Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

Paul Sabatier

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE
PAUL SABATIER
Spectres d’absorption des chromates alcalins et de l’acide chromique
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 1, no 1 (1887), p. D1-D11
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D.I
SPECTRES D’ABSORPTION
DES
CHROMATES ALCALINS ET DE L’ACIDE CHROMIQUE,
PAR M. PAUL SABATIER,
Professeur de Chimie à la Faculté des Sciences de Toulouse.
Les solutions ou les cristaux de bichromate de potasse, interposés sur le
trajet d’un rayon de lumière blanche, absorbent énergiquement les radia-
tions les plus réfrangibles. Le rouge et le jaune passent à peu près complè-
tement ; au contraire, même pour une faible épaisseur de l’absorbant, le
violet et le bleu manquent à peu près totalement, le spectre se trouvant
limité dans le vert au voisinage de la longueur d’onde 545 (millionièmes de
millimè tre ) .
L’acide chromique se comporte de même. Pour les chromates neutres
alcalins, l’absorption qui paraît s’exercer de part et d’autre du spectre,
quoique principalement vers le violet, n’atteint pas les rayons verts, l’cx-
tinction ne survenant guère, pour des épaisseurs moyennes, que pour des
longueurs d’onde inférieures à 
Mode d’observation. - Pour évaluer les absorptions relatives aut
diverses radiations, je me suis servi du spectrophotomètre de M. Crova
de Chim. et de Phys., 5e série, t. XXIX, p. 556; 1883). L’appa-
reil a été soigneusement gradué à l’aide de raies spectrales connues, selon
les indications de M. Lecoq de Boisbaudran (Spectres lumineux, p. 21).
J’ai employé celles qui suivent :
L’observation attentive de ces raies m’a servi à repérer les positions du
vernier micrométrique, et les résultats reportés graphiquement ont donné
une courbe continue parfaitement régulière.
J’insisterai en passant sur la nécessité de donner le plus grand soin à la
construction du vernier qui, à cette condition, remplace avantageusement
le micromètre latéral à réflexion des spectroscopes ordinaires.
J’ai employé, pour l’observation des liquides à étudier, un dispositif spé-
cial très commode, et dont j’ai emprunté le mécanisme aux colorimètres 
industriels.
La liqueur est placée dans un cylindre vertical C en cristal fermé à sa
partie inférieure par une glace horizontale bien travaillée. Un piston cylin-
drique P de cristal très limpide, ayant le même axe que le cylindre à
liquide, peut plonger dans ce dernier, grâce à un pignon denté K : la posi-
tion du piston est indiquée à chaque instant par un vernier mobile le long
d’une échelle divisée en millimètres, dont le zéro correspond au contact de
la base du piston avec le fond plan du cylindre. On peut ainsi à volonté
intercepter entre la glace et le piston transparent une colonne liquide de
hauteur déterminée (’ ).
Les rayons issus d’un bec Bengel A arrivent horizontalement sur
un miroir ou sur un prisme à réflexion totale M qui les renvoie verticale-
ment sur le cylindre où ils traversent la glace de fond, le liquide et le piston
( 1 ) En vue d’une série de recherches spectrophotométriques qui sont en cours d’exécu-
tion, j’ai fait subir à cet appareil une modification assez importante. Le piston plongeur en
cristal plein est remplacé par un cylindre creux rnobile, semblable au cylindre extérieur,
ayant même axe, mais un diamètre environ deux fois plus petit. Il est de même obturé à sa
partie inférieure par une glace à faces bien parallèles.
Cette disposition permet de maintenir constante l’épaisseur liquide traversée par la lu-
mière, tout en faisant varier sa nature : par exemple, le cylindre extérieur reçoit une disso-
lution d’un sel coloré, le cylindre intérieur contenant seulement du dissolvant.
La hauteur effective des cylindres est 250mm.
plongeur. Un second prisme à réflexion totale N les dirige horizontalement
sur la branclle directe du spectrophotomètre.
Un second bec Bengel, convenablement diaphragmé, est disposé latéra-
lement vis-à-vis de l’appareil à nicols mesureur d’intensité. Les dcux Bengel
se rattachent à unc même conduite de gaz sur le trajet de laquelle se trouve
Fig. i.
un régulateur de pression : on évite ainsi les soubresauts dus à des varia-
tions brusques du débit dans la conduite. Quant aux variations lentes de
pression, elles étaient négligeables pendant le jour, c’est-à-dire aux heures
où la consommation urbaine était faible et régulière. Aux heures crépuscu-
laires, la variation de pression à l’usine et de consommation devient au
contraire énorme et m’a obligé à alimenter les lampes exclusivement avec
des gazomètres de laboratoire.
Le spectrop]10ton1ètre étant réglé à l’ordinaire, le nicol au zéro, la fente
oculaire fixée à une largeur convenable, on introduit dans l’appareil à
liquides de l’eau pure limpide, en hauteur égale à la hauteur qu’on veut
donner au liquide à étudier ( ~ ). On s’arrange de manière à obtenir l’égalité
lumineuse des deux spectres. Ce réglage est assez facile à réaliser si l’in-
tensité du spectre latéral est plus grande tout d’abord : il suffit de diminuer
par un mouvement lent de vis l’accès du gaz dans le bec correspondant.
Les lumières étant semblables, si l’égalité est atteinte pour une couleur,
elle l’est aussi pour toutes les autres. Pour des intensités assez vives, il
~ 
vaut mieux effectuer le réglage dans les portions moins brillantes du spectre,
c’est-à-dire dans le bleu ou le vert : le vert m’a paru réunir tout à la fois
les avantages d’une moindre fatigue de l’oeil et d’une sensibilité plus grande.
Néanmoins, l’égalisation initiale des deux lumières demeure une opéra-
tion fort délicate : le plus souvent, on n’arrive qu’à une égalité approchée, .
et il en résulte une erreur légère, d’ailleurs systématique, qui diminue ou
accroît tous les résultats dans une même série de mesures. Ces erreurs se
produisant tantôt au détriment, tantôt au profit de la lumière directe,
seront évidemment éliminées si l’on prend la moyenne des valeurs fournies
par de nombreuses expériences ( 2 ). ~
Le liquide coloré étant placé dans la cuve cylindrique, on règle à l’aide
du pignon l’épaisseur traversée par les rayons; puis on amène le vernier
circulaire à une division choisie pour laquelle la table ou la courbe de l’ap- 
.
pareil font connaître la longueur d’onde du rayon qui tombe sur la fente
oculaire. Une absorption plus ou moins énergique s’exerce sur le spectre
direct. Il faut tourner le nicol sur le cercle divisé, de manière à obtenir
l’égalité des deux lumières. Si w est l’angle de rotation, nous aurons, en
désignant par Ia l’intensité initiale, par I~ l’intensité transmise après l’ab-
sorption, .
d’où l’on déduit
rapport qui donne la proportion de lumière transmise pour la longueur
d’onde 03BB.
( 1 ) Cette précaution n’est pas d’une nécessité absolue, l’eau pure bien filtrée en épaisseur
faible ne produisant qu’une absorption très petite.
(2) On atteint plus de précision quand on opère avec une fente (objectif) très étroite
donnant un faible éclairement; mais un tel point de départ ne saurait convenir dans le cas
de liqueurs à pouvoir très absorbant.
Il importe de vérifier de temps à autre le zéro de l’appareil, c’est-à-dire
l’égalité des deux spectres en dehors de toute absorption. On arrive plus
pratiquement au même but en intercalant dans une série continue de me-
sures plusieurs observations d’une même radiation : la valeur trouvée pour co
doit être toujours la même.
Calcul cles coefficients de transmission. - On admet que la loi théo-
riqùe de transmission d’une radiation à travers un milieu absorbant d’épais-
seur e s’exprime par la relation
1 étant l’intensité transmise sans absorption, Il l’intensité réduite par l’ab-
sorption, 03B1 étant une fraction qu’on appelle coefficient de transmission. Cc
coefficient varie avec la longueur d’onde du rayon considéré. Il est évident
que, pour un même corps absorbant, il change avec la concentration. Pour
rendre comparables entre elles les mesures de ces coefficients, il faut rap-
porter à des unités convenablement choisies.
J’ai choisi comme concentration normale celle d’une liqueur renfermant
par litre léq d’acide chromique CrO3 = 50gr, 2, sous n’importe quel état,
acide libre, chromate neutre ou bichromate. L’unité d’épaisseur sera le 
’
. centimètre. En prenant une telle liqueur, on obtiendra immédiatement la
valeur des coefficients de transmission en opérant sur une épaisseur de 
on y arrivera de même par un calcul très simplc, pour une épaisseur quel-
conque connue
d’où
Pour des liqueurs de concentration différente, l’absorption mesurée
change et ne dépend évidemment que de la masse du chromate ou d’acide
chromique placée sur le trajet du rayon ~’ ). Donc, pourvu que le dissolvant
n’introduise aucun changement chimique dans l’état du corps dissous, une
certaine épaisseur e d’un liquide contenant dans Il litres exercera la
(1) Les pertes de lumière dues aux réflexions et à la traversée du dissolvant n’inter-
viennent d’aucune façon; car le réglage ayant eu lieu en présence d’une même épaisseur du
dissolvant, 1 et I‘ sont diminuées dans une même proportion.
même absorption qu’une épaisseur - de liqueur normale. La formule 
sera donc
~ étant l’épaisseur traversée (exprimée en centimètres)~ /~ étant le nombre
de litres occupés par Iéq d’acide chromique sous n’importe quel état.
2014 Les mesures ont été faites pour des épaisseurs de t
et 2cm avec des solutions contenant par litre 15 19, 30 49, Ieq d’acide chromique.
ainsi trouvé pour les coefficients de transmission (moyenne de cinq
expériences) :
Les rayons rouges sont transmis sans perte appréciable.
La dilution n’a aucune influence. En prenant pour abscisses les longueurs
(Fonde et pour ordonnées les valeurs de 03B1 obtenues plus liante on trouve
qu’elles forment une courbe régulière [fig. 2 (1)] :
Fis-. 2.
( ’ ) Les croix indiquent les valeurs données par le bichromate de potasse.
Bichromate de potasse. - La dissolution normale renferme par litre
1 2 équivalent du sel, soit 1 2 K Cr2O7 =1 73gr, 7.
La formule de transmission pourra être écrite
ln étant le nombre de litres occupés par de bichromate, soit I!~~b’’, ~E. .
Les expériences ont été faites pour des épaisseurs comprises entre i et 
sur les dissolutions ayant par litre 1 et 1/4 d’équivalent de bichromate. Leurs
résultats et aussi des comparaisons directes ont montré que la dilution
n’exerce aucune influence sur la loi de transmission par le bichromate. Voici
les moyennes de quinze expériences :
La loi de l’épaisseur est vérifiée par la concordance des valeurs issues
d’expériences distinctes.
Puisque la dilution ne change rien au phénomène, II y a tout lieu de
croire que les coefficients sont les mêmes pour le bichromate cristallisé. J~ai
vérifié cette conclusion sur deux lames de bichromate provenant des ateliers
de Laurent. Leurs épaisseurs étaient et O~m, 02~. Dans la formule
de transmission, on a
2, j étant la densité des cristaux de bichromate; l’expression devient
J’ai trouvé ainsi
valeurs très concordantes avec celles qu’ont données les dissolutions de
bichromate. 
’
Si l’on compare les coefficients que nous venons de trouver a ceux d~
l’acide chromique, nous remarquions qu’ils sont sensiblement Identiques.
On peut s’en assurer en repérant sur la courbe de la 2 les résultats
fournis par le bichromate de potasse; les points correspondants sont sensi-
blement confondus avec la courbe. J’en conclus à l’identité rigoureuse des
deux spectres.
vérifié ce résultat par une expérience directe en disposant dans te
cylindre vertical un volume quelconque d’acide chromique~ puis ajoutant
par portions successives moins de de potasse : on constate que le spectre
d’absorption demeure identique. Donc le bichromate de
chromique qu’il contient.
Les dissolutions de bichromate d’ammoniaque ont les mêmes coeffi-
cients de transmission que le bichromate de potasse. J’ai trouvé :
toujours le spectre d’absorption de l’acide chromiquc.
La chute de lumière y est extrêmement rapide du côte du vert, le bleu
et le violet subissant une extinction à peu près totale. J’ai tenté d’évalué!
la valeur très petite de quelques coefficients de transmission pour les rayons
bleus, en opérant sur une liqueur très diluée ne contenant par litre 
- 1 200 (d’ équivalen t (1 ).
La formule donne
(Fou
i t ) Lnc telle dissolution est jaune orange, assez semblable aux dissolutions de chromate
neutre.
.J’ai ainsi trouvé pour ) des valeurs extrêmement petites; j’en citerai deux
parmi les plus grandes :
Un peut donc admettre sans erreur sensible que, sous une épaisseur
même petite, le bichromate arrête toute radiation plus réfrangible que
À = 5 i 8 millièmes de ~,. .
Chromate neutre de potasse. - La dissolution normale renferme 
litre soit 97gr, 2.
J’ai opéré sur des épaisseurs comprises entre o, 5 et pour des disso-
lutions tenant par litre et 2éq de chromate neutre. La loi de l’épaisseur
s’est trouvée sensiblement vérifiée, les valeurs obtenues pour les coeffi-
cients y étant fort voisines pour les diverses épaisseurs. J’indique ci-dessous
les résultats moyens pour les deux concentrations ; les expériences ont été
faites au voisinage de 20° :
En prenant pour abscisses les longueurs d’onde et pour ordonnées les
coefficients de transmission, on forme, pour chaque série, une courbe régu-
lière. La courbe pleine 3) correspond à la concentration 2éq == 1 lit; la
courbe ponctuée se rapporte à une dilution deux fois plus grande.
Les deux courbes ne sont pas tout à fait confondues. La dilution a pour
effet de diminuer les coefficients de transmission, principalement pour les
longueurs d’onde les plus courtes. C’est assurément l’indice d’une légère
dissociation du chromate neutre en bichromate et alcali libre, le bichromate
3.
forme exerçant une absorption énergique sur les rayons les plus réfrall-
gibles.
L’addition d’un excès de potasse aux solutions de chromate neutre crll-
pèche cette dissociation et relève un peu toute la courbe, en accusant pour
la liqueur une teinte générale plus verdâtre. Toutefois les différences ainsi
introduites peuvent être considérées comme négligeables.
Mélanges de chromate neutre et clc bichromate. - Soit une radiation
simple traversant un mélange de chromate ncutre et de bichromate de
potasse dissous dans l’eau à concentration normale contient diacide
chromique); soient p la proportion d’acide chromique contenue à l’état de
chromate neutre, q celle qui s’y trouve à l’état de bichromate; l’absorption
exercée sera la même que si le rayon traversait successivement les deux
liquides superposés en deux couches, au lieu d’être mélangés. Donc, si I~:
est l’épaisseur traversée, nous aurons
03B3 et 03B2 étant connus, on pourra, à l’aidc de celte formule, déterminer I’ si
l’on sc conne 1 et q, ou bien p q 
si l’on mesure directement lc rapport [ . I l
serait donc facile de déterminer au spectrophotomètre la composition d’un
D. I I
mélange de chromate et de bichromate. Malheureusement, si l’on compare
les spectres d’absorption des deux sels, on reconnaît qu’une telle opération
serait loin d’être pratique. La région sensible d’absorption (pour les con-
centrations normales) est comprise, pour le chromate neutre, entre les lon-
gueurs d’onde 525-!~g!~; pour le bichromate, entre 590-545. Avec des ra-
diations plus réfrangibles que 5l_~5, l’absorption exercée par le bichromate
est extrêmement intense, le coefficient ) est très voisin de zéro et sa mesure
ne peut être effectuée avec précision.
La seule méthode possible consisterait donc à faire sur une série de mé-
langes connus des mesures directes de transmission . J’en ai fait un assez
grand nombre, qui donnent des courbes allongées intermédiaires entre
celles du chromate neutre et du bichromate. Pour en donner une idée, j’in-
scrirai les valeurs des quantités de lumière transmises à travers de
solutions normales :
On pourrait ainsi établir une Table des transmissions pour des mélanges
qui varient progressivement; mais la nécessité de multiplier les expériences
pour chacune des déterminations rendrait très fastidieuse une telle série de
recherches.


Spectres d'absorption des chromates alcalins et de l'acide chromique

Émile Picard

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE
ÉMILE PICARD
Sur les équations différentielles linéaires et les groupes
algébriques de transformations
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 1, no 1 (1887), p. A1-A15
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© Université Paul Sabatier, 1887, tous droits réservés.
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(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-
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A.I
ANNALES
DE LA
FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE.
SUR LES
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
ET LES
GROUPES ALGÉBRIQUES DE TRANSFORMATIONS,
PAR M. ÉMILE PICARD.
1. Les analogies entre les équations différentielles linéaires et les équations
algébriques ont été depuis longtemps signalées et poursuivies dans des direc-
tions différentes. On n’a pas cependant, je crois, cherché comment la théorie
célèbre de Galois concernant les équations algébriques pourrait être étendue
aux équations différentielles linéaires. En employant une méthode présen-
tant une grande analogie avec celle dont a fait usage l’illustre géomètre,
on arrive à une proposition qui correspond, en quelque sorte, au théorème
fondamental de Galois, et l’on est ainsi conduit à la notion de ce que j’ap-
pellerai le groupe de transformations linéaires correspondant à l’équation
différentielle. J’emploie cette expression de groupe de transformations déjà
employée d’une manière générale par M. Sophus Lie dans une série de Mé-
moires, extrêmement remarquables, que j’aurai plusieurs fois l’occasion de
citer, afin de distinguer ce groupe de celui que l’on appelle généralement le
groupe de l’équation linéaire 1 ).
( 1 ) Les points principaux de ce travail ont été énoncés dans une Note insérée aux
Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences en avril 1883.
Considérons donc une équation différentielle linéaire
où nous supposerons que les coefficients sont des fonctions rationnelles de
la variable x, et soit y1, y2, ..., ym un système fondamental d’intégrales.
J’envisage l’expression suivante
qui est, comme on voit, une expression linéaire et homogène par rapport à
y,, y2, ..., y,n et à leurs dérivées jusqu’à l’ordre /7~ 2014 i.
Les m2 coefficients A représentent des fractions rationnelles quelconques
de x. Cette fonction V satisfait à une équation linéaire d’ordre m2, qu’il
serait facile de former; désignons cette équation par
où les P sont évidemment des fonctions rationnelles.
On a d’ailleurs, en différentiant V un nombre de fois égal à 
mz équations du premier degré par rapport à V et ses dérivées, qui donnent
où les ce , ~, ... , X sont rationnelles en x.
A toute intégrale de l’équation ( 2 ) correspond un système d’intégrales y, ,
y2, ..., ym de l’équation (I); ce système pourrait n’être pas fondamental.
Ceci arriverait si le déterminant de y" y2, ..., y,n et de leurs dérivées jus-
qu’à l’ordre m - z était nul; en écrivant ceci, on obtiendra une certaine
équation en V
k étant au plus égal à m2 - 1 . .
On aura donc un système fondamental y" Y 2’ ..., si l’on prend pour
V une intégrale de l’équation (2) ne satisfaisant pas à l’équation (3).
Ceci posé, il arrivera, en général, c’est-à-dire si l’équation ( 1 ) est prise
arbitrairement, que l’équation (2) n’aura aucune solution commune avec
une équation différentielle (linéaire ou non linéaire) à coefficients rationnels,
d’ordre inférieur à m~, si l’on fait abstraction des solutions qui satisfont à
l’équation (3).
Mais il pourra, dans certains cas, en être autrement; supposons donc que
l’équation différentielle d’ordre p
(/* représentant une fonction rationnelle) remplisse cette condition. Je sup-
pose, de plus, l’équation précédente irréductible, dans le sens employé par
M. K0153nigsberger (Théorie des équations différentielles, I882), c’est-à-dire .
n’ayant aucune solution commune avec une équation de même forme et
d’ordre moindre; dans ces conditions, toutes les fonctions V satisfaisant à
l’équation (4) satisferont à l’équation (2), et, de plus, l’équation (4) n’aura,
avec l’équation (3), aucune solution commune; par suite, à chaque solution
de l’équation
correspond un système fondamental d’intégrales pour l’équation linéaire
proposée.
Soient donc y" y2, ..., y,n le système fondamental correspondant à une
certaine solution V de l’équationf== o et Yf, Y2, ..., Ynt le système cor-
respondant à une solution quelconque V de la même équation ; on aura
les coefficients a dépendent seulement de p paramètres arbitraires, et nous
allons voir facilement qu’on peut les considérer comme des fonctions algé-
briques de p paramètres arbitraires.
En effet, considérons l’intégrale générale de l’équation
Cette intégrale générale sera nécessairement de la forme
les v étant des solutions de l’équation (2), et les rl des fonctions algébriques
convenables de p paramètres arbitraires. Donc, dans
figureront algébriq~uement p constantes arbitraires, et, par suite, si y,,
y2, "9 ym désignent un système fondamental correspondant à une solution
particulière p de l’équation f, les coefficients a de la substitution
dépendront, d’une manière algébrique, de p paramètres arbitraires; nous
désignerons ces paramètres par Àf, À2, ..., Àp.
Il est évident que, si l’on considère deux substitutions, telles que (S),
correspondant à deux systèmes distincts de valeurs des paramètres À, le
produit de ces substitutions sera une substitution de même forme, les para-
mètres 03BB étant remplacés par un troisième système de valeurs. Les substi-
tutions (S) forment donc un groupe continu de transformations, d’après
l’expression adoptée par M. Sophus Lie dans ses profondes et importantes
recherches [voir Theorie der Transformationsgruppen (Math. Annalen,
t. XVI) et une série de Mémoires en I876-I878-I879 dans les Archives nor-
wégiennes for Mathematik og naturvidenskab].
Je désignerai par G ce groupe continu et algébrique de transformations
linéaires, et nous l’appellerons le gro upe de transformations relatif à l’équa-
tion linéaire (i). Ce groupe de transformations ne doit évidemment pas être
confondu avec ce que l’on appelle généralement le groupe de l’équation
linéaire.
2. On peut établir, à l’égard de ce groupe, la proposition suivante, qui
rappelle le théorème fondamental de Galois dans la théorie des équations
algébriques _:_ .
Toute fonction rationnelle de x, , ..., y,n, de 
. s’exprimant rationnellement en fonction de x, reste invariable
quand on effectue sur y" y2, , ... les substitutions du groupe G.
Considérons, en effet, une telle fonction ; en y remplaçant y1, y2, ..., ym
par leur valeur en fonction de V, et égalant à une fraction rationnelle, on
aura 
F et R étant rationnelles. Or cette équation se trouvera vérifiée pour une
certaine solution V de l’équation /*== o ; elle le sera, par suite, pour toutes
les solutions d’après l’irréductibilité de cette dernière équation. Ceci revient
à dire que la fonction rationnelle considérée ne change pas quand on effectuc
sur y, , ..., ym la substitution S.
A ce théorème on peut joindre la proposition suivante : :
Toute fonction rationnelle de x, y1, y2, ..., ym et leurs dérivées, qui
reste invariable par les substitutions du groupe G, est une fonction unz-
forme de x.
Soit
une telle fonction ; le groupe de l’équation (d’après la dénomination usuelle),
c’est-à-dire le groupe des substitutions à effectuer sur y,, y 2? - ’ ’? quand
on fait décrire à la variable tous les chemins possibles, rentre évidemment
dans le groupe de transformations, c’est-à-dire que toutes les substitutions
du groupe de l’équation sont comprises dans la substitution (S) pour des
valeurs convenables des paramètres X. Donc la fonction f restera invariable
quand on effectuera sur les y toutes les substitutions du groupe de l’équa-
tion ; cette fonction f est, par suite, une fonction uniforme de x. On pourra
ajouter que c’est une fonction rationnelle de x, si l’équation différentielle
n’a que des points singuliers, pour lesquels les intégrales soient régu-
hères.
3. Tels sont les résultats auxquels on est tout naturellement conduit, en
cherchant à développer, pour les équations différentielles linéaires, unc
théorie analogue à celle de Galois pour les équations algébriques ; nous nous
trouvons ainsi amenés à la considération des groupes de transformations
linéaires et algébriques.
Présentons d’abord à ce sujet une remarque générale.
Concevons un tel groupe de transformations
les a étant des fonctions algébriques de r paramètres arbitraires (r n2).
Différentions ces équations une fois, deux fois, ... jusque (n - i) fois. On
aura d’abord
et d’autres équations semblables. Entre r + i de ces équations, qui sont en
nombre n2, éliminons les paramètres; nous aurons une relation entre les Y
et leurs dérivées, et entre les y et leurs dérivées, et ce sera une relation algé-
brique entière.
Soit
Concevons maintenant qu’on effectue sur y , , y~, ..., Yll une substitution
quelconque du groupe de transformations; on aura, en désignant par y’1,
y~, ..., y;~ les valeurs transformées de y 4’ ... ~ y n’ 
.
on aura, par suite, en faisant la même élimination que plus haut,
les relations ( 1 ) et ( 2 ) doivent avoir lieu, quels que soient les Y et leurs
dérivées. Les coefficients des différents termes en Y et > ... seront donc
les mêmes, à un facteur près; on obtiendra ainsi des polynômes
en y, , y~,, ..., Yn et leurs dérivées [au plus j usqu’à l’ordre ( n - I )~ ; ces
polynômes seront des invariants du groupe, c’est-à-dire que, effectuant sur
les y et simultanément sur leurs dérivées une substitution du groupe, on
aura .
~, étant une constante. _
L’étude des groupes de transformations est donc intimement liée à la
recherche des polynômes ou des systèmes de polynômes en
qui se reproduisent, à un facteur près, quand on effectue simultanément sur
les termes d’une même ligne un ensemble de substitutions linéaires.
4. Cherchons à quoi reviendra la recherche directe des groupes algé-
briques de transformations linéaires. Il est nécessaire de rappeler les théo-
rèmes généraux de M. Lie sur les groupes de transformations (Mathem.
Annalen, t. XVI). Considérons, avec l’éminent géomètre, les n équations
qui définissent une famille de transformations entre les x et les x’, où
figurent r paramètres arbitraires a, , , ... Ces transformations formeront
un groupe si la succession de deux transformations de cette famille est
encore une transformation de la même famille.
Une transformation est dite infinitésimale par M. Lie si elle a la forme
ot désignant une quantité infiniment petite.
M. Lie a montré que chaque groupe de transformations à j~ paramètres
contient r transformations infinitésimales indépendantes. Ces transforma-
tions infinitésimales déterminent complètement le groupe de transforma-
tions.
’ Soient
les r transformations infinitésimales du groupe. On aura pour chaque va-
leur de i, en posant Aq(F) == Xq,i~F ~x1 -}-...-k Xq,n~F ~xn, r(r - I) 2 relations de
la forme
. Les sont des constantes indépendantes du nombre i. On a ainsi entre .
les X 
- 
identités, qui expriment les conditions nécessaires et suffi-
santes pour que les r transformations infinitésimales considérées puissent
être les transformations infinitésimales d’un groupe à r paramètres. Ces
conditions peuvent encore se mettre sous la forme
c’est-à-dire
Ces conditions étant remplies, on aura le groupe lui-même en procédant
comme il suit. Considérons les équations différentielles
où les À sont à considérer comme des constantes. Soient
/~ intégrales premières de ce système, où les X ont été mis en évidence, et
posons
de ces n équations, on tirera
ce sera le groupe cherché, en remplaçant
par les r paramètres ai, a2, ... , 
Ces théorèmes généraux rappelés, revenons maintenant aux groupes
linéaires de transformations. Les substitutions infinitésimales seront mani-
festement ici des substitutions linéaires; on doit donc partir de r substi-
tutions linéaires, entre lesquelles on supposera vérifiées les identités (E),
dont il a été parlé plus haut. Le système
est ici un système d’équations linéaires à coefficients constants. Nous au- 
rons, d’après ce qui précède, à chercher les intégrales de ce système, qui,
pour t = to, deviennent respectivement égales à x t, X2’ ... ~ Or ces inté-
grales devront être nécessairement de la forme
les A étant des expressions linéaires et homogènes en ... , ,
p.~ , ~,?, ... ~ , pn étant les racines de l’équation fondamentale relative
au système des équations linéaires. Cette équation sera évidemment de la
forme
9" 92’ ..., 9n étant des polynômes homogènes en Àf, À2, ..., Àr de degrés
respectivement égaux à leur indice ; les p seront donc des fonctions algé- .
briques et homogènes de degré un en À" À2, ... , Àr. Quant aux coefficients
de ... , dans les A, ce seront des fonctions homogènes de
degré zéro en Àt, À2, ..., ar.
Si donc on pose
et, en outre,
on aura pour p l’équation
dont nous désignerons les racines par P, p:O ..., pn.
Les A seront alors des fonctions linéaires et homogènes en ePt, ...,
dont les coefficients seront des fonctions rationnelles en a, , a2, ... , 
?2? ’ ’ ’ ? fin.
Les équations (S) donneront alors le groupe de transformations qui a
pour substitutions infinitésimales les r substitutions initiales. Ce groupe ne
sera pas, en général, algébrique, et la question serait de cherch.er comment
doivent être choisies les r substitutions initiales pour que le groupe fût
algébrique: Je me réserve de revenir plus tard sur cette question générale;
nous allons examiner seulement, en ce moment, certains cas particuliers,
d’ailleurs fort étendus.
5. Dans un de ses Mémoires (Archives norwégiennes, 1878, p. IIO),
M. Sophus Lie considère incidemment un groupe particulier de transfor-
mations linéaires. Désignons, comme plus haut, les 1 substitutions infinité-
simales par A, ( F), A2 ( F), ..., Ar(F) et supposons-les telles que le cro-
chet (A;, soit une fonction linéaire de A, , A2’ ..., 
M. Lie a montré que, dans ces conditions, on pourra, par un choix con-
venable des variables indépendantes, donner aux expressions A (F) la forme
commune
Ce sont les groupes dont les r substitutions infinitésimales sont de cette
forme, que nous allons considérer.
On peut remarquer que tout groupe à deux paramètres rentre nécessai-
rement dans l’hypothèse précédente, et c’est de ce cas que nous allons
d’abord nous occuper. Soient donc
les deux expressions correspondant aux deux substitutions fondamentales.
Il nous faut écrire que (A, AZ~ est une combinaison linéaire de A, (F) et
Az ( F~ ; on voit de suite qu’il faut poser
car le terme en ~F ~x1 manque dans (A1 A2).
Les coefficients de ~F ~x2, ~F ~x3 > ...> ~F ~xn dans (A, A2) ne contiennent respec-2 3 n
tivement pas de termes en x2, x3, ... , il en résulte que ,
et nous allons voir que ces relations vont nous donner la solution du pro-
blème. Les racines ~." ~.2, ..., [-Ln de l’équation caractéristique correspondant
au système d’équations linéaires formées dans le précédent paragraphe sont
ici
donc
les exponentielles ..., sont donc fonctions de l’une
d’entre elles, et fonctions algébriques si ce, ~32, ~~3, ..., pn sont dans des rap-
ports commensurables. Quant aux coefficients de dans les A, ce seront
des fonctions de ~‘2; nous pourrons donc prendre pour paramètres
La condition nécessaire et suffisante, pour que A, ( F) et A~ ( F), supposés
susceptibles d’engendrer un groupe de transformations, engendrent un
groupe algébrique, est donc quc a, 03B22, ..., dans dcs rapports
commensurables, et ce théorème nous permet, par suite, de trouver tous
les groupes algébriques de transformations linéa ircs à deux paramètres.
L’énoncé précédent résout la question proposée, mais il est facile de ter-
miner complètement le calcul. On simplifiera, en supposant, comme il est
permis, que
l’identité donne des relations dont le type général sera
et a a i = a vi, en supposant que le coefficient de dF dans A, F soit
Différentes hypothèses peuvent être faites; prenons le cas général où ai,
..., an sont distincts. Si donc on considère toutes les différences
elles ne pourront être égales; soit, dans A, ~F), ~, ~ o.
Alors on aura
toutes les autres différences
ne pourront être égales à ka, ; par suite,
Soit de même ~~ ~ o, on aura
et il faud.ra écrire
En continuant ainsi on voit que, dans l’hypothèse où 03B21 03B3203B43 ... ,o,t-, ~ o, on a
et
On a vu plus haut que af, a2, ..., an devaient être dans des rapports
commensurables, ce qui revient ici à dire que k est commensurable.
6. On peut chercher, de la même manière, les groupes algébriques de
transformations linéaires à un nombre quelconque de .paramètres, pourvu
que les substitutions infinitésimales remplissent les conditions indiquées au
commencement du paragraphe précédent. Il suffira d’examiner le cas de
trois paramètres ; soit donc
On doit avoir identiquement
les ’~, ~,, v étant des constantes.
Dans (A2, A3), il n’ y a p as de terme en ~F ~x1, et les coefficients de ~F ~x2,
dF ,..., ~F ~xn ne contiennent respectivement pas de termes en x,, x3, ..., xn;
il en résulte que 
.
pareillement la deuxième et la troisième identité nous donnent
On conclut de là, en laissant de côté des cas exceptionnels, dont la dis-
cqssion, d’ailleurs bien facile, présenterait peu d’intérêt, que
Ces relations vont nous donner de suite la solution du problème. Les ra-
cines ~2, ..., ~,n de l’équation caractéristique (voir n° 4) sont ici
donc
les exponentielles ..., e n(t-t0) sont donc fonctions de l’une
d’entre elles, y et fonctions algébriques si 03B1, 03B22, 03B33, ’"9 03C1n sont dans des
rapports commensurables. Quant aux coefficients de dans les A
n" 4), ce seront des fonctions de 03BB2 03BB1 et 2014 nous pourrons donc prendre
pour paramètres
et, sous la condition indiquée, le groupe sera algébrique.
A.I5
7. Prenons comme exemple, en terminant, le cas de deux variables et de
deux paramètres.
Soient
on aura
posons donc
On a les équations linéaires
le groupe correspondant sera
cri et 0-2 étant les deux paramètres arbitraires; s devra être commensurable,
en le désignant par p; on peut alors écrire le groupe
p et q étant deux entiers.
Xi et le etermInant X sont les deux seuls invariants dis- ,
tincts de ce groupe si simple.


Sur les équations différentielles linéaires et les groupes algébriques de transformations

G. Koenigs

Sur l'emploi de certaines formes quadratiques en géométrie

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE
G. KOENIGS
Note sur les courbes dont les tangentes font partie d’un complexe linéaire
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 1, no 2 (1887), p. E9-E12
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1887_1_1_2_E9_0>
© Université Paul Sabatier, 1887, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »
(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-
tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-
tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-
chier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
NOTE SUR LES COURBES
DONT
LES TANGENTES FONT PARTIE D’UN COMPLEXE LINÉAIRE,
PAR M. G. KOENIGS,
Dans un Mémoire inséré au Tome XI de la deuxième série des Annales
de l’École Normale supérieure, j’ai défini des courbes ayant ce que j’ai
appelé un axe anharmonique, c’est-à-dire telles qu’il existe une droite .
jouissant de la propriété suivante : Les points où cette droite est rencontrée
par les quatre plans osculateurs à la courbe considérée, en quatre points
quelconques A, B, C, D, ont le même rapport anharmonique que les plans
menés par cette droite et ces quatre mêmes points A, B, C, D. ’.
J’ai aussi introduit la notion des surfaces dont les lignes asymptotiques
d’une même série ont un même axe anharmonique. Un peu avant la publi-
cation de mon travail, M. Sophus Lie avait publié une Note du plus haut
intérêt sur les surfaces dont les lignes asymptotiques d’une série appar-
tiennent, par leurs tangentes, à un complexe linéaire. Il me suffira de
quelques lignes pour montrer comment les courbes à axe anharmonique et
les surfaces dont elles sont les asymptotiques se rattachent aux résultats de ,
NI. Sophus Lie. Tel est l’objet de cette courte Note.
Je remarque d’abord ceci. Soient M un point d’une courbe 0393 ayant un
. axe anharmonique E, P le point où le plan osculateur en M coupe cet axe,
et appelons (X le plan qui contient l’axe E et le point M. Par hypothèse, le
couple (a, P), formé de ce plan et du point P, constitue un élément d’une
correspondance homographique déterminée, que l’on suppose exister sur la
droite E, entre les points de cette droite et les plans qui la contiennent.
Or une congruence linéaire singulière, c’est-à-dire dont les deux direc-
trices coïncident avec une droite unique E, est caractérisée, définie, de la
façon suivante : ..
E.I0
Pour qu’une droite G fasse partie d’une telle congruence, il faut :
i" Qu’elle coupe la directrice double E ; .
2° Que, si l’on appelle P le point de rencontre et a le plan commun à
ces deux droites, le système point et plan (P, a) constitue un élément d’une
correspondance homographique déterminée existant entre les points de la
droite E et les plans menés par cette droite. 
’
On voit donc qu’une congruence singulière est définie :
10 Par sa directrice E ; - .
2° Par une correspondance homographique H existant entre les points
de E et les plans menés par cette droite.
Ceci posé, reprenons les notations précédentes.
Sur l’axe anharmonique E, nous avons une homographie H de l’espèce
ci-dessus mentionnée, à savoir, celle qui lie tout plan « (mené par E et par
un point NI de la courbe Il) au point P (trace sur E du plan osculateur au
point 11~r). Une congruence linéaire singulière (E, H) est donc définie,
comme il a été dit, par cet axe E et cette homographie H existant sur cet
axe. Il est clair que la droite MP appartient à cette congruence, et la sur-
face réglée 1 engendrée par MP est contenue dès lors dans cette congruence.
La courbe F est évidemment contenue par la surface 2; de plus, le plan
tangent en ~I à la surface 2 n’est autre que le plan mené par et la tan-
gente à la courbe Il, c’est-à-dire le plan osculateur de la courbe r. Donc : :
La courbe r cst unc lignc asymptotique sur la sur face 03A3.
J’invoquerai maintenant la proposition suivante qui est bien connue : :
Soient 0396 et 0396’ deux droites et 03A3 une surface réglée dont toutes les
(lroites rencontrent J ct 0396’, c’est-à-dire dont toutes les droites font partie
de la congruence linéaire qui admet E, E’ pour directrices, les ligncs
asymptotiques non rectilignes de la surface 03A3 appartiennent, par leurs’
laiigenles, chacune à un complexe linéaire dans lcqucl lcs droites ~ et
E’ sont deux droites conjuguées, et qui, par conséquent, contient la con-
gruence (0396, 0396’).
Lorsque les droites 3 et E’ coïncident en une seule E, tous les complexes
linéaires, qui contiennent la congruence linéaire singulière (E, H) corres-
pondante, contiennent la droite E, et le théorème précédent prend alors
l’énoncé que voici : :
Lorsque lcs droites d’une surface réglée 2i font partie d’une con- F
g ruence linéaire singulière, les lignes asymptotiques non rectilignes de
~ appartiennent, par leurs tangentes, chacune à l’un des complexes li- 
.
néaires contenant la congruence, et la directrice double 0396 est une droite
commune à tous ces complexes linéaires. 
’ 
"
En nous reportant alors à la proposition établie plus haut relativement à
la courbe r, nous voyons que, puisque r est une ligne asymptotique sur la
surface 1 et puisque la surface 2 appartient 1 une congruence singulière
d’axe 3, les tangentes de la courbe r font partie d’un complexe linéaire qui
contient aussi l’axe E.
’
Lors donc qu’une courbe T admettra un axe anharmonique ~, ses tan-
g entes feront parüe d’un complexe linéaire, qui contiendra aussi l’axe ~~. .
’
Réciproquement, soit une courbe r dont-les tangentes font partie d’un
complexe linéaire, et soit ~ une droite de ce complexe; je dis que ~ est
un axe anharmonique de la courbe r. 
’
En effet, lorsque les tangentes d’une courbe r font partie d’un complexe
linéaire, le plan focal d’un point M de la courbe est précisément le plan
osculateur en ce point. Cela étant, appelons P le point où le plan osculateur
en M vient couper la droite E; la droite MP fait partie du complexe,
puisqu’elle est dans le plan osculateur et qu’elle passe par le point M, foyer
de ce plan. Maintenant, appelons a le plan mené par E et par la droite PM
( ou par le point ~1’I ~ ; nous connaissons deux droites du complexe situées
dans ce plan, E et donc leur point commun P est le foyer du plan a;
il en résulte que le point P et le plan a constituent un élément (P, a) de
l’homographie H, qui existe sur la droite E entre les points de cette droite
et les plans focaux de ces points, plans qui passent par la droite, puisqu’elle
appartient au complexe. Cela démontre donc bien que E est un axe anhar-
monique de la courbe r. _ .
. 
Le problème des courbes à axe anharmonique est donc entièrement ré-
solu 1 ’ ) et rendu identique à celui de la détermination_ des courbes qui font
partie, par leurs tangentes, d’un complexe linéaire.
On voit en même temps que la recherche des surfaces, dont les li nes
asymptotiques d’une série appartiennent, par leurs tangentes, chacune à un
( ~ ~ Dans mon travail précité, j’ai donné l’équation finie de ces courbes, mais sans chercher
à en donner une interprétation géométrique. 
~
’
E.I2
complexe linéaire, problème traité par M. Lie, comprend celui de la recherche
des surfaces dont les lignes asymptotiques d’une série ont un même axe an-
harmonique.
Il suffit de supposer que y dans le problème traité par M. Lie, les com-
plexes linéaires, dont font partie les tangentes aux lignes asymptotiques,
aient une droite commune qui sera, dès lors, l’axe anharmonique commun
à toutes ces courbes. 
’
Comme une série de complexes linéaires peuvent avoir en commun une,
deux, trois ou même quatre droites, on en conclut qu’il y a des surfaces
dont les lignes asymptotiques d’une série ont en commun un, deux, trois ou
quatre axes anharmoniques.
Dans le cas, où il existe trois axes anharmoniques, il en existera une infi-
nité d’autres formant un hyperboloïde. Dans le cas où il y en aura quatre,
non situés sur une même surface du second degré, il y en aura une double
infinité d’autres formant une congruence linéaire. Mais, dans ce cas, la sur-
face sera engendrée par des droites de cette congruence, et nous retrouvons
ainsi là proposition qui a été énoncée à la page (E. 10).


Note sur les courbes dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire

oai:centre-mersenne.org:AFST_1887_1_1_1_R5_

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSE
Avertissement
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 1, no 1 (1887), p. V-VI
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1887_1_1_1_R5_0>
© Université Paul Sabatier, 1887, tous droits réservés.
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Numérisation de documents anciens mathématiques
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AVERTISSEMENT.
La Faculté des Sciences de Toulouse entreprend la publication d’An-
nales consacrées aux Mathématiques et aux Sciences physiques.
Elle se propose d’insérer dans ce Recueil des Mémoires relatifs à la
Physique, à la Chimie, y aux Mathématiques pures et appliquées, écrits le
plus souvent par les professeurs de la Faculté. Plusieurs de nos anciens
collègues, qui occupent un rang élevé dans la Science française, et des géo-
mètres illustres, dont nous avons eu l’honneur d’être les élèves, ont bien
voulu nous promettre leur concours.
Indépendamment des Mémoires proprement dits, nous donnerons des
articles de Bibliographie, mûrement élaborés, relatifs à des questions im-
portantes offrant un réel intérêt d’actualité scientifique. Chacun de ces
articles comprendra, avec un exposé systématique de la question elle-
même, l’énumération d.es travaux qui s’y rapportent.
Nous espérons offrir ainsi de nouvelles ressources à tous ceux qui cul-
tivent les Sciences, notamment faciliter leur tâche aux professeurs des
lycées et collèges qui voudront poursuivre les études commencées à la
Faculté ou à l’École Normale. Si quelques-uns trouvent dans nos articles
bibliographiques des guides sûrs, notre but sera pleinement atteint. 
’
En créant de toutes pièces une publication nouvelle, nous n’ignorons pas
contre quelles difficultés de toutes sortes nous aurons à lutter. Les encoura-
gernents de l’État, de la ville de Toulouse, des départements de la Haute-
Garonne et des Hautes-Pyrénées nous ont permis de créer ces Annales;
nous comptons, pour ‘les faire vivre, sur le concours de tous ceux qu’inté-
resse le développement de la Science française. Le grand effort fait, depuis
VI
quelques années, par les pouvoirs publics pour les progrès de l’enseigne-
ment doit avoir pour première conséquence un accroissement notable de la
production scientifique de notre pays. Nous adressons à tous les amis de
l’Université de France le plus pressant appel; nous avons pu prendre l’ini-
tiative de ces Annales, il leur appartient de les faire prospérer.
LE COMITÉ DE RÉDACTION


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