Annales de l’institut Fourier (AIF)

Abbes, Ahmed

Bouche, Thierry

Théorème de Hilbert-Samuel «arithmétique»

Saeki, Osamu

Constructing generic smooth maps of a manifold into a surface with prescribed singular loci

Achab, Dehbia

Zeta functions of Jordan algebras representations

Gross, Benedict H.

Schoen, Chad

The modified diagonal cycle on the triple product of a pointed curve

Gramchev, Todor

Popov, Georgi

Nekhoroshev type estimates for billiard ball maps

Panyushev, Dmitri I.

Reductive group actions on affine varieties and their doubling

Haouari, Mohammed El

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER
MOHAMMED EL HAOUARI
Rétractes d’un espace
Annales de l’institut Fourier, tome 45, no 4 (1995), p. 1079-1089
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble
45, 4 (1995), 1079-1089
RETRACTES DTTN ESPACE
par Mohammed EL HAOUARI
Introduction.
L'existence de rétractes d'un espace donné X constitue l'une des
premières applications de la théorie d'homotopie. Le problème qui suit na-
turellement est le dénombrement des types d'homotopies de ces rétractes.
L'exemple du produit infini de sphères x S^ montre la nécessité d'intro-
n
duire des conditions de finitude si l'on espère un nombre fini de rétractes.
Clairement, on doit aussi commencer par dénombrer les types d'homotopie
rationnelle de rétractes.
Considérons alors un C.W. complexe X simplement connexe, de type
fini. Un premier résultat dû à L. Renner [R] établit la finitude du nombre de
types d'homotopie rationnelle de rétractes de X sous l'hypothèse suivante :
(*) L'algèbre de cohomologie Iï*(X;Q) est finiment engendrée (ie
noethérienne).
L'objet de ce papier est d'obtenir le même résultat sous l'hypothèse :
(**) L'algèbre de Lie d'homotopie rationnelle, TT*(ÎÎX) (g) Q est fini-
ment engendrée.
Remarquons que si la catégorie de Lusternik-Schnirelmann de X est
finie ( ie cat X < oo) et si X vérifie l'hypothèse : (**') dim 7r^(îîX)(g)Q < oo
alors d'après le théorème de dichotomie [FHT1], X vérifie : (*') dim
^*(X,Q)<oo.
Mots-clés : Rétractes d'un espace - Modèles minimaux - Semi-groupes fortement TT-
réguliers.
Classification math. : 55P62 - 55P10.
1080 MOHAMMED EL HAOUARI
En particulier, les espaces elliptiques vérifient (*') et (**') et donc ces
espaces n'admettent qu'un nombre fini de types d'homotopie de rétractes
qui sont nécessairement elliptiques. Notons aussi que la classe des es-
paces vérifiant (**) est beaucoup plus vaste que celle des espaces véri-
fiant (**'), puisque, d'après [FHT2] elle contient de nombreux espaces Q-
hyperboliques : TT^(Q,X) <S> Q possède une croissance exponentielle.
Remarquons que tout espace Q-formel satisfaisant (**') satisfait (*)
et, par dualité, tout espace Q-coformel satisfaisant (*') satisfait (**).
Finalement, il existe des espaces qui satisfont l'hypothèse (**) et
non (*), par exemple, considérer le ^ïème étage de Postnikov de X =
-^(Qî 2) V ̂ (Qî 3)- De même, il existe des espaces qui satisfont l'hypothèse
(*) et non (**), [L].
1. Une condition nécessaire pour que l'algèbre de Lie
d^homotopie rationnelle soit uniment engendrée.
Soit X un C.W. complexe, simplement connexe, de type fini, et tel
que l'algèbre de Lie graduée L = 7r*(fîX) 0 Q soit finiment engendrée.
Notons par XQ le rationnalisé de X\ et par [Xo,Xo] le monoïde des
classes d'homotçpies rationnelles des applications continues de XQ dans
Xo, et par 7r+[Xo,Xo] l'image dans End (7r*(X) (g) Q) de [Xo,Xo] par
l'application naturelle :
TT, : [Xo, Xo] -> End(7r,(X) 0 Q) ̂  End(7r,(fîX) 0 Q).
Notons M/^(Q) le semi-groupe des matrices carrées d'ordre N^ muni
de la topologie de Zariski.
THÉORÈME 1.1. — Si X est un C.W. complexe, simplement connexe,
de type fini, et tel que Palgèbre de Lie graduée TT*(ÎÎX) (g) Q soit Gniment
engendrée, alors il existe N ç. N tel que le semi-groupe 7r*[Xo,Xo] soit un
fermé, au sens de Zariski, dans M^v(Q).
Démonstration.
1) Existence de N :
Fixons une présentation de l'algèbre de Lie L = 7r*(îïX) 0 Q :
0 —^ K —> L(V) —> L —^ 0
RÉTRACTES D'UN ESPACE 1081
où V est un Q-espace vectoriel de dimension finie et K désigne l'idéal des
relations.
Si x ç. V, notons par |a;| le degré de x.
Soit m = sup{|a;| tel que x ç V} et W = {x ç. L = Tr^OX) <g) Q
tel que |.r| ^ m}. Il est clair que W est de dimension finie N. De plus, toute
application linéaire, / de L dans L, qui respecte la structure d'algèbre
de Lie, est déterminée par sa restriction à W, et est donc définie par
une matrice de M^(Q). Ainsi un élément de TT^XQ.XQ] est complètement
déterminé par une matrice de MAT(Q).
2) Montrons que c'est un fermé :
2,1) Nous allons d'abord rappeler la construction du modèle de
Quillen [Q], et des modèles bigradué et filtré [0] d'une Q-algèbre de Lie
différentielle graduée :
1.2. Foncteur de Quillen. Modèle bigradué. Modèle filtré.
1.2.1. Fondeur de Quillen [Q].
Une Q-l.d.g. (L,d) est une Q-algèbre de Lie graduée connexe L =
©Lp, munie d'une différentielle d de degré -1, vérifiant : d[x,y] =
p^i
[dx,y]-^(-l)W[x,dy].
Une Q-l.d.g. (£, d) est dite libre si L est une algèbre de Lie graduée
libre sur un Q-espace vectoriel V = © Vp; on la note (£,d) = (L(V),d).
p>o
Elle est dite minimale si L = L(V) et la différentielle d est décomposable,
c'est-à-dire d(V) ç L^(y).
Si (L,d) est une Q-l.d.g. connexe, il existe une Q-l.d.g. minimale
unique à isomorphisme près (L(V),d) et un morphîsme de Q-algèbres de
Lie:
^:(L(V),d)^(L,d)
induisant un isomorphisme en homologie. (L(V),d) est appelé modèle
minimal de (L^d).
Quillen a construit un foncteur À entre la catégorie des espaces ra-
tionnels simplement connexes et celle des Q-algèbres de Lie différentielles-"
1082 MOHAMMED EL HAOUARI
graduées LDG, induisant un isomorphisme au niveau des catégories homo-
topiques :
À : { espaces rationnels simplement connexes } —>• LDG.
Ainsi, étant donné un espace topologique X, simplement connexe, il
existe un modèle minimal (L(V),d) de À(X). On le note Cx' II vérifie :
Vn ̂  Hn+i(X^Q) comme espaces vectoriels, et
^(L(V), d) ̂  ^(SÏX) (g) Q comme algèbres de Lie.
Dans la catégorie des Q-algèbres de Lie différentielles graduées LDG,
Oukili a développé les notions de modèles bigradué et filtré. Nous allons
rappeler de quoi il s'agit :
1.2.2. Modèle bigradué.
Soit L une Q-algèbre de Lie, il existe un modèle minimal
(L^.^—^L.O), vérifiant :
(i) Z est un Q-espace vectoriel bigradué : Z = ® Z^
p^o
(ii) d:Z^L(Z)^
P*(iii) ^fo(L(Z),d)——>L est un isomorphisme, et ff+(L(Z),d) = 0.
P(L(Z),d)——^(^0) est défini à isomorphisme près. Il est appelé le
modèle bigradué de L.
1.2.3. Modèle filtré.
Soit ( L ^ d ) une Q-algèbre de Lie différentielle graduée connexe et
(L(Z), d)——>H(L, d) son modèle bigradué, il existe alors une différentielle
D sur L(Z) et un morphisme :
TT : (L(Z),D) -^ (L,d) tels que :
(i) D-d:^-.(L,d)^2
(ii) ^vç(L(V))o:^[v}=p(v)
(iii) TT induit un isomorphisme en homologie.
RÉTRACTES D'UN ESPACE 1083
En plus, cette construction est unique à isomorphisme près.
TT : (L(V),D) -> (L,d) est appelé modèle filtré de (L,d).
Le modèle filtré de X est le modèle filtré de À(X).
Remarque. — Les notions de modèles bigradué et filtré ont été intro-
duites, dans le cas des Q-algèbres différentielles graduées commutatives, par
S. Halperin et J.D. Stasheff [HS]. Ces modèles ont été étudiés par Y. Félix
dans [F]. Dans le cas non commutatif, une construction de ces modèles est
donnée dans [E].
2.2) Le semi-groupe TT^XQ^XQ] est un fermé au sens de Zariski dans
•^^(Q) d'après le lemme suivant :
LEMME 1.2.4. — La réalisation d^une application linéaire f : W —>
W par une application continue g : XQ —^ XQ détermine une suite
d'obstructions On{f), qui sont des polynômes en les coefficients de la
matrice M(/) e M^(Q) et telle que ; TT^XQ, Xo} = D OnÇf)-1^).
n
Preuve du lemme. — Fixons une présentation de l'algèbre de Lie
L = ^(îiX) (g) Q : 0 -^ H -^ L(y) -^ L -^ 0 où V est un Q-espace
vectoriel de dimension finie et K désigne l'idéal des relations.
Pour montrer le lemme, nous allons d'abord donner des obstructions à
la réalisation d'une application linéaire / de W dans W par un morphisme
/ de (L(Z),D) dans (L(Z),D), lorsque TT : (L(Z),D) ̂  (L,d) désigne un
modèle filtré de X. Ainsi nous établissons des obstructions à la réalisation
d'une application linéaire / de W dans W par une application continue du
rationnalisé de X dans lui-même.
Soit alors / : W —f W un homomorphisme gradué de matrice M :
1) Le premier type d'obstructions Oi(/) porte sur les images des
relations Tî, dans L(V), et sur la structure d'algèbre de Lie :
Oi(/) : f/n = 0 et /(hi, V2])-[/(^i), f(v2)\ = 0, pour tout v^v'2 dans W.
2) Le second type d'obstruction porte sur la différentielle, et la loi de
dérivation :
et
O'i(/) : df(v) - f(dv) = 0 pour tout v dans V C W,
df([vi,V2\) - [dfv^v^] + (-l)'^!,^] = 0.
1084 MOHAMMED EL HAOUARI
II est clair que les équations Oi(/) et 0[(f) sont polynomiales.
Les autres obstructions se lisent sur le processus de construction d'une
application / induisant / :
3) Remarquons que si ZQ ç. ZQ alors p^[zo\ € V C W.
Soit ao € L(Zo) tel que fp^[zQ\ = p*(ao), on pose alors : f(zo) = ao ;
et on prolonge à L(Zo).
4) Soit ^i € Zi :Dz^ =dz-t.
Comme [fdz^\ e TT^SÎX) (g) Q et p*[/d^i] = /P*[^i] = 0, fdz^ est
un bord. Donc ]dz\ = dwi avec wi e (L(Z))i. Posons alors ]{z\} = Wi
et prolongeons / à L(Zo ̂  Zi)' O11 volt amsi ̂ c ̂ es obstructions Oi(/) et
0[(f) sont suffisantes pour construire / sur L(Z^i).
5) Soit zz e Z2 : ^^2 = dz2 + do^, do^2 e U^o) et ^(/(d^)) =
/(Pd^) =0
Donc : f{dzï) = dw2, avec W2 € (L(Z))2.
Pour définir/sur Z^ il est nécessaire que : [/(do^2)]-[do^2] = 0. Ceci
constitue l'obstruction O^f)' En effet, supposons /*([do^2]) = [^0^2] : on
obtient : /(do^) = ^0^2+^7 avec 7 e L(Z)i et /D22 = /(^2)+/(^o^2) =
dw2 4- do^2 + D^f = D{WÎ + 7)-
Posons alors f^) = w + 7 € L(Z)2.
De plus, l'obstruction Û2(/) se lit sur la matrice M de / et est une
équation polynomiale.
Plus généralement, nous pouvons définir une suite d'obstructions
On(/)î^ ^ 2, polynomiales en les coefficients de la matrice de M de la
manière suivante :
Soit z ç. Zn, Dz = dz + dn-2Z 4-... + doz où di baisse la graduation
inférieure de n-i-unités. Ecrivons Dz = D ' z + doz avec d^z € L(Z)o. On
a alors : DfDz = DfD'z + D/^o^ = 0. Donc D f D ' z = 0, il existe
alors v e L(Z)n et a e 7r*(nX) (g) Q tels que : f D ' z = Dv - i/(a)
où ^ : 7r*(îîX) (g) Q -^ L(Zo) est une section du modèle bigradué (p :
(L(Z),d)^7r.(fîX)0(Q.
L'équation /*[do^] - [^(û)] = 0 représente l'obstruction On(/). En
effet, supposons qu'elle est vérifiée, on obtient :
fdoz = y {a) + ̂ 7, avec 7 (E L(Z)i.
RÉTRACTES D'UN ESPACE 1085
Ceci fournit :
fDz = fD'z + fdoz =Dv- v(a) + v(a) + ̂ (7) = D(î; + 7).
Posons alors : f(z) = v + 7 dans L(Z)^. L'obstruction On(/) à la
construction de f(z) se lit bien sur la matrice M de / et est une équation
polynomiale.
2. Semi-groupe fortement Tr-régulier.
Soit V un Q-espace vectoriel de dimension n ; clairement les deux
assertions suivantes sont équivalentes :
(a) Les composés : e(V) C V—^fÇV) et f(V) C V-^eÇV) sont
des isomorphismes.
(b) rg e= rg f= rg ef= rg fe.
DÉFINITION 2.1 [R]. — Soit S C MnW ^ EndV, notons E(S)
l'ensemble des idempotents de S. Soient e et f deux éléments de E(S) :
On dit que e et f sont équivalents, et on note e ̂  f sÏi existe une suite
d'éléments de E(S) : eo = e,ei, ...,en = / telle que pour tout i=0,...,n-l :
Ci et e^-j-i vérifient les conditions a) ou b).
DÉFINITION 2.2 [R]. — Soit S un semi-groupe avec élément neutre.
Nous dirons que a divise b dans S, s'il existe u^v € S tels que : uav = b.
Nous notons a\b si a divise b et a w b si a\b et b\a.
S est dit fortement Tr-régulier si pour tout x € S, il existe un entier
m > 0, et un sous-groupe H de S tels que : x171 € H.
PROPOSITION 2.3 [R]. — Si S C M^(Q) est un semi-groupe alors :
i) E ( S ) / ^ est uni.
ii) Si S est fortement Tr-régulier alors a ~ b =>• a w b.
THÉORÈME 2.4 [R]. — Si X est un C.W. complexe, simplement
connexe, de type fini, et tel que l'algèbre de Lie graduée Tr^(îîX) (g) Q soit
finiment engendrée, alors TT^XO, Xo] est fortement n-régulier.
1086 MOHAMMED EL HAOUARI
Démonstration. — Puisque 7r*[Xo,Xo] est un semi-groupe fermé
au sens de Zariski de MTV(Q) il suit, d'après ([P], théorème 3.18), que
7r+[Xo,Xo] est fortement Tr-régulier.
3. Démonstration du résultat principal.
Dans toute la suite, nous supposons que X est un espace rationnel,
simplement connexe, de type fini et tel que 7r*(îîX) soit finiment engendré
comme Q-algèbre de Lie.
Notons :
R{X) l'ensemble des rétractes de X,
[-R(X)] l'ensemble des classes d'homotopies de rétractes de X,
E[X,X]={/|/€[X,X] et f=f}.
Si Y est un élément de -R(X), il existe py tel que py o iy == idy.
Posons /y = ÎY ° PY ? alors on a un diagramme commutatif :
X -^ Xpy! = }^Y
Y ——> Y
II est clair que /y G £'[X,X] et que Y est un espace rationnel,
simplement connexe.
Notons R(X) l'ensemble des applications /y, avec Y G R(X) ; et par
S l'ensemble des applications linéaires 7r+(/y) avec/y ç R(X).
THÉORÈME 3.1. — Si X un espace rationnel, simplement connexe, de
type fini, avec Tr^(fîX) nniment engendré comme algèbre dé Lie, alors, à
équivalence d^homotopie rationnelle près, il n'existe qu'un nombre fini de
rétractes de X.
Démonstration. — Notons ETT^ [X, X] C TT^ [X, X] l'image dans End
(TT*(X)) de £*[X,X] par l'application naturelle :
TT, : [X,X] -^ End(7r,(X)) = End(7r,(^X)).
Pour démontrer le théorème, il suffit d'après la proposition 2.3 de
construire une application surjective h : S / ^ C ETI^I^X]/^ —> [.R(X)].
Pour cela, nous allons d'abord établir deux lemmes :
RÉTRACTES D'UN ESPACE 1087
LEMME 3.2. — Soient Y et Z deux rétractes de X. Si e = fy et f = /^
sont tels que 7n,(e) w TT^(/) dans T^([X,X]) alors e w f dans [X,X\.
LEMME 3.3. — Soient Y et Z deux rétractes de X, Si e = fy et f = f^
sont tels que ew f dans [X, X] alors Y et Z ont le même type d'homotopie.
Preuve du lemme 3.2. — Par hypothèse, il existe n, v, a, b dans [X, X]
tels que :
7r^{uev) = 7r*(/) et 7r*(a/&) = 7r+(e).
Considérons alors x = fuevf. Il est clair que fx = xf = x et
TT^X) = (7r^f)7r^Uev)7T^f)) = 7T^(/).
Montrons d'abord qu'il existe x* ç [X, X] tel que fx* = x*f = x* et
xx* = x*x = f : On considère pour cela le diagramme commutatif :
X ^ X
1 î •pz 1 _ tz
Z ——^ Z
Posons (p = pzXiz '- Z —> Z ; on a alors :
^(y?) == Tr^pzXiz) = ̂ (pzfiz) = ̂ (pzizPziz) = 7^(idz) = id^(^).
Par le théorème de Whitehead, il existe ^ : Z —f Z tel que ̂  ~Q
^ ~Q id^.
Ainsi, si on pose x* = iz^Pz^ o11 obtient :
a;*a; = i^pzX = iz^PzizWz = ̂ z^Pz = îzPz = / dans [X,X].
De même : rra:* = / et /a:* = rc*/ = x * .
Finalement, on obtient : e / x car x = (fu)e(vf) et x / f car / = xx*.
Ce qui donne e//. De manière identique, on peut montrer que //e, et
conclure que e w f.
Preuve du lemme 3.3. — Puisque e w f dans [X, X], il existe u, v, x, y
dans [X, X] tels que : / = a;eî/ et n/î; = e.
On pose alors : ̂  = pzfviy : Y —^ Z et y? = pyeuiz : Z —^Y.ï\ est
clair que : ̂  = p^euizPzfviy = p^euf/viy = p^eu/viy = p^eez^ =
pyCîy = PyîyPyîy = idy. Ainsi TT* ((/?) o TT^ (^) : TT^ (Y) -^ 7r*(Y) est
l'application id^^y). De même, si 0 =pzfxiy et 0' =p^yfiz on trouve :
7^,(0)o7^.(0 /)=id^(^).
1088 MOHAMMED EL HAOUARI
Finalement, les deux applications : TT*((^) : TT*(Z) —»• 7r*(y) et
7r*(0) : 7r^(Y) —> 7r*(Z) sont surjectives entre Q-espaces vectoriels.
D'autre part, 7i*(î) : 7r*(y) —»• TT*(X) est injective et TT*(X) est un Q-
espace vectoriel de type fini, il en est de même de 7r^(Y). De même, TT+(Z)
est de type fini. Donc les deux surjections sont des isomorphismes, et par
suite Y et Z ont le même type d'homotopie.
Fin de la démonstration du tAéorèœe. — Considérons alors h : S / ^ C
ETT^[X,X}/^ -^ [R(X)} définie, pour tout élément [^(/y)] de S / ^ par :
/i(hr*(/y)]) = [Y]. Puisque TT*[X,X] est entièrement déterminé par sa
restriction à W, si [7r*(/y)] et \^*{fz)} soï^ deux éléments de S / ^ tels
que 7r^(/y) ~ TT+(/^) alors 7n,(/y) w 7r*(/^) dans TT^[X,X] car TT^[X,X]
est fortement Tr-régulier. Le lemme 3.2. implique alors que fy w f^ dans
[X, X] et donc d'après le lemme 3.3. Y et Z ont le même type d'homotopie.
Ce qui achève la démonstration du théorème.
Remerciement. — Je tiens à remercier le Professeur J.-C. Thomas
pour ses précieuses remarques et son aide pour l'élaboration de cet article.
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[FHT2] Y. FÉLIX, S. HALPERIN et J.-C. THOMAS, Hopf algebras of polynomials
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[H] S. HALPERIN, Lectures on minimal models, Mémoire de la S.M.F., 9-19 (1983).
[HS] S. HALPERIN, J.-D. STASHEFF, Obstructions to homotopy équivalences,
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[L] J.-M. LEMAIRE, A finite complex whose rational homotopy is not finitly
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1970, éd. F. Sigrist). Lectures Notes in Mathemactics, 196 (1971), 114-120.
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[Q] D. QUILLEN, Rational homotopy theory, Annals of Math., (2) (90) (1969),
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[R] L. RENNER, Thé homotopy types of retractes of a fixed space, J. Pure and
Appl. Algebra, 69 (1990), 295-299.
Manuscrit reçu le 22 septembre 1994,
accepté le 14 mars 1995.
Mohammed EL HAOUARI,
Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques
URA-GAT-751
59655 Villeneuve d'Ascq (France).


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Nombres normaux dans diverses bases

Integrable analytic vector fields with a nilpotent linear part

3,503

3,732