Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

Thomas Forget

Solutions canards en des points tournants dégénérés

Graham Smith

An Arzela-Ascoli theorem for immersed submanifolds

Yarakamé Souleymane Daniogo

Solutions indéfiniment différentiables d’un système d’équations aux différences et application aux systèmes d’équations aux dérivées partielles

Michele Miranda

Diego Pallara

Fabio Paronetto

Marc Preunkert

Short-time heat flow and functions of bounded variation in $\mathbf{R}^N$

Elie Compoint

Anne Duval

Groupe de Galois différentiel local et représentation adjointe

Charles Delorme

ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
Mathématiques
CHARLES DELORME
Sur la formule d’inversion de Lagrange
Tome XVI, no 2 (2007), p. 247-252.
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Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Vol. XIV, n◦ 4, 2006
pp. 247–252
Sur la formule d’inversion de Lagrange(∗)
Charles Delorme (1)
RÉSUMÉ. — On se propose de démontrer que la formule d’inversion de
Lagrange est encore valide sur un anneau commutatif, même pour une
série ayant quelques termes à coefficients nilpotents avant le terme de
degré 1 (dont le coefficient est inversible). On n’use que de techniques
algébriques.
ABSTRACT. — We extend the Lagrange inversion formula to the case of a
commutative ring and series having some nilpotent terms in front of the
term of degree 1. The method is purely algebraic.
1. Le cadre de ce travail
On a un anneau A de base, commutatif et unitaire. On utilise l’algèbre
A[[T ]] et sa localisée A[[T ]][T−1].
Les séries formelles g avec g(0) inversible forment un groupe pour la
multiplication dans A[[T ]]. Il s’ensuit que, dans A[[T ]][T−1], toutes les séries
dont le premier terme non nul est inversible sont inversibles pour la multi-
plication.
Les séries formelles g de A[[T ]] avec g(0) = 0 et g′(0) inversible con-
stituent un groupe pour la composition.
L’inversion de Lagrange est une formule qui lie les coefficients des puis-
sances de g et ceux des puissances de g<−1> pour la multiplication, où
g<−1> est l’inverse pour la composition de g (on utilise ici la notation de
Comtet [3, t. 1,p.159]). On va en donner une présentation et un schéma de
preuve foncièrement algébriques.
(∗) Reçu le 12 juillet 2005, accepté le 17 janvier 2006
(1) Laboratoire de Recherche en Informatique, B. 490 Université Paris-Sud, 91405
Orsay Cedex.
Charles.Delorme@lri.fr
– 247 –
Charles Delorme
2. Le cas usuel
On considère aussi l’algèbre des matrices sur A aux lignes et colonnes
indexées par Z, avec mij = 0 si j − i < k, où k dépend de m.
Soient donc
– X la matrice avec Xi,j =
{ 1 si j = i + 1,
0 sinon
– D la matrice avec Di,j =
{
i si j = i,
0 sinon
– g(X), matrice « de Toeplitz » avec [g(X)]ij = gj−i, le coefficient de
T j−i dans une série g.
– Mg la matrice dont le coefficient Mij est le coefficient de tj dans g(t)i
Soit f une série, elle est représentée par la matrice-ligne Lf . Diverses
applications linéaires se traduisent par des produits de matrices. En parti-
culier
f → fh se traduit par Lf → Lfh(X) pour toute série h
f → f ◦ h par Lf → LfMh pour toute série h avec h(0) = 0
et h′(0) inversible dans A
f → Tf ′ par Lf → LfD
On a donc, pour toutes séries h et g l’égalité h(X)g(X) = (hg)(X).
D’autre part, pour toutes séries h et g de A[[T ]], avec h(0) = g(0) = 0
et h′(0) et g′(0) inversibles dans A, on a Mg◦h = MgMh et donc Mg est
inversible et M−1g (triangulaire supérieure aussi) a pour coefficient (M
−1
g )ij
le coefficient de tj dans (g<−1>t)i.
La matrice MD a pour colonne i le produit de la colonne i de M par i.
On introduit la symétrie S avec MS la matrice telle que MSij = M−j,−i.
On a, si l’on veut, MS = ZMTZ, avec l’exposant T pour la transposition
et Z la matrice avec Zi,j =
{ 1 si j = −i
0 sinon
.
Cette symétrie S est un anti-automorphisme pour l’algèbre des matrices,
c’est-à-dire (MN)S = NSMS . En particulier D = −DS et X−1 = XT et
XS = X.
Théorème 2.1 (Lagrange). — Avec ces outils, la formule d’inversion
de Lagrange (appelée aussi de Lagrange et Bürmann) s’énonce
MD + (M−1D)S = 0.
– 248 –
Sur la formule d’inversion de Lagrange
Notons que les indices i < 0, j > 0 sont pris en compte ici
On peut noter que DX − XD = X et donc DXn − XnD = nXn. Par
conséquent Dg(X) − g(X)D = Xg′(X). On a aussi, en traduisant que
(gn)′ = ngn−1g′, l’égalité MgD = DX−1MgXg′(X).
La matrice Mg se caractérise par le fait que
– sa ligne 0 est nulle, sauf le coefficient M0,0 qui vaut 1
– Mg(X) = XM (en d’autres termes la ligne i de Mg(X) est la ligne
i + 1 de M),
D’autre part g(X)M−1 = M−1X. La matrice N = M−1g se caractérise par
le fait que
– sa ligne 0 est nulle, sauf le coefficient N0,0 qui vaut 1
– g(X)N = NX (ainsi, chaque colonne de N se calcule linéairement à
partir de la colonne précédente)
En effet, l’inverse de Mg vérifie évidemment les conditions. Vérifions
l’implication inverse. La matrice P = MgN a sa ligne 0 nulle égale à celle
de N , donc nulle sauf le terme en colonne 0 qui vaut 1. De plus PX =
MgNX = Mgg(X)N = XMgN = XP , donc le coefficient Pij ne dépend
que de i− j, donc P est la matrice unité.
Du fait que MgMh = Mg◦h et (M−1g )
S(M−1h )
S = ((MgMh)−1)S il suffit
pour prouver la formule de le faire pour un système de générateurs du
groupe. On considère donc
– g(X) = aX, avec a inversible dans A. On a alors Mg diagonale avec
Mg(i, i) = ai et l’égalité est évidemment vérifiée.
– g(X) = X/(1 + aX), avec a quelconque dans A. Alors la matrice M
a pour coefficients
Mij =
{
0 si j < i( −i
j−i
)
(a)j−i si j  i
avec
(
i

)
=
∏
1u
1+i−u
u pour   0 (ce qui fait 1 si  = 0).
La matrice inverse correspond à g<−1>(X) = X/(1−aX) et l’égalité
est vérifiée.
– 249 –
Charles Delorme
– Plus généralement g(X) = X/(1 + aXk). Alors la matrice M a pour
coefficients
Mij =
{
0 si j < i ou si j − i n’est pas multiple de k(−i

)
(a) si j = i + k avec   0 entier
et satisfait XM(1 + aXk) = MX.
La matrice N qui a pour coefficients
Nij =


0 si j < i ou si j − i n’est pas multiple de k
1 si i = j
(
(
j

)
− k
(
j−1
−1
)
)a si i = j − k et  > 0
est l’inverse de M car elle satisfait (1 + aXk)X−1N = NX−1 (c’est-
à-dire Ni,j = Ni−1,j−1 + aNi+k−1,j−1) et sa ligne 0 est la bonne
(c’est-à-dire N0,j = 1 si j = 0 et 0 sinon).
Ces coefficients ont une interprétation combinatoire, au moins pour les
valeurs positives de i et j; voir par exemple [2] et [4, p.361].
La formule générale peut être maintenant démontrée « par approxima-
tions successives »; on fait apparâıtre g(t) comme composition de a0t(1 −
a1t) ◦ (1 − a2t2) ◦ ... ◦ (1 − aktk) ◦ ... où la k-ième composée gk = a0t(1 −
a1t) ◦ (1 − a2t2) ◦ ... ◦ (1 − aktk) diffère de g par un multiple de tk+1 ; les
matrices Mgk et M
−1
gk
correspondant à gk ne diffèrent de Mg et M−1g qu’en
les termes i, j avec j − i > k.
Ainsi donc l’égalité est vérifiée pour toute série dont le terme de degré
1 est inversible et précédé de termes nuls uniquement.
3. Extension de l’égalité
On va étendre l’égalité de Lagrange où cas où la série à inverser présente
un nombre fini de termes nilpotents en degré < 1 devant son terme de degré
1, dont le coefficient est inversible.
Les outils sont toujours les mêmes. Toutefois M n’est plus triangulaire
supérieure.
Lemme 3.1. — Si dans un anneau commutatif on a un ensemble fini
d’éléments nilpotents ax d’ordres respectifs au plus αx ( i.e. aαxx = 0), tout
monôme en les ai de degré  α = 1 +
∑
x(αx − 1) est nul. Autrement dit,
l’idéal engendré par les ax est lui-même nilpotent d’ordre au plus α,
Lemme 3.2. — Une série ayant un terme inversible précédé d’un nom-
bre fini de termes nilpotents est encore inversible pour la multiplication.
– 250 –
Sur la formule d’inversion de Lagrange
En effet, on peut faire apparâıtre un telle série comme s + n avec s
commençant par un terme inversible aT p (donc s inversible) et n une somme
finie de termes nilpotents axTmx avec mx < p et ax nilpotent d’ordre αx.
Dans ce cas la somme n =
∑
x axT
mx est nilpotente d’ordre au plus α. Alors
(s + n)k = sk
∑α
i=0 n
(
k
i
)
nis−i et donc (s + n)k comporte avant le degré pk
des termes nilpotents en nombre au plus égal à α(max(p−mi)).
Lemme 3.3. — Une série ayant son terme de degré 1 inversible, précédé
d’un nombre fini de termes nilpotents, est inversible pour la composition.
En effet, on écrit la série n + s avec s1 inversible et n somme finie de
termes nilpotents aiTmi avec mi < 1 et on forme la matrice M dont les
lignes contiennent les coefficients des puissances correspondantes de n + s.
Elle s’écrit S − N avec Sij = Mij si j  i et 0 sinon, et S est inversible,
et les coefficients de N sont des polynômes sans termes constants en les
ai. En outre, les coefficients Nij sont nuls si i − j  α(max(p − mi)). On
a (S − N)
∑α−1
i=0 S
−1(NS−1)i = I − (NS−1)α = I car les coefficients de
(NS−1)α sont des polynômes formés de monômes de degré au moins α en
les termes de n.
Ainsi, M est inversible, et la ligne i de M−1 donne hi où h est la série
inverse pour la composition de s + n.
Reste à voir que dans ce cas on a encore MD + (MD)S = 0.
On a un cas qui se déduit simplement du cas sans termes nilpotents
en bas degré. à savoir quand g = aX +
∑n
i=1 aiX
1−i avec a inversible et
les ai nilpotents, car alors ZMgZ = Mh avec h = X/(a +
∑
aiX
i). On
a donc alors Z(M−1g D)
S + MgD)Z = M−1h (−D) + Mh(−D) = 0, vu que
M → ZMZ est un automorphisme de l’algèbre des matrices « à j − i borné
des deux côtés » et ZDZ = −D. Donc la relation est satisfaite.
Dans le cas général, introduisons l’idéal J (nilpotent d’ordre au plus
α) engendré par les nilpotents ai et l’anneau A/J . L’image de Mg par le
morphisme naturel dans les matrices sur A/J cöıncide avec celle de Ms.
Donc Mg1 = MgM
−1
s diffère de I par des éléments de J , en d’autres termes
g1 = T (1 + p1(T ) + T−1q1(T−1) avec p1 série à coefficients dans J et q1
polynôme à coefficients dans J . On utilise alors pour 1  i  α gi+1 =
gi ◦ (T (1 + p1(T ))<−1> ce qui donne gi+1 = T (1 + pi+1(T ) + T−1qi+1(T−1)
avec pi+1 série à coefficients dans J i+1 et qi+1 polynôme à coefficients dans
J .
Après α itérations, on arrive à pα = 0. Ces inversions successives donnent
lieu à des paires de matrices inverses qui satisfont l’égalité de Lagrange. A
– 251 –
Charles Delorme
ce moment on sait que l’inversion de T + qα(T−1) donne lieu à une dernière
paire qui satisfait ladite égalité.
On peut donc conclure, en utilisant le même argument sur les produits
que plus haut, que les matrices inverses Mg et M−1g satisfont l’égalité de
Lagrange.
4. Conclusion
Cette preuve est assez proche de celle de Barnabei et al. [1], mais nous ne
supposons pas A intègre. Il est vraisemblable que l’on puisse encore étendre
l’égalité à d’autres situations.
Bibliographie
[1] Barnabei (M.), Brini (A.), Nicoletti (G.). — Recursive matrices and umbral
calculus. J. Algebra 75, p. 546-573 (1982).
[2] Banderier (C.), Flajolet (P.). — Basic analytic combinatorics of directed lattice
paths, Theor. Comput. Sci. 281, p. 37-80 (2002).
[3] Comtet (L.). — Analyse combinatoire I et II, Presses Universitaires de France
(1970).
[4] Graham (R. L.), Knuth (D. E.), Patashnik (O.). — Concrete mathematics: a
foundation for computer science, 2nd ed. Addison-Wesley (1994).
– 252 –


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