliptic problem on SZ. This results are motivated
by Lions [8], pg. 134 where he works with another type of nonlinearity.
1. Introduction
Let Q be a bounded open set of jRn (n > 1) with smooth boundary r.
Let v be the outward normal unit vector to F and T > 0 a real number. We
consider the cylinder Q x ]0, T[ with lateral boundary E = r x ]0, T[ .
We investigate existence and asymptotic behaviour of weak solution for
the problem
~ * ~ Reçu le 24 janvier 2002, accepte le 4 septembre 2002
~) > Partially supported by PCI-LNCC-MCT-2001.
Instituto de Matematica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530,
21945-970, Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
E-mail: araruna@pg.im.ufrj.br, gladson@email.com.br, lmedeiros@abc.org.br
where the prime means the derivative with respect to t, ’ normal deriva-
tive of w and F : Il~ -~ R is a function that satisfies
F continuous and sF (s) > 0, Vs E I~. (1.2)
It is important to call the attention to the reader that the idea employed
in this work comes from Lions [8], pg. 134. The main point consists in adding
to (1.1) an elliptic equation in 03A9 to reduce the problem to a canonical model
of Mathematical Physics, but in this case on a manifold which is the lateral
boundary £ of the cylinder Q . A Similar type of problem, also motivated
by Lions [8], can be seen in Cavalvanti and Domingos Cavalcanti [2].
The plan of this article is the following: In the section 2, we give nota-
tions, terminology and we treat the linear case associated to (1.1). In the
section 3, we prove existence for weak solution when F satisfies the condi-
tion (1.2), approximating F by Lipschtz functions. In this Lipschitz case, we
employ Picard’s successive approximations and then we apply the Strauss’
method [9]. Finally in the section 4, we obtain the asymptotic behaviour by
the method of pertubation of energy as in Zuazua [10].
2. Notations, Assumptions and Results
Denote by ] . ] , (., .) and ]] . ]] , ((., .)) the inner product and norm, respec-
tively, of L2 (r) 
For 
_
we will denote a primitive of F.
We consider the following assumption on ~3 in (1.1) :
fl E L°° (F) such that /3 (x) ~ ~30 > 0, a.e. on F. (2.1)
As was said in the introduction, for A > 0, let us consider the problem
From elliptic theory, we know that for cp E H 2 (F), the solution ~ of
the boundary value problem
belongs to H1 (S2, 0) _ ~ u E H1 (~) ; Du E L~ (SZ) ~ . By the trace theorem,
it follows that ~~ E H- 2 (r) .
Formally, we have by (2.3) that
We take B11 E Hl (S~, A) and we define
Thus, by (2.4)
where ~yo and 1’1 are the traces of order zero and one, respectively, and (-, -~
represents the duality pairing between H- 2 (F) and (F). .
We consider the scheme
Thus
Therefor e A is self-adjoint and A E £ (r) (r) .
Moreover, we have
and so by (2.4) we get
proving that A is positive.
We formulate now the problem on E. For this, we define
In this way, the problem (1.2) is reduced to find a function u. : ~ -~ R
such that 
,
which will be investigated in the section 3.
Firstly we will state a result that guarantees the existence and unique-
ness of solution for the linear problem associated the ( 1.1 ) .
THEOREM 2.1. 2014 Given (uo,ul,f) E H 2 (r) x L2 (h) x L2(03A3), there
exists a unique function u : ~ -~ I~ such that
Moreover we have the energy inequality
Proof. In the proof of this linear case, we employ the Faedo-Galerkin’s
method. D
3. Existence of Solution
The goal of this section is to obtain existence of solutions for the problem
(1.1).
THEOREM 3.1.2014 Consider F satisfying (1.2) and suppose
Then there exists a function u : ~ ~ IE~ such that
To prove the Theorem 3.1, the following Lemma will be used:
LEMMA 3.1. - Assume that (uo, u1 ) E H 2 (r) x L2 (r) and suppose that
the function F satisfies
F -~ II~ be Lipschitz function such that sF (s) > 0, ds E R. (3.5)
Then there exists only one function u : ~ -~ II~ satisfying the conditions
Furthermore
Proof of Lemma ~.1. - The proof will be done employing the Picard
successive approximations method. Let us consider the sequence of succes-
sives approximations
defined as the solutions of the linear problems
Using that F is Lipschitz and from Theorem 2.1, one can prove, using
induction, that (3.12) has a solution for each n E N with the regularity
claimed in the Theorem 2.1. We will prove now that the sequence (3.11)
converges to a function u : 03A3 ~ R in the conditions of the Lemma 3.1.
For this end, we define vn = un - un-i which is the unique solution of the
problem
By the energy inequality (2.9), we have
Set
Thus, since F is Lipschitz, we have
We have also
Combining (3.14) - (3.17), we get
and, by interation, we obtain, for n = 1, 2, ..., that
00
hence, we conclude that the series (t) is uniformly convergent on
~=1
]0,r[. By the definition of en (t), see (3.15), it follows that the series
00 00
y~ (t~ 2014 1~-1) and y~ (i~ 2014 are convergents in the norms of L~
?~=i
(0,r;L~ (F)) and Z~ (o,r;~~ (r)) , respectively. Therefore, there exists
U E -~ R such that
Since F is Lipschitz, we have by (3.18) that
Then, by the convergences (3.18) - (3.20) , we can pass to the limit in
(3.12) and we obtain, by standard procedure, a unique function u satisfying
(3.6) - (3.10) . 0
We will prove now the main result.
Proof of Theorem 3.1. - By Strauss ~9~, there exists a sequence of func-
tions , such that each Fv . lI~ -~ I~ is Lipschitz and 
approximates F uniformly on bounded sets of Since the initial data uo is
not necessarily bounded, we have to approximate uo by bounded functions
of H 2 (F). We consider the functions çj : II~ -~ R defined by
Considering ~~ (uo ) = uoj, , we have by Kinderlehrer and Stampacchia [5]
that the sequence E~ C H 2 (r) is bounded a.e. in rand
Thus, for E H 2 (r) x L2 (r) , the Lemma 3.1 says that there
exists only one solution : ~ -~ R satifying (3.6) - (3.9) and the energy
inequality
We need an estimate for the term Gv (uoj (x) ) dh. Since uo~ is bounded
a.e. in r, Vj E N, it follows that
So
From (3.21), there exists a subsequence of (u.p~)~E~ which will still be
denoted by (~oj’L~ ~ such that
Hence, by continuity of G, we have that G -~ G (uo) a.e. in r. We also
have that G (uoj) x G (uo) E ~1 (r). Thus, by the Lebesgue’s dominated
convergence theorem, we get
Then, by (3.23) and (3.24), we obtain that
where C is independent of j and v. In this way, using (3.21) and (3.25) , we
have from (3.22) that
where C is independent of j, v and t.
From (3.26), we obtain that
is bounded in L°° (0, Tj (F)) , (3.27)
is bounded in Loo (0,T;L2 (r) ) . (3.28)
We have that (3.27) and (3.28) are true for all pairs ( j, v) E I~‘ 2 , in particular,
for (i, i) E ~12. Thus, there exists a subsequence of (ui2), which we denote
by (Ui) , and a function u : 03A3 ~ R, such that
We also have by (3.8) that
From (3.29), (3.30) and observing that the injection of H1 (E) in L~ (E) is
compact, there exists a subsequence of (~ci), which we still denote by (ui) ,
such that
Since F is continuous
Furthermore, since ui (x, t) is bounded in R,
Therefore, we conclude
Taking duality between (3.31) and ui we obtain
Using (2.1) , (3.6) and (3.7), we have by (3.33) that
where C is independent of z.
Thus, from (3.32) and (3.34), it follows by Strauss’ theorem, see Strauss
~9~ , that
By (3.29), (3.30) and (3.35) it is permissible to pass to the limit in (3.31)
obtaining a R satisfying (3.1) - (3.4). . D
4. Asymptotic Behaviour
In this section we study the exponential decay for the energy E (t) as-
sociated to the weak solution u given by the Theorem 3.1. This energy is
given by
We consider the followings additional hypothesis:
THEOREM 4.1. - Let F satisfying ( 1.2) and (4.2) . Then the energy (4.1 )
satisfies
where E is a positive constant.
Proof. For an arbitrary E > 0, we define the perturbed energy
where Ev (t) is the energy similar to (4.1) associated to the solution obtained
in the Lemma 3.1 and
Note that
where C2 = Ci, 2014 ~, and Ci is the immersion constant of (r) into
L’(r). .
Then,
or
Taking 0  6 ~ 20142014, 
we get
02
Multiplying the equation in (3.8) for uv, using (2.1) and the fact of A
to be positive, we obtain
Differentiating the function ~ (t) and using (3.8), (4.2) and the fact of A
to be positive comes that
where ~31 == and ~c > 0 to be chosen.
It follows by (4.4), (4.6) and (4.7) that
Taking  = 
Qi 
and 0  E  
2a/?o 
we et
Choosing ~  min { 20142014, 203B103B20 303B1+03B221C1} then (4.5) and (4.9) occur simul-
taneously., therefore
that is,
From (3.29), (3.30) and since Gv is continuous, we have
But we know that Fv -~ F uniformly on bounded sets of R. Then
Thus, by (4.11) and (4.12)
Moreover, we have, by (4.10), that
Therefore, using (3.21) , (3.23) and (3.24) , we get
- 18 -
By (4.13), (4.14) and Fatou’s lemma, we have
Hence, passing lim inf in (4.10), we get (4.3). . D
voo
Remark. - In the existence we can take ~ = 0. For this end, we define
in H1 (S2) the norm
obtaining now the positivity of operator A + (7, for ( > 0 arbitrary, like in
Lions [8]. For the asymptotic behaviour, we need the additional hypothesis
/3o>0
Bibliography
[1] BREZIS (H.). 2014 Analyse Fonctionelle, Théorie et Applications, Dunod, Paris, 1999.
[2] CAVALCANTI (M. M.) and DOMINGOS CAVALCANTI (V. N.). 2014 On Solvability of So-
lutions of Degenerate Nonlinear Equations on Manifolds, Differential and Integral
Equation, vol. 13 (10-12), (2000), 1445-1458.
[3] DAFERMOS (C. M.). 2014 Almost periodic processes and almost periodic solutions of
evolution equations, Proceedings of a university of Florida international symposium,
1977.
[4] HARAUX (A.).2014 Semilinear Hyperbolic problems in bounded domains, Harwood,
Gordon &#x26; Breach, 1987.
[5] KINDERLEHRER (D.) and STAMPACCHIA (G.). 2014 An Introduction to Variational In-
egualities and their Applications, Academic Press, New York, 1980.
[6] LASALLE. 2014 Some extensions of Liapunov’s second method, IRE Trans. Circuit
theory CT-7, (1960), 520-527.
[7] LIONS (J. L.) et MAGENES (E.). 2014 Problèmes aux limites non homogènes et appli-
cations, Dunod, Paris, 1968-1970.
[8] LIONS (J. L.). 2014 Quelques Méthodes de Résolutions des Problèmes aux Limites
Non-Linéaires, Dunod, Paris, 1969.
[9] STRAUSS (W. A.). 2014 On Weak Solutions of Semilinear Hyperbolic Equations, An.
Acad. Bras. Ciências, 42(4), (1970), 645-651.
[10] ZUAZUA (E.). 2014 Stabilty and Decay for a class of Nonlinear Hyperbolic Problems.
Asymptotic Analysis 1, (1988), 161-185.


Semilinear wave equation on manifolds

Peter G. M. van der Heijden

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE
STEPHEN E. FIENBERG
PETER G. M. VAN DER HEIJDEN
Introduction to special issue on quasi-symmetry
and categorical data analysis
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6e série, tome 11,
no 4 (2002), p. 439-441
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_2002_6_11_4_439_0>
© Université Paul Sabatier, 2002, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de
Toulouse » (http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les
conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitu-
tive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier
doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
- 439 -
Introduction to special issue on quasi-symmetry
and categorical data analysis(*)
STEPHEN E. FIENBERG (1), PETER G.M. VAN DER HEIJDEN (2)
Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse Vol. XI, n° 4, 2002
pp. 439-441
We are pleased and honored to serve as editors of this special issue of
Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, Mathématiques which ap-
pears approximately 35 years after the publication in this journal of Henri
Caussinus’ seminal paper on quasi-independence and quasi-symmetry, based
on his doctoral dissertation at the Faculty des Sciences de l’Universite de
Toulouse, which is now available as a downloadable portable document for-
mat (pdf) file from
http://www.lsp.ups-tlse.fr/Projet_QS/index.html
This issue brings together an array of internationally distinguished authors
who take stock of some of the major methodological developments in the
statistical analysis of categorical data which grew out of Caussinus’ work,
especially that dealing with the generalizations of symmetry and quasi-
symmetry. On the occasion of Caussinus’ retirement as Professeur in the
Laboratoire de Statistique et Probabilites, Universite Paul Sabatier, the
authors reflect upon the influence of Caussinus’ ideas and research.
The 1960s was a decade of considerable ferment and development in the
analysis of categorical data, in part because of the emergence of computers
to aid in computations and in part because of the development of an integra-
tive theory based largely on log-linear models. At the time of the publication
of Caussinus [4], few statisticians in France worked with what we now know
as log-linear models, while others were focusing on the development of the
roots of correspondence analysis, the school of exploratory data analysis as-
sociated with the French statistician, Jean-Paul Benzecri (e.g., see [1], [2]).
z) Regu le 18 septembre 2001, accepte le 18 septembre 2002
( 1) Department of Statistics and Center for Automated Learning and Discovery,
Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA 15213, U.S.A. E-mail: fienberg@stat.cmu.edu
(2) Department of Methodology and Statistics, Utrecht University, 3508 TC Utrecht,
The Netherlands. E-mail: p.vanderheijden@fss.uu.nl
Because of its explicit use of what we now know as log-linear models (in
their multiplicative form) and maximum likelihood methods, Henri Caus-
sinus’ 1966 paper had a major influence on the development of the integra-
tive log-linear model methodology that emerged in the decade following its
publication. But the paper also influenced the development of exploratory
approaches to the analysis of square tables in important ways, a fact docu-
mented by several papers. Thus Caussinus [4] served in a remarkable way
to help draw together what appeared to be two irreconcilable approaches
to statistical data analysis.
Stigler, in his contribution, reviews some of the early history of the
analysis of categorical data prior to 1900 and notes the influence on Karl
Pearson and others in the 20th century especially in connection with the
concept of quasi-independence. Goodman picks up on this development and
explains the superiority of the Caussinus approach to quasi-symmetry to
a related approach suggested by Pearson, and he demonstrates the link-
age between the Caussinus models and both log-linear and log-bilinear mo-
dels. The latter class of models is a formalization and extension of the ex-
ploratory approaches associated with correspondence analysis. McCullagh
revisits the formulation of models for the analysis of square contingency
tables and demonstrates that, while there are many group representations
that one might think of using for such models, only a small number of
them make statistical sense: these include symmetry, quasi-symmetry, and
skew-symmetry. Thelot describes his own development of quasi-symmetry
as a log-linear model (in a way that parallels that in Bishop, Fienberg, and
Holland, [3]), and the idea of a functional inverse for quasi symmetry for de-
composing quasi-independence in square tables. These ideas turn out to be
closely linked to the much more formal mathematical structure that McCul-
lagh develops here. Thelot also explains why he abandoned this approach
as he turned to repeated measures over time in the study of social mobility.
Several papers in the issue, deal with formal statistical models for multi-
way tables. Agresti and Erosheva, Fienberg and Junker both demonstrate
the connections between log-linear generalizations of quasi-symmetry and
item response models, but they develop these ideas in different directions.
Agresti focuses on ordinal variables and repeated measurement and the
role this linkage plays, thus suggesting some modeling pathways to respond
to Thelot’s abandonment of approaches tied to quasi-symmetry. Erosheva,
Fienberg, and Junker consider alternatives for the analysis of large sparse
multi-way contingency tables, including generalizations of quasi-symmetry,
item response models for heterogeneity, and "partial membership" latent
class models. Caussinus used quasi-symmetry as a bridge between full sym-
metry and marginal homogeneity in two-way tables, thus suggesting the
- 441 -
need for tying log-linear models for multi-way tables together with marginal
models. This is the theme of the paper by Bergsma and Rudas, who discuss
the role of marginal log-linear models and the linkages between marginal
and conditional association. 
-
Another pair of papers in this issue develop extensions to quasi-symme-
try ideas for exploratory data analysis, thus demonstrating further the natu-
ral ties between the traditional correspondence analysis approaches and the
modeling approaches associated with log-linear and generalized linear mo-
dels. Dossou-Gbete and Grorud use a matrix decomposition approach to
tables that separates out symmetry and from skew-symmetry components
and explore the use of these ideas through the use of the correspondence
analysis tool of biplots for the analysis of matched two-way tables. And
Falguerolles and van der Heijden describe the generalized bi-linear models
of reduced-rank quasi-symmetry and quasi-skew-symmetry, and their use
via biplots in the analysis of square tables.
In the final paper in the issue Henri Caussinus reflects upon the his
earlier work and the developments that followed.
A number of the contributors to this issue and others have prepared
brief personal statements regarding the influence of Henri Caussinus and
his 1966 paper on their own research work. These are available along with
the downloadable pdf file of Caussinus [4] at:
http://www.lsp.ups-tlse.fr/Projet_QS/index.html
We thank Antoine de Falguerolles for the organization and maintenance of
this website and with his assistance and collaboration in the organization
and editing of this special issue.
Bibliography
[1] BENZÉCRI (J.-P.). - L’Analyse de Données, Tome 1, La Taxinomie, Dunod, Paris,
1973.
[2] BENZÉCRI (J.-P.). - L’Analyse de Données, Tome 2, L’Analyse des Correspon-
dances, Dunod, Paris, 1973.
[3] BISHOP (Y. M. M.), FIENBERG (S. E.), HOLLAND (P. W.). - Discrete Multivariate
Analysis: Theory and Practice, MIT Press, Cambridge, MA, 1975.
[4] CAUSSINUS (H.). - Contribution à l’analyse statistique des tableaux de corrélation,
Annales de la Faculté des Sciences de l’Université de Toulouse, 29 (année 1965),
(1966), 77-183.


Introduction to special issue on quasi-symmetry and categorical data analysis

Ronaldo Garcia

Jorge Sotomayor

Geometric mean curvature lines on surfaces immersed in ${\bf R}^3$

Leo A. Goodman

Contributions to the statistical analysis of contingency tables : notes on quasi-symmetry, quasi-independence, log-linear models, log-bilinear models, and correspondence analysis models

Jean Bertoin

Marc Yor

On the entire moments of self-similar Markov processes and exponential functionals of Lévy processes

David Sanchez

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE
DAVID SANCHEZ
Phénomène de couche limite dans un modèle
de ferromagnétisme
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6e série, tome 11,
no 2 (2002), p. 239-261
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_2002_6_11_2_239_0>
© Université Paul Sabatier, 2002, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de
Toulouse » (http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les
conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitu-
tive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier
doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
- 239 -
Phénomène de couche limite
dans un modèle de ferromagnétisme(*)
DAVID SANCHEZ (1)
e-mail : sanchez@math.u-bordeaux.fr
Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Vol. XI, n° 2, 2002
pp. 239-261
RÉSUMÉ. - On étudie le comportement asymptotique des solutions des
équations de Landau-Lifschitz lorsque le coefficient d’échange tend vers
zéro. Au bord du matériau se forme alors une couche limite que nous
allons décrire.
ABSTRACT. - In this paper we study the asymptotic behaviour of the
solution of Landau-Lifschitz equations as the exchange coefficient goes to
zero. In order to perform this limit in regular spaces, we have to take into
account the singularity induced by a boundary layer term.
1. Introduction
Le micromagnétisme est l’étude des phénomènes électromagnétiques dans
les matériaux dits ferromagnétiques. Ces matériaux sont caractérisés par une
magnétisation spontanée modélisée par le moment magnétique, qui est un
champ de vecteurs unitaires u défini dans f2, le domaine où est confiné le
matériau :
Les variations de u sont décrites par l’équation de Landau-Lifschitz :
~ > Reçu le 19 décembre 2001, accepté le 21 janvier 2003
(1) Mathématiques Appliquées de Bordeaux, UMR 5466, Université Bordeaux 1,
351 Cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France.
avec les conditions initiales et les conditions au bord
où v est la normale au bord unitaire sortante, et où le champ efficace He
est donné par :
H(u) est appelé champ démagnétisant et S2 est un ouvert régulier de ]R3.
Dans [5], Carbou et Fabrie démontrent l’existence locale et globale à données
petites des solutions régulières de (1.1) dans le cas quasi-stationnaire lorsque
le coefficient d’échange est fixé. Lorsque é tend vers zéro, l’estimation obtenue
donne un temps d’existence des solutions JHI2 en espace qui tend vers zéro.
Ceci est dû à l’apparition d’une couche limite au bord de l’ouvert Q que
Carbou, Fabrie et Guès mettent en évidence dans [6] en effectuant un
développement asymptotique de u à l’ordre 1 en e.
Dans cette étude, nous allons remplacer le terme H (u) par un champ d’aniso-
tropie cp(x, ~) ~) où ~(x, .) est une forme quadratique .définie
positive pour ç dans I1~3, de classe C°° en x sur R~ :
et nous poussons le développement asymptotique à l’ordre 2.
Remarque 1.1. - Le champ d’anisotropie ~) apparait naturellement
sous la forme du gradient d’une forme quadratique définie positive dans
le modèle considéré. Nous utiliserons en fait que est une applica-
tion linéaire à coefficients G°° qui opère naturellement dans les espaces de
Sobolev.
Dans la suite, nous nous donnons ~ : SZ --~ R, une fonction C°° telle
que = d(x, dans un voisinage O1 de On remarque que si x
appartient à SZ x = -v x et que, de plus, ~03C8 ~03BD = -1. D’autre part,
1 dans Oi. On note v(x) = dans Oi. Soit aussi  une
fonction de troncature C°° à support compact contenu dans Oi.
On cherche un développement asymptotique de u, la solution de (1.1) et
(1.2), sous la forme :
où les fonctions Ui se décomposent sous la forme :
avec Ui(t, x) = lim U2 (t, x, z) .
z+oo
On suppose de plus que Ui, ainsi que toutes ses dérivées partielles aussi
bien en x qu’en z tendent vers 0 lorsque z tend vers 
THÉORÈME 1. l. - Soit u00 E telle que |u00| - 1 dans S2 et 
- 0 sur Il existe alors des fonctions 
"
telles que si la donnée initiale uô (x) est de la forme
où vô vérifie que est bornée indépendamment de
~, la solution u~ de l’équation ~1.1~ avec la donnée initiale uô admet un
développement asymptotique pour tout t  T~ de la forme :
oic T~ est le temps maximum d’existence de u~ et où r~ E 
~r~ E IL°° (o, T; IHI2 (S2) ) et E T: pour tout T  De
plus, il existe une constante CT indépendante de ~ qui majore les normes
précédentes, et le temps d’existence T~ tend vers -I-oo lorsque ~ tend vers
zéro.
Remarque 1.2. - Les données initiales pour tous les profils autres que
U° seront choisies de telle sorte qu’elles relèvent la condition au bord. Nous
nous plaçons ainsi dans le cadre de données initiales bien préparées.
La partie 2 renferme des lemmes de régularité utiles dans la suite. Dans
la partie 3, on démontre le théorème 1.1 en effectuant un développement
asymptotique de la solution ~c~ de (1.1) : on étudie dans la partie 3.2 les pro-
fils de u~ et on prouve l’existence du reste au moyen d’estimations d’énergie
dans la partie 3.3.
2. Résultats préliminaires
LEMME 2.1 (voir Adams [1], Agmon ~2~) . . - Soit S2 un ouvert borné
régulier. Il existe une constante C telle que pour tout u dans H2 (SZ) tel que
~u ~03BD 
= 0 sur ~03A9,
Pour tout u E avec SZ dans 11~3, on a :
THÉORÈME 2 .1 (voir Dautray-Lions [7] et Adams [1]).2014 Soient 1 
p  et SZ un ouvert régulier de IE~~’ . . On a alors :
dès que mp > n, avec injection continue. Si de plus S2 est borné, l’injection
est compacte. Si mp  n, on a
pour p  q  np/(n - mp), , avec injection continue. Si de plus SZ est borné,
l’injection est également compacte si q  np/(n-mp) Si mp = n, l’injection
précédente reste vraie avec p  q  +oo.
THÉORÈNIE 2.2. - Traces pour les espaces , 1  p  .
Soit SZ un ouvert de régulier, et soit m E ~* , alors l’application
où = ~ju sur r = est la trace de la dérivée normale d’ordre j deân~
m-1
u sur r~ est continue et surjective de dans ~ ~V’n-~-l~p’~’(I’). .
k=0
En particulier, une fonction de (SZ) admet une trace dans ~’~’2 1~~’p (r) .
LEMME 2.2 (GRONWALL). - Lemme de comparaison
Soit f : II~ x 1I~ ~ de classe , croissante en sa seconde variable. Sup-
posons de plus que y : I c R H R est une fonction continue satisfaisant : :
Soit z : J H I~ la solution maximale de
Alors Vt E I n J, y(t) _ z(t).
3. Construction du développement asymptotique de uE
Pour effectuer le développement asymptotique, on travaille avec une
forme équivalente de (1.1) (car lui = 1 p.p.) :
qui isole le terme dissipatif (voir [5]).
On va maintenant chercher les équations vérifiées par les profils U2. Pour
cela, on remplace u par son développement asymptotique dans (3.1 ) , et on
identifie les termes aux différents ordres à 0.
3.1. Les équations
Ordre -1 : La condition au bord dans (1.2) donne 
~03C8 ~03BD U0z - 0 pour x
appartenant à ~03A9 et z = 0. Donc :
Ordre 0 : on peut tirer de l’équation (3.1) :
En faisant tendre z vers +0oo, on obtient :
En soustrayant de l’équation sur U° l’équation obtenue pour UO, on obtient
l’équation suivante :
Or, à l’ordre -1, on avait obtenu que Uf = 0 pour x dans Oi et z = 0. On
peut donc prendre U° - 0, solution de l’équation puisque ùg est nul.
On écrit maintenant la condition de Neumann à l’ordre 0 :
Ordre 1 : A l’ordre 1, on obtient :
En faisant tendre z vers +0oo, on a :
Or la condition initiale est U 1 = 0, donc on peut prendre Ul = 0 pour tout
(t, x) dans R+ x S2. Pour Ul, nous obtenons alors l’équation suivante :
La condition de Neumann à l’ordre 1 nous donne :
Ordre 2 : On obtient :
- 
pour U2
- 
pour U2
3.2. Existence des profils
3.2.1. Existence de U°
On définit U° comme étant la solution de l’équation différentielle ordi-
naire en temps suivante :
Onaalors:
PROPOSITION 3.1.2014 L’équation (3.6) admet une unique solution qui
est dans dès que ô appartient à avec 
Preuve. - On utilise le théorème de Cauchy-Lipschitz dans et on
obtient l’existence et l’unicité de U° sur un intervalle de temps (0,T).
En multipliant l’équation par U0, on s’aperçoit que ~|U0|2 ~t = 0, donc U°
reste de norme constante égale à 1 car ug vérifie cette propriété, donc
U° E C°° (o, T ; IL°° ( SZ ) ) . Nous allons maintenant montrer que U° est dans
T; 
Pour cela, on dérive en espace l’équation (3.6), et on l’intègre en temps. On
majore ensuite en norme IL°° , le second membre étant au plus linéaire en la
dérivée en espace :
Donc, d’après le lemme de Gronwall, Coo ([0, T~; wl’°° (SZ)) . On réitère
le procédé pour les dérivées aux ordres supérieurs, le second membre de
l’équation étant à chaque fois au plus linéaire en la dérivée d’ordre le plus
élevé. On a finalement que U° E C°° ~0, T~; w~’°° (S~) , à condition que la
donnée initiale soit suffisamment régulière. 
_
Le lemme de Gronwall appliqué à ces inégalités nous montre alors que U°
reste borné en norme sur tout intervalle de temps borné, donc U°
est globale à valeurs dans 0
3.2.2. Existence de U 1
On cherche une solution Ul de l’équation aux dérivées partielles sui-
vante :
PROPOSITION 3. 2. - Pour tout T > 0, l’équation (3. 7~ admet une so-
lution
pour tout l,m E ~T2 , ; dès que ô est dans avec 
Remarque 3.1. - Pour prouver le théorème 1.1, nous n’avons pas besoin
d’autant de régularité, mais comme nous avons affaire ici à une équation du
type équation de la chaleur, nous obtenons immédiatement cette régularité
car nous avons choisi une donnée initiale bien préparée.
Preuve. - Pour résoudre ce problème, on introduit un relèvement de la
condition au bord, en utilisant la proposition 3.1 :
où p est une fonction de classe G°° sur vérifiant p(0) = 0, p’ (o) - 1,
= 0 pour 1~ > 1 et p(z) = 0 pour z > 1.
On cherche alors Ul sous la forme sous la forme w + f avec w(t, 0) = 0. Le
problème (3.7) se ramène donc à :
avec G t x z E C~(R+; Wk,~(03A9) ~C~c(R+)) telle que 
~kG ~zk|z=0
- pour
tout k > 1.
Pour établir l’existence de la solution, on résout le problème pour z dans
]0,L[ avec les conditions aux limites suivantes :
Nous allons maintenant prouver l’existence de w via un procédé de Galerkin.
Nous prenons donc comme base de décomposition la base des
vecteurs propres de I - ~2 ~z2 avec condition de Neumann homogène au bord.
Soient WN = Vect(w1, ... et E WN l’approximation de Galerkin
de w. Elle vérifie :
où PN est la projection orthogonale sur WN (la base (Wi)iEN étant choisie
orthonor male dans IL2 et orthogonale dans 1HI1 ) .
Nous avons maintenant besoin d’estimations a priori portant sur w ==
w ~ et ne dépendant ni de L, ni de N :
Estimation 0 IL2 (Il~+) ; On multiplie par w : :
puis,
Estimation 0 On multiplie par -wzz et on intègre
par parties. De même :
Comme la base considérée dans le processus de Galerkin est la base de
~2
vecteurs propres de I - on peut obtenir une régularité supérieure :
Estimation 0 On multiplie par wzzzz et on intègre
deux fois par parties :
puis
On obtient de même une estimation IHIL pour tout l E N en intégrant chaque
terme l ou fois par parties (les intégrations par parties sont licites car on
a décomposé sur une base de Galerkin adaptée et car (z = 0 z > 1) = 0
pour tout l > 2) . On peut ensuite augmenter la régularité en x. On dérive
l’équation (3.8) par rapport à x : :
A partir de cette équation, on obtient de même les majorations ®
L) pour tout l E N. En réitérant jusqu’à l’ordre k, et d’après le lemme
(2.2), on obtient que :
W E IL 00 (0, T; L) ) n ~’; ® L ,
et ceci pour tout T > 0, L > 0 et t E N.
On peut donc passer à la limite en N et L, et on obtient, pour tout
En reportant ce résultat dans (3.8), on obtient de la régularité en temps :
w E T ~ n T; 
pour tout l, m ~ N et pour tout T > 0. Finalement
pour tout T > 0, (l, m) E I‘~2. D
3.2.3. Existence de U2
On définit U2 comme étant la solution de l’équation différentielle ordi-
naire en temps suivante :
On a alors :
PROPOSITION 3.3. - L’équation (3.9~ admet une unique solution dans
dès que ô appartient à avec 
Preuve. L’équation (3.9) se met sous la forme :
où F (t, x, u) est linéaire en u et C(t, x) - 0394U0 + + U° n AU°. -
Comme ô appartient à G est dans et
avec K E De même
que lors de la résolution de (3.6), on a alors l’existence d’un temps T et de
U2 telle que U2 vérifie (3.9) et U2 appartient à T, 
En intégrant en temps, comme est une algèbre, on obtient :
D’après le lemme de Gronwall (lemme 2.2), on obtient que U2 est définie
sur R+ tout entier. Donc U2 appartient à D
3.2.4. Existence de U2
On cherche une solution U2 de l’équation aux dérivées partielles sui-
vante :
PROPOSITION 3.4. - Pour tout T > 0, l’équation (3.10) admet une
solution 
-- 
.
pour tout (l, m) ~ N2 , dès que u00 C Wk+2,~(03A9) avec k e N.
Preuve. 2014 On considère un relèvement / = ~(~)’~2014 de la condition au
bord et on se ramène à un problème de Neumann avec condition homogène
en posant (7~ = ~+/ avec la condition initiale ~(~ == 0) = 0~ puis on utilise
un procédé de Galerkin (voir la preuve de la proposition 3.2). D
3.3. Estimation du reste
Dans cette section, nous allons prouver le théorème 1.1 :
3.3.1. Preuves
où est une fonction de troncature COQ, à support compact inclus dans
0l et valant 1 sur un voisinage de qui prend en compte le fait que les
termes de couche limite ne sont définis que dans On note :
Un calcul algébrique donne que v~ vérifie l’équation suivante :
où 03A9 est un ouvert borné régulier de R3 et
F~ est précisée dans l’annexe 3.3.
PROPOSITION 3.5. - Pour tout p, 1  ~  et tout T > 0, il existe
des constantes Cp indépendantes de ~ telles que pour tout ~ > 0 et tout
t ~ [o, T] ,
Preuve. En considérant l’expression de a~, il suffit de regarder la
régularité des fonctions U2, U2 et e. Les inégalités de Sobolev rappelées
dans le théorème 2.1 nous donnent alors le résultat. 0
On démontre l’existence de v~ par un procédé de Galerkin : on prend
pour base les vecteurs propres du laplacien avec des conditions de Neumann
au bord et on procède aux estimations a priori sur le problème approché :
Estimation IL2 : : On multiplie (3.11) par vé et on intègre sur H. Les
intégrations par parties sont licites car ~v~ ~v est nul sur le bord de S2. On
obtient :
On majore chaque J’~ Tivé dx de la manière suivante :
En utilisant les majorations (3.5) et le lemme 2.1, et puisque est
borné en norme indépendamment de ~ (et donc en norme JLP pour
1  p  oo car 03A9 est borné), on obtient, pour 0  ~ ~ 1, qu’il existe une
constante C telle que
Estimation JHI1 : On multiplie (3.11 ) par et on intègre par parties.
On peut le faire une fois car v~ vérifie des conditions de Neumann au bord.
On obtient la majoration suivante, en utilisant les inégalités de Sobolev :
et on majore le terme de droite de la manière suivante :
On utilise l’injection de dans pour Ti, et le lemme (2.1)
pour T2 : :
et on en déduit :
puis,
Estimation 1HI2 : : On multiplie par et on intègre une fois par
parties sur n :
On majore chaque ~03A9 ~2Ti03942v~ dx de la manière suivante :
En utilisant le lemme (2.1), on en déduit :
avec P(x, y) = C(y4 + x + 1) et Q(x, y) = C(1 + y) (les ~ sont majorés par
1 dans P et Q). Ce qui s’écrit :
Soit T~ le premier temps où atteint 20142014. Montrons que ce temps
T~ est minoré par une constante strictement positive indépendante de ~.
On reprend l’estimation L~ sur vé pour t  
Donc
On obtient ensuite par l’estimation toujours pour t  Té :
avec a(t) = C (2h2 (t) + h(t) + 1~ On en déduit que :
Enfin, en reportant dans (3.14), on a :
où r(t) = P(h(t), k(t)) + 16C3 + ~4C,s et s(t) = Q(h(t), k(t)). Il s’en suit
que : 
_
avec ~) = / 
~ 
~~"~ ~ du. La fonction étant continue, il est clair
que Tg- tend vers +00 quand ~ tend vers 0.
4. Expression de F~
Le terme F~ peut s’écrire sous la forme :

Remerciements
Je tiens à remercier chaleureusement Pierre Fabrie et Gilles Carbou
de m’avoir permis de travailler sur ce sujet ainsi que pour les conseils
qu’ils m’ont prodigués. Nlerci aussi au rapporteur pour ses remarques et
ses commentaires.
Bibliographie
[1] ADAMS (R.A.). - Sobolev Spaces, Pure and Applied Math., Academic press, 65
(1975).
[2] AGMON (S.). - Lectures on elliptic boundary value problems., Van Nostrand com-
pany, 1965.
- 261 -
[3] BREZIS (H.). 2014 Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1993.
[4] CARBOU (G.) et FABRIE (P.). - Time average in Micromagnetism, Journal of Dif-
ferential Equations, 147 (1998), 383-409.
[5] CARBOU (G.) et FABRIE (P.). 2014 Regular Solutions for Landau-Lifschitz Equation in
a Bounded Domain, Comm. Appl. Anal. 5, N° 1 (2001), 17-30.
[6] CARBOU (G.), FABRIE (P.) et GUÈS (O.). - Couche limite dans un modèle de ferro-
magnétisme, Comm. Partial Diff. Eq. 27, N° 7-8 (2002), 1467-1495.
[7] DAUTRAY (R.) et LIONS (J.L.). - Analyse mathématique et calcul numérique pour
les sciences et les techniques, Tomes 1, 2 et 3, Coll. du C.E.A., Masson.
[8] GRENIER (E.) et GUÈS (O.). - Boundary layers for viscous perturbations of non-
characteristic quasilinear hyperbolic problems, Journal of Differential Equations, 143
(1998), 110-146.
[9] GUÈS (O.). - Perturbations visqueuses de problèmes mixtes hyperboliques et couches
limites, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 45 (1995), 973-1006.
[10] LIONS (J.L.). - Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non
linéaires, Gauthier-Villars, 1969.
[11] TAYLOR (M.). - Partial Differential Equation III, Non Linear Equation, Applied
Mathematical Science Vol. 117, Springer Verlag.


Phénomène de couche limite dans un modèle de ferromagnétisme

Peter Mccullagh

Quasi-symmetry and representation theory

Not a member yet