Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

Mohammad Daher

Propriétés géométriques de $h^{p}({\mathbb{D}},X)$ et généralisations

Rüdiger W. Braun

Reinhold Meise

B. A. Taylor

A new characterization of the analytic surfaces in $\mathbb{C}^3$ that satisfy the local Phragmén-Lindelöf condition

Vyacheslav Zakharyuta

Extendible bases and Kolmogorov problem on asymptotics of entropy and widths of some class of analytic functions

Ridha Chatbouri

Algèbres enveloppantes à homotopie près, homologies et cohomologies

Lucien Guillou

On the structure of homeomorphisms of the open annulus

Waldo Arriagada-Silva

Christiane Rousseau

The modulus of analytic classification for the unfolding of the codimension-one flip and Hopf bifurcations

Maximiliano Leyton-Alvarez

Résolution du problème des arcs de Nash pour une famille d’hypersurfaces quasi-rationnelles

Eric Bedford

Kyounghee Kim

Linear Fractional Recurrences: Periodicities and Integrability

Moha Boutat

ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
Mathématiques
MOHA BOUTAT
Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d’un domaine
quasi-disqué sur un domaine disqué
Tome XX, no 4 (2011), p. 759-765.
<http://afst.cedram.org/item?id=AFST_2011_6_20_4_759_0>
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Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Vol. XX, n◦ 4, 2011
pp. 759–765
Quasi-homogénéité des applications holomorphes
propres d’un domaine quasi-disqué
sur un domaine disqué
Moha Boutat(1)
RÉSUMÉ. — Nous proposons une généralisation d’un résultat de F. Berteloot
et G. Patrizio [1], aux cas des applications holomorphes propres entre do-
maines quasi-disqués et non nécessairement bornés.
ABSTRACT. — A result of F. Berteloot and G.Patrizio [1] states that if
f is a proper holomorphic map between two bounded complete circular
domains Ω1 and Ω2 in Cn+1(n  1), such that f−1{0} = {0} and such
that the principal part fp of the Taylor expansions of f at the origine is
nondegenerated i.e fp
−1{0} = {0}, then f ≡ fp.
Here we propose to generalize their result in the case where Ω1 is a com-
plete quasi-circular domain and Ω2 is a complete circular domain. More-
over this proof does not use the tools of projective dynamics of J. E.
Fornaess and N. Sibony [3].
1. Introduction
On a le résultat suivant dû à F. Berteloot et G. Patrizio [1] : soit f une
application holomorphe propre d’un domaine disqué Ω1 de C
n+1(n  1) sur
un autre domaine disqué Ω2 de C
n+1(n  1). Supposons Ω1 et Ω2 bornés,
que f est non-dégénérée i.e f−1{0} = {0} et de plus que la partie fp de plus
petit degré du développement de Taylor de f en 0 est non-dégénérée, alors
on a : f ≡ fp c’est-à-dire que f est homogène.
(∗) Reçu le 03/06/2010, accepté le 20/10/2011
(1) Université d’Angers, UMR 6093 LAREMA, 2 bd Lavoisier 49045 Angers cedex 01.
moha.boutat@univ-angers.fr
– 759 –
Moha Boutat
Dans [2] j’ai présenté une généralisation partielle de ce résultat dans le
cas Ω1 quasi-disqué, Ω2 disqué et Ω1, Ω2 non nécessairement bornés. J’ai
montré que : jΩ2 ◦ fp = (jΩ1)p où jΩ1 ,jΩ2 sont les jauges respectives de Ω1
et Ω2.
On propose ici de traiter le cas où Ω1 est quasi-disqué et Ω2 est disqué.
De plus, la preuve ne fait pas appel aux outils de la dynamique projective
de J. E. Fornaess et N. Sibony [3]. Le résultat principal est le suivant :
Théorème. — Soient Ω1,Ω2 deux domaines bornés de C
n tels que : Ω1
est quasi-disqué de type d = (d1, · · · , dn) et Ω2 est disqué.
Soit f : Ω1 −→ Ω2 une application holomorphe propre et non-dégénérée.
Soit fp l’application quasi-homogène, de plus petit degré, obtenue dans le
développement de f . Sous les conditions fp non-dégénérée et Ω1 ou Ω2 pseu-
doconvexe, alors on a : f ≡ fp.
Je remercie J.J. Loeb pour les nombreuses remarques et discussions que
nous avons eues pendant l’élaboration de ce travail.
2. Préliminaires
Dans cet article, toutes les définitions se trouvent dans [2]. On rappelera
seulement les notions et les résultats dont on aura besoin.
Soit d = (d1, · · · , dn) un n-uplé de nombres naturels premiers entre eux.
Pour x = (x1, · · · , xn) ∈ Cn et t ∈ C. On pose tdx = (td1x1, · · · , tdnxn).
A la place d’une norme, on muni Cn d’une quasi-norme, notée ‖ ‖d et
définie par : ‖ x ‖d=
∑n
i=1 | xi |
1
di pour x ∈ Cn.
2.1. Jauge d’un domaine quasi-disqué
Soient X un domaine (ouvert connexe) de Cn et d = (d1, · · · , dn) un
n-uplé de nombres naturels premiers entre eux.
Définition 2.1. — X est quasi-disqué de type d si :
∀x ∈ X, t ∈ C, | t | 1 : tdx ∈ X.
Remarque. — Si d = (1, · · · , 1), on dit que X est disqué.
Comme dans le cas disqué, on définit la notion de jauge de X.
– 760 –
Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d’un domaine quasi-disqué
Définition 2.2. — Soit X ⊂ Cn un domaine quasi-disqué de type d. La
jauge jX de X est définie par : ∀x ∈ Cn, jX(x) = inf{t > 0 : (t−1)dx ∈
X}.
Quelques propriétés de la fonction Jauge sont données par les proposi-
tions 2.3 et 2.4 suivantes. On trouve la preuve de la proposition 1 dans [2]
et celle de la proposition 2 dans [5].
Proposition 2.3. —
1) ∀x ∈ Cn,∀t ∈ C, | t | 1 : jX(tdx) =| t | jX(x).
2) X = {x ∈ Cn : jX(x)  1} et jX est semi-continue supérieurement.
3) ∃C > 0 tel que : ∀x ∈ Cn, jX(x)  C ‖ x ‖d .
Proposition 2.4. — On a les équivalences suivantes :
1) X est pseudo-convexe.
2) ln(jX) est psh (plurisousharmonique).
3) jX est psh.
2.2. Application quasi-homogène
Soient Ω1, Ω2 deux domaines de C
n tels que : Ω1 est quasi-disqué de
type d = (d1, · · · , dn) et Ω2 est disqué. Soit k un entier naturel non nul et
f une application holomorphe propre de Ω1 dans Ω2.
Définition 2.5. — f est dite quasi-homogène de type d = (d1, · · · , dn)
et de degré k si : ∀x ∈ Cn, ∀t ∈ C : f(tdx) = tkf(x).
La proposition suivante, est l’analogue de la décomposition de Taylor de
f en 0. Les détails de la preuve sont dans [2].
Proposition 2.6. — Soient Ω1, Ω2 deux domaines de C
n tels que : Ω1
est quasi-disqué de type d, Ω2 est disqué et f : Ω1 −→ Ω2 une application
holomorphe non-dégénérée. Alors sur Ω1, on peut écrire : f =
∑
kp
fk où fk
est une application quasi-homogène de type d, de degré k et p ∈ N∗.
En vue de la preuve du théorème principal, on utilise le lemme 2.7 sui-
vant :
Lemme 2.7. — Soient X un domaine borné de Cn, ϕ une fonction psh,
positive, continue sur Cn et telle que ϕ ≡ 0 sur ∂X, alors il existe x0 ∈ ∂X
vérifiant les deux propriétés suivantes :
– 761 –
Moha Boutat
1) ϕ(x0) > 0.
2)Il n’existe pas de disque holomorphe contenu dans ∂X et passant par ce
point x0.
Preuve. — Posons C = supx∈∂X ϕ(x) où C est strictement positif.
On choisit D > 0 tel que supx∈∂X D ‖ x ‖2< C puis on considère la
fonction continue h définie par :
∀x ∈ Cn, h(x) = D ‖ x ‖2 +ϕ(x).
Soit x0 ∈ ∂X tel que : h(x0) = supx∈∂X h(x). Nécessairement ϕ(x0) > 0,
car : si ϕ(x0) = 0, alors, on aurait : supx∈∂X h(x)  supx∈∂X D
‖ x ‖2< C, et donc supx∈∂X h(x) < supx∈∂X ϕ(x). Ceci contredit le fait
que : supx∈∂X ϕ(x)  supx∈∂X h(x).
Pour le deuxième point, on suppose qu’il existe un disque analytique non
constant γ :  −→ ∂X tel que γ(0) = x0.
La fonction h est strictement psh. Comme (h◦γ)(0) = h(x0), la fonction
h ◦ γ atteint son maximum à l’origine du disque unité et est donc constante
sur . Ceci est impossible car h est une fonction strictement psh.
3. Preuve du théorème
Étape 1 : Soient Ω1,Ω2 deux domaines bornés de C
n avec : Ω1 est quasi-
disqué de type d = (d1, · · · , dn) et Ω2 est disqué. f : Ω1 −→ Ω2 une ap-
plication holomorphe propre et non-dégénérée. D’après la proposition 2.6,
on peut écrire : f =
∑
kp
fk où fp est l’application quasi-homogène, de plus
petit degré.
Considérons trois sous-ensembles E,F et G du bord ∂Ω1 de Ω1, définis
par : E =
{
x ∈ ∂Ω1 : 1tp f(tdx) = fp(x),pour | t |< 1
}
,
F =
{
x ∈ ∂Ω1 : ∩kp+1{fk(x) = 0}
}
. G est l’ensemble des x appar-
tenant à ∂Ω1 tels que : Il n’existe pas de disque holomorphe, non constant,
passant par x et contenu dans ∂Ω1. Dans la suite par disque holomorphe,
on désigne une application holomorphe, non constante, du disque unité 
dans Cn.
Le lemme suivant permet de comparer ces trois sous-ensembles du bord
de Ω1.
– 762 –
Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d’un domaine quasi-disqué
Lemme 3.1. — On a :
1) E = F ,
2) G ⊂ E.
Preuve. — Pour le point 1), montrons d’abord la première inclusion
F ⊂ E.
Soient x ∈ F et k  p + 1 un entier naturel. La quasi-homogénéité de
fk nous permet d’écrire que : fk(t
dx) = tkfk(x) pour | t |< 1. Comme
fk(x) = 0, cette égalité implique que fk(t
dx) = 0 pour | t |< 1.
Par conséquent, pour 0 <| t |< 1, on a : 1tp f(tdx) = 1tp fp(tdx) = fp(x),
par la quasi-homogénéité de fp. On en déduit alors que x ∈ E.
Il nous reste à montrer la deuxième inclusion E ⊂ F . Pour x ∈ E, on
a d’une part : f(tdx) = tpfp(x) et d’autre part, par la décomposition de f ,
on a :
f(tdx) =
∑
kp
fk(t
dx) =
∑
kp
tkfk(x)
Par unicité du développement de Taylor, par rapport à t en 0, on en déduit
que fk ≡ 0 pour k  p+ 1. Par conséquent E = F .
Montrons le point 2) par l’absurde.
Prenons x0 ∈ G et supposons que x0 ∈ E.
Définissons le disque holomorphe γfp(x0), passant par fp(x0), par :
γfp(x0)(t) =
{
f(tdx0)
tp
si 0 <| t |< 1
fp(x0) si t = 0
γfp(x0) est holomorphe et non constante puisqu’on suppose que
x0 ∈ E. Vérifions que γfp(x0)(t) ∈ ∂Ω2 pour 0 | t |< 1, c’est-à-dire
jΩ2
(
γfp(x0)(t)
)
= 1 .
On a montré dans [2] que : jΩ2 ◦fp = (jΩ1)p. Par conséquent, si x0 ∈ ∂Ω1
alors fp(x0) ∈ ∂Ω2. On a même : fp−1(∂Ω2) = ∂Ω1.
Pour 0 <| t |< 1, on a :
jΩ2
(f(tdx0)
tp
)
=
1
| t |p jΩ2
(
f(tdx0)
)
=
1
| t |p
(
jΩ2 ◦ f
)
(tdx0)
=
1
| t |p
(
jΩ1(t
dx0)
)p
=
1
| t |p | t |
p
(
jΩ1(x0)
)p
= 1
– 763 –
Moha Boutat
Par conséquent γfp(x0)() ⊂ ∂Ω2 (la preuve n’est pas terminée).
Dans la suite, en appliquant le théorème de Remmert sur l’image d’une
application holomorphe propre et le théorème sur la structure locale des
ensembles analytiques irréductibles de dimension 1, on va montrer qu’il
existe une application holomorphe γ̃x0 :  −→ ∂Ω1 tel que γ̃x0(0) = x0.
En gros, puisque fp
−1(∂Ω2) = ∂Ω1, on va “relever” par l’application fp
le disque holomorphe γfp(x0) passant par fp(x0), pour obtenir un disque
holomorphe passant par x0. En admettant l’existence de γ̃x0 , cela conduit à
une contradiction car x0 ∈ G. Finalement x0 ∈ E, ce qui termine la preuve
du point 2) du lemme 3.1, soit G ⊂ E.
Étape 2 : On va admettre certains résultats sur les ensembles anlytiques.
Pour les énoncés exacts et les preuves complètes, on peut se référer, par
exemple, à [5].
La proposition suivante nous place dans les hypothèses du théorème de
Remmert. C’est un résultat commun dont on omettra la preuve.
Proposition 3.2. — Soit g :  −→ Cn une application holomorphe
non constante telle que g(0) = a. Alors il existe un voisinage U de 0 et un
voisinage V de a tels que : g : U −→ V est une application holomorphe
propre.
Revenons à l’existence d’un disque holomorphe passant par x0.
Appliquons la proposition 3.2 à l’application holomorphe γfp(x0).
Soit U un tel ouvert et choisissons U contenant un disque r0 de rayon
r0 ∈]0, 1[. Puisque la restriction de γfp(x0) à r0 est aussi propre, par le
théorème de Remmert, l’image γfp(x0)(r0) de r0 est un ensemble analy-
tique dans V , irréductible et de dimension 1.
Puisque fp est propre, fixons des voisinages V de fp(x0) et W de x0
tels que fp
−1(fp(x0)) ∩W = fp−1(fp(x0)) ∩W = {x0}. On peut supposer
que fp(W ) = V car fp est une application ouverte. Supposons aussi V est
suffisament petit pour avoir Γ := γfp(x0)(r0) analytique dans V . Comme
fp est holomorphe, on a : fp
−1(Γ) := X ⊂W est un ensemble analytique, de
dimension pure 1, dans W . Comme Γ ⊂ ∂Ω2, on a X ⊂ fp−1(∂Ω2) = ∂Ω1.
On choisit une composante irréductible A de la décomposition du germe
de X au point x0 en germes analytiques irréductibles, contenant x0.
– 764 –
Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d’un domaine quasi-disqué
Alors A est l’image du disque unité par une application holomorphe,
notée γ̃x0 , dont on peut supposer γ̃x0(0) = x0. L’existence de γ̃x0 résulte du
théorème sur la structure locale des ensembles analytiques irréductibles de
dimension 1. C’est un résultat qu’on peut trouver, par exemple, dans [5].
Étape 3 : Avant de vérifier que f ≡ fp sur Ω1, montrons d’abord que
∂Ω1 = E.
Supposons qu’il existe z0 tel que z0 ∈ ∂Ω1 et z0 ∈ E. Alors il existe
k0  p + 1 tel que fk0(z0) = 0. Pour x ∈ Cn, définissons la fonction psh
continue ϕ, par : ϕ(x) =‖ fk0(x) ‖2.
On applique le Lemme 2.7 à ϕ, alors il existe x0 ∈ ∂Ω1 tel que : ϕ(x0) > 0
et de plus, il n’ existe pas de disque holomorphe passant par ce point x0.
La première affirmation implique que x0 ∈ F puisque fk0(x0) = 0. Ceci
implique que x0 ∈ E, car E = F . La deuxième affirmation implique que
x0 ∈ G. Ce qui aboutit à une contradiction puisque G ⊂ E, d’après le
Lemme 3.1. On conclut alors à l’égalité ∂Ω1 = E.
Vérifions que f ≡ fp sur Ω1. Pour x = 0, on a f(0) = fp(0) = 0. Pour
x = 0, on a : 0 < jΩ1(x) < 1 et
(
1
jΩ1 (x)
)d
x ∈ ∂Ω1 puisque jΩ1
((
1
jΩ1 (x)
)d
x
)
=
1. En posant t = jΩ1(x), on a : f(x) = f
(
td( 1t )
dx
)
= tpfp
(
( 1t )
dx
)
=
tp 1tp fp(x) = fp(x).
Ceci termine la preuve du théorème.
Bibliographie
[1] Berteloot (F.) and Patrizio (G.). — A Cartan theorem for proper holomorphic
mappings of complete circular domains, Advances in math 153, p. 342-352 (2000).
[2] Boutat (M.). — Applications holomorphes propres d’un domaine quasi-disqué
sur un domaine disqué, Bulletin des Sciences Mathématiques Volume 133, Issue
4, May p. 335-347 (2009).
[3] Fornaess (J. E.) and Sibony (N.). — Complex dynamics in higher dimensions,
in “Complex Pluripotential theory,”, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys.
Sci., Vol. 439, pp. 131-186, Kluwer Academic, Dordrecht (1994).
[4] Barth (T.). — The Kobayashi indicatrix at the center of a circular domain, Proc.
Amer. Math. Soc. 88, p. 527-530 (1983).
[5] Chirka (E.M.), Delbeault (P.), Khenkin (G.M.), Vitushkin (A.G.). — Intro-
duction to complex analysis, Springer-Verlag (1997).
– 765 –


Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d’un domaine quasi-disqué sur un domaine disqué

Rodrigo Parra

Lelong numbers on projective varieties

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